Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 15 / (3)E¼ger Φ= 1+p 5 2 =1.618

(1)

x_n+1 =x_n+x_{n 1}

ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬bir fark denklemi olup,x_n =λⁿ formunda bir çözüm arayarak, denklemin genel çözümünü bulabiliriz:

xn =λⁿ yazarsak

λ^{n 1}(λ² λ 1) =0 olup, buradan

λ1 = ¹+p 5

2 , λ2 = ¹ p5 2

çözümlerini elde ederiz. Denklem (5) lineer oldu¼gundan dolay¬, x_n =c₁λⁿ₁+c₂λⁿ₂

genel çözüm olur.

(2)

NÜFUS MODELLER·I Ya¸sa dayal¬model

Fibonacci dizisini x₀ =0ile geni¸sleterek, x₀ =0vex₁ =1ko¸sullar¬n¬

kullan¬rsak;

c1+c2 = 0 c₁λ1+c₂λ2 = 0 olup, buradan c₁ =1/p

5 vec₂ = 1/p

5 buluruz. Böylece

xn = p¹ 5

"

1+p 5 2

!n

1 p 5 2

!n#

elde ederiz.

Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 15 /

(3)

E¼ger

Φ= ¹+p 5

2 =1.618... ve ϕ= ¹ p5

2 =_{Φ 1}=0.618...

dersek, bu durumda λ1= _{Φ, λ}2 = ϕdir. Ayr¬caΦ² Φ 1=0 oldu¼gundan Φ² Φ=1 veyaΦ 1=_1/Φ= ϕ olup

x_n = p¹

5 Φⁿ+ ( 1)ⁿ⁺¹ϕⁿ

= p¹

5 Φⁿ+ ( 1)ⁿ⁺¹_Φ ⁿ

= p¹

5Φⁿ 1+ ( 1)ⁿ⁺¹Φ ²ⁿ (6) bulunur. Buradan, n!∞ içinx_n !Φⁿ/p

5 vex_n₊₁/xn !Φ oldu¼gu görülmektedir.

(4)

Alt¬n oran

Φ= ¹⁺₂^p⁵ =1.618...say¬s¬na alt¬n oran denir. x >y olmak üzere, e¼ger x+y

x = ^x

y (7)

e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa (yani iki say¬n¬n toplam¬n¬n büyük say¬ya oran¬, büyük say¬n¬n küçük say¬ya oran¬na e¸sit ise) x vey say¬lar¬alt¬n orana sahiptir denir. (7) e¸sitli¼ginden

x+y

x = ^x

y 1+^y

x = ^x y 1+ ¹

Φ = Φ

olur. Φsay¬s¬, bazen, irrasyonel say¬lar¬n en irrasyoneli olarak da adland¬r¬l¬r.

(5)

Neden bu adland¬rman¬n yap¬ld¬¼g¬n¬anlamak için, sürekli kesirlerden olu¸san rasyonel say¬larla irrasyonel say¬lara yakla¸s¬m veren a¸sa¼g¬daki algoritmay¬

göz önüne alal¬m: n_i ler pozitif tamsay¬lar olsunlar. Pozitifx irrasyonel say¬s¬na yakla¸s¬m yapmak için a¸sa¼g¬daki e¸sitsizlikleri gerçekleyen en büyük ni leri seçelim:

x > a1 =n1

x < a2 =n1+_n¹

2

x > a3 =n₁+ ¹

n2+ 1 n₃ x < a4 =n₁+ ¹

n2+ 1 n3+_n¹ .. 4

.

(6)

n_i leri hesaplayan basit bir algoritma mevcuttur. ·Ilk olarak a1 =n1 say¬s¬x in tamsay¬k¬sm¬d¬r. x a1 kalan¬hesaplan¬p, bunun tersi olan 1/(x a1) al¬nabilir. Bu tersin tamsay¬k¬sm¬n2 dir. Tekrar 1/(x a1) n2 kalan¬

hesaplan¬p, tersi al¬nabilir. Bu tersin tam k¬sm¬n3 dür. Bu algoritmay¬

kullanarak π =3.141592654...nin daha iyi ard¬¸s¬k rasyonel yakla¸s¬mlar¬n¬

bulabiliriz:

a lar kalan 1/kalan

a1=3 0.141592654 7.062513285

a2=3+¹

7 = ²²₇ 0.062513285 15.99659976 a3=3+ ¹

7+₁₅¹ = ³³³₁₀₆ 0.99659976 1.003411841 a4=3+ ¹

7+ ¹

15+ ¹₁

= ³⁵⁵₁₁₃

Böylece π say¬s¬naf3, 22/7, 333/106, 355/113, ...grasyonel yakla¸s¬m dizisi elde edilir.

(7)

Benzer ¸sekilde ϕ=1.61803399...say¬s¬na bir rasyonel yakla¸s¬m yapal¬m:

a lar kalan 1/kalan

a1 =1 ϕ Φ

a2 =1+¹₁ ϕ Φ Böylece

Φ=1+ ¹ 1+ ¹

1+¹ ...

yani, tümni de¼gerleri 1 olup, buΦ ye yava¸s bir yakla¸s¬md¬r. Bir ba¸ska yakla¸s¬m, Φ² Φ 1=0 denklemindenΦ² =1+Φ ve buradan (Φ>0 için) Φ= p

1+Φ olup,Φ nin ardarda sol tarafta yaz¬lmas¬yla Φ=

r 1+

q 1+p

1+...

iterasyonlar¬ndan elde edilebilir.

(8)

Di¼ger bir yakla¸s¬m formülü Φ² Φ 1=0dan Φ² =1+_Φve buradan (_Φ6=⁰^için)_Φ=1+_1/ΦolupΦ nin bu de¼gerini tekrar tekrar sol tarafta yerine yazarsak,

Φ=1+ _Φ¹ Φ=1+ ₁₊¹1

Φ=1+ Φ¹

1+ 1 1+ _Φ¹

...

yakla¸s¬mlar¬n¬elde ederiz ki, tüm n_i de¼gerleri 1 dir. Bu ard¬¸s¬k kesirlerden Φ ye bir rasyonel yakla¸s¬m dizisi olarak

f1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...g

elde edilir. Bu dizi ard¬¸s¬k Fibonacci say¬lar¬n¬n oranlar¬dan olu¸smakta olup, bu oran¬n Φ ye yakla¸st¬¼g¬n¬görmü¸stük.

(9)

Ayçiçe¼ginde Fibonacci say¬lar¬

Alt¬n oran, en irrasyonel say¬olarak, do¼gada beklenmedik yerlerde beklenmedik ¸sekilde kar¸s¬m¬za ç¬kmaktad¬r. Bunlardan biri ayçiçe¼gi çekirdeklerinin dizili¸sinde görülmektedir.

Fibonacci say¬lar¬ayçekirde¼gi yerle¸siminde neden görünmektedir? Bunu yan¬tlamak için, çekirdeklerin olu¸stu¼gu basit bir modeli göz önüne alal¬m.

Olu¸sum a¸samas¬nda çekirdeklerin ilk önce çiçe¼gin merkezine yak¬n ç¬kt¬¼g¬n¬

ve çiçek büyüdükçe, merkezden d¬¸sa do¼gru (radyal olarak) sabit h¬zda hareket etti¼gini kabul edelim. Dairesel çiçek ba¸s¬n¬doldurmak için;

merkezde olu¸san her yeni çekirde¼gin, radyal olarak hareket etmeden önce sabit bir aç¬da döndü¼günü varsayal¬m. Ayr¬ca, olu¸sacak çiçek ba¸s¬n¬n düzgün yerle¸smi¸s çekirdeklere sahip olmas¬anlam¬nda, dönme aç¬s¬n¬n optimum oldu¼gunu kabul edelim.

(10)

Dönü¸s aç¬s¬n¬2πα ile gösterelim ve0<α<1 kabul edelim. ·Ilk önce, n <m,ve n vem ortak böleni olmayan iki do¼gal say¬olmak üzere,α n¬n n/m ¸seklinde bir rasyonel say¬olma olas¬l¬¼g¬n¬göz önüne alal¬m. m tane dönmeden sonra çekirdekler ba¸slad¬klar¬çizgiye geleceklerinden dolay¬, olu¸san çiçek ba¸s¬m tane do¼gru üzerinde dizilmi¸s olan çekirdekler

içerecektir. α=3/5olan bu tip bir çiçek ba¸s¬¸sekil (a) da görülmektedir.

¸

Sekil: (a) α=3/5 ve (b)α=π 3 için ayçiçek ba¸s¬

(11)

¸

Simdi α n¬n bir irrasyonel say¬olma olas¬l¬¼g¬n¬göz önüne alal¬m. Bu durumda kaç dönme olursa olsun, çekirdekler ba¸slad¬klar¬do¼gru üzerine gelemezler. Bu durumda, olu¸san çiçek ba¸s¬düzgün yerle¸smi¸s çekirdeklere sahip olmayabilir. Örne¼ginα=π 3 ise, bu durumda olu¸san çiçek ba¸s¬

¸

Sekil (b) deki gibi 7tane saat yönünün aksi yönündeki spiralden olu¸sur. π ye iyi bir rasyonel yakla¸s¬m¬n, ondan biraz büyük olan 3+1/7oldu¼gunu yukar¬da görmü¸stük. Böylece, her yedinci dönmede, yeni çekirdek yedi dönme önceki çekirdek taraf¬ndan çizilen radyal do¼grunun hemen d¬¸s¬na dü¸ser. Bu çekirdekler, büyüyen çiçek ba¸s¬boyunca d¬¸sa do¼gru hareket ederken, her yedi dönmeden sonra saat yönünün aksi yönünde bir spiral görüntüsü al¬rlar, ve ¸Sekil (b) deki gibi, çiçek ba¸s¬n¬n tamam¬bu spirallerin yedi tanesini içeriyor görünür.

(12)

Bir ayçiçe¼ginde en iyi yerle¸simle ortaya ç¬kan irrasyonel say¬muhtemelen,1/ϕ dir. Ard¬¸s¬k iki Fibonacci say¬s¬n¬n oran¬örne¼gin21/34veya34/55dir. 34/55, ϕye21/34den daha iyi bir yakla¸s¬m oldu¼gu için55saat yönü spirali

gözlemlemek,34aksi saat yönü spirali gözlemlemekten daha kolay olacakt¬r ki bu da gerçekten tam olarak bekledi¼gimiz ¸seydir.

¸

Sekil: α=21/34 için bir ayçiçek ba¸s¬n¬n görüntüsü. 34 saat 21 aksi yönlü spiral.

Gra…¼gin MATLAB kodu Ek B dedir.

(13)

Ya¸sa-dayal¬nüfustaki tav¸sanlar

Fibobacci tav¸sanlar¬ya¸sa-dayal¬bir nüfus modeli olup, bunu kullanarak daha genel bir yakla¸s¬m yapabiliriz. Tav¸sanlar¬yavru ve yeti¸skin olarak iki s¬n¬fa ay¬rabiliriz. Burada, yavrular henüz çiftle¸semeyen yeni do¼ganlar¬, yeti¸skinler ise en az bir ayl¬k tav¸sanlar¬belirtmektedir. ·Ilk ay¬n ba¸s¬ndaki yeni do¼gmu¸s bir çift ile ba¸slayarak, çiftle¸sen di¸silerin do¼gurmalar¬n¬n ard¬ndan, takip eden her ay¬n ba¸s¬ndaki nüfusu sayabiliriz. n-yinci ay¬n ba¸s¬ndaki yeni do¼gan tav¸san çiftlerinin say¬s¬n¬x1,n ile ve en az bir ayl¬k olan çiftlerin say¬s¬n¬ise x_2,n ile gösterelim. Her bir yeti¸skin çift bir yavru çift do¼gurdu¼gundan, (n+1)-inci ay¬n ba¸s¬ndaki yavru çift say¬s¬n-yinci aydaki yeti¸skin çift say¬s¬na e¸sit oldu¼gundan, ve(n+1)-inci ay¬n ba¸s¬ndaki yeti¸skin çift say¬s¬n-yinci aydaki yeti¸skin ve yavru çift say¬s¬na e¸sit

oldu¼gundan dolay¬,

x_1,n+1 = x_2,n x_2,n+1 = x_1,n+x_2,n elde ederiz.

(14)

Matris formunda

x_1,n₊₁

x2,n+1 = ^{0 1} 1 1

x_1,n

x2,n (8)

veya vektör formunda

x_n₊₁ =Lx_n (9)

olur. Ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, yeti¸skinin olmad¬¼g¬ve sadece bir yavru çiftin oldu¼gu

x₀ = ^x^1,1

x_2,1 = ¹ 0 ile verilecektir.

(15)

(9)sistemi, birinci basamaktan bir lineer fark denklem sistemi olup, çözümü xn =λⁿv¸seklinde ararsak, sistem

Lv=λv

özde¼ger problemine dönü¸sür. ve genel çözümü, c₁, c₂ key… sabitler olmak üzere

x_n =c₁λⁿ₁v₁+c₂λⁿ₂v₂ (10)

¸seklindedir. ¸Simdi j^λ¹j > j^λ²jkabul edersek x_n =λⁿ₁ c₁v₁+c₂ λ1

λ2 n

v₂

¸seklinde yazarsak, j^λ²^/λ¹j <¹^oldu¼^{gu için}ⁿ !∞ içinxn !^c¹^λⁿ1v1 olur.

Yani nüfusun uzun süredeki asimptotik davran¬¸s¬sadece λ1 özde¼gerine ve kar¸s¬l¬k gelen v₁ özvektörüne ba¼gl¬d¬r. Fibonacci tav¸sanlar¬için özde¼ger ve özvektörleri bulal¬m:

det(L λI) =det λ 1

1 1 λ = λ(1 λ) 1=0 veya λ² λ 1=0 olup, buradaλ1 =Φ veλ2 = ϕbulunur.

(16)

Φ> ϕ oldu¼gundan ya¸sa-dayal¬nüfusun uzun-süreli asimptotik davran¬¸s¬n¬

Φözde¼geri ve kar¸s¬l¬k gelen özvektör belirler. Özvektörü belirlemek için (L ΦI)v1 =0

veya denk olarak

Φ 1

1 1 Φ

v11

v₁₂ = ⁰ 0

sistemini çözersek, ilk denklemden Φv11+v12 =0olup,v11 =1 al¬rsak v₁₂ =Φv11 =Φ elde ederiz. (Φ² Φ 1=0 oldu¼gundan birinci denklem ikincinin Φkat¬olup ikinci denklem sa¼glanm¬¸s olur.) O halde

v1 = ¹ Φ

olur. v₁ den elde edilen asimptotik ya¸s-yap¬s¬yeti¸skinlerin yavrulara oran¬n¬n alt¬n orana yakla¸st¬¼g¬n¬yani

nlim!∞

x_2,n

x_1,n =v₁₂/v11 =Φ oldu¼gunu göstermektedir.