r 2 cos a ˆ sin a ˆ4 - 3.Statik Elektrik Alanlar

 r ² ^cos ^a ^ˆ ^sin ^a ^ˆ 4

E p

₃ _r



 

Qd p

p   

Bir dipolün elektrik alanının ve potansiyelinin değişimi :

alan çizgisi

eşpotansiyel yüzey

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1: Dipol momentleri nC.m ve nC.m olan iki dipol (0,0,-2) ve (0,0,3) noktalarına yerleştirilmiştir. Orjindeki potansiyeli

bulunuz.

aˆ z

 5 Elektriksel Dipol :

aˆz

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 2: pC.m momentli bir elektriksel dipol orjine

yerleştirilmiştir. Aşağıdaki noktalarda potansiyeli ve elektrik alanını bulunuz. a) (0,0,10) b) (1,/3,/2)

aˆ z

100

Elektriksel Dipol :

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

Ayrık yüklerden oluşan bir sistemde mevcut olan enerjiyi belirlemek için, ilk olarak bu yüklerin bir araya getirilmesi için gerekli iş miktarı hesaplanmalıdır. Bu amaçla, üç noktasal Q₁, Q₂ ve Q₃ yükleri şekilde gölgeli olarak gösterilen başlangıçta boş bir uzayda konumlandırılmak istensin.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Uzay başlangıçta yüksüz olduğundan, Q₁ in sonsuzdan P₁ e taşınmasında iş yapılmaz (W=0 ). Q₂ nin sonsuzdan P₂ ye taşınmasında yapılan iş, Q₁ in P₂ deki V₂₁ potansiyeli ile Q₂ nin çarpımına eşittir.

Benzer şekilde, Q₃ ün P₃ de konumlandırılmasında yapılan iş Q₃(V₃₂+V₃₁) olur.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

Böylece, üç yükün konumlandırılmasında yapılan toplam iş;

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

) V V

( Q V

Q 0

W W

W



₁



₂



₃

 

₂ ₂₁



₃ ₃₁



₃₂

Yükler ters sırada konumlandırılmışsa;

) V V

( Q V

Q 0

W W

W



₃



₂



₁

 

₂ ₂₃



₁ ₁₂



₁₃

Bu ifadede;

V₂₃ : Q₃ yükünün P₂ noktasında oluşturduğu potansiyel V₁₂ : Q₂ yükünün P₁ noktasında oluşturduğu potansiyel V₁₃ : Q₃ yükünün P₁ noktasında oluşturduğu potansiyel

(1)

(2)

(1) ve (2) denklemleri toplanırsa;

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Sistemde N adet noktasal yük varsa ;

V_k : Q_knoktasında diğer bütün yüklerin oluşturduğu potansiyel 1 eV = 1,6.10^-19 J

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1: -1 C, 2 C ve 3 C’luk üç noktasal yükü bir kenarı 10 cm olan eşkenar üçgenin köşelerine yerleştirmek için gerekli enerjiyi bulun.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Ayrık yük durumunda elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 2: -1 nC, 4 nC ve 3 nC’luk üç noktasal yük sırasıyla (0,0,0),

(0,0,1) ve (1,0,0) noktalarına yerleştirilmiştir. Sistemdeki enerjiyi bulun.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Sürekli yük dağılımı durumunda elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük dağılımları için;

(Çizgisel yük)





L L

Vdl

2 W 1 

(Yüzeysel yük)





S S

VdS

2 W 1 

(Hacimsel yük)





v v

Vdv

2 W 1 

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Hacimsel yük dağılımı için enerji ifadesinde kullanarak

D

yazılabilir.

 ^ ^

özdeşliğinden

)

enerji ifadesinde kullanılırsa,



Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Denklemin sağ yanındaki ilk terime Diverjans teoremi uygulanırsa,

R yarıçaplı çok büyük bir küre için yüzey integrali, R iken sıfıra gider. Böylece,

koyularak,

 ^

elde edilir.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği



 E D  

 ^  ^ 

2 v

E dv

2 dv 1

2 D

W 1 



^(J)

Elektrostatik enerji yoğunluğu,







 D E

2 1 dv

w

dW

 

E

2 w  1 

(J/m³)

^ 

v e

w dv

W

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

 

Örnek 1: Küresel simetrili bir yük dağılımı

olarak veriliyor. V potansiyelini ve r<a bölgesinde depolanan enerjiyi belirleyiniz.

D ve E alanları daha önce Gauss yasasından bulunmuştu.

a) r > a için ;

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1:



olarak bulunur.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1:

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1: c) r < a bölgesinde depolanan enerji;



Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 2: nC/m² veriliyor. (0  x, y, z  1) bölgesinde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız. D  yzaˆ^x  xzaˆ ^y  xyaˆ^z

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet

Alan büyüklükleri cinsinden elektrostatik enerji :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 3: Yalıtkan bir kürenin yarıçapı a, yalıtkanlık katsayısı  dur. Küre boşluktadır ve içinde _v=_oa/r olan bir yük dağılımı bulunmaktadır.

Sistemde depolanan elektriksel enerjiyi bulunuz.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet Elektrostatik kuvvet :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Birbirinden ayrı hem yüklü iletken hem de dielektrik cisimlerden oluşan bir izole sistemde, elektriksel kuvvetler cisimlerden birinin yerini bir dl diferansiyel uzaklığı (hayali yer değiştirme) kadar değiştirsin. Bu

durumda sistem tarafından yapılan mekanik iş,

l

Sabit yük koşulu altında cisme etkiyen toplam elektriksel kuvvet Bir dış enerji kaynağı olmayan bu izole sistemde, mekanik iş depolanan elektrostatik enerjinin harcanmasıyla yapılmış olmalıdır.

l

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Elektrostatik Enerji ve Kuvvet Elektrostatik kuvvet :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

(a) ve (b) karşılaştırılırsa,

Yani, elektriksel kuvvet enerjinin gradyanıdır.

Üç boyutlu uzayda üç eşitlikten oluşur. Kartezyen koordinatlarda x-yönündeki kuvvet,

e (N)

W

F   

x ) W

F

(

_e _x ^e



 

 

olarak yazılabilir.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları Malzemelerin elektriksel özellikleri :

 Bir malzeme ortamının elektromanyetik parametreleri, elektriksel geçirgenliği , manyetik geçirgenliği  ve iletkenliği  dır.

 Bir malzemenin parametreleri noktadan noktaya değişmiyorsa o malzemenin homojen, yönden bağımsız iseler bu durumda izotropik olduğu söylenir.

 Bazı kristaller dışında çoğu malzemeler izotropik özellikler gösterir.

 Bu bölümde tüm malzemelerin homojen ve izotropik olduğu varsayılacak ve yalnızca  ve  parametreleriyle ilgilenilecektir.

 Bir malzemenin iletkenliği, bir dış alanın etkisi altında malzemeden elektronların ne kolaylıkta ilerleyebildiğin bir ölçüsüdür.

 Malzemeler, iletkenliklerinin büyüklüklerine göre iletkenler (metaller) veya dielektrikler (yalıtkanlar) olarak sınıflandırılır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları Malzemelerin elektriksel özellikleri :

  =0 olan bir malzeme mükemmel bir dielektriktir.  = olan bir malzeme ise mükemmel bir iletkendir.

 Çoğu metallerin iletkenliği 10⁶ ila 10⁷ S/m aralığında, iyi yalıtkanların ise 10^-10ila 10^-17 S/m aralığındadır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

İletken İletkenlik,  (S/m) Yalıtkan İletkenlik,  (S/m)

Gümüş 6,2.10⁷ Cam 10^-12

Bakır 5,8.10⁷ Parafin 10^-15

Altın 4,1.10⁷ Mika 10^-15

Alüminyum 3,5.10⁷ Kuartz 10^-17

Bazı malzemelerin 20^oC deki iletkenliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :

İletkenler, içlerinde çok sayıda serbest elektron bulunan maddelerdir.

Normal koşullarda bu elektronlar iletkenin yüzeyini terk edemezler ve iletkenin içinde yük bulunmaz. Bu nedenle iletkenin içinde alan sıfır olur ve iletkenin her noktası eşit potansiyelde bulunur. İletken bir elektrik

alanı içine sokulduğunda, bu dış alanın etkisiyle, serbest yükler hareket etmeye başlar. Artı yükler alan yönünde, eksi yükler ise alan karşı yönde hareket ederler. Ancak, bu hareket sonsuza dek sürmez. İletkenin içinde, yüklerin hareketi sonucu bir elektrik alanı oluşur. Bu alan, dış alana karşı koyacak biçimdedir ve dış alana tam eşit olduğunda iletken içindeki

yüklerin hareketi durur. Bu, denge durumudur. Bu durumda, iletkenin içindeki alan sıfır olur ve tüm yükler iletkenin yüzeyinde toplanırlar.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İletkenlerin elektrik alanı içindeki davranışı :

Bir iletken içinde elektrik alanının sıfır olmasının önemli bir uygulaması elektrostatik ekranlama’ dır. Şekildeki gibi B iletkenini çevreleyen A

iletkeni sıfır potansiyelde tutulursa; B nin A tarafından, dışarıdaki C

iletkeni gibi başka elektrik sistemlerinden, elektriksel olarak ekranlanmış olduğu söylenir. Benzer şekilde, A iletkeni dışarıdaki C iletkenini de B iletkenine karşı ekranlamaktadır. Sonuçta, A iletkeni bir ekran olarak görev yapar ve ekran içinde ve dışındaki elektriksel koşullar birbirinden tamamen bağımsız olur.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Şekildeki gibi bir mükemmel iletken () ile bir yalıtkan ortamın ayırma yüzeyinde alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.

Mükemmel iletken içinde E ve D alanları sıfırdır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

İletken (E=0) İletken (E=0)

Yalıtkan Yalıtkan

_S _S

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları : Şekil (a)’daki kapalı abcda yolu boyunca,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

0

Şekil (b)’deki silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,

 ^ ^

İletken yüzeyinde alanların dik bileşenleri :

0 D



Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Bir iletkenle bir yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Örnek : y0 bölgesi mükemmel bir iletken, y0 bölgesi ise bir yalıtkan (_r=2) ortamdır. İletken üzerinde yüzey yük yoğunluğu 2 nC/m²

olduğuna göre; (a) A(3,-2,2) (b) B(-4,1,5) noktalarında E ve D alanlarını bulunuz.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

İletken bir ortamda atomun dış halkasındaki elektronlar atomu kolaylıkla terk edebilirler ve başka bir atoma geçebilirler.

Yalıtkanlarda ise bir dış alan uygulandığında, yükler atomu kolaylıkla terk edemezler.

Çünkü, yalıtkanlarda serbest yük yoktur ve yükler atoma sıkı sıkıya bağlıdırlar.

Bununla birlikte, bir dış alan içine sokulan yalıtkan, bu alanda değişiklik yaratır.

Normal koşularda, yani dış alan uygulanmadan, yalıtkan içinde rasgele yönelmiş birçok dipol (iki-kutuplu) bulunur.

Atom ölçeğinden daha büyük uzaklıklarda bunların yarattığı alan sıfırdır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

Şekildeki gibi, eğer yalıtkan bir E_d dış alanı içine sokulursa, tüm dipoller alan yönünde yönelirler. Bu olaya polarizasyon (kutuplaşma) denir. Alan içine sokulan böyle bir yalıtkandaki dipoller bir ikincil alan

(polarizasyon alanı) yaratırlar. Sonuç olarak, bir dış alan içine sokulan tüm yalıtkanların çok sayıda dipole eşdeğer olduğu söylenebilir.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Pozitif yüzey yükü

Negatif yüzey yükü

E_d E_d

Kutuplanmış molekül

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

Dipollerin etkisi, birim hacimdeki dipol momenti ile tanımlanabilir.

Dipol momenti p ise, bunun v hacmine bölümü,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

v P  p

birim hacimdeki dipol momentini verir. Buna polarizasyon alanı denir.

P, eksi yüklerden artı yüklere doğru yönelen bir vektördür. Önceki sayfada verilen yalıtkanın uzunluğu L, yüzey alanı S ise, hacmi v=SL olacağından, polarizasyon alanı,

SP P

S Q SL

L Q v

P  p    

(C/m²)

olarak bulunur. _SP, polarizasyon sonucu yalıtkan tabakanın yüzeyinde beliren yük yoğunluğudur.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları : Böylece, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

P E

D 

 



 

olur. Homojen ve izotropik bir yalıtkan ortamda P ile E orantılıdır.

_e yalıtkanın elektriksel hassasiyeti olarak tanımlanır ve boyutsuz bir büyüklüktür. P için verilen ifade yerdeğiştirme alanı ifadesinde yerine koyulursa,

E P 

_e _o









E ) 1

(

D 

_o _e





 



elde edilir.

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

E E

D 

_o _r

 



 



olarak tanımlanırsa, yalıtkan içindeki yerdeğiştirme alanı

olur. _r bağıl yalıtkanlık katsayısı adını alır. Boşlukta _e=0 (polarizasyon alanı P=0) ve _r=1 dir. Bazı yalıtkanlar için _r tabloda verilmiştir.

1  

 

Ortam _r Ortam _r

Boşluk 1 Pleksiglas 3,4

Hava 1,006 Cam 6

Parafin 2,1 Mika 6

Kauçuk 3 Damıtık su 81

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 1: _r=4 olan bir yalıtkan tabaka düzgün bir elektrik alanı içine yerleştirilmiştir. Tabaka yüzeyinde _SP=0,5 C/m² olduğuna göre

tabakadaki P, D ve E alanlarını bulunuz

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 2: Bir dielektrik malzeme, her birinin dipol momenti 1,8.10^-27 Cm olan 2.10¹⁹ polar molekül/m³ içermektedir. Tüm dipollerin V/m elektrik alanı yönünde dizildiğini varsayarak P alanını ve _r yi bulunuz.

x 5aˆ 10 E 

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

Yalıtkanlar ve elektrik alanı içindeki davranışları :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek 3: Lineer, homojen ve izotropik dielektrik içindeki elektrik alan şiddeti V/m, polarizasyonun genliği ise 235,2 pC/m² dir.

ve alanlarını bulunuz.^x ^y ^z aˆ

6 aˆ

2 aˆ

3  

P

D

100

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Şekildeki gibi iki mükemmel yalıtkan (0) ortamın ayırma yüzeyinde alanların arayüze teğet ve dik bileşenleri bulunacaktır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

yalıtkan ortam 1

yalıtkan ortam 2

aˆn

h h

w

101

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Şekildeki kapalı abcda yolu boyunca,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

0

Silindirik yüzeye Gauss yasası uygulanırsa,

 ^ ^

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

102

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Arayüzde alanların dik bileşenleri : Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Böylece, her bir yalıtkan ortamdaki elektrik alanı :

103

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Ortamlardan birindeki alanın doğrultusu ve her iki ortamın parametreleri kullanılarak, diğer ortamdaki alanın doğrultusu belirlenebilir. Şekilden, Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

104

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Örnek 1: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi

ayırmaktadır. z≥0 için _r1=4, z≤0 için _r2=3 verilmektedir. 1.ortamda kV/m düzgün elektrik alanı bulunduğuna göre;

a) 2.ortamdaki E₂ alanını bulunuz.

b) E₁ ve E₂ alanlarının arayüzle yaptığı açıları bulunuz.

z y

1 5aˆ 2aˆ 3aˆ

E   

105

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Malzeme Uzayında Elektrik Alanları

İki yalıtkanın ayırma yüzeyinde sınır koşulları :

Örnek 2: İki homojen, izotropik yalıtkan ortamı z=0 düzlemi

ayırmaktadır. z≥0 için _r1=2, z≤0 için _r2=7,5 verilmektedir. 1.ortamda nC/m² olan düzgün alan bulunduğuna göre;

a) 1.ortamdaki E₁ ve 2. ortamdaki P₂ alanını bulunuz.

b) E₁ ve E₂ alanlarının arayüz normaliyle yaptığı açıları bulunuz.

c) Her iki ortamdaki enerji yoğunluklarını bulunuz.

z y

1 20aˆ 60aˆ 30aˆ

D   

106

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Bir kondansatör, bir elektrik alanında enerji depolayan, bir enerji

depolama düzeneğidir. Kondansatör, aralarında yalıtkan bir malzeme bulunan iki iletkenden oluşur. Kondansatör iletkenlerinin başlangıçta yüksüz (nötr) olduğu varsayılarak iletkenleri arasına şekildeki gibi bir V gerilimi uygulanırsa, bir iletkende +Q ve karşı iletkende –Q şeklinde bir yük ayrışması olur.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Toplam yük

107

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Bu yük ayrışması, iki iletken arasındaki yalıtkan ortamda kondansatörde enerjinin depolanmasını sağlayan bir elektrik alanı yaratır. Her iki

iletkende depolanan yük miktarı iletkenler arasına uygulanan gerilimle orantılıdır. Her iki iletkendeki toplam yük miktarının iletkenler

arasındaki gerilime oranı kondansatörün kapasitesini (sığasını) tanımlar.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

V

C  Q

^{(Farad, F)}

Bir kondansatörün kapasitesi, yalnızca iletkenlerin geometrisi

(iletkenlerin şekli, aralarındaki mesafe, v.s) ve aralarındaki yalıtkan ortamın dielektrik sabitine () bağlıdır. Kapasitenin tanımına göre, bir

kondansatör iletkeni üzerindeki yük kondansatör gerilimiyle aynı oranda artar. Örneğin, kondansatör gerilimi iki katına çıkarılırsa yük de iki

katına çıkar. Dolayısıyla C kapasitesi sabit kalır.

108

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Yarıçapı a olan yalıtılmış (izole) bir iletken küre yüzeyindeki toplam yük Q ise, bu kürenin kapasitesi

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği





 Q / 4 a Q

V C Q



olarak elde edilir. Burada V kürenin sonsuza göre potansiyelidir.

Dolayısıyla C de kürenin sonsuza göre kapasitesi olur.

a 4

C  

^(F)

109

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel levhalı kondansatörler :

Sıklıkla karşılaşılan bir kondansatör geometrisi paralel levhalı

kondansatördür. Şekilde gösterildiği gibi, aralarında küçük bir d uzaklığı bulunan S yüzey alanlı iki büyük düz iletken levhadan oluşur. Levhalar arasında dielektrik sabiti  olan homojen bir yalıtkan malzeme vardır.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Levha yüzey alanı = S Üst levhadaki toplam yük = +Q

Alt levhadaki toplam yük = -Q

Dielektrik sabiti = 

110

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel levhalı kondansatörler :

Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde yük ve alan karakteristikleri ideal paralel levhalı kondansatör modeli kullanılarak yaklaştırılabilir. Bu modelde; levhalardaki yüzey yük yoğunluklarının düzgün olduğu

(_S=±Q/S), levhalar arasındaki elektrik alanın düzgün olduğu (E=V/d) ve dışarıda elektrik alanının sıfır olduğu kabul edilir.

Gerçek bir paralel levhalı kondansatörde ise, yük yoğunluğu levhaların kenarlarında arttığı için dağılım düzgün değildir. İletkenin kenarlarındaki bu yük fazlalığı, şekilde gösterildiği gibi, elektrik alan saçaklanması

(düzgün olmayan elektrik alanı) olarak bilinen bir etkiye neden olur.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

elektrik alan saçaklanması

111

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel levhalı kondansatörler :

Kondansatör levhalarının yüzeyleri büyük ve birbirlerine yakın oldukları için levhaların kenarlarına yakın yerlerde elektrik alanındaki saçaklanma miktarı küçüktür. Bu nedenle, ideal paralel levhalı kondansatör modeli çoğu kondansatörler için doğrudur.

Paralel düzlem levhalar arasındaki elektrik alanı,

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği





E 

olarak daha önce bulunmuştu. E=V/d ve _S=Q/S olduğuna göre, paralel levhalı kondansatörün kapasitesi :





 Ed

ES V

S V

C Q 



d C _  S

(F)

112

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel levhalı kondansatörler :

Kondansatörde depolanan toplam enerji, kondansatör elektrik alanıyla ilişkili enerji yoğunluğunun integralinden bulunabilir.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

dv

İdeal paralel levhalı kondansatörde, levhalar arasındaki elektrik alanı düzgün olduğundan enerji yoğunluğu da düzgündür.

(J)

kondansatör için geçerlidir.

113

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Örnek : Şekildeki her bir kondansatörde depolanan elektrik enerjisini hesaplayınız.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

3 F

114

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler : A. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine dik ise;

Şekilde, iki paralel düzlem levha arasında dielektrik sabitleri ₁ ve ₂ olan iki yalıtkandan oluşan kondansatör ve eşdeğeri verilmiştir. İki yalıtkanı ayıran arayüzde D₁=D₂ dir.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği S

Her bir kondansatörün kapasitesi :

Eşdeğer kapasite :

115

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler : B. Ayırma yüzeyi alan çizgilerine paralel ise;

İki yalıtkanı ayıran arayüzde E₁=E₂ dir.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Her bir kondansatörün kapasitesi :

d C

₁

_ 

S

d C

₂

_ 

S

Eşdeğer kapasite :

d

S C S

C

C 

₁



₂

 

¹ ¹

 

² ²



₁ ₂

S₁ S₂

C₁ C₂

Levhaların yüzey alanları S₁=S₂=S/2 ise :

d 2

) (

C S 

 



116

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

İki yalıtkanlı paralel levhalı kondansatörler :

Örnek : Şekildeki paralel levhalı kondansatörün levhaları arasına

uygulanan gerilim V=100 V, d=1 cm, ₁=_o (hava) ve ₂=3_odır. Her iki bölgedeki E, D ve P alanlarını bulunuz.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği



117

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :

Şekil-(a)’da gösterildiği gibi bir koaksiyel kondansatör; aralarında bir yalıtkan bulunan (), içtekinin yarıçapı a, dıştakinin yarıçapı b ve

uzunlukları L olan iç içe iki silindirik iletkenden oluşur.

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

(a) (b)

_L

118

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Çizgisel yük yoğunluğu _L olan iletkenden bir  uzaklıktaki (şekil-(b)) elektrik alanı,





2 E 

^L olarak daha önce hesaplanmıştı.

Bu bağıntı kullanılarak, iletkenler arasındaki V gerilimi



olduğuna göre;

119

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

L uzunluğundaki koaksiyel kondansatörün kapasitesi,

Birim uzunluğun kapasitesi ise,





 Q ln( b / a ) / 2 L Q

V C Q



(F) olarak elde edilir.

) a / b ln(

L C 2 



) a / b ln(

2 L

C C 



 

_(F/m)

120

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Koaksiyel (Eş-eksenli) kondansatör :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Örnek : Koaksiyel kablonun iletkenleri arasındaki gerilimin belirli bir değeri için iç iletkenin yüzeyindeki alanı minimum yapan a yarıçapı ne olmalıdır ? Bu durumda birim uzunluğun kapasitesi nedir? (_r=1)

=a için

121

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel iletkenli hattın kapasitesi :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Şekildeki gibi; yarıçapları a, aralarındaki uzaklık d ve düzgün çizgisel yük yoğunlukları _L olan iki iletkenin merkezlerini birleştiren doğru üzerinde bir M noktasındaki toplam elektrik alanı,



 





 a ˆ

) d

( a ˆ 2

E 2 E

E

^L ^L

 





 

_



_



2a 2a

M E_

E



_L -_L

122

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Paralel iletkenli hattın kapasitesi :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

İletkenler arasındaki gerilim,

 



olarak bulunur.

Birim uzunluğun kapasitesi :

 ⁽ ^d ^a ⁾ ^/ ^a 

İletkenlerin yarıçapı aralarındaki uzaklığa göre çok küçük ise (d>>a),

)

123

Elektromanyetik Alanlar

3.Statik Elektrik Alanlar

Kondansatörler

Küresel kondansatörün kapasitesi :

KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği

Şekildeki gibi a ve b yarıçaplı iç içe yerleştirilmiş eş-merkezli iki iletken

Belgede 3.Statik Elektrik Alanlar (sayfa 65-135)

r 2 cos a ˆ sin a ˆ4