r  sin d r d ddv2

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları 3. Hacimsel yük :

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları 3. Hacimsel yük :

z o

a ˆ z

E Q

₂

4 

 

23

Sonuç olarak P(0,0,z) noktasındaki E alanı,

Yük dağılımı simetrik olduğundan P(r,,) noktasındaki elektrik alanı, yukarıdaki bağıntıdan,

r o

a ˆ r

E Q

₂

4 

 

Bu alan, küresel yük dağılımının orijini veya merkezinde bulunan bir

noktasal Q yükünün aynı P noktasında yarattığı elektrik alanına özdeştir.

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları



















cm 5

r 0,

cm 5

r 3

, nC/m 20

cm 3

r 0

, nC/m 10

3 3



v

24

Örnek 1: Boş uzayda hacimsel yük yoğunluğu aşağıdaki gibi veriliyor.

a) r=4 cm b) r=6 cm’deki elektrik alanını bulunuz.

Elektromanyetik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3.Statik Elektrik Alanlar

Sürekli Yük Dağılımları

25

Örnek 2: Şekildeki gibi verilen 2 cm uzunluğundaki elektron hüzmesinin içerdiği toplam yükü bulunuz.

26

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

E D  





^{(C/m2 )}

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu Ortamdan bağımsız yeni bir vektör alan,

Boş uzayda :

: Yerdeğiştirme alanı (Elektrik akı yoğunluğu)

E D 

_o







E ile D aynı alan çizgilerine sahiptir.

+Q

r D

Noktasal yük için,

2

a ˆ

r

r 4 D Q

 



(C/m² )

2 r o

a ˆ r

4 E Q

 



(V/m )

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

27

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu

Bir düzgün alan (yönü ve değeri noktadan noktaya değişmeyen alan) içinde;

 DS



^(C)

(C/m² )

D

S Elektrik akısı :

Elektrik akı yoğunluğu :

D  S





  DS cos

aˆn

S

 D

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

28

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrik Akısı ve Elektrik Akı Yoğunluğu

Alan düzgün olmayıp yüzey de düzlem değilse;

S d D

d  



 

dS

aˆn

S yüzeyi

 D

 ^



S

S d D  



Örnek : =2 m, z=0, z=5 m ile sınırlanan silindirik bir hacim içerisindeki akı yoğunluğu C/m² dir. Silindirin yüzeyinden

çıkan toplam elektrik akısını bulunuz.^z aˆ z 2 aˆ

e 30

D  ^ _ 

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

29

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzey tarafından kapsanan toplam yüke eşittir.

top S

Q S

d

D  

  ^{ }



a yarıçaplı kapalı bir küre yüzeyinden geçen akının bu kürenin içindeki yüke eşit olduğunu gösterelim.

Bunun için noktasal bir Q yükünün, şekilde gösterildiği gibi küresel koordinat sisteminin orjinine yerleştirildiğini varsayalım.

Bu Q yükünün kürenin yüzeyindeki yerdeğiştirme alanı, (C)

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

2 r

S

a ˆ

a 4 D Q

 



(C/m² )

30

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

r 2

sin d d a ˆ a

S

d     

Kapalı küre yüzeyi üzerinden integrali,

)

31

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Gauss yasası, özellikle kapalı yüzey üzerinde D alanının dik bileşeninin sabit olduğu bazı simetri durumlarında, yük dağılımının yarattığı alanın (D veya E) belirlenmesinde kolaylık sağlar. Simetri durumu yok ise Gauss yasasının çok faydası olmaz.

Yukarıdaki küre yüzeyinin her noktasında D alanı sabit ve yüzeye diktir.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

a yarıçaplı kürenin yüzey alanı S=4a² dir.

Q a

a 4 4

DS  Q

₂ ²



 

 

Gauss yasasının uygulanmasında, öncelikle simetrinin olması ve

sonrasında verilen bir yük dağılımının yarattığı alanın dik bileşeninin sabit olacağı uygun bir yüzeyin seçilmesi önemlidir. Bu tip yüzeyler Gauss yüzeyi olarak adlandırılır.

32

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları Gauss yüzeyi örnekleri :

Küresel Gauss yüzeyi

D D

Silindirik Gauss yüzeyi

D

D

Kübik Gauss yüzeyi

D D

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

33

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Hacimsel yük dağılımı _v kullanılırsa,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

dv

: Maxwell denklemlerinin ilki

34

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Uygulama 1 : Sonsuz çizgisel düzgün yük dağılımın alanı

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Çizgisel yük _L (C/m) Gauss yüzeyi

D

Şekildeki uzunluğu l ve yarıçapı  olan silindirik Gauss yüzeyinin alt ve üst yüzeyleri D alanına paralel olduğundan bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır.

Silindirin yan yüzeyinden geçen akı :

l

Gauss yasasından :





35

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Uygulama 2 : Düzgün yük dağılımlı sonsuz düzlem levhanın alanı

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Şekildeki Gauss yüzeyinin yan yüzeyleri D alanına paralel

olduğundan bu yüzeylerden geçen akı sıfırdır. Alt ve üst yüzeylerden çıkan toplam akı :

DS 2

DS DS  

 

S yüzeyindeki toplam yük :

S

Gauss yasasından :

z

S yüzeyi Gauss yüzeyi

D

D

Yük dağılımı _S olan sonsuz levha

36

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Yarıçapı a, düzgün yük dağılımı _v=_o C/m³ olan bir kürenin içinde ve dışındaki alanları (D ve E) Gauss yasasından yararlanarak bulalım.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Küre içerisindeki alanı bulmak için, kürenin

içinde şekildeki gibi r<a olan bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :

r

2

4 D

DS 

  

r yarıçaplı bu kürenin içindeki toplam yük :

3

Gauss yasasından :

(C/m²) (V/m)

Gauss yüzeyi

r

37

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan kürenin alanı

Küre dışındaki alanı bulmak için, kürenin dışında şekildeki gibi r>a olan bir küresel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

r

2

4 D

DS 

  

a yarıçaplı kürenin içindeki toplam yük :

3

Gauss yüzeyi

(r  a)

38

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Örnek 1: veriliyor. (1,/4,3) noktasındaki yük yoğunluğunu ve yarıçapı 1m olan -2  z  2 aralığındaki silindirin kapsadığı toplam yükü hesaplayınız.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

2 z

2

a ˆ C/m cos

z

D    

39

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Gauss Yasası ve Uygulamaları

Örnek 2: (x,y,z) eksen takımında şekildeki gibi yerleştirilmiş küpün her bir kenarı 2 m dir. Yerdeğiştirme alanının aşağıdaki değişimleri için

küpün içindeki toplam elektrik yükünü bulunuz.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

y x

z

0

2 z

y

x

( y 4 ) a ˆ ( z 5 ) a ˆ C/m a ˆ

) 3 x

(

D       

a)

2 z

3 3 3 y

2 2 2

x

x y z a ˆ x y z a ˆ C/m a ˆ

xyz

D    

b)

40

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Elektrik devrelerinde gerilim ve akımlarla çalışılır.

Elektrik devresinde A ve B gibi iki nokta arasındaki V_AB gerilimi

(potansiyel farkı), bu iki nokta arasında bir birim yükü hareket ettirmek için gerekli enerji miktarı veya potansiyel enerjiyi gösterir.

Bir elektrik devresi problemi çözülürken devrede var olan elektrik alanları genellikle dikkate alınmaz. Bununla birlikte, bir direnç veya bir kondansatör uçları arasındaki potansiyel farkının (gerilimin) kaynağı yine bu uçlar arasındaki bir elektrik alanının varlığıdır.

Bu bölümde elektrik alanı E ile elektriksel potansiyel V arasındaki bağlantı incelenecektir.

Bu amaçla, önce, bir noktasal yükün düzgün bir E alanında alana karşı yönde bir noktadan başka bir noktaya hareketi ele alınacaktır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

41

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Şekildeki gibi –y yönündeki düzgün bir E alanında pozitif bir noktasal Q yükü bulunsun. Bu yüke etkiyen elektriksel kuvvet –y yönünde (alan yönünde) olacaktır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

+Q

y

x d

y E

E E

y

e

Q E QE a ˆ

F     

Yük pozitif y-ekseni boyunca (F_e

kuvvetine karşı) hareket ettirilirse, bu hareketi enerji harcanması karşılığında sağlayacak F_e ye karşı koyan bir F_d dış kuvvete ihtiyaç vardır.

Q yükünü sabit hızla hareket ettirmek için yük üzerine etkiyen net kuvvetin sıfır olması, yani,

0 F

F 

_d

 

_e



42

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Herhangi bir nesnenin bir dış kuvvetin etkisi altında bir diferansiyel

yerdeğiştirme uzaklığında hareket ettirilmesiyle yapılan iş veya harcanan enerji,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

E

Q yükü y-ekseni boyunca dy kadar hareket ettirilirse,

l

Birim yük başına diferansiyel elektriksel potansiyel enerji (dW), diferansiyel elektriksel potansiyel (dV) olarak adlandırılır.

l

43

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

Şekilde gösterilen A ve B gibi herhangi iki nokta arasında bir Q yükünün A dan B ye mevcut alana karşı hareketle taşınması sırasında yapılan

toplam iş veya gerekli potansiyel enerji,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

 ^

Bu noktalar arasındaki potansiyel farkı, (J)

44

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim Burada;

 V_AB belirlenirken A başlangıç, B bitiş noktası olarak alınır.

 V_AB<0 ise, Q yükünün A dan B ye hareketinde potansiyel enerjide bir kayıp vardır ve bu da işin alan tarafından yapıldığını gösterir.

 V_AB>0 ise, potansiyel enerjide bir kazanç vardır, işi dış kuvvet yapmıştır.

 V_AB seçilen yoldan bağımsızdır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

45

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

2 r o

a ˆ r

4 E Q

 



Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :

Şekildeki gibi (x,y,z) eksen takımının orjinine yerleştirilmiş bir noktasal Q yükünün yarattığı alandaki mutlak potansiyeli belirleyelim.

Bu yükün elektrik alanı,

A B

B

A B

A

AB

E d l dV V V

V    ^  ^    

a ˆ

r

dr l

d  

r_A r_B

Q

46

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :

  

V_B B noktasındaki, V_A ise A noktasındaki potansiyel (veya mutlak

potansiyel) olarak tanımlanır. Böylece, V_AB potansiyel farkı yani gerilim, A referans noktasına göre B noktasındaki potansiyel olur.

47

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Bir noktasal yükün elektrik alanında potansiyel farkı :

B o A

r B o r AB

B

4 r

Q r

1 r

lim 1 4

V Q lim V

A

A

 ^ _ ^ 

 



 





 

B noktasındaki mutlak potansiyel r_A sonsuza yaklaştırılarak (V_A=0) bulunur.

Orjine yerleşmiş bir noktasal yükün mutlak potansiyeli r_B=r alınarak aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.

r 4

V Q



o



^(V)

48

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

 Noktasal yükün potansiyel dağılımı elektrik alanınki gibi küresel simetriye sahiptir.

 Bir noktasal yükün alanı 1/r² ile değişirken noktasal yükün potansiyeli 1/r olarak değişir.

 Potansiyelin sabit olduğu yüzeyler (veya çizgiler) eşpotansiyel

yüzeyler (veya çizgiler) olarak tanımlanır. Noktasal yük için eşpotansiyel yüzeyler yük etrafında iç içe kürelerdir.

 Eşpotansiyel yüzeyler (çizgiler) her zaman elektrik alanına diktirler.

Bir yük elektrik alanına dik doğrultuda hareket ettirilirse yapılan iş sıfır olur.

Eşpotansiyel çizgi üzerindeki her noktada potansiyel eşit olduğundan, dV=0 olur.

l d E

0 l

d E

dV    













49

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Q noktasal yükü orjin yerine konum vektörü r olan bir noktaya yerleşmiş ise, bu durumda potansiyel;

N adet noktasal yük için, elektrik alanlarına uygulanan toplamsallık ilkesi potansiyellere de uygulanarak ;

r

50

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Sürekli yük dağılımları için;

(Çizgisel yük)

 _{ } ^



L

L

o

r r

l d 4

V 1   



(Yüzeysel yük)

 _{ } ^



S

S

o

r r

S d 4

V 1   



(Hacimsel yük)

 _{ } ^



v

v

o

r r

v d 4

V 1   



51

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1: Şekildeki kare yapının kenarları 1 m’dir. Karenin merkezindeki (O) potansiyeli bulunuz.

_L=10 pC/m

Q₁=1 pC

Q₂=-10 pC

y

x

_L

O

52

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 2: Yarıçapı a=10 cm olan iletken bir yarım küre kabuğunun

yüzeyinde düzgün bir yük dağılımı vardır. Yüzeydeki toplam yük 0,1 nC olduğuna göre, yarım kürenin merkezindeki elektrik alanını ve

potansiyeli bulunuz.

53

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 3: -4 C ve 5 C iki noktasal yük sırasıyla (2,-1,3) ve (0,4,-2) noktalarına konmuştur. Sonsuzdaki potansiyeli sıfır varsayarak (1,0,1) noktasındaki potansiyeli bulunuz.

54

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektriksel Potansiyel ve Gerilim

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 4: Q₁=10 pC ve Q₂=-20 pC noktasal yükleri arasındaki uzaklık 40 cm dir. İki yükü birleştiren doğrunun orta noktasında alan ve

potansiyel ne olur?

55

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Şekilde A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı alınan yoldan bağımsızdır. Bu nedenle;

Bu sonuç, şekildeki gibi kapalı bir yol boyunca E nin çizgi integralinin sıfır olduğunu gösterir. Fiziksel olarak bu, bir elektrostatik alanda bir yükün kapalı bir yol boyunca hareketi sonucu net iş yapılmadığı

anlamına gelir.

AB

BA

V

V  

0 l

d E V

V

_BA



_AB

  ^  ^  0

l d

E  

 ^{ }

56

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Stokes teoremi uygulanırsa;

olur. Yani, elektrik alanının rotasyoneli sıfır ise bu alan bir statik alandır ve bir potansiyelden türetilebilir.

0

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

57

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

İki ifade karşılaştırılırsa;

V E   

x E

_x

V



 

 y

E

_y

V



 

 z

E

_z

V



 



Sonuçta;

elde edilir. Elektrik alanı V nin gradyanıdır. (-) işareti, elektrik alanının yönünün V nin artış yönüne ters olduğunu gösterir. Elektrik alanı V nin yüksek seviyelerinden alçak seviyelerine doğru yönelir.

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

58

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 1: V/m veriliyor. Bu alanın skaler

potansiyelden türetilebileceğini gösteriniz. ^y

3 x

2yaˆ 2x aˆ x

6

E  

59

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 2: V/m olan bir dış elektrik alanı içinde 1 µC luk bir yükün orjinden (3,1,4) noktasına taşınması sonucunda iş yapılmadığını gösteriniz

z y

x

3 a ˆ 6 a ˆ a ˆ

7

E    

60

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 3: Serbest uzayda V=10(+1)z²cos veriliyor.

a) Eşpotansiyel yüzeyi V=20 V olan iletken bir yüzey tanımlansın.

İletken yüzeyin denklemini bulunuz.

b) İletken yüzey üzerinde =0,2 ve z=1,5 olan noktada  ve elektrik alanını bulunuz.

c) O noktadaki _S i bulunuz.

61

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektrik Alanının Potansiyelden Türetilmesi :

Örnek 4: V/m veriliyor. 1 nC luk yükü (0,0,0) noktasından (1,1,0) noktasına taşımak için gerekli enerjiyi aşağıdaki

yollar için belirleyiniz.

a) (0,0,0)(1,0,0)(1,1,0) b) y=x c) y=x² )

aˆ y 2 aˆ

y ( e

E  ^x  ² _x  _y

62

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektriksel Dipol :

Aralarındaki d uzaklığı çok küçük olan eşit genlikli ve zıt yüklü iki noktasal yükün oluşturduğu sisteme dipol denir. Yüklerin bulunduğu eksen dipol eksenidir.

Şekilde P noktasındaki potansiyel;

 

63

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektriksel Dipol :

d

r 

_ise,

r

₂

 r

₁

 dcos 

_ve

r

₂

r

₁

 r

²

yaklaşıklıkları yapılırsa;

2 o

r 4

cos V Qd



 

a ˆ

r

d dcos   



(V) olarak elde edilir.

a ˆ

z

d d   d

Q p  



: -Q dan +Q ya yönelen dipol momenti (Cm)

2 o

r

r 4

a ˆ V p



 



64

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektriksel Dipol :

Dipol momenti orjin yerine bir r noktasında ise ;

P noktasındaki elektrik alanı ;

3

65

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektriksel Dipol :

 ^{ }

_



 r ^{2 cos a ˆ sin a ˆ}

Belgede 3.Statik Elektrik Alanlar (sayfa 21-65)