Modeli basit bir örnek üzerinde inceleyelim: Tar¬m ve sanayiden olu¸ san ve sadece iki sektörden olu¸ san bir ekonomiyi göz önüne alal¬m.

(1)

B ¨ol ¨um 2

Ekonomide Denge(Leontief Modeli)

Bu bölümde Wassily Leontief

¹

taraf¬ndan geli¸ stirilen ve Leontief tüketim- üretim modeli olarak bilinen modeli inceliyoruz[1]. Wassily Leontief bir ülke veya bölge ekonomisinin farkl¬sektörlerini göz önüne alarak, üretim sürecinde her bir sektörün birim de¼ ger üretimi için di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬üretim de¼ gerlerini dikkate alarak, herhangi bir d¬¸ s ülke talebini kar¸ s¬lamak için her bir sektörün toplam üretiminin nekadar olmas¬gerekti¼ gini belirleyen bir model önermi¸ stir. Girdi(input)-ç¬kt¬(output) modeli olarak adland¬r¬lan bu modelde girdi harcama veya tüketimi ve ç¬kt¬ ise üretimi temsil etti¼ gi için modeli k¬saca tüketim-üretim modeli olarak adland¬r¬lacakt¬r.

Modeli basit bir örnek üzerinde inceleyelim: Tar¬m ve sanayiden olu¸ san ve sadece iki sektörden olu¸ san bir ekonomiyi göz önüne alal¬m.

Tar¬m sektörünün 1 birim de¼ gerindeki üretiminin, tar¬m sektöründen 0:2 birim ve sanayi sektöründen ise 0:3 birim de¼ gerinde ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

Ayr¬ca sanayi sektörünün 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise tar¬m sektörün- den 0:3 ve sanayi sektöründen ise 0:4 birim de¼ gerindeki ürüne ihtiyaç duy- du¼ gunu kabul edelim.

Bu verileri a¸ sa¼ g¬daki Tabloda sunal¬m:

1

(1906-1999) Rus as¬ll¬ Nobel Ekonomi Ödül(1973) sahibi Amerikal¬ ekono-

mist(https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief)

(2)

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal(T) üretim(output) için T

Gerekli(input) Tar¬m! T 0:2 Gerekli(input) Sanayi S 0:3

1 birim de¼ gerindeki sanayi(S) üretim için S

Gerekli Tar¬m! T 0:3 Gerekli Sanayi S 0:4 Bu iki tabloyu birle¸ stirerek

1 birim de¼ gerindeki üretim için

T S

Gerekli Tar¬m T 0:2 0:3 Gerekli Sanayi S 0:3 0:4 elde ederiz. Tablodaki verileri içeren

A = 0:2 0:3 0:3 0:4

matrisine tüketim-üretim matrisi ad¬verilmektedir.

¸

Simdi 20 birim de¼ gerindeki tar¬m ve 15 birim de¼ gerindeki sanayi d¬¸ s ürün talebinin oldu¼ gunu kabul edelim. Bu verileri içeren

D = 46 12

vektörüne d¬¸ s talep vektörü ad¬verilmektedir.

Problemimiz, iç tüketimi kar¸ s¬lad¬ktan sonra d¬¸ s talebi de kar¸ s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸ s¬maya çal¬¸ sal¬m: x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün de¼ gerini ve y ile de sanayi ürün de¼ gerini gösterelim.

Belirtilen de¼ gerlerdeki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim, 0:2 birim de¼ gerinde tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre x birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0:2x birim de¼ gerinde tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(3)

Benzer biçimde, 1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0:3 birim de¼ gerinde tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre, y birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0:3y birim de¼ gerinde tar¬m ürününe ihtiyaç duyar.

O halde bu üretim için gerekli tar¬msal ürünün de¼ geri

0:2x + 0:3y (2.1)

kadard¬r.

Benzer biçimde söz konusu üretim için gerekli sanayi ürününün de¼ geri

0:3x + 0:4y (2.2)

kadard¬r.

O halde (2.1) toplam tar¬msal iç tüketim ve (2.2) ise toplam sanayi iç tüketim de¼ gerleridir.

X = x

y

üretim vektörü olmak üzere, toplam tar¬msal ve sanayi iç tüketimini vektörel formatta

0:2x + 0:3y

0:3x + 0:4y = 0:2 0:3 0:3 0:4

x

y = AX biçiminde ifade edebiliriz.

Üretilen miktardan iç tüketimi ç¬kard¬ktan sonra geriye kalan k¬s¬m d¬¸ s talebe e¸ sit olmal¬d¬r:

X AX = D

veya

I = 1 0 0 1 birim matrisi ile,

(I A)X = D elde ederiz.

Örne¼ gimiz için

I A = 1 0

0 1

0:2 0:3

0:3 0:4 = 0:8 0:3

0:3 0:6

olup, çözülmesi gereken sistem

(4)

0:8 0:3 0:3 0:6

x

y = 46

12 veya sistemin her iki yan¬n¬da 10 ile çarparak,

8 3

3 6

x

y = 460

120 elde ederiz.

En genel AX = b(A

n n

; X

_{n 1}

; b

_{n 1}

) lineer denklem sistemi için Gauss eliminasyon yöntemini hat¬rlayal¬m:

Elemanter sat¬r operasyonlar¬ ile bu sistem, U bir üst üçgensel matris olmak üzere,

U X = c biçiminde bir lineer sistemine dönü¸ stürülebilir.

Üç adet elemanter elemanter sat¬r i¸ slemi ise a¸ sa¼ g¬daki gibidir:

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir.

herhangi iki sat¬r yer de¼ gi¸ stirebilir.

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ ger sat¬ra ilave edilebilir.

Elemanter sat¬r i¸ slemleri alt¬nda denklem sisteminin çözümü de¼ gi¸ smez!

Elde edilen üst üçgensel sistem ise geriye çözüm yöntemi ile çözülebilir.

Buna göre ekli matris

8 3

3 6

j j

460 120 3=8 S

₁

+ S

₂

8 3

0 39=8 j j

460 585=2 O halde üst üçgensel sistem

8x 3y = 460 39=8y = 585=2 olarak elde edilir ve bu sistem çözülerek

x = 80; y = 60

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(5)

elde ederiz ki bu de¼ gerler belirtilen d¬¸ s talebi kar¸ s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün de¼ gerleridir. Bu üretim sürecindeki iç türekimin ise

AX = X D = 80 60

46 12 = 34

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸ senlere sahip bir D d¬¸ s talep vektörü için yine pozitif bile¸ senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸ s bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir. A¸ sa¼ g¬daki teorem ile üretim-tüketim matrisinin baz¬özellikleri sa¼ glamas¬durumunda bile¸ senleri negatif olmayan herhangi bir d¬¸ s talep vektörü için yine bile¸ senleri negatif olmayan bir üretim vektörünün bulunabilece¼ gi ifade edilmektedir.

TEOREM 2.1. Bile¸ senleri nonnegatif (a; b; c; d 0) olan A = a b

c d

matrisi için e¼ger a+c < 1 ve b+d < 1 ise bu taktirde herhangi D = d

₁

d

₂

0 için

(I A)X = D

sistemini çözümü mevcut ve tektir; ayr¬ca çözüm nonnegatif bile¸ senlere sahip- tir, yani X 0 d¬r. Burada X 0 notasyonu ile X vektörünün bütün bile¸ senlerinin nonnegatif oldu¼gunu ifade ediyoruz.

Ispat. ·

I A = 1 a b

c 1 d

için

det(I A) = (1 a)(1 d) bc dir. Öte yandan

a + c < 1

b + d < 1

(6)

için

1 a > c

1 d > b ) (1 a)(1 d) > bc = ) det(I A) > 0 elde ederiz. Buradan

X = (I A)

¹

D = 1 det(I A)

1 d b

c 1 a

d

₁

d

₂

0 elde ederiz.

Yukar¬daki sonuçtan, 2 2 lik Leontief matrisinin her bir eleman¬ non- negatif ve sütun toplamlar¬1 den küçük olmas¬durumunda nonnegatif üre- tim vektörü elde edilebilmektedir, ancak bu ¸ sartlar yeterli olmas¬na ra¼ gmen gerekli de¼ gildir. Bu durum a¸ sa¼ g¬daki örnekte incelenmektedir.

ÖRNEK 2.1. A = 0:3 0:8

0:2 0:4 input-output matrisi ile D = 10 20 d¬¸ s talebini kar¸ s¬layan üretimi belirleyiniz.

Çözüm.

A matrisi teorem 2.1 in hipotezlerini sa¼ glamamaktad¬r. Çünkü ikinci sütun toplam¬birden büyüktür. Buna ra¼ gmen

B = I A = 0:7 0:8 0:2 0:6 olmak üzere,

BX = D sisteminin çözümü olarak

X = 84:6154 61:5385 pozitif üretim vektörünü elde ederiz.

ÖRNEK 2.2. Tar¬m, Enerji ve Otomotiv sektöründen olu¸ san bir ekono- mide, her bir sektörün birim de¼ger üretimi için di¼ger sektörlerden ihtiyaç duydu¼gu birim de¼gerler a¸ sa¼g¬da ifade edilmi¸ stir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(7)

1 birim de¼gerindeki tar¬msal üretim 1=8 birim de¼gerinde tar¬m, 1=4 birim de¼gerinde enerji ve 1=4 birim de¼gerinde otomotiv ürününe, 1 birim de¼gerindeki enerji üretimi 1=4 birim de¼gerinde tar¬m, 1=5 birim de¼gerinde enerji ve 1=8 birim de¼gerinde otomotiv ürününe ve

1 birim de¼gerindeki otomotiv üretimi 1=4 birim de¼gerinde tar¬m, 1=4 birim de¼gerinde enerji ve 1=4 birim de¼gerinde otomotiv ürününe ihtiyaç duymaktad¬r. Buna göre iç talebi kar¸ s¬lad¬ktan sonra 400 birim de¼gerinde tar¬m, 250 birim de¼ger enerji ve 300 birim de¼gerinde otomotiv üretim d¬¸ s talebini kar¸ s¬layabilmek için her bir sektörün üretim miktar¬n¬ be- lirleyiniz.

Çözüm.

Verilen bilgileri a¸ sa¼ g¬daki tabloda özetleyebiliriz:

Gerekli üretim de¼ geri

Birim de¼ ger üretim için

T E O

T 1=8 1=4 1=4 E 1=4 1=5 1=4 O 1=4 1=8 1=4 O halde tüketim-üretim matrisimiz

A = 2 4

1=8 1=4 1=4 1=4 1=5 1=4 1=4 1=8 1=4

3 5

dir.

B = I A =

2 4

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 5

2 4

1 8

1 4

1 1 4 4

1 5

1 1 4 4

1 8

1 4

3 5

= 2 4

7 8

1 4

1 1 4

4 4 5

1 1 4

4 1 8

3 4

3 5 ; D =

2 4

400 250 300

3 5

için

BX = D

(8)

lineer cebirsel sistemini çözmeliyiz.

¸

Simdi Gauss eliminasyon yöntemi ile yukar¬da verilen BX = D sistemi- nine denk olan a¸ sa¼ g¬daki sistemi çözelim:

2 4

7 8

1 4

1

4

j 400

1 4

4 5

1

4

j 250

1 4

1 8

3

4

j 300 3 5

8 S

₁

! S

¹

4 S

₁

! S

¹

4 S

₁

! S

¹

2 4

7 2 2 j 3200

1

¹⁶₅

1 j 1000 1

¹₂

3 j 1200

3 5

1

7

S

₁

+ S

₂

1

7

S

₁

+ S

₃

! S

³

2 4

1

¹₂

3 j 1200

0

¹⁰²₃₅ ⁹₇

j

¹⁰²⁰⁰7

0

¹¹₁₄ ¹⁹₇

j

¹¹⁶⁰⁰7

3 5

11 14

35

102

S

₂

+ S

₃

! S

³

2 4

1

¹₂

3 j 1200 0

¹⁰²₃₅ ⁹₇

j

¹⁰²⁰⁰7

0 0

¹⁶¹₆₈

j 2050 3 5

Bu sistemi en son denklemden ba¸ slayarak geriye do¼ gru çözerek, gerekli tar¬m, enerji ve otomotiv üretim de¼ gerlerini s¬ras¬yla

x

₁

= 956:5217 x

₂

= 881:9876 x

₃

= 865:8385

olarak elde ederiz. Bu durumda iç tüketim de¼ gerini ise

X D = AX = 2 4

956:5217 881:9876 865:8385

3 5

400 250 300

= 2 4

556:5217 631:9876 565:8385

3 5

olarak elde ederiz.

Yukar¬daki i¸ slemler MATLAB veya OCTAVE ortam¬nda da gerçekle¸ stir- ilebilir. A¸ sa¼ g¬daki MATLAB/OCTAVE komutlar¬n¬inceleyelim:

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

>> A=[1/8 1/4 1/4;1/4 1/5 1/4;1/4 1/8 1/4]; % A matrisi

>> I=eye(3); % 3 3 lük birim matris

>> B=I-A; % I A matrisi

>> D=[400 250 300]’; % D d¬¸ s talep vektörü

>> X=BnD % BX = D denklem

sisteminin çözümünü

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(9)

X = 956.5217 881.9876 865.8385 olarak elde ederiz.

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

MATLAB/OCTAVE ¬n matematiksel amaçlarla kullan¬m¬için [2] ye ba¸ svu- runuz.

Al¬¸ st¬rmalar 2.1.

1. A¸ sa¼g¬da verilen üretim matrisleri ve d¬¸ s talep vektörleri için talebi kar¸ s¬layacak üretim de¼gerlerini belirleyiniz. Her bir durum için iç tüke- timi Gauss eliminasyon yöntemi yard¬m¬yla belirleyiniz.

(a)

A = 0:3 0:1

0:2 0:5 ; D = 100 80 (b)

A = 0:2 0:1

0:4 0:2 ; D = 50 90 (c)

A = 0:1 0:3

0:2 0:4 ; D = 70 60 (d)

A = 2 4

0:1 0:2 0:5 0:2 0:1 0:1 0:3 0:4 0:2

3 5 ; D =

2 4

100 80 120

3 5

2. Tar¬m ve hayvanc¬l¬k sektöründen olu¸ san bir ekonomide

1 birim de¼gerindeki tar¬msal üretim 0:2 birim tar¬m ve 0:4 birim de¼gerinde hayvanc¬l¬k sektörü ürününün kullan¬lmas¬n¬

1 birim de¼gerindeki hayvanc¬l¬k sektörü üretimi 0:3 birim tar¬m ve 0:2 birim de¼gerinde hayvanc¬l¬k sektörü ürününün kullan¬lmas¬n¬

gerektirmektedir.

120 birim tar¬m ve 100 birimlik hayvanc¬l¬k sektörü d¬¸ s talebini kar¸ s¬lay-

acak sektörel üretim de¼gerleri ne olmal¬d¬r. · Iç tüketim ne kadard¬r?

(10)

3. Tekstil ve g¬da sektöründen olu¸ san bir ekonomide

1 birim de¼gerindeki tekstil üretimi 0:3 birim tekstil ve 0:4 birim de¼gerinde g¬da sektörü ürünü,

1 birim de¼gerindeki g¬da sektörü üretimi 0:2 birim tekstil ve 0:5 birim de¼gerinde g¬da sektörü ürününün kullan¬lmas¬n¬gerektirmek- tedir.

90 birim tekstil ve 80 birim de¼gerindeki g¬da sektörü d¬¸ s talebini kar¸ s¬layacak sektörel üretim de¼gerleri ne olmal¬d¬r. · Iç tüketim ne kadard¬r?

4. G¬da, tekstil ve enerji sektöründen olu¸ san bir ekonomide

1 birim de¼gerindeki g¬da sektörü üretimi s¬ras¬yla 0:1; 0:3; 0:4 birim de¼gerinde g¬da, tekstil ve enerji ürününe;

1 birim de¼gerindeki tekstil sektörü üretimi s¬ras¬yla 0:2; 0:3; 0:2 birim de¼gerinde g¬da, tekstil ve enerji ürününe;

1 birim de¼gerindeki enerji sektörü üretimi s¬ras¬yla 0:2; 0:1; 0:4 birim de¼gerinde g¬da, tekstil ve enerji ürününe ihtiyaç duymak- tad¬r.

300 birim de¼gerinde g¬da, 150 birim de¼gerinde tekstil ve 200 birim de¼gerinde enerji sektörü d¬¸ s talebini kar¸ s¬layacak sektörel üretim de¼gerleri ne olmal¬d¬r. · Iç tüketim ne kadard¬r?

5. Soru 1 4 ü MATLAB/OCTAVE ortam¬nda da çözerek, sonuçlar¬n¬z¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.

6. Teorem 2.1 i 3 3 lük bir matris için ifade ve ispat ediniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(11)