ÜN‹TE I. ANAL‹T‹K DÜZLEM

 ^{ÜN‹TE I.}

ANAL‹T‹K DÜZLEM

1. G‹R‹fi

2. SAYI DO⁄RUSU 3. ANAL‹T‹K DÜZLEM

4. ‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK

5. B‹R DO⁄RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD‹NATLARI 6. B‹ R DO⁄RU PARÇASINI, VER‹LEN B‹R ORANDA BÖLEN NOKTALARIN

KOORD‹NATLARI

7. ÜÇGEN‹N A⁄IRLIK MERKEZ‹

8. ÜÇGEN‹N ALANI 9. ÖZET

10. ALIfiTIRMALAR

11. DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ - I

* Analitik düzlemin noktalar› ile reel say› ikilileri aras›ndaki iliflkiyi kavrayacak,

* Koordinatlar› verilen bir noktay›, analitik düzlemde bulup iflaretleyebilecek,

* Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›¤› bulabilecek,

* Uç noktalar›n›n koordinatlar› verilen bir do¤ru parças›n›n, orta noktas›n›n koordinatlar›n› bulabilecek,

* Köflelerinin koordinatlar› verilen üçgen ve çokgenlerin kenar uzunluklar›n›, kenarlar›n orta noktalar›n›n koordinatlar›n› bulabilecek,

* Köflelerinin koordinatlar› verilen bir üçgenin a¤›rl›k merkezinin kordinatlar›n›

bulabilecek,

* Köflelerinin koordinatlar› verilen bir üçgenin veya dörtgenin alan›n› hesaplayabileceksiniz.

* Analitik geometri konular›n› daha iyi ö¤renebilmek için “Denklemler ve Do¤ru Grafikleri” ile “Harfli ‹fadeler ve Denklemler” konusunun yeniden gözden geçiriniz.

* Ders konular›n› çal›fl›rken konu ile ilgili “Neden? Niçin?” sorular›na cevap arayarak çal›fl›n›z.

* Konular› pekifltirmeden sonraki konulara geçmeyiniz.

* Elinizdeki yard›mc› kitaplardan faydalan›n›z.

* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme testlerini çözünüz.

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

I. ÜN‹TE ANAL‹T‹K DÜZLEM

1. G‹R‹fi

Nokta, do¤ru, e¤ri, yüzey ve düzlem gibi geometrinin temel kavramlar›n›, cebirsel ifllemler yard›m›yla inceleyen bilim dal›na analitik geometri ad› verilir.

Geometrinin en temel kavram› noktad›r. Çünkü, bütün geometrik flekilleri, bir noktalar kümesi olarak düflünebiliriz. Bir noktan›n say› veya say›larla temsil edilmesi düflüncesi, geometride koordinat kavram›n›n do¤mas›na neden olmufltur. Koordinatlar yard›m›yla geometrik kavram ve bunlar›n özeliklerini cebirsel yoldan aç›klamak mümkün o l m a k t a d › r.

2. SAYI DO⁄RUSU

Say›larla noktalar aras›nda, birebir eflleme yap›lm›fl, yönlendirilmifl do¤ruya say›

do¤rusu denir. (fiekil 1.1)

3. ANAL‹T‹K DÜZLEM

Bir düzlemde, birbirini dik kesen iki say› do¤rusu düflünelim. Say› do¤rular›n›n kesim noktas›na, bafllang›ç noktas› (orijin) denir.

Yatay olan say› do¤rusuna, apsis ekseni (x ekseni), düfley olan say› do¤rusuna, ordinat ekseni ( y ekseni) denir. 0 bafllang›ç noktas› ile eksenlerden oluflan sisteme, dik koordinat sistemidenir.

Koordinat sistemi ile donat›lm›fl olan düzleme, koordina t düzlemi v e y a a n a l i t i k düzlemdenir.

Analitik düzlemde her noktaya, bir (x, y) reel say› ikilisi karfl›l›k gelir. Buna verilen noktan›n koordinatlar› denir.

❂

❂

❂

❂

❂

❂

Say› do¤rusu üzerindeki her nokta bir reel say›ya, her reel say› da bir noktaya karfl›l›k gelir.

A B C D E F G H K L -2 -1 0 1 2 3 4-1

2 2 7

2 fiekil 1.1.

➠

Koordinat eksenleri, düzlemi dört bölgeye ay›r›r. Bu dört bölgeye ait her nokta için, x ve y bileflenlerinin iflaretlerini inceleyelim (fiekil 1.2).

O x

y

I.

II.

III. IV.

O x

y

-2 -1

3 2

2 3

D(0,-2)

C(2,0) B(-1,3)

A(3,2)

I. bölgede : x pozitif, y pozitif II. bölgede : x negatif, y pozitif III. bölgede : x negatif, y negatif IV. bölgede : x pozitif, y negatiftir.

ÇÖZÜM 1

fiekil 1.3’te verilen A (3, 2), B (-1, 3), C (2, 0) ve D (0, -2) noktalar› analitik düzlemde gösterilmifltir.

ÖR N E K 1

A (3, 2), B (-1, 3), C (2, 0), D(0, 2) noktas›n›

analitik düzlemde gösterelim.

Ö R N E K 2

(x, y-2) ve (3 - 2x, 2y - 4) reel say› ikililerinin analitik düzlemde ayn› noktay›

g ö s t e r m e s i için, x ve y nin kaç oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 2

Reel say› ikililerinin analitik düzlemde ayn› noktay› göstermesi için, reel say›

ikililerin birinci bilefleni, birinci bileflenine ikinci bilefleni, ikinci bileflenine eflit olmal›d›r.

fiekil 1.2

fiekil 1.3

x = 3 - 2x x + 2x = 3

3x = 3

x = 1 olmalıdır.

y - 2 = 2y - 4 y - 2y = - 4 + 2 - y = - 2

y = 2 olmalıdır.

Seçilen her (x, y) reel say› ikilisine a nalitik d üzlemde bir ve yaln›z bir n o k t a kar fl›l›k gelir.

➠

ÖRNEK 3

Analitik düzlemde, I. bölge = {(x, y) | x, y∈R ve x > 0, y > 0} fleklinde bir küme olarak ifade edilmifltir. Buna göre, III. bölgenin bir küme olarak nas›l ifade edilece¤ini bulal›m.

ÇÖZÜM 3

III. Bölge = { (x, y) | x, y∈R ve x < 0, y < 0 } kümesi olarak ifade edilir.

4. ‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK

Analitik düzlemde verilen A ve B noktalar› için, AB do¤ru parças›n›n uzunlu¤una, A noktas› ile B noktas› aras›ndaki uzakl›k denir ve |AB| fleklinde gösterilir.

❂

AB = AC ² + BC ² olduğundan, AB = x₂ - x₁ ² + y₂ - y₁ ² olur.

AB = x₂ - x₁ ² + y₂ - y₁ ² AB = -1- 2 ²+ 5 - 1 ² AB = -3 ² + 4 ² AB = 9 + 16

AB = 25 = 5 birim olur.

ABC dik üçgeninde;

|AC| = x₂ - x₁, |BC| = y₂- y₁dir.

Pisagor teoremine göre,

Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›k, bu noktalar›n apsisler fark› ile ordinatlar fark›n›n kareleri toplam›n›n kareköküne eflittir.

O x

y

x₁ x₂

y₁ y₂

.C

fiekil 1.4

fiekil 1.4 te A (x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) noktalar›

v e r i l m i fl t i r. Bu iki nokta aras›ndaki uzakl›¤›

bulal›m.

ÖRNEK 4

A (2, 1) ve B (-1, 5) noktalar› veriliyor. [AB] nin uzunlu¤unun kaç birim oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 4

➠

Uç noktalar› A ( x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan A B do¤ru parças›n›n orta noktas› olan C noktas›n›n koordinatlar›:

❂

ÖRNEK 5

A (1,4) ve B(4, k) noktalar› veriliyor. |AB| = 5 birim olmas› için k n›n de¤erinin kaç oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 5

5. B‹R DO⁄RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD‹NATLARI Bir AB do¤ru parças› verilmifl olsun. C noktas› AB do¤ru parças› üzerinde ve

|AC| = |CB| ise C noktas›na, AB do¤ru parç›s›n›n orta noktas› denir.

A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) ve [AB] nin orta noktas› C (x₀, y₀) olsun. fiekil 1.5’ te A″ABB″ dörtgeni [A″A] // [B″B] oldu¤undan bir yamuktur. [C″C] bu yamu¤un orta taban›d›r. Orta taban, tabanlar toplam›n›n yar›s›na eflit olaca¤›ndan,

ÖRNEK 6

Uç noktalar› A (-1, 4) ve B (5, -2) olan [AB] n›n orta noktas› olan C noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 6

C noktas›n›n koordinatlar› C (x₀, y₀) olsun.

C x¹ + x₂

2 , y₁ + y₂

2 dir.

x₀ = x₁ + x₂

2 oldu¤undan, x₀ = -1 + 5 2 = 4

2 = 2 dir.

y₀ = y₁ + y₂

2 oldu¤undan, y₀ = 4 - 2 2 = 2

2 = 1 dir. O halde, C (2, 1) olur.

O x

y

A C B

A C B

fiekil 1.5

AB = x₂ -x₁ ² + y₂ - y₁ ² 5 = 4 - 1 ² + k - 4 ² 5 = 3 ² + k - 4 ² 25 = 9 + k - 4 ²

k - 4 ² = 25 - 9

C″C = A″A + B″B

2 dir.

C″C = x C″C = x0 , A″A = x0 , A″A = x1 ve1 ve

B″B = x2 oldu¤undan, x⁰ = x¹ + x₂ 2 dir.

Ayn› flekilde y₀ = y₁ + y₂ 2 olur.

k - 4 ² = 16

k - 4 = ± 4 eflitli¤inden, k₁ = 0 veya k₂ = 8 olur.

➠

ÖRNEK 7

A (1, 2) ve C(2, 3) noktalar› veriliyor. AB do¤ru parças›n›n orta noktas› C oldu¤una göre, B noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 7

B noktas›n›n koordinatlar› B (x₂, y₂) olsun.

6. B‹R DO⁄RU PARÇASINI, VER‹LEN B‹R ORANDA BÖLEN NOKTALARIN KOORD‹NATLARI

I. ‹çten Bölme

A (x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) noktalar› ve C (x₀, y₀) noktas› AB do¤ru parças›n›n üzerinde ve aras›nda olsun (fiekil 1.6).

Uç noktalar› A (x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda içten bölen C noktas›n›n koordinatlar›:

II. D›fltan Bölme

A (x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) noktalar› ve C (x₀, y₀) noktas› AB do¤ru parças›n›n uzant›s›nda ve d›fl›nda olsun (fiekil 1.7).

x₀ = x¹ + x₂

2 oldu¤undan, 2 = 1 + x²

2 ise, x₂ = 4 - 1 = 3 tür.

y₀ = y₁ + y₂

2 oldu¤undan, 3 = 2 + y₂

2 ise, y₂ = 6 - 2 = 4 tür.

O x

y

D

x₁ x_o x₂

y1 y y₂

E

fiekil 1.6

O x

y

E

x₁ x₂ x₀

y₁ y₂ y_o

D

fiekil 1.7

O halde, B (3, 4) olur.

k x₂ - x₀ = x₀ - x₁ kx₂ - kx₀ = x₀ - x₁

x₀ + kx₀ = x₁ + kx₂ x₀ 1 + k = x₁ + kx₂ x₀ = x₁ + kx₂

1 + k olur. Ayn› flekilde y₀ = y₁ + ky₂

1 + k bulunur.

CA

CB = k ise CA

CB = AE

ED = x⁰ - x₁

x₂ - x₀ = k dir.

C x₁ + kx₂

1 + k , y₁ + ky₂

1 + k dir.

CA

CB = AE

DE = x⁰ - x₁ x₀ - x₂ = k

➠

Uç noktalar› A (x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda d›fltan bölen C noktas›n›n koordinatlar› C x¹ - kx₂

1 - k , y₁ - ky₂

1 - k dir . CA

CB = 1 3

2 3 ÇÖZÜM 8

C noktas›n›n koordinatlar› C (x₀, y₀) olsun.

ÖRNEK 9

Uç noktalar› A(1, 5) ve B (3, 6) olan AB do¤ru parças›n› d›fltan oran›nda bölen C noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 9

C noktas›n›n koordinatlar› C(x₀, y₀) olsun k x₀ - x₂ = x₀ - x₁

kx₀ - kx₂ = x₀ - x₁

x₀ - kx₀ = x₁ - kx₂ x₀ 1 - k = x₁ - kx₂

x₀ = x₁ + kx₂

1 + k oldu¤undan, x₀ = 0 + 1

3 .6 1+ 13

= 24 3

= 64 = 3 2 dir.

y₀ = y₁ + ky₂

1 + k oldu¤undan, y₀ = 4 + 1

3 . 1 1+13

= 4 + 1

3 4 3

= 13

3 4 3

= 13 4 tür.

x₀ = x₁ - kx₂

1-k oldu¤undan, x₀ = 1 - 2

3 . 3 1 - 2

3

= 1 - 2 1 3

= -1 1 3

= - 3 tür.

y₀ = y₁ - ky₂

1 + 2 oldu¤undan, y₀ = 5 - 2

3 . 6 1 - 2

3

= 5 - 4 1 3

= 1 1 3

= 3 tür.

O halde, C 3 2 , 13

4 olur.

O halde, C (- 3, 3) olur.

x₀ = x₁ - kx₂

1 - k olur. Ayn› flekilde y₀ = y₁ - ky₂

1 - k bulunur.

ÖRNEK 8

Uç noktalar› A(0, 4) ve B(6, 1) olan AB do¤ru parças›n› oran›nda içten bölen C noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.

➠

Köflelerinin koordinatlar› A (x₁, y₁) , B (x₂, y₂) ve C (x₃, y₃) olan üçgenin G a¤›rl›k merkezinin koordinatlar› :

❂

Bir üçgenin üç kenarortay› bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezi denir.

Köflelerinin koordinatlar› A(x₁, y₁), B (x₂, y₂) ve C (x₃, y₃) olan üçgenin a¤›rl›k merkezi G (x₀,y₀) olsun (fiekil 1.8)

G noktas›n›n koordinatlar›n› bulmak için üçgenin [AD] kenarortay›n› çizelim. D noktas›, [BC] nin orta noktas› oldu¤undan koordinatlar›:

Bir üçgende kenarortaylar›n kesim noktas›n›n üçgenin köflesine olan uzakl›¤›n›n oran›

ÖRNEK 10

Köflelerinin koordinatlar› A (3,0) , B (4,1) ve C(2,5) olan ABC üçgeninin kenar ortaylar›n›n kesim noktas›n›n (a¤›rl›k merkezinin) koordinatlar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 10

Verilen üçgenin a¤›rl›k merkezinin koordinatlar› G(x₀, y₀) olsun.

O x

y

A(x₁,y₁) A(x₁,y₁)

C(x3,y 3)

B(x₂,y₂) E

D F

G

fiekil 1.8

D x² + x₃

2 , y₂ + y₃ 2 dir.

2 3 dür.

Buna göre, AG AD = 2

3 olaca¤›ndan, AG GD = 2

1 = 2 dir.

Bu durumda,

O halde, G (3, 2) olur.

x₀ =

x₁ + 2 x₂ + x₃ 2

1+2 = x₁ + x₂ + x₃ 3 tür.

Ayn› flekilde, y₀ =

y₁ + 2 y₂ + y₃ 3

1+2 = y₁ + y₂ + y₃

3 bulunur.

x₀ = x¹ + x₂ + x₃

3 oldu¤undan x₀ = 3 + 4 + 2 3 = 9

3 = 3 tür.

y₀ = y₁ + y₂ + y₃

3 oldu¤undan y₀ = 0 +1 + 5 3 = 6

3 = 2 dir.

G x₁ + x₂ + x₃

3 , y₁ + y₂ + y₃

3 tür.

➠

AA′ , BB′ ve CC′ bu dik yamuklar›n tabanlar›d›r.

A′B′ , A′C′ ve B′C′ ise

bu dik yamuklar›n yükseklikleridir.

Yamu¤un alan formülünden yararlanarak

A(ABC) = A (AA′B′B) + A (AA′C′ C) - A(BB′C′C) A(ABC) = y₁ + y₂ x₁ - x₂

2 + y₁ + y₃ x₃ - x₁

2 - y₂ + y₃ x₃ - x₂ 2

A(ABC) =x₁y₁ - x₂y₁ + x₁y₂ - x₂y₂ + x₃y₁ - x₁y₁ + x₃y₃ - x₁y₃ - x₃y₂ + x₂y₂ - x₃y₃ + x₂y₂

2

A ABC = -x₂y₁ + x₁y₂ +x₃y₁ - x₁y₃ - x₃y₂ + x₂y₃ 2

A ABC = x₁ y₂ - y₃ + x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ 2

A(ABC) = 1

2 x₁y₂ - y₃ +x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ bulunur.

K öflelerinin koordinatlar› A x₁ , y₁ , B x₂ , y₂ ve C x₃ , y₃ olan ABC üçgeninin alan›, A A B C = 1

2 x₁ y₂ - y₃ + x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ dir.

Alan daima pozitif olaca¤› için, ifade mutlak de¤ er içine al›nm›flt ›r.

O x

y

A (x1)

B (x2) C (x

3) y₃

y2 y1

C(x3,y 3) x1-x

2 x

3-x 1 A(x₁,y₁)

B(x₂,y₂)

fiekil 1.9

8. ÜÇGEN‹N ALANI

Köflelerinin koordinatlar› A(x₁ , y₁), B (x₂, y₂) ve C (x₃ , y₃) olan ABC üçgeninin alan›n› bulal›m.

fiekil 1.9 da BB′ // AA′ // CC′ ve AA′ ⊥ B′C′ , CC′ ⊥ B′C′ oldu¤unda (fiekil 1.9) da BB′ // AA′ // CC′ ve AA′ ⊥ B′C′ , CC′ ⊥ B′C′ oldu¤unda

AA′B′B, AA′C′C ve BB′C′C dörtgenleri birer dik yamuktur.

AA′B′B, AA′C′C ve BB′C′C dörtgenleri birer dik yamuktur.

➠

A x₁ , y₁ , B x₂ , y₂ ve C x₃ , y₃ noktalar› için;

x₁ y₂ - y₃ +x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ = 0 ise, A ,B ve C noktalar› do¤ rusald›r.

ÖRNEK 11

Köflelerinin kordinatlar› A(1, 2), B(2, 3) ve C (-1, 5) olan üçgenin alan›n›n kaç birim kare oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 11

ÖRNEK 12

Köflelerinin koordinatlar› A(a, 1), B(2, 3) ve C (a + 1, 5) olan üçgenin alan›n›n 5 birim kare olmas› için, a n›n alaca¤› de¤erleri bulal›m.

ÇÖZÜM 12 A(ABC) = 1

2 x₁ y₂ - y₃ +x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ A(ABC) = 1

2 1 (3 - 5) + 2 (5 - 2) + (-1) (2 - 3) A(ABC) = 1

2 (-2 + 6 +1 ) = 1

2 (5) = 5

2 br² olur.

A(ABC) = 1

2 x₁y₂ - y₃ + x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ 5 = 1

2 a (3 - 5) + 2 (5 - 1) + (a + 1) (1 - 3) 10 = - 2a + 8 - 2a - 2 iflleminde

mutlak de¤er oldu¤undan, ifllem pozitif ve negatif de¤erler için

- 4a + 6 = - 10 - 4a = - 16

a = 4 olur.

- 4a + 6 = + 10 - 4a = 10 - 6 - 4a = 4

a = - 1 olur.

10 = -4a + 6 eflitli¤inde mutlak de¤er oldu¤undan, ifllem pozitif ve ifllem pozitif ve negatif de¤erler için iki farkl› biçimde çözülmüfltür.

➠

A x₁ , y₁ ve B x₂ , y₂ noktalar› aras›ndaki uzakl›k AB = x₂ - x₁² + y₂ - y₁² dir.

C noktas›n›n koordinatlar›, C x¹ + x₂

2 , y₁ + y₂

2 dir.

C noktas›n›n koordinatlar›, C x₁ + kx₂

1 + k , y₁ + ky₂ 1 + k dir.

C noktas›n›n koordinatlar›, C x¹ - kx₂

1 - k , y₁ - ky₂

1 - k d›r.

G noktas›n›n koordinatlar› G x₁ + x₂ + x₃

3 , y₁ + y₂ + y₃

3 tür.

ABC üçgenin alan›

A(ABC) = 1

2 x₁y₂ - y₃ + x₂ y₃ - y₁ + x₃ y₁ - y₂ birim karedir.

ÖZET

* Analitik geometri: Geometrinin temel kavramlar›n›, cebirsel ifllemler yard›m›yla inceleyen matemati¤in bir koludur.

* Say› do¤rusu: Say›larla, noktalar aras›nda birebir eflleme yap›lm›fl do¤ruya, say›

do¤rusu denir. Say› do¤rusu üzerindeki her nokta, bir reel say›ya karfl›l›k gelir.

* Analitik düzlem: Bir düzlem üzerindeki 0 noktas›nda birbirini dik kesen, iki yönlendirilmifl say› do¤rusudur. 0 noktas›na orijin, yatay olan say› do¤rusuna apsis ekseni, düfley olan say› do¤rusuna ordinat ekseni denir. Analitik düzlemde, her noktaya bir (x, y) reel say›

ikilisi karfl›l›k gelir. Buna, verilen noktan›n koordinatlar› denir.

* ‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k: Koordinatlar› verilen iki nokta aras›ndaki uzakl›k, bu noktalar›n apsisler fark› ile ordinatlar fark›n›n kareleri toplam›n›n kareköküne eflittir.

* B i r do¤ru parças›n›n orta noktas›n›n koordinat›: Uç noktalar› A ( x₁, y₁) ve B (x₂, y₂) olan bir AB do¤ru parças›n›n orta noktas› C ise

* Bir do¤ru parças›n› verilen bir oranda bölen noktalar›n koordinatlar›

I. Uç noktalar› A (x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda içten bölen nokta C ise

II. Uç noktalar› A (x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan AB do¤ru parças›n› verilen bir k oran›nda d›fltan bölen nokta C ise

* Üçgenin a¤›rl›k merkezi : Bir üçgende üç kenarortay›n kesiflti¤i noktaya, üçgenin a¤›rl›k merkezi denir.

Köflelerinin koordinatlar› A (x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C (x₃, y₃) olan bir üçgenin a¤›rl›k merkezi G(x₀, y₀) ise

* Üçgenin alan›: Köflelerinin koordinatlar› A (x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C (x₃, y₃) olan



ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da koordinatlar› verilen noktalar› analitik düzlemde gösteriniz.

A(1, 2) B (2, 3) C (-1, 3) D (3, 2) E (-1, -2) F (5, 0) G (0, -3) 0 (0, 0)

2. Birinci bilefleni s›f›r olan reel say› ikililerinin kümesi, analitik düzlemde neyi gösterir?

3. Afla¤›daki noktalar aras›ndaki uzakl›klar› bulunuz.

a. A(1, 2), B (3, 4) b. C (-1, 3), D (0, 2) c. E (0, 3), F (3, 0) d. G (4, 1), H (2, 1)

5. Köflelerinin koordinatlar› A(3, 2), B (0, 5), C(-3, 2) ve D (0, -1) olan dörtgenin, eflkenar dörtgen oldu¤unu gösteriniz. Bu dörtgeni analitik düzlemde çiziniz.

6. A(3, 7) ve B (7, 11) noktalar› veriliyor. AB do¤ru parças›n› dört efl parçaya bölen C, D ve E noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.

7. Uç noktalar› A(2, 2) ve B (-3, 6) olan do¤ru parças›n› oran›nda içten ve d›fltan bölen noktalar› bulunuz.

8. Köflelerinin koordinatlar› A(5, -8), B(3, 0) ve C (2, 4) olan, ABC üçgeninin G a¤›rl›k merkezinin koordinatlar›n› bulunuz.

9. Köflelerinin koordinatlar› A(3, 1), B (1, -3) ve C (2, 4) olan, üçgenin alan›n› bulunuz.

10. Köflelerinin koordinatlar› A (-4, 4), B (-1, -2), C (5, 0) ve D (2, 3) olan ABCD dörtgeninin alan›n› hesaplay›n›z. Bu dörtgenin çizimini analitik düzlemde yap›n›z.

1 3

4. Köflelerinin koordinatlar› A(4, 3), B(-3 3 , 4 3) ve C (-4, -3) olan ABC üçgenin eflkenar üçgen oldu¤unu gösteriniz.



DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ I

1. x ekseni üzerinde, apsisleri -2 < x ≤ 6 flart›n› sa¤layan ve koordinatlar› tam say› olan kaç nokta vard›r?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9

A) 2 B) C) 4 D)

3. A (3, 2) ve B (m, 6) noktalar› aras›ndaki uzakl›k 5 birim oldu¤una göre, m nin alabilece¤i de¤er, afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 6

4. A (2, 3) ve B (3, 4) noktalar›ndan eflit uzakl›kta olan bir nokta C(1, m) ise m kaçt›r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

5. A (a + 1, 4) ve B (3, b + 2) noktalar› veriliyor. [AB] nin orta noktas› C (3, 5) ise a + b de¤eri kaçt›r?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

A) (3, 2) B) (2, 3) C) (-2, 5) D) (4, 1)

A) (1, 7) B) (-7, 0) C) (2, 5) D) (2, -4)

2. A 1, 3 ve B 3, 1 oldu¤una göre, AB kaç birimdir?

6. A (3, 4) ve B (3, -1) ise AB do¤ru parças›n› AC CB = 2

3 oran›nda içten bölen C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

7. A (-3, 1) ve B (5, 3) olan AB do¤ru parças›n› CA CB = 1

3 oran›nda d›fltan bölen bölen C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

2 2 6 - 2

.

6.

7.

2.

8 . (5 - a, a - 3) noktas› analitik düzlemde I. bölgede oldu¤una göre, a n›n kaç tane de¤eri vard›r?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 4

9. (2a + b - 5, 4) ile (a, b + 1) ikilileri ayn› noktay› gösterdi¤ine göre, bu noktan›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) (1, 3) B) (2, 3) C) (3, 4) D) (1, 4)

10. A(a +1, 3) ve B(2, b + 3) noktalar› veriliyor. [AB] n›n orta noktas› C(3, 4) oldu¤una göre, a.b nin de¤eri kaçt›r?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

11. Köflelerinin koordinatlar› A(a, b), B(-2, 4) ve C (3, 1) olan ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi G(-1, 2) oldu¤una göre, A köflesinin koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) (1, 3) B) (2, 4) C) (-4, 1) D) (3, 2)

12. Köflelerinin koordinatlar› A(2, 4), B(4, 6) ve C(7, 2) olan ABC üçgeninin [AB]

kenar›na ait kenarortay›n›n uzunlu¤u kaç birimdir?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7

13. A (1, 3), B(-5, 5) ve C(-2, a) noktalar›n›n do¤rusal olmas› için a kaç olmal›d›r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

14. A(3, 5) ve C(-1, 1) noktalar› bir karenin karfl›l›kl› (ayn› köflegen üzerinde bulunan) iki köflesine ait nokta oldu¤una göre, bu karenin alan› kaç birim karedir?

A) 9 B) 16 C) 25 D) 36

15. A(3, 4), B(1, 2) noktalar›ndan eflit uzakl›kta ve x ekseni üzerinde olan noktan›n apsisi kaçt›r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

16. A(a, b) noktas›n›n koordinatlar› aras›nda a + 2b = -1 ve 2a - b = 8 ba¤›nt›lar› varsa, bu nokta koordinat sisteminin hangi bölgesindedir?

A) I. B) II. C) III. D) IV.

2 1 . A(3 , 0) ve B (1 , 2)noktalar›ndan eflit uzakl›kta olan bir nokta, C (m, 5) ise m kaçt›r?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

22. Bir ABCD paralelkenar›n›n köflelerinin koordinatlar› A(-1, 2), B(1, a), C(2, 5) ve D(b, 4) ise a + b nin de¤eri kaçt›r?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9

23. Analitik düzlemde A(1, -3) noktas›ndan 5 birim uzakl›kta olan noktalar›n geometrik yerinin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir?

24. Köflelerinin koordinatlar› A(-3, a) , B (b, -3) ve C(2, -1) olan ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi, bafllang›ç noktas› (orijin) oldu¤una göre, bu üçgenin alan› kaç birim karedir?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 11

25. y ekseni üzerinde olan A(0, 2) ve B(2, 4) noktalar›na eflit uzakl›kta bulunan noktan›n ordinat› kaçt›r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

1 7 . A(a + 2, a + 1) noktas›n›n y eksenine göre simetri¤i B(2a - 5, b) noktas›d›r. C(1, -4) oldu¤una göre, ABC üçgeninin alan› kaç birim karedir?

A) 9 B) 18 C) 24 D) 36

18. A(1, 4), B(-2, 3) ve C(x, 1) noktalar› bir üçgenin köflelerinin koordinatlar› ise x ‘in de¤eri afla¤›dakilerden hangisi olamaz?

A) -8 B) -6 C) 2 D) 4

19. ABC üçgeni bir eflkenar üçgendir. Taban›na ait, B(-2, 0) ve C(6, 0) noktalar›n›n koordinatlar› oldu¤una göre, A noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) (2, 4√3) B) (4, 3) C) D) (3, 6)

20. A(1, 3) ve B (2, 5) noktalar› veriliyor. AB do¤rusu üzerinde 3 |AC| = 5 |BC| flart›n›

sa¤layan, C noktas›n›n koordinatlar› afla¤›dakilerden hangisidir?

A 113 , 15

2 B 2

2 , 13

5 C 13

8 , 17

4 D 15

8 , 15 2 4 3, 3

A) B) C) D)

A) x² + y² - 2x - 6y + 15 = 0 B) x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0

C) x² +y² + x - 3y + 25 = 0 D) x² + y² - x + 3y - 25 = 0

A) x² + y² - 2x - 6y + 15 = 0 B) x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0

C) x² +y² + x - 3y + 25 = 0 D) x² + y² - x + 3y - 25 = 0 A) x² + y² - 2x - 6y + 15 = 0

B) x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0 C) x² +y² + x - 3y + 25 = 0 D) x² + y² - x + 3y - 25 = 0

A) x² + y² - 2x - 6y + 15 = 0 B) x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0

C) x² +y² + x - 3y + 25 = 0 D) x² + y² - x + 3y - 25 = 0 B)

D) A)

C)