3.Statik Elektrik Alanlar

(1)

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

2 2 1

R Q k Q

F 

^Q¹^{, Q}² ^{: (C)}



4 k  1

(N)

Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti

Coulomb Yasası : 1785 de Charles Coulomb tarafından formüle edilmiş deneysel bir yasadır. Bir noktasal yükün diğer bir noktasal yük üzerine etkidiği kuvvetle ilgilenir.

R : (m)

: sabit =_r_o : ortamın yalıtkanlık sabiti (F/m) Boş uzayda =_o, _r(bağıl yalıtkanlık sabiti)=1 dir.

9 o

o

9 . 10

4 k  1 



^(m/F)

1

(2)

3.Statik Elektrik Alanlar

R1 2

2 o

2 1

12

a ˆ

R 4

Q F Q

 



Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti Coulomb Yasası :

r1

r2

1 2

12 r r

R  





F12

F21

R1 2

aˆ

R2 1

aˆ

R R 

₁₂

 R aˆ

_R

R

¹²

1 2



 a ˆ

_R_{2 1}

  a ˆ

_R_{1 2}

 

3 1 2

o

1 2

2 1 3 12

o 2 1

12

4 r r

r r

Q R Q

R 4

Q

F Q  



 





 

  

12

21 12 R

R 12

21

F a ˆ F a ˆ

F   





2

(3)

3.Statik Elektrik Alanlar

Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti Coulomb Yasası :

Birden çok noktasal yük için,

     

3 N o

N N

3 2 o

2 2

3 1 o

1 1

r r

4 r r

... QQ r

r 4

r r

QQ r

r 4

r r

F QQ  



 



 

 

 



 



 









^N



1 k

3 k

k k

o

r r

Q 4

F Q  



 



r2

r 



rN

r 

 r1

r 

 r r1

rN

r2

QN

Q Q2

Q1

3

(4)

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrik Alan Şiddeti : Elektrik alanının var olduğu bir bölgeye

yerleştirilmiş çok küçük durağan bir test yükü üzerine etki eden birim yük başına düşen kuvvet olarak tanımlanır.

Q lim F E

0 Q

 





Q E F

 



veya basitçe (N/C)  (V/m)

Elektrik alanına konan test yükü ölçülmek istenen alanı bozmayacak büyüklükte olmalıdır. Sonsuz küçük olması gerekmez, yeter ki ölçülen alanı bozmasın.

 

3 o

2 R

o

4 r r

r r

a ˆ Q R

4 E Q

 



  



 

 

ye yerleştirilmiş bir noktasal yükün de yarattığı elektrik alanı :

r r  

N tane noktasal yükün alanı :

 









^N



1 k

3 k

k k

o

r r

Q 4

E 1  



 



4

(5)

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 1: P₁(3,2,-1) noktasına 1 mC, P₂(-1,-1,4) noktasına -2 mC yükleri konmuştur. P(0,3,1) noktasındaki 10 nC’luk yüke etkiyen kuvveti ve bu noktadaki elektrik alan şiddetini bulunuz.

5

(6)

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında O(0,0,0) noktasına +1 nC, (0,1,0) noktasına ise -2 nC noktasal yükleri konmuştur. (2,0,0) noktasındaki elektrik alanını bulunuz.

6

(7)

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 3: x-y düzleminde O(0,0) noktasına Q_O=5 nC, A(3 m,0) noktasına Q_A=10 nC ve B(0,4 m) noktasına Q_B=-30 nC noktasal yükleri konmuştur.

C(3 m,4 m) noktasındaki elektrik alanını bulunuz.

7

(8)

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 4: Florid fosfat maden cevheri kuartz ve fosfat taşının küçük partiküllerinden oluşmaktadır. Bu partiküller düzgün bir elektrik alanı kullanarak bileşenlerine ayrılabilir. Başlangıç hızı ve yer değiştirmeyi sıfır kabul ederek 80 cm’lik düşüşten sonra partiküller arasındaki yatay mesafeyi belirleyiniz. E=500 kV/m, Q/m=9 C/kg

8

(9)

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları

Yükler bir ortamda noktasal olarak bulunabilecekleri gibi, şekildeki bir çizgi boyunca, bir yüzey üzerinde veya bir hacim içerisinde sürekli bir dağılım şeklinde de olabilirler.

Noktasal yük Çizgisel yük Yüzeysel yük Hacimsel yük

Çizgisel yük yoğunluğu : _L(C/m) Yüzeysel yük yoğunluğu : _S (C/m²) Hacimsel yük yoğunluğu : _v (C/m³)

9

(10)

3.Statik Elektrik Alanlar

Bu yük dağılımlarının her birinin herhangi bir R uzaklıkta yarattığı elektrik alanı aşağıdaki bağıntılardan hesaplanabilir.

2 R L o

a ˆ R

d 4

E ^ ^ _ 1  ^ ^

2 R S o

a ˆ R

dS 4

E ^ ^ _ 1  ^

2 R v o

a ˆ R

dv 4

E ^ ^ _ 1  ^

: çizgisel yük dağılımı için dQ=_Ldl

: yüzeysel yük dağılımı için dQ=_SdS

: hacimsel yük dağılımı için dQ=_vdv

2 R o

a ˆ R 4

E dQ

d ^ 



10

(11)

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları 1. Çizgisel yük :

Şekildeki gibi z-ekseni boyunca A ve B noktaları arasında düzgün yük yoğunluğu _L olan bir çizgisel yükün herhangi bir P(x,y,z) noktasında yarattığı elektrik alanını bulalım.

 d dQ  

_L

z d d   

z y

x

y a ˆ ( z z ) a ˆ a ˆ

x

) z , 0 , 0 ( ) z , y , x ( R

 





 

 

a ˆ

z

) z z

( a ˆ

R ^  

_

  

2 2 2

2

R ( z z )

R  ^     

11

(12)

3.Statik Elektrik Alanlar



² ²



³^/^z²

3 2

R

) z z

(

a ˆ ) z z

( a ˆ

R R R

a ˆ

 



 

 

 



_



 

 _ ^ _ ^ _ ^ ^

 d z

) z z

(

a ˆ ) z z

( a ˆ

E 4

₃_/ ₂

2 2

z o

L







_







 ( z z ) / cos R 

²

  

²





 tan OT

z    d z     d  / cos

²



12

(13)

3.Statik Elektrik Alanlar

 ^ ^  ^







^





sin a ˆ d a ˆ

4 cos E

2

1

z o

L

 ^

 





₂ ₁ ₂ ₁ _z



o

L

(sin sin ) a ˆ (cos cos ) a ˆ

E 4    







 



 

Özel durum : Sonsuz çizgisel yük için B noktası +’a, A noktası -’a götürülürse, ₁=/2 ve ₂=-/2 olur. Bu durumda z-ekseninden bir  uzaklıktaki elektrik alanı,





 a ˆ E 2

o



L







o L

E  2

13

(14)

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek : x-y düzlemine yerleştirilmiş, ekseni z ekseniyle aynı olan a yarıçaplı dairesel bir halka _L (C/m) düzgün yükü taşımaktadır.

x

y

a) (0,0,h) noktasındaki elektrik alan ifadesini bulunuz. b) Elektrik alanının maksimum olduğu h değerlerini bulunuz. c) Halkadaki toplam yük Q ise, a0 iken elektrik alanını bulunuz.

d) (a) da bulduğunuz denklemi kullanarak Q=10 pC, a=5 cm için h=5 cm’deki elektrik alanını hesaplayınız.

14

(15)

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları 2. Yüzeysel yük :

Şekildeki gibi x-y düzleminde düzgün yük yoğunluğu _S olan a yarıçaplı bir yük levhasının orjinden h uzaklıkta yarattığı elektrik alanını bulalım.





 dS 2 d dQ 

_S



_S



 d 2

dS 

 yarıçaplı ve d genişlikli halkanın yüzey alanı

Bu halkadaki yük



d



 d 2

dQ  _S h R

E d 

E d

2 R o

a ˆ R 4

E dQ

d ^ 



Bu yükün z-ekseni üzerinde R uzaklıkta yaratacağı alan

15

(16)

3.Statik Elektrik Alanlar

2 2

z

R

h

a ˆ h a ˆ

R a ˆ R



 

 



_





² ²



³^/ ²

^

^z

^

o

S

a ˆ h a ˆ

h 4

d E 2

d  

  

_













Simetriden dolayı yatay bileşenler birbirini yok eder, yani E_=0 olur.

Elektrik alanının sadece z-bileşeni kalır.

 ^  ^

 



z a

0

2 / 2 3 2

o

S

a ˆ

h d 2

E h







 

 





 



2 2

o S

z

a h

1 h E 2





2 z o 2

S

a ˆ

h a

1 h

E 2 



 





 

 



16

(17)

3.Statik Elektrik Alanlar

z o S

a ˆ E 2



 

 

Özel durum : a= yapılırsa yani levha sonsuz bir düzlem ise, levhadaki düzgün yük yoğunluğu _S in yarattığı elektrik alanı,

Levhanın alt tarafında (–z yönünde) orjinden h uzaklıktaki elektrik alanı

2 z o 2

S

a ˆ

h a

1 h

E 2 



 





 



 



Düzgün yüklü sonsuz bir levhanın alanı düzgün alandır, değeri ve doğrultusu değişmez.

n o S

a ˆ E 2



 



aˆ

n : levhaya dik bir birim vektör

17

(18)

3.Statik Elektrik Alanlar

Paralel iki sonsuz levha arasındaki elektrik alanı :

z o

S aˆ E

E

E 

 



 _ _



z>a bölgesinde :

 0



 E_ E_ E   E

+_S -_S

E

E

z=0 z=a

z o S aˆ

E 



 2





z o S aˆ

E 



 2

 



z<0 bölgesinde :

 0



 E_ E_ E  

z o S aˆ

E 



 2

 



z o S aˆ

E 



 2

 

0<z<a bölgesinde : 

z o S aˆ

E 



 2





z o S aˆ

E 



 2





18

(19)

3.Statik Elektrik Alanlar

19

Örnek : Boş uzayda z=-4, z=1 ve z=4 sonsuz düzlem levhalarında sırasıyla, 3 nC/m², 6 nC/m² ve -8 nC/m² olan düzgün yükler

bulunmaktadır. Aşağıdaki noktaların her birinde elektrik alanını bulunuz.

a) P_A(2,5,-5) b) P_B(4,2,-3) c) P_C(-1,-5,2) d) P_D(-2,4,5)

(20)

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları 3. Hacimsel yük :

Şekildeki gibi düzgün yük yoğunluğu _v olan hacimsel yük dağılımının P noktasında yarattığı elektrik alanını bulalım.

dv

dQ  

_v

^Q ^  ^

^v

^dv ^ ^

^v

 ^dv

3 a Q 4

3 v

 



dQ elemanter hacimsel yükünün P noktasında yaratacağı alan

2 R o

v

a ˆ

R 4

E dv

d 

 



Simetriden dolayı alanın E_x ve E_y bileşenleri sıfırdır, sadece E_z bileşeni vardır.

20

(21)

3.Statik Elektrik Alanlar





 ^ ^ ^ ^

 r  sin d r d d dv

²

Kosinüs kuralından,



 ^



₂

o v

z

R

dv cos

cos 4 dE

E 



 

Son ifadede z ve r sabit tutulup  ne göre türev alınırsa, r

z 2

R r

cos z cos

r z 2 r

z R

2 2



 

 

 



 

 



 

zR 2

r R

cos z cos

zR 2 R

z r

2 2

2

2   









 

 

r z d RdR

sin      

21

(22)

3.Statik Elektrik Alanlar

















 

 



 



  

 



 



 



  

 

 



 



 

 



 

 











Q v 3 2

o

a

0 2 o v

a

0

r z

r z 2 2

2 o v

a

0 r

r z

r z R

2 2 2 2

0 2

o v z

3 a 4 z

4 1

r d r z 4

4

r R d

r R z

z r 4

r R dRd

r 1 z

r z d

E 4



 













 



^



22

(23)

3.Statik Elektrik Alanlar

z o

a ˆ z

E Q

₂

4 

 

23

Sonuç olarak P(0,0,z) noktasındaki E alanı,

Yük dağılımı simetrik olduğundan P(r,,) noktasındaki elektrik alanı, yukarıdaki bağıntıdan,

r o

a ˆ r

E Q

₂

4 

 

Bu alan, küresel yük dağılımının orijini veya merkezinde bulunan bir

noktasal Q yükünün aynı P noktasında yarattığı elektrik alanına özdeştir.

(24)

3.Statik Elektrik Alanlar













cm 5

r 0,

cm 5

r 3

, nC/m 20

cm 3

r 0

, nC/m 10

3 3



v

24

Örnek 1: Boş uzayda hacimsel yük yoğunluğu aşağıdaki gibi veriliyor.

a) r=4 cm b) r=6 cm’deki elektrik alanını bulunuz.

(25)

3.Statik Elektrik Alanlar

25

Örnek 2: Şekildeki gibi verilen 2 cm uzunluğundaki elektron hüzmesinin içerdiği toplam yükü bulunuz.

(26)

26

3.Statik Elektrik Alanlar

E D  





^(C/m² ⁾

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu Ortamdan bağımsız yeni bir vektör alan,

Boş uzayda :

: Yerdeğiştirme alanı (Elektrik akı yoğunluğu)

E D 

_o







E ile D aynı alan çizgilerine sahiptir.

+Q

r D

Noktasal yük için,

2

a ˆ

r

r 4 D Q

 



(C/m² )

2 r o

a ˆ r

4 E Q

 



(V/m )

(27)

27

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu

Bir düzgün alan (yönü ve değeri noktadan noktaya değişmeyen alan) içinde;

 DS



^(C)

(C/m² )

D

S Elektrik akısı :

Elektrik akı yoğunluğu :

D  S





  DS cos

aˆn

S

 D

(28)

28

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu

Alan düzgün olmayıp yüzey de düzlem değilse;

S d D

d  



 

dS

aˆn

S yüzeyi

 D

 ^



S

S d D  



Örnek : =2 m, z=0, z=5 m ile sınırlanan silindirik bir hacim içerisindeki akı yoğunluğu C/m²dir. Silindirin yüzeyinden

çıkan toplam elektrik akısını bulunuz.^z aˆ z 2 aˆ

e 30

D  ^^ _ 

(29)

29

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzey tarafından kapsanan toplam yüke eşittir.

top S

Q S

d

D  

  ^ ^



a yarıçaplı kapalı bir küre yüzeyinden geçen akının bu kürenin içindeki yüke eşit olduğunu gösterelim.

Bunun için noktasal bir Q yükünün, şekilde gösterildiği gibi küresel koordinat sisteminin orjinine yerleştirildiğini varsayalım.

Bu Q yükünün kürenin yüzeyindeki yerdeğiştirme alanı, (C)

2 r

S

a ˆ

a 4 D Q

 



(C/m² )

(30)

30

3.Statik Elektrik Alanlar

r 2

sin d d a ˆ a

S

d     

Kapalı küre yüzeyi üzerinden integrali,

) a ˆ d d sin a

( ) a ˆ a 4 ( Q S

d

D

₂ _r ²

  

_r

 ^



 







 ^sin  ^d ^d

4 S Q

d

D    







   

 

Q d

d 4 sin

S Q d D

2

0 0 S













 

 ^ ^  ^ ^Q

(31)

31

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss yasası, özellikle kapalı yüzey üzerinde D alanının dik bileşeninin sabit olduğu bazı simetri durumlarında, yük dağılımının yarattığı alanın (D veya E) belirlenmesinde kolaylık sağlar. Simetri durumu yok ise Gauss yasasının çok faydası olmaz.

Yukarıdaki küre yüzeyinin her noktasında D alanı sabit ve yüzeye diktir.

a yarıçaplı kürenin yüzey alanı S=4a² dir.

Q a

a 4 4

DS  Q

₂ ²



 

 

Gauss yasasının uygulanmasında, öncelikle simetrinin olması ve

sonrasında verilen bir yük dağılımının yarattığı alanın dik bileşeninin sabit olacağı uygun bir yüzeyin seçilmesi önemlidir. Bu tip yüzeyler Gauss yüzeyi olarak adlandırılır.

(32)

32

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları Gauss yüzeyi örnekleri :

Küresel Gauss yüzeyi

D D

Silindirik Gauss yüzeyi

D

Kübik Gauss yüzeyi

D D

(33)

33

3.Statik Elektrik Alanlar

Hacimsel yük dağılımı _v kullanılırsa,

dv Q

v



v

  ^  ^

S

S d D  





 Q

 D d S dv

S v

 ^ ^ ^ ^  ^

v : Genelleştirilmiş Gauss yasası

dv D div S

d D

S v

 ^ ^ ^ ^  ^

Diverjans teoreminden,



 



v v v

dv dv

D

div ^ 

D

v

div   

: Maxwell denklemlerinin ilki

(34)

34

3.Statik Elektrik Alanlar

Uygulama 1 : Sonsuz çizgisel düzgün yük dağılımın alanı

Çizgisel yük _L (C/m) Gauss yüzeyi

D

Şekildeki uzunluğu l ve yarıçapı  olan silindirik Gauss yüzeyinin alt ve üst yüzeyleri D alanına paralel olduğundan bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır.

Silindirin yan yüzeyinden geçen akı :

l 2

D

DS 

  

Silindirin içindeki toplam yük :

Q  

_L

l l l

2 D

Q  

_L

   

Gauss yasasından :





 a ˆ D   2

^L

(C/m²) _







 2 ^a ^ˆ E D

o L o



 

(V/m)

(35)

35

3.Statik Elektrik Alanlar

Uygulama 2 : Düzgün yük dağılımlı sonsuz düzlem levhanın alanı

Şekildeki Gauss yüzeyinin yan yüzeyleri D alanına paralel

olduğundan bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır. Alt ve üst yüzeylerden çıkan toplam akı :

DS 2

DS DS  

 

S yüzeyindeki toplam yük :

S Q  

_S

S

DS 2

Q 

_S

   

Gauss yasasından :

z S

a ˆ D ^ _  2

(C/m²) _z

o S

a ˆ E 2



 



(V/m)

S yüzeyi Gauss yüzeyi

D

Yük dağılımı _S olan sonsuz levha

(36)

36

3.Statik Elektrik Alanlar

Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Yarıçapı a, düzgün yük dağılımı _v=_o C/m³olan bir kürenin içinde ve dışındaki alanları (D ve E) Gauss yasasından yararlanarak bulalım.

Küre içerisindeki alanı bulmak için, kürenin

içinde şekildeki gibi r<a olan bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :

r

2

4 D

DS 

  

r yarıçaplı bu kürenin içindeki toplam yük :

3 r v 4

Q

3 o

v

 

 



r o

a ˆ 3 D ^ _  r

Gauss yasasından :

(C/m²) (V/m)

Gauss yüzeyi

r o o

a ˆ 3

E r



 



(0 < r  a)

(37)

37

3.Statik Elektrik Alanlar

Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Küre dışındaki alanı bulmak için, kürenin dışında şekildeki gibi r>a olan bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :

r

2

4 D

DS 

  

a yarıçaplı kürenin içindeki toplam yük :

3 a v 4

Q

3 o

v

 

 



(V/m)

2 r o

3

o

aˆ

r 3

E a



 



Gauss yüzeyi

(r  a)

2 r 3 o

a ˆ

r 3 D  a

 

(C/m²)

2 3 o

r 3

 a 3

oa



3 r_o

(38)

38

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 1: veriliyor. (1,/4,3) noktasındaki yük yoğunluğunu ve yarıçapı 1m olan -2  z  2 aralığındaki silindirin kapsadığı toplam yükü hesaplayınız.

2 z

2

a ˆ C/m cos

z

D    

(39)

39

3.Statik Elektrik Alanlar

Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında şekildeki gibi yerleştirilmiş küpün her bir kenarı 2 m dir. Yerdeğiştirme alanının aşağıdaki değişimleri için

küpün içindeki toplam elektrik yükünü bulunuz.

y x

z

0

2 z

y

x

( y 4 ) a ˆ ( z 5 ) a ˆ C/m a ˆ

) 3 x

(

D       

a)

2 z

3 3 3 y

2 2 2

x

x y z a ˆ x y z a ˆ C/m a ˆ

xyz

D    

b)

(40)

40

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Elektrik devrelerinde gerilim ve akımlarla çalışılır.

Elektrik devresinde A ve B gibi iki nokta arasındaki V_AB gerilimi

(potansiyel farkı), bu iki nokta arasında bir birim yükü hareket ettirmek için gerekli enerji miktarı veya potansiyel enerjiyi gösterir.

Bir elektrik devresi problemi çözülürken devrede var olan elektrik alanları genellikle dikkate alınmaz. Bununla birlikte, bir direnç veya bir kondansatör uçları arasındaki potansiyel farkının (gerilimin) kaynağı yine bu uçlar arasındaki bir elektrik alanının varlığıdır.

Bu bölümde elektrik alanı E ile elektriksel potansiyel V arasındaki bağlantı incelenecektir.

Bu amaçla, önce, bir noktasal yükün düzgün bir E alanında alana karşı yönde bir noktadan başka bir noktaya hareketi ele alınacaktır.

(41)

41

3.Statik Elektrik Alanlar

Şekildeki gibi –y yönündeki düzgün bir E alanında pozitif bir noktasal Q yükü bulunsun. Bu yüke etkiyen elektriksel kuvvet –y yönünde (alan yönünde) olacaktır.

+Q

y

x d

y E

E E

y

e

Q E QE a ˆ

F     

Yük pozitif y-ekseni boyunca (F_e

kuvvetine karşı) hareket ettirilirse, bu hareketi enerji harcanması karşılığında sağlayacak F_e ye karşı koyan bir F_d dış kuvvete ihtiyaç vardır.

Q yükünü sabit hızla hareket ettirmek için yük üzerine etkiyen net kuvvetin sıfır olması, yani,

0 F

F 

_d

 

_e



(42)

42

3.Statik Elektrik Alanlar

Herhangi bir nesnenin bir dış kuvvetin etkisi altında bir diferansiyel

yerdeğiştirme uzaklığında hareket ettirilmesiyle yapılan iş veya harcanan enerji,

E Q F

F 

_d



_e











Q yükü y-ekseni boyunca dy kadar hareket ettirilirse,

l d E Q l

d F

dW 

_d

  











(Joule, J)

QEdy )

dy a ˆ

( ) E a ˆ (

Q

dW   

_y



_y



Birim yük başına diferansiyel elektriksel potansiyel enerji (dW), diferansiyel elektriksel potansiyel (dV) olarak adlandırılır.

l d Q E

dV dW 







^(V)

(43)

43

3.Statik Elektrik Alanlar

Şekilde gösterilen A ve B gibi herhangi iki nokta arasında bir Q yükünün A dan B ye mevcut alana karşı hareketle taşınması sırasında yapılan

toplam iş veya gerekli potansiyel enerji,

 ^





B

A

l d E Q

W  

Bu noktalar arasındaki potansiyel farkı, (J)









 



^B

A B

A

l d Q E

dV W

 

 ^









B

A A

B

AB

E d l

Q V W

V

V  

(V)

(44)

44

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim Burada;

 V_AB belirlenirken A başlangıç, B bitiş noktası olarak alınır.

 V_AB<0 ise, Q yükünün A dan B ye hareketinde potansiyel enerjide bir kayıp vardır ve bu da işin alan tarafından yapıldığını gösterir.

 V_AB>0 ise, potansiyel enerjide bir kazanç vardır, işi dış kuvvet yapmıştır.

 V_AB seçilen yoldan bağımsızdır.

(45)

45

3.Statik Elektrik Alanlar

2 r o

a ˆ r

4 E Q

 



Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :

Şekildeki gibi (x,y,z) eksen takımının orjinine yerleştirilmiş bir noktasal Q yükünün yarattığı alandaki mutlak potansiyeli belirleyelim.

Bu yükün elektrik alanı,

A B

B

A B

A

AB

E d l dV V V

V    ^  ^    

a ˆ

r

dr l

d  

r_A r_B

Q

(46)

46

3.Statik Elektrik Alanlar

  

 ^ _ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^





^B

A B

A

r

2 o

r

r 2 r

o

AB

r

dr 4

a ˆ Q dr a ˆ

r 4

V Q



A B

o

AB

V V

r 1 r

1 4

V Q   



 



 

 

V_B B noktasındaki, V_A ise A noktasındaki potansiyel (veya mutlak

potansiyel) olarak tanımlanır. Böylece, V_AB potansiyel farkı yani gerilim, A referans noktasına göre B noktasındaki potansiyel olur.

(47)

47

3.Statik Elektrik Alanlar

B o A

r B o r AB

B

4 r

Q r

1 r

lim 1 4

V Q lim V

A

 ^ _ ^ 

 



 



 

B noktasındaki mutlak potansiyel r_A sonsuza yaklaştırılarak (V_A=0) bulunur.

Orjine yerleşmiş bir noktasal yükün mutlak potansiyeli r_B=r alınarak aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.

r 4

V Q



o



^(V)

(48)

48

3.Statik Elektrik Alanlar

 Noktasal yükün potansiyel dağılımı elektrik alanınki gibi küresel simetriye sahiptir.

 Bir noktasal yükün alanı 1/r² ile değişirken noktasal yükün potansiyeli 1/r olarak değişir.

 Potansiyelin sabit olduğu yüzeyler (veya çizgiler) eşpotansiyel

yüzeyler (veya çizgiler) olarak tanımlanır. Noktasal yük için eşpotansiyel yüzeyler yük etrafında iç içe kürelerdir.

 Eşpotansiyel yüzeyler (çizgiler) her zaman elektrik alanına diktirler.

Bir yük elektrik alanına dik doğrultuda hareket ettirilirse yapılan iş sıfır olur.

Eşpotansiyel çizgi üzerindeki her noktada potansiyel eşit olduğundan, dV=0 olur.

l d E

0 l

d E

dV    













(49)

49

3.Statik Elektrik Alanlar

Q noktasal yükü orjin yerine konum vektörü r olan bir noktaya yerleşmiş ise, bu durumda potansiyel;

N adet noktasal yük için, elektrik alanlarına uygulanan toplamsallık ilkesi potansiyellere de uygulanarak ;