ÜN‹TE III. ÇEMBER‹N ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹

ÜN‹TE III.

ÇEMBER‹N

ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹



1. G‹R‹fi

2. ÇEMBER‹N DENKLEM‹

3. MERKEZLER‹ OR‹J‹NDE, EKSENLER ÜZER‹NDE V E YA EKSENLERE T E ⁄ E T OLAN ÇEMBERLER‹N DENKLEM‹

4. ÇEMBER‹N GENEL DENKLEM‹

5. VER‹LEN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN ÇEMBER‹N DENKLEM‹

6. B‹R DO⁄RU ‹LE B‹R ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI 7. ‹K‹ ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMU

8. TE⁄ET VE NORMAL‹N DENKLEMLER‹

I. B i r ç e m b e re, üze rindeki bir noktada n çizilen te¤et ve nor malin denklemi II. Bir çembere, d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemi

9. B‹R ÇEMBER‹N B‹R NOKTAYA GÖRE KUVVET‹

1 0 . ‹K‹ ÇE MBE R‹N KUVVE T E K S E N ‹ 11. ÜÇ ÇEMBER‹N KUVVET MERKEZ‹

12. ÇEMBER‹N PARAMETR‹K DENKLEM‹

13. ÇEMBER‹N DÜZLEMDE AYIRDI⁄I BÖLGELER ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER

ÖZET

ALIfiTIRMALAR

DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ III

48

* Çember denklemini ve bu denklemin özeliklerini tan›yabilecek,

* Analitik düzlemde bir çemberin belirlenmesi için, gerekli flartlar› aç›klayabilecek ve çemberin denklemini tan›yabilecek,

* Merkezinin koordinatlar› ile yar›çap uzunlu¤u verilen bir çemberin denklemini yazabilecek,

* Merkezi orijinde olan ve yar›çap uzunlu¤u verilen çemberin denklemini (merkezil çember denklemi) yazabilecek,

* Merkezleri orijinde, eksenler üzerinde veya eksenlere te¤et olan çemberlerin denklemlerini örneklerle aç›klayabilecek,

* Genel denklemi verilen bir çemberin merkezinin kordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulabilecek,

* Çember üzerinde üç noktas› verilen çemberin denklemini yazabilecek ve bunlar›n yar›çap uzunlu¤u ile merkezinin koordinatlar›n› bulabilecek,

* Verilen bir do¤ru ile bir çemberin birbirine göre durumlar›n› inceleyerek de¤me noktalar›n› bulabilecek,

* Verilen iki çemberin birbirine göre durumlar›n› inceleyebilecek,

* Bir çembere, üzerindeki bir noktadan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazabilecek,

* Bir çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemlerini yazabilecek,

* Bir çemberin bir noktaya göre kuvvetini bulabilecek,

* ‹ki çemberin kuvvet ekseni denklemini yazabilecek,

* Üç çemberin kuvvet merkezini bulabilecek,

* Çemberin parametrik denklemlerini yazabilecek.

* Çemberin düzlemde ay›rd›¤› bölgeleri tesbit edebileceksiniz.

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI

☞

* Çemberin analitik incelenmesini daha iyi anlayabilmesi için daha önce matematik dersinde okudu¤unuz çember ve daire konusundaki tan›mlar›, temel kavramlar›

ve problemleri tekrar inceleyiniz.

* ‹fllenen konuyla, sorulan soru aras›nda ba¤›nt› kurarak çözülmüfl örneklerden faydalanarak, hangi bilginin kullan›labilece¤ini tespit ediniz.

* Konuyla ilgili çok say›da örnek ve al›flt›rma çözünüz.

* Ünitedeki örnek ve al›flt›rmalar› çözünüz. Analitik düzlemde verilenleri çizerek çal›fl›n›z.

* Geçmifl konular› tekrar ediniz.

* Ünitenin sonundaki al›flt›rma ve de¤erlendirme testini çözünüz, de¤erlendirme testini cevap anahtar› ile karfl›laflt›r›n›z.

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

50

❂

ÇEMBER‹N ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹

1. G‹R‹fi

Analitik düzlemde ayn› özelikteki noktalar birlefltirilirse, bazen bir do¤ru, bazen de bir e¤ri meydana getirir. Her do¤runun bir denklemi oldu¤u gibi, her e¤rininde bir denklemi vard›r.

E¤rilerin denklemi ikinci dereceden ya da daha çok dereceden olabilir.

Verilen bir e¤rinin üzerindeki her noktan›n koordinatlar› taraf›ndan sa¤lanan ba¤›nt›ya, e¤rinin denklemi denir.

Çember denklemi x ve y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu bölümde çember denklemini ve çemberin analitik incelenmesini görece¤iz.

2. ÇEMBER‹N DENKLEM‹

Düzlemde sabit bir noktaya eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n kümesine (geometrik yerine) çember denir. Verilen sabit noktaya çemberin merkezi, eflit uzakl›¤a da, çemberin yar›çap› denir.

Analitik düzlemde merkezi

Karfl›t olarak ,çember üzerinde verilen her P (x, y) noktas›

Aalitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için, merkezinin koordinatlar›n›n ve yar›çap uzunlu¤unun bilinmesi gerekir.

ve yar›çap uzunlu¤u | MP | = r olan çemberin denklemini bulal›m. (fiekil3.1)

(‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k t a n › m › n d a n )

O

x y

M(a,b) P(x,y)

M a, b

MP = x - a² + y - b² MP ² = x - a² + y - b²

x - a² + y - b² = r² elde edilir.

Bu ba¤›nt› çemberin denklemidir.

Denklemi x - a² + y - b² = r² olan ve bu eflitli¤ini sa¤layan her P x, y noktas›, merkezi M a , b ve yar›çap uzunlu¤u r olan çemberin üzerindedir.

x - a² + y - b² = r² çember denklemini sa¤lar.

fiekil 3.1

➠

ÖRNE K 1

Merkezinin koordinatlar› M(2, 3) ve yar›çap uzunlu¤u r = birim olan çemberin denklemini yazal›m. Ayr›ca P (1, 5) noktas›n›n bu çemberin üzerinde oldu¤unu gösterelim.

ÇÖZÜM 1

Genel olarak merkezi M(a, b) noktas› ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan çemberin denklemi,

Merkezi M(2, 3) noktas› ve yar›çap uzunlu¤u r = birim olan çemberin denklemi

P (1, 5) noktas› verilen çemberin üzerinde olabilmesi için, P(1 , 5) noktas›n›n koordinatlar› bu, çemberin denklemini sa¤lamas› gerekir.

Buna göre P (1, 5) noktas›n›n koordinatlar›n›n, çemberin denklemini sa¤l›yor.

O hâlde, P noktas› çember üzerindedir.

3. MERKEZ‹ OR‹J‹NDE, EKSENLER ÜZER‹NDE VEYA EKSENLERE TE⁄ET OLAN ÇEMBER‹N DENKLEM‹

I. Merkezi orijinde olan (merkezcil) çemberin denklemi

Merkezi orijinde, [koordinat eksenlerinin kesiflti¤i nokta O(0, 0 )] ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan çemberin denklemini yazal›m.

Çemberin genel denklemi olan,

Bu denkleme yar›çap uzunlu¤u r olan merkezcil çemberin denklemi denir.

Mer kezcil çembe rin denklemi

❂

x - a² + y - b² = r² dir.

x - 2² + y - 3² = 5 olur.

x - 2² + y - 3² = 5 denkleminde x = 1 ve y = 5 yaz›l›rsa, 1 - 2²+ 5 - 3² = 5

-1² + 2² = 5

5 = 5 eflitli¤i elde edilir.

x-2² + y-3² = denkleminde x = 1 ve y = 5 yaz›l›rsa 1 - 2²+ 5 - 3² = 5

-1² + 2² = 5 5 = 5 elde edilir.

O

x y

x - a² + y - b² = r² denkleminden x - 0² + y - 0²= r² bulunur.

Buradan x² + y² = r² denklemi elde edilir.

x² + y²= r² dir.

5

5

x - 2² + y - 3² = 5 denkleminde x = 1 ve y = 5 yaz›l›rsa, 1 - 2²+ 5 - 3² = 5

-1² + 2² = 5

5 = 5 eflitli¤i elde edilir.

x - 2² + y - 3² = 5 denkleminde x = 1 ve y = 5 yaz›l›rsa, 1 - 2²+ 5 - 3² = 5

-1² + 2² = 5

5 = 5 eflitli¤i elde edilir.

fiekil 3.2

(fiekil 3.2) Buna göre;

➠

52

ÖRNEK 2: Yar›çap uzunlu¤u r = 5 birim ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini yazal›m.

II. Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi

III. Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi ÇÖZÜM 2:

Çemberin merkezi x ekseni üzerinde oldu¤undan, a ≠ 0 ve b = 0 d›r. Yani çemberin merkezi M (a , 0) olur. Yar›çap uzunlu¤u r birim ise çemberin denklemi,

ÖRNEK 3: Merkezi x ekseni üzerinde 4 noktas›nda bulunan ve yar›çap uzunlu¤u r = 3 birim olan çemberin denklemini yazal›m.

Ç Ö Z Ü M 3: Çemberin merkezi x ekseni üzerinde a = 4 ve b = 0 oldu¤undan M (4, 0) d›r. r = 3 birim ise çemberin denklemi,

Çemberin merkezi y ekseni üzerinde oldu¤undan, a = 0 ve b ≠ 0 d›r. Çemberin merkezi M(0 , b) olur. Bu çemberin yar›çap u z u n l u ¤ u r birim ise çemberin denklemi,

Ö R N E K 4: Merkezi y ekseni üzerinde 2 noktas›nda bulunan ve yar›çap uzunlu¤u 6 birim olan çemberin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 4 : Çemberin merkezi y ekseni üzerinde oldu¤undan M(0, 2) dir. r = 6

birim ise çemberin denklemi, (fiekil 3.3)

(fiekil 3.4)

M 0 , 0 ve r = 5 birim oldu¤undan,

x - a² + y - b² = r² denkleminden, x - 0² + y - 0² = 5² ; x² + y² = 25 olur.

x - a² + y² = r² olur.

O

x y

M(a,o)

x - 4² + y² = 9 olur.

x² + y - b² = r² olur.

O x

y

{

x² + y - 2² = 36 olur.

fiekil 3.3

fiekil 3.4

IV. x eksenine te¤et olan çemberin denklemi

V. y eksenine te¤et ola n çemberin denklemi Çember x eksenine te¤et oldu¤undan

| b | = r dir. Çemberin merkezi M (a , r ) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin

denklemi

Ö R N E K 5: Çemberin merkezi M (-3 , 2) ve x eksenine te¤et olan çemberin denklemini yazal›m.

Ç ÖZÜM 5: Çemberin merkezi M(-3, 2) ve x eksenine te¤et oldu¤undan

| b | = r = 2 birimdir. Buna göre çember denklemi,

Çember y eksenine te¤et oldu¤undan

| a | = r dir. Çemberin merkezi M (r , b ) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi

ÖRNEK 6: Çemberin merkezi M(3 , 1) ve y eksenine te¤et olan çemberin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 6 : Çemberin merkezi M(3 , 1) ve y eksenine te¤et oldu¤undan | a | = r = 3 b i r i m d i r.

Buna göre çember denklemi, (fiekil 3.5)

(fiekil 3.6) x - a² + y - r² = r² olur.

O x

y

M(a,r)

x - a² + y - b² = r² ifadesinden, x + 3² + y - 2² = 4 olur.

x - r² + y - b² = r² olur.

O x

y

M(r,b)

x - a² + y - b² = r² ifadesinden x - 3² + y - 1² = 9 olur.

fiekil 3.5

fiekil 3.6

54

O x

y

M2 M1

M3 M4

r

r

x - r² + y - r² = r² olur.

x + r² + y - r² = r² olur.

x + r² + y + r² = r² olur.

x - r² + y + r² = r² olur.

x - a² + y - b² = r² ifadesinden x - 4² + y - 4² = 16 olur.

x - a² + y - b² = r² ifadesinden x - 4² + y - 4² = 16 olur.

O x

y

2

- 4

M

VI. Her iki eksene te¤et olan çember in denklemi Eksenlere I. ve III. bölgede te¤et olan

çemberlerin merkezi, y = x denklemiyle verilen I. aç›ortay do¤rusu üzerindedir.

Eksenlere II. ve IV. bölgede te¤et olan çem- berlerin merkezleri de y = - x olan, II. aç›ortay do¤rusu üzerinde bulunur.

(fiekil 3.7)

ÖRNEK 7: Merkezi 2x - y - 4 = 0 do¤rusu üzerinde bulunan ve her iki eksene I. bölgede te¤et olan çemberin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 7: Çember her iki eksene te¤et ve I. bölgede oldu¤u için çemberin merkezi M(r , r) dir. (fiekil 2. 8) Çemberin merkezi 2x - y = 0 olan do¤ru üzerinde oldu¤undan, koordinatlar› bu denklemi sa¤lar. 2r - r = 4 , r = 4 birim olur. Buna göre çember denklemi:

M₁ merkezli çemberde; M₁(r, r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi:

M₂ merkezli çemberde; M₂(-r , r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi :

M₃ merkezli çemberde; M₃ (-r , - r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi:

M₄ merkezli çemberde; M₄ (r , - r) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi:

fiekil 3.7

fiekil 3.8

4. ÇEMBER‹N GENEL DENKLEM‹

Merkezi M(a , b) ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan çemberin denklemi,

A x² + Bxy + C y²+ Dx + Ey + F = 0 biçiminde verilen denklemler hem x, hem de y ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin bir çember denklemi olabilmesi için; A= C ≠ 0, B = 0 ve D²+E²- 4F > 0 olmal›d›r.

Verilen x²+ y² + Dx + Ey + F = 0 çember denkleminde;

a. F < 0 ise denklem bir çember belirtir.

b. D = 0 ise çemberin merkezi y ekseni üzerindedir.

c. E = 0 ise çemberin merkezi x ekseni üzerindedir.

d. D = 0 ve E = 0 ise, çemberin merkezi orijindedir.

❂

x - a² + y - b² = r² fleklindedir. Parantezler aç›l›r ve gerekli düzenlemeler yap›l›rsa;

x² + y² - 2ax - 2by +a² + b²- r² = 0 elde edilir. -2a= D, -2b= E ve a² + b² - r²= F al›narak, x² + y² + Dx + Ey + F = 0 çemberin genel denklemi bulunur.

Bu denklemden, çemberin merkezinin koordinatlar›:

D = 2a ise a= - D

2 ; E = -2b ise b = - E

2 ve M - D 2 , - E

2 olur.

F = a²+b²- r² ; F = - D 2

2 + - E 2

2 - r² ise F = D 4

2 + E 4

2 - r² dir.

Buradan yar›çap uzunlu¤u; r² = D 4

2 + E 4

2 - F ise, r = 1

2 D²+E²- 4F birim olur.

Verilen x² + y² + Dx +Ey + F = 0 çember denkleminde, D² + E² - 4F ifadesine çemberin diskriminantı denir.

a. D² + E² - 4F > 0 ise, çember denklemi reel çemberi gösterir.

Bu çemberin merkezi M - D 2 , - E

2 noktas› ve yar›çap uzunlu¤u, r = 1

2 D² +E² - 4F birimdir.

a. D² + E² - 4F > 0 ise, çember denklemi reel çemberi gösterir.

Bu çemberin merkezi M - D 2 , - E

2 noktas› ve yar›çap› uzunlu¤u, r = 1

2 D² +E² - 4F birimdir.

b. D² + E² - 4F = 0 ise, çember denklemi bir nokta gösterir.

Bu nokta çemberin merkezi olup M - D 2 , - E

2 dir.

c. D² + E² - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir.

Böyle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez.

a. D² + E² - 4F > 0 ise, çember denklemi reel çemberi gösterir.

Bu çemberin merkezi M - D 2 , - E

2 noktas› ve yar›çap› uzunlu¤u, r = 1

2 D² +E² - 4F birimdir.

b. D² + E² - 4F = 0 ise, çember denklemi bir nokta gösterir.

Bu nokta çemberin merkezi olup M - D 2 , - E

2 dir.

c. D² + E² - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir.

Böyle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez.

➠

56

ÖRNEK 8: x²+ y²- 8x + 6y + 15 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar›n›

ve yar›çap›n›n uzunlu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 8: Çember denkleminde, D = -8, E = 6 ve F = 15 tir. Buna göre,

ÖRNEK 9

Afla¤›daki denklemlerden hangisinin analitik düzlemde bir çember belirtti¤ini bulal›m.

a. x²+ y²+ 3xy + 2x + 3y - 12 = 0 b. 3x²+ 4y² - 25 = 0

c. x²+ y²- 2x + 4y + 5 = 0 d. x²+ y²+ 3x + y + 9 = 0 e. x²+ y²+ 2x - 6y - 15 = 0 ÇÖZÜM 9

a. x²+ y²+ 3xy + 2x + 3y - 12 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez.

Çünkü bu denklemde xy li terim vard›r.

b. 3x²+ 4y² - 25 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü bu denklemde x²ve y²nin katsay›lar› farkl›d›r.

c. x²+y² - 2x + 4y + 5 = 0 denklemi , analitik düzlemde bir çember belirtmez.

d. x²+ y² + 3x + y + 9 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez.

Çünkü, D² + E²- 4F =

Çünkü, D²+ E²- 4F = Çemberin merkezi : a = - D

2 ise, a = - -8

2 = 4 tür. b = - E

2 ise, b = - 6

2 = - 3 tür.

O halde, M 4 , - 3 olur.

Çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u:

r = 1

2 D² + E²- 4F ise, r = 1

2 -8² + 6²- 4 15 = 1

2 64 +36 - 60 r = 1

2 40 = 10 birim olur.

Çemberin merkezi : a = - D

2 ise, a = - -8

2 = 4 tür. b = - E

2 ise, b = - 6

2 = - 3 tür.

O halde, M 4 , - 3 olur.

Çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u:

r = 1

2 D² + E²- 4F ise, r = 1

2 -8² + 6²- 4.15 = 1

2 64 +36 - 60 r = 1

2 40 = 10 birim olur.

-2² + 4² - 4. 5 = 4 +16 - 20 = 0 oldu¤undan bu bir noktad›r.

-2² + 4² - 4 5 = 4+16 - 20 = 0 Bu bir noktad›r. Bu noktan›n koordinatlar›:

a = - D 2 = - -2

2 = 1 ve b= - D 2 = - 4

2 = - 2 olup M 1 , -2 dir.

d.

a = - D 2 = - -2

2 = 1 dir. b = - E 2 = - 4

2 = - 2 dir. M 1 , -2 olur.

3² + 1² - 4 .9 = 9 + 1 - 36 = - 26 < 0 d›r.

e. x²+ y² + 2x - 6y - 15 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtir.

5. VER‹LEN ÜÇ NOKTADAN GEÇEN ÇEMBER‹N DENKLEM‹

Çemberin geçti¤i üç nokta A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃ , y₃) olsun.

Bu üç noktadan geçen bir çember denklemini yazabiliriz.

Çemberin genel denklemi x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 oldu¤undan ve A(x₁ , y₁) noktas› çember üzerinde oldu¤undan ,

ÖRNEK 10 A(0 , -4), B(0 , 4) ve C(4 , 0) noktalar›ndan geçen çemberin denklemini bulal›m.

ÇÖZÜM 10

Bu çemberin merkezi, a = - D 2 = - 2

2 = -1 ve b= - E 2 - -6

2 = 3 tür.

O halde, M -1 , 3 olur.

Yar›çap uzunlu¤u : r = 1

2 D²+E² -4F ifadesinden r = 1

2 2² + -6² - 4 -15 r= 1

2 4 + 36 + 60 = 1

2 100 = 10

2 = 5 birim olur.

x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0 (I.)

B x ₂ , y ₂ noktas› çember üzerinde oldu¤undan x₂² + y₂² + Dx₂ + Ey₂ + F = 0 (II.)

C x 3 , y 3 noktas› çember üzerinde oldu¤undan x₃² + y₃² + Dx₃ + Ey₃ + F = 0 (III.)

I., II. ve III. denklem sisteminden D, E ve F bilinmeyenleri bulunarak çember denklemi bulunur.

çember denklemi bulunur.

Bu denkleme, köflelerinin koordinatlar› A x₁ , y₁ , B x₂ , y₂ ve C x₃ , y₃ olan üçgenin çevrel çemberinin denklemi denir.

Çemberin genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 d›r.

0 + 16 + 0 - 4E + F = 0

-4E + F + 16 = 0 dir. (I.) -4E + F + 16 = 0 d›r. (I.) B (0 , 4) noktas› için, 0²+ 4² + D 0 + E 4 + F = 0

0 + 16 + 0 + 4E + F = 0 4E + F + 16 = 0 d›r. II.

Çemberin genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 dir.

A(0 , - 4) noktas› için, 0² + -4² + D 0 + E -4 + F = 0

❂

58

I. ve II. denklemlerinin çözümünden; I. ve III. denklemlerinin çözümünden;

Bu de¤erler (I. ) denklemde uygulan›rsa -4E - 16 + 16 = 0 - 4E = 0 oldu¤undan E = 0 d›r ve D = 0 olur.

O halde, çemberin denklemi x²+ y²- 16 = 0 olur.

6. B‹R DO⁄RU ‹LE B‹R ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI Düzlemde bir çember ile bir do¤ru verildi¤inde üç durum vard›r. Analitik düzlemde bir d do¤rusu ile merkezi M(a, b) ve yar›çap uzunlu¤u r birim olan bir çember alal›m. Çember merkezinin d do¤rusuna dik olarak uzakl›¤›

l

Analitik düzlemde denklemi y = mx + n olan do¤ ru ile denklemi x² + y²= r² olan çemberin kesim noktalar›n› bulal›m.

C(4 , 0) noktas› için, 4²+ 0²+ D 4 + E 0 + F = 0

16 + 0 + 4D + 0 + F = 0 4D + F + 16 = 0 d›r. III.

-4E + F + 16 = 0 4E + F + 16 = 0 2F + 32 = 0 F = - 16 olur.

-4Ee + F + 16 = 0 4E + F + 16 = 0 2F + 32 = 0 F = - 16 olur.

-4Ee + F + 16 = 0 4E + F + 16 = 0 2F + 32 = 0 F = - 16 olur.

-4Ee + F + 16 = 0 4E + F + 16 = 0 2F + 32 = 0 F = - 16 olur.

+

x² + mx + n² - r² = 0 denklemini çözersek, x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0

x² 1 + m² +2mnx + n² - r² = 0 Bu denklemin köklerini bulursak,

x² + mx + n² - r² = 0 denklemini çözersek, x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0

x² 1 + m² +2mnx + n² - r² = 0 Bu denklemin köklerini bulursak, x² + mx + n² - r² = 0 denklemini çözersek,

x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0 x² 1 + m² +2mnx + n² - r² = 0 Bu denklemin köklerini bulursak,

x² + mx + n² - r² = 0 denklemini çözersek, x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0

x² 1 + m² +2mnx + n² - r² = 0 Bu denklemin köklerini bulursak,

-4E + F + 16 = 0 +4D + F + 16 = 0 -4E - 4D = 0

E = -D olur.

O x

y

l > r H M(a,b)

d

Do¤ru çemberi kesmez

O x

y

l = r H M(a,b)

d

Do¤ru çembere te¤ettir

O x

y

l < r H M(a,b)

d

Do¤ru çemberi farkl› iki noktada keser A

B

Denklemi y = mx + n olan do¤ru ile denklemi x² + y² = r² olan çemberin

fiekil 3.9 fiekil 3.10 fiekil 3.11

kesim noktalar›n› bulmak için bu denklemlerin ortak çözümü yap›l›r.

ÖRNEK 11: y = x + 3 do¤rusu ile x² + y² + 6x - 2y + 5 = 0 çemberi veriliyor.

Do¤ru ile çemberin kesim noktalar›n› bulal›m.

ÇÖZÜM 11: Verilen do¤ru ile çemberin kesim noktalar›n› bulmak için, bu denklemlerin ortak çözümü yap›l›r.

2x²+ 10x + 8 = 0 veya x²+ 5x + 4 = 0 olur. Bu denklemi çözersek, Δ′= b′² - ac = m²n² - 1 + m² n² - r² denklemini sadelefltirirsek

Δ = r² m² + 1 - n² olur.

x₁,x₂ = -mn ± 1 + m² r² - n²

1 + m² ve y₁, y₂ = n + 1+m² r² - n²

1 + m² bulunur.

A x₁, y₁ ve B x₂, y₂ noktalar› do¤ru ile çemberin kesim noktalar›d›r.

a. r² m² + 1 - n² < 0 ise, do¤ru çemberi kesmez. (fiekil 3. 9)

b. r² m² + 1 - n² > 0 ise, do¤ru çemberi keser ve iki kesim noktas› vard›r. (fiekil 3.11) c. r² m² + 1 - n² = 0 ise, do¤ru çembere te¤ettir. (fiekil 3.10)

r² m² + 1 - n² = 0 ifadesine, de¤me flart› denir.

x² + y² = r² çemberine, y = mx + n do¤rusu te¤et ise bu te¤etin de¤me noktas›;

H x₀, y₀ olsun Δ′ = 0 oldu¤undan, x₀ = -mn

1 + m² d›r. y₀ = n

1 + m² dir.

Ayr›ca ; r² 1 + m² - n² = 0 oldu¤undan, 1+ m² = n² r² dir.

Buradan ; x₀ = -mn n² r²

= -r²m

n d›r. y⁰ = n n² r²

= rn dir. ²

O halde, de¤me noktas› H - r²m n , r²

n olur.

x² + x + 3² + 6x - 2 x + 3 + 5 = 0 Bu denklemi sadelefltirirsek x² + x² +6x + 9 + 6x - 2x - 6 + 5 = 0

Δ = b² -4ac = 5² - 4 1 4 = 25 - 16 = 9

y₁ = x₁ + 3 ; y₁ = -4 + 3 ; y₁ = -1 dir.

y₂ = x₂ + 3 ; y₂ = -1 + 3 ; y₂ = 2 dir.

O halde, do¤ru ile çemberin kesim noktalar›

A -4 , -1 ve B -1, 2 olur.

x₁, x₂ = -5 ± 3

2 oldu¤undan, x₁ = -5 - 3 2 = -8

2 = - 4 ve x₂ = -5 + 3 2 = -2

2 = - 1 dir.

x₁ x₂ = -5 ± 3

2 oldu¤undan, x₁ = -5 - 3 2 = -8

2 = - 4 ve x₂ = -5 + 3 2 = -2

2 = - 1 dir.

x₁ x₂ = -5 ± 3

2 oldu¤undan, x₁ = -5 - 3 2 = -8

2 = - 4 tür. ve x₂ = -5 + 3 2 = -2

2 = - 1 dir.

x² + x² + 6x + 9 + 6x - 2x - 6 + 5 = 0

Bu de¤erler do¤ru denkleminde uygulan›rsa,

❂

60

❂

7. ‹K‹ ÇEMBER‹N B‹RB‹R‹NE GÖRE DURUMLARI

Denklemleri; x²+ y²+ D₁x + E₁y + F₁= 0 ve x²+ y²+ D₂x + E₂y + F₂= 0 olan çemberlerin birbirine göre durumlar›n› incelerken, bu çember denklemlerinin oluflturdu¤u denklem sisteminin çözümü yap›l›r.

Bu denklemlerden x ya da y çekilerek çember denklemlerinin birinde yerine yaz›l›rsa, ikinci dereceden bir denklem meydana gelir.

Bu denklemi çözerken, önce denklemin diskriminant›n›n de¤eri bulunur. Buna göre;

a. Δ < 0 ise, çemberler kesiflmezler. Ortak noktalar› yoktur.

b. Δ = 0 ise, çemberler birbirine te¤ettir.

c. Δ > 0 ise, çemberler A ve B gibi farkl› iki noktada kesiflir.

A ve B noktalar› verilen iki çemberin kesim noktalar› olsun. A ve B noktalar›ndan geçen baflka çemberler de vard›r. Bütün bu çemberler, bir çember demeti oluflturur.

Bu çemberlerin denklemleri k∈R olmak üzere,

ÖRNEK 12

x² + y²= 4 ve x² + y² - 2x - 5 = 0 çemberlerinin kesim noktalar›n›n koordinatlar›n›

bulal›m.

Ç ÖZÜM 12

Verilen çember denklemlerinin meydana getirdi¤i denklem sisteminin çözümü yap›l›rsa,

x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ = 0 + x² + y² + D₂x + E₂y + F₂ = 0

D₁- D₂ x + E₁- E₂ y + F₁- F₂ = 0 denklemi elde edilir.

x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ + k x² + y² + D₂x + E₂y + F₂ = 0 d›r.

x² + y² - 4 = 0

± x² + y² ± 2x ± 5 = 0 2x + 1 = 0

2x = - 1 x = - 1

2 dir.

x² + y² = 4 - 12 + y² = 4 y² = 4 - 1

4 = 15 4 y = ± 15

2 dir.

O halde verilen iki çemberin kesim noktalar› : A - 1

2 , - 15

2 ve B - 1 2 , 15

2 olur.

O halde verilen iki çemberin kesim noktalar› : A - 1

2 , - 15

2 ve B - 1 2 , 15

2 olur.

O halde verilen iki çemberin kesim noktalar› : A - 1

2 , - 15

2 ve B - 1 2 , 15

2 olur.

O halde verilen iki çemberin kesim noktalar› : A - 1

2 , - 15

2 ve B - 1 2 , 15

2 olur.

x² + y² - 4 = 0

+ x² + y² ± 2x ± 5 = 0 2x + 1 = 0

2x = - 1 x = - 1

2 dir.

x² + y² - 4 = 0

± x² + y² ± 2x ± 5 = 0 2x + 1 = 0

2x = - 1 x = - 1

2 dir.

x² + y² - 4 = 0

± x² + y² ± 2x ± 5 = 0 2x + 1 = 0

2x = - 1 x = - 1

2 dir.

x² + y² - 4 = 0

± x² + y² ± 2x ± 5 = 0 2x + 1 = 0

2x = - 1 x = - 1

2 dir.

- 12

2 + y² = 4 x² + y² = 4

- 12 + y² = 4 y² = 4 - 1

4 = 15 4 y = ± 15

2 dir.

x² + y² = 4 - 12 + y² = 4 y² = 4 - 1

4 = 15 4 y = ± 15

2 dir.

8. TE⁄ET VE NORMAL‹N DENKLEMLER‹

Bir do¤ru ve bir çember verildi¤inde, do¤ru ile çemberin bir tek ortak noktalar›

varsa bu do¤ruya, çemberin te¤eti ve ortak noktaya da te¤etin de¤me noktas› denir.

Bir te¤ete de¤me noktas›nda dik olan do¤ruya da çemberin bu noktadaki normali d e n i r.

I. Bir ç e m b e re üzerindeki bir noktadan çizilen te¤et ve nor malin denklemi a. Merkezinin koordinatlar› M(a , b) ve

çember üzerindeki P ( x₁, y₁) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazal›m.

(fiekil 3.12)

Normalin denklemi

(fiekil 3.12) deki çembere üzerindeki P(x₁ , y₁) noktas›ndan çizilen te¤etin e¤imi m_Tve normalin e¤imi de m_N olsun.

Normalin denklemi P(x1 , y1) noktas›ndan geçti¤inden Normal do¤rusunun denklemi

Te¤etin denklemi

Te¤et de¤me noktas›nda normale dik oldu¤undan te¤etin e¤imi,

Bu denklem çemberin yar›çap›n›n uzunlu¤u kullan›larak, ( x₁ - a) (x - a) + (y₁- b) (y - b) = r² fleklinde de yaz›labilir.

ÖRNEK 13: Merkezinin koordinatlar› M (1, 2) olan çemberin üzerindeki P(0, 4) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 13: Te¤etin denklemi; (x - x₁) (x₁- a) + (y- y₁) (y₁- b) = 0 oldu¤undan (x - 0) (0 - 1) + (y - 4) (4 - 2) = 0; - x + 2y - 8 = 0 veya x - 2y + 8 = 0 olur.

Normalin denklemi; (x - x₁) (y₁- b) - (y - y₁) (x₁- a) = 0 oldu¤undan (x - 0) (4 - 2) - (y - 4) (0 - 1) = 0 dan; 2x + y - 4 = 0 olur.

❂

x y

M(a,b)

O

P(x₁, y₁)

α

Normalin e¤imi: m_N = tan α = y₁ - b x₁ - a d›r.

y - y₁ = y₁ - b

x₁ - a x - x₁ olur.

x - x₁ y₁ - b - y - y₁ x₁- a = 0 d›r.

m_T = - x₁ - a

y₁ - b dir. Te¤et do¤rusu P x₁ , y₁ noktas›ndan geçti¤inden, m_T = - x₁ - a

y - b dir. Te¤et do¤rusu P x₁ , y₁ noktas›ndan geçti¤inden, y- y₁ = - x₁ - a

y₁ - b x - x₁ veya x- x₁ x₁- a + y - y₁ y₁- b = 0 fleklinde yaz›labilir.

fiekil 3.12

62

b. Çember denklemi x²+ y² + Dx + Ey + F = 0 fleklinde ise çember üzerindeki P ( x₁, y₁) noktas›ndan çizilen te¤et ve normalin denklemini yazal›m.

Denklemi x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar›

a. fl›kk›ndaki denklemlerde gerekli ifllemler yap›ld›¤›nda,

ÖRNEK 14: Denklemi x²+ y² - 2x - 6y + 5 = 0 olan çember ile bu çember üzerinde P(3 , 4) noktas› veriliyor. Bu çemberin P(3 , 4) noktas›ndaki te¤etin ve normalin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 14: Denklemi x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0 olan çember ile çember üzerindeki nokta P(3 , 4) oldu¤undan,

c. Çember denklemi x² + y² = r² fleklinde olsun. x² + y² = r² çemberine üzerindeki P (x₁, y₁) noktas›ndan çizilen te¤etin denklemi x₁x + y₁y = r² dir.

x² + y² = r² çemberine üzerindeki P (x₁ , y₁) noktas›ndan çizilen normalin denklemi : x₁y - y₁x = 0 olur.

M a , b ise, a= - D

2 ve b= - E

2 dir. Yar›çap uzunlu¤u da r = 1

2 D² +E²- 4F dir.

Te¤et denklemi : x₁x + y₁y + D

2 x₁ + x + E

2 y₁ + y + F = 0 olur.

Normalin denklemi : x₁ + D

2 y + E

2 - y₁ + E

2 x + D

2 = 0 olur.

Te¤etin denklemi : x₁x + y₁y + D

2 x₁+ x +E

2 y₁ + y + F = 0 ifadesinden, 3x + 4y + -2

? 3 + x + -6

2 4 + y +5 =0 3x + 4y - 3 - x - 12 - 3y + 5 = 0 2x + 4 - 0 = 0 olur.

Normalin denklemi : x₁ + D

2 y + E

2 - y₁ + E

2 x + D

2 = 0 ifadesinden, 3x + 4y + -2

2 3 + x + -6

2 4 + y + 5 = 0 3x + 4y - 3 - x - 12 - 3y + 5 = 0

2x + y - 10 = 0 olur.

3 + -2

2 y + -6

2 - 4 + -6

2 x + -2 2 = 0 Normalin denklemi : x₁ + D

2 y + E

2 - y₁ +E

2 x +D

2 = 0 ifadesinden 3 + -2

2 y + -6

2 - 6 + -6

2 x + -2

2 = 0 3 - 1 y - 3 - 4 - 3 x - 1 = 0 2 y - 3 - x - 1 = 0

2y - 6 - x - 1 = 0

x - 2y + 7 = 0 olur.

Normalin denklemi : x₁ + D

2 y + E

2 - y₁ +E

2 x +D

2 = 0 ifadesinden 3 + -2

2 y + -6

2 - 6 + -6

2 x + -2

2 = 0 3 - 1 y - 3 - 4 - 3 x - 1 = 0 2 y - 3 - x - 1 = 0

2y - 6 - x - 1 = 0

x - 2y + 7 = 0 olur.

Normalin denklemi : x₁ + D

2 y + E

2 - y₁ +E

2 x +D

2 = 0 ifadesinden 3 + -2

2 y + -6

2 - 6 + -6

2 x + -2

2 = 0 3 - 1 y - 3 - 4 - 3 x - 1 = 0

2 y - 3 - x - 1 = 0 2y - 6 - x - 1 = 0

x - 2y + 7 = 0 olur.

2y - 6 - x - 1 = 0

ÖRNEK 15: Denklemi x² + y² = 25 olan çembere üzerindeki P(3,4) noktas›ndan çizilen te¤etin ve normalin denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 15: Denklemi x² + y² = r² olan çemberin üzerindeki P(x₁,y₁) noktas›ndaki te¤etin denklemi: x₁x + y₁y = r² oldu¤undan, 3x + 4y = 25 olur.

Normalin denklemi : x₁y - y₁x = 0 oldu¤undan 3y- 4x = 0 olur.

II. Bir çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te¤et denklemleri a. Ç e m b e r d e n k l e m i

(I.) ile (II.) denklemleri ortak çözülürse,

denklemi bulunur.

Bir bilinmeyenli bu ikinci derece denklemi çözülürse m₁ ve m₂ d e ¤ e r l e r i bulunur. Bu de¤er (1) de yerine konursa n₁ ve n₂de¤erleri bulunur.

Böylece te¤et denklemleri;

t₁: y = m₁x + n₁ve

t₂: y = m₂x + n₂ fleklinde olur.

ÖRNEK 16

ÇÖZÜM 16: fiekil 3.14’ te, P noktas›ndan çembere çizilen te¤et denklemleri y = mx + n dir. P(-1 , 3) oldu¤undan, 3 = - m + n ise, n = m + 3 (I)

x - a² + y - b² = r² ve d›fl›ndaki nokta P x₁ , y₁ olsun.

Te¤et denklemleri y = mx + n fleklindedir. (fiekil 3.13) P x₁ , y₁ noktas›

te¤et denklemini sa¤lad›¤›ndan y₁ = mx₁ + n ve n = y₁ - mx₁ olur. (I.)

Çemberin merkezi olan M(a , b) noktas›n›n te¤ete olan uzakl›¤› r birim ise, r = ma- b + n

1+m² veya ma- b + n² = r² 1 + m² (II.) fleklinde yaz›l›r.

x y

M(a,b) O

A

B

P(x₁, y₁)

ma- b + y₁ - mx₁² = 1+m² r²

x - 3² + y - 3² = 4 çemberi ve bu çember d›fl›nda P -1 , 3 noktas› veriliyor.

P noktas›ndan geçen bu çembere te¤et olan do¤rular›n denklemlerini yazal›m.

Çemberin Merkezi M (3 , 3) noktas›n›n, bu te¤etlere olan uzakl›¤› yar›çapa eflit

fiekil 3.13

olaca¤›ndan, 2 = 3 m - 3 + n 1 + m²

ise, 4 1 + m² = 3m - 3 + n² dir.

64

Bu eflitlikte (I ) deki ba¤›nt› yerine konursa,

n = m+3 eflitli¤inden.

b. Çember denklemi; x²+ y²+Dx + Ey + F = 0 ve d›fl›ndaki bir nokta P(x₁, y₁) olsun.

P ( x₁ , y₁) noktas›ndan geçen e¤imi m ve çembere te¤et olan do¤runun denklemi

y = mx - mx₁+ y₁ olur. Bu da x²+ y² + Dx + Ey + F = 0 çemberinde ortak çözüm yap›larak x veya y den biri yok edilir. Do¤ru çembere te¤et oldu¤undan denklemin diskriminant› s›f›r olmal›d›r. Burada elde edilecek m₁ ve m₂ yard›m›yla n₁ ve n₂ bulunur. Böylece çembere te¤et olan çember d›fl›ndaki P(x₁, y₁) noktas›ndan geçen te¤etlerinin denklemleri yaz›lm›fl olur.

y - y₁= m (x - x₁) dir.

ÖRNEK 17: x²+ y²- 4x - 4y - 1 = 0 çemberine d›fl›ndaki P (0, 6) noktas›ndan çizilen te¤etlerinin denklemlerini yazal›m.

ÇÖZÜM 17: P(0, 6) noktas›ndan geçen e¤imi m olan do¤runun denklemi y - y₁= m (x - x₁) den y - 6 = m (x - 0) ise y = mx + 6 d›r.

x²+ y²- 4x - 4y - 1 = 0 denkleminde yerine konulursa 4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3²

4 1 + m² = 4m² 4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3

O x

y

M(3,3) A

t₁ B P(-1,3)

m = ± 1

3 = ± 3

3 olur. Buradan ; m₁ = - 3

3 ve m₂ = 3 3 dür.

m₁ = - 3

3 ve m₂ = 3 3 tür.

n₁ = - 3

3 + 3 = - 3 + 9

3 ve n₂ = 3 + 9 3 tür.

4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3² 4 1 + m² = 4m²

4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3

4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3² 4 1 + m² = 4m²

4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3

4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3² 4 1 + m² = 4m²

4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3

4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3² 4 1 + m² = 4m²

4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3

4 1 + m² = 3m - 3 + m + 3² 4 1 + m² = 4m²

4 + 4m² = 16m² 12m² - 4 = 0 4 3m² - 1 = 0 m² = 1

3 ise

fiekil 3.14

Te¤et denklemlerini yazarsak t₁ : y = - 3

3 x - 3-9

3 ve t₂ : y = 3

3 x + 3 +9

3 tür.

65

x²+ (mx + 6)²- 4x - 4(mx + 6) - 1 = 0 x²+ m² x²+ 12mx + 36 - 4x - 4mx - 24 - 1 = 0

c. Çember denklemi x² + y²= r² v e d › fl › n d a k i nokta P(x₁, y₁) olsun.

P noktas›ndan çizilen te¤etlerinin d e n k l e mlerini örnekle aç›klayal›m.

ÖRNEK 18: x²+ y² = 9 çemberine d›fl›ndaki P(0 , 5) noktas›ndan çizilen te¤et denklemlerini yazal›m. (fiekil 3. 16)

ÇÖZÜM 18: E¤imi m olan ve P(0, 5) n o k t a s › n d a n geçen do¤runun denklemi : y - 5 = m (x - 0) ; y = mx + 5 tir. Bu do¤ru ile

x² + y² = 9 çemberin kesiflme noktalar›n›

bulal›m.

P(0 , 6) noktas›ndan geçen verilen çembere te¤et olan te¤etlerinin denklemleri:

O

x y

A

B P(0,6)

M(2,2) t₁

m²+1 x² +2 4m - 2 x + 11 = 0 Δ′ = b′ - ac ifadesinden

Δ′ = 4m - 2² - 11 1 + m² ; Δ′ = 0 oldu¤undan, 16m² - 16m + 4 - 11 - 11 m² = 0 d›r. sadelefltirirsek, 5m² - 16m - 7 = 0 olur. Bu denklemi çözersek,

Δ′ = 64 + 35 = 99 m₁,m₂ = 16 + 99

5 buradan m₁ = 16 - 3 11

5 ve m₂ = 16 + 3 11

5 olur.

O x

y

A B

P(0,5)

t₂

x² + mx + 5² = 9 ise, x² + m²x² + 10 mx + 25 - 9 = 0 olur.

m² + 1 x² + 10mx + 16 = 0 denklemini çözelim:

Δ′ = 25m² - 16 m² + 1 Δ′ = 25m² - 16m² - 16 9m² - 16 = 0

m² = 16 9 m₁ = - 4

3 den

m₁ = - 4 ve m₂ = 4 olur.

fiekil 3.15

fiekil 3.16

t₁: y - 6 = 16 - 3 11

5 (x - 0) ise, y = 16 - 3 11

5 x + 6 olur.

t₂: y - 6 = 16 + 3 11

5 (x - 0) ise, y = 16 + 3 11

5 x + 6 olur. (fiekil 3.15)

66

❂

m nin bu de¤erleri y = mx + 5 denkleminde yaz›l›rsa, P (0 , 5) noktas›ndan geçen çembere çizilen te¤etlerinin denklemleri;

9. B‹R ÇEMBER‹N B‹R NOKTAYA GÖRE KUVVET‹

Merkezi M(a , b) yar›çap uzunlu¤u r olan bir çember düzleminde, K (x1 , y1) noktas› verilsin. K noktas›ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiyorsa, |KA| . |KB| de¤erine K noktas›n›n ç e m b e re gö re kuvveti d e n i r.

B i r çember in bir nok taya gör e kuvetinin özelikler i

a. Kuvvet pozitif (p > 0 ) ise nokta çemberin d›fl bölgesindedir.

b. Kuvvet s›f›r (p = 0 ) ise nokta çemberin üzerindedir.

c. Kuvvet negatif (p < 0 ) ise nokta çemberin iç bölgesindedir.

d. Kuvvet -r² ( p = - r²) ise nokta çemberin merkezindedir.

e. K noktas›ndan geçen kesenler de¤iflse de kuvvet de¤iflmez.

x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 fleklinde ver ilen bir ç e m b e r denkleminde K(x₁ , y₁) noktas›n›n koor dinatlar › yer ler ine yaz›l›r sa

Bu kuvvet p = |KA| . |KB| fleklinde yaz›l›r.

(fiekil 3. 17)

|KM| = d dersek,

|KA| = d - r ve |KB| = d + r dir.

p = (d - r) (d + r) = d² - r² olur.

‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k ba¤›nt›s›ndan

|KM|²= (x₁- a)²+ (y₁- b)² = d² dir.

d² de¤eri p = d² - r² ba¤›nt›s›nda yerine yaz›l›rsa,

p = (x₁- a)² + (y₁- b)²- r² olur.

Bu da bir çemberin bir noktaya göre kuvvetidir.

m_1,2 = ± 4

3 ten , m₁ = - 4

3 ve m₂ = 4

3 olur.

t₁: y = - 4

3 x + 5 ve t₂: y = 4

3 x + 5 olur.

O x

y

A

M(a,b) ^B C

D

d

r

T K(x₁, y₁)

r

p = x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F de¤ erine K noktas›n ›n çembere gö re kuvveti denir.

fiekil 3.17

➠

ÖRNEK 19: x² + y² + 4x + 2y - 4 = 0 denklemiyle verilen çemberin K( 1, 2) noktas›na göre kuvvetini bulal›m. K noktas› çemberin hangi bölgesindedir?

ÇÖZÜM 19: Ve r i l e n çemberin K noktas›na göre kuvveti,

p = (1)² + (2)² + 4(1) + 2 (2) - 4 = 1 + 4 + 4 + 4 - 4 = 9 olur.

p = 9 > 0 oldu¤undan K noktas› çemberin d›fl›ndad›r.

10. ‹K‹ ÇEMBER‹N KUVVET E K S E N ‹

‹ki çembere göre eflit kuvvetteki noktalardan oluflan do¤ruya iki çemberin kuvvet ekseni d e n i r.

Kuvvet ekseni bir do¤rudur iki çember denklemi verildi¤inde, kuvvet eksenini bulmak için çember denklemindeki x² v e y² li terimler yok edilir.

‹ki çem ber in kuvvet eksenine ait özelikler

a . Merkezleri, birbirinin d›fl bölgelerinde ve kesiflmeyen iki çemberin kuvvet ekseni, çemberlerin merkezlerini birlefltiren do¤ruya dik bir do¤rudur.

b . Çemberin kesiflmesi halinde kuvvet ekseni, kesim noktalar›n› birletiren d o ¤ r u d u r.

c . Çemberlerin d›fltan te¤et veya içten te¤et olmalar› halinde kuvvet ekseni, çemberlerin de¤me noktas›ndaki ortak te¤ettir.

ÖRNEK 20: x² + y² +3x - 4y - 9 = 0 ve x² + y² -2x+3y - 5 = 0 olan çemberlerin kuvvet ekseninin denklemini bulal›m.

ÇÖZÜM 20: Çember denklemlerini alt alta yazarak taraf tarafa ç›karal›m:

11. ÜÇ ÇEMBER‹N KUVVET E K S E N ‹

Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaya, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir.

a. Üç çemberin merkezleri do¤rusal de¤ilse bu üç çemberin kuvvet merkezi, çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas›d›r.

b. Üç çemberin merkezleri do¤rusal ise bu üç çemberin kuvvet merkezi yokt u r.

x2 + y2 +3x - 4y - 9 = 0 + x2 + y2 ± 2x + 3y ± 5 = 0

5x - 7y - 4 = 0

denklemi, kuvvet ekseninin denklemidir.

❂

❂

68

❂

❂

ÖRNEK 21: x²+ y² = 16, x² + y²- 10y + 24 = 0, x²+ y² - 8x + 8y + 16 = 0 çemberlerinin kuvvet merkezini bulal›m.

O halde, üç çemberin kuvvet merkezi K (8 , 4) olur.

12. ÇEMBER‹N PARAMETR‹K DENKLEM‹

Bir çemberin noktalar›na ait koordinatlar› bir parametrenin fonksiyonu olarak ifade eden denkleme, o çemberin par ametr ik denklemi d e n i r.

Burada; r pozitif sabit bir reel say›, t de¤iflken bir reel say›d›r.

x ve y nin ba¤l› olduklar› t de¤iflkeni parametredir.

Merkezil çember =

{

}

Bir çemberin t parametresine ba¤l› olan denklemi;

x = f (t), y = g (t) fonksiyonlar› ile ifade edilir.

a. Çember in mer kezi or ijinde ise Çemberin denklemi; M (0, 0) oldu¤undan, x²+ y² = r² d i r. Çember üzerinde hareketli bir nokta P(x, y) olsun. 0 ≤ t ≤ 2π o l m a k üzere (t: parametre) (fiekil 3.18)

x = r cos t y = r sin t

POH dik üçgeninde ,

ÇÖ ZÜM 21 x²+ y² - 16 = 0

+ x² + y² ± 8x ± 8y + 16 = 0 x²+ y² - 16 = 0

+ x²+ y²± 10y +24 = 0 10 y - 40 = 0

10y = 40 y = 4 tür.

8x - 8y -32 = 0 8x - 8(4) -32 = 0

8x = 32 + 32 8x = 64 x = 8 dir.

O x

y

x H

y r t

P(x, y)

cos t = OH

OP = xr ise, x = r cos t sin t = PH

OP = y

r ise, y = r sin t olur.

}

fiekil 3.18

➠

ÖRNEK 22: Yar›çap› 2 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini y a z a l › m .

ÖRNEK 23: Merkezi M (2, 3) ve yar›çap› 4 birim olan çemberin parametrik denklemini yazal›m.

ÇÖZÜM 23: Burada; a = 2 , b = 3 ve r = 4 tür. Çemberin parametrik denklemi, x = a + r cos t

0 ≤ t ≤ 2π denklem sisteminden, y = b + r sin t

x = 2 +4 cos t

0 ≤ t ≤ 2π olur.

y = 3+ 4 sin t

Çmberin parametrik denklemi x = a + r cos t

0 ≤ t ≤ 2π fleklinde yaz›l›r.

y = b + r sin t

ÇÖZÜM 22: Merkezil çemberin parametrik denklemi, x = r cos t

0 ≤ t ≤ 2π fleklinde oldu¤undan;

y = r sin t x = 2 cos t

0 ≤ t ≤ 2π olur.

y = 2 sin t

b. Çember in Mer kezi M (a, b) noktas›nda ise,

Çemberin merkezi M(a, b) ve yar›çap uzunlu¤u r birim oldu¤undan çemberin denklemi

(x - a)²+ (y- b )² = r² dir.

t prametre olmak üzere;

x = |OA| + |AB| = a + |MH| = a + r cos t y = |OC| + |CD| = b + |PH| = b + r sin t dir.

(fiekil 3.19)

}

} }

} }

O x

y

D

H b

r C t

r. sint

r. cost

a A B

M(a,b)

fiekil 3.19

➠

70

13. ÇEMBER‹N DÜZLEMDE AYIRDI⁄I BÖLGELER Bir çember bulundu¤u düzlemi üç bölgeye ay›r›r.

I. Mer kezinin koor dinatlar › M (a , b) ve yar ›çap uzunlu¤u r olan çem- ber in düzlem de ay›r d›¤› bölgeler

ÖRNEK 24

(x + 1)² + (y - 3 )² ≤ 4 eflitsizli¤inin çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim.

ÇÖZÜM 24

II. Denklemi: x² + y² +Dx + Ey + F = 0 olan bir çembe rde, P ( x₁ , y₁) noktas›

ver ilsin.

ÖRNEK 25: x² + y² + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde P (2 , 1) noktas› veriliyor.

Bu noktan › n çemberin hangi bölgesinde oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM 2 5:

a . x - a² + y - b² < r² ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin iç bölgesini, b. x - a² + y - b² > r² ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi çemberin d›fl bölgesini,

c. x - a² + y - b² = r² ise, bu eflitli¤i sa¤layan noktalar kümesi de çember üzerindeki noktalar› belirtir.

x + 1² + y - 3² ≤ 4 eflitsizli¤i merkezinin koordinatlar› M -1 , 3 ve yar›çap uzunlu¤u r = 2 birim olan çember ile iç bölgesini belirtir. (fiekil 3. 20)

O x

y

M(-1,3)

a . x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0 ise, P x₁ , y₁ noktas› çemberin üzerindedir.

b. x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F < 0 ise, P x₁ , y₁ noktas› çemberin iç bölgesindedir.

c. x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F > 0 ise, P x₁ , y₁ noktas› çemberin d›fl bölgesindedir.

x² + y² + 4x - 6y - 8 = 0 çemberinde, P 2 , 1 noktas›

2²+ 1² + 4 2 - 6 1 - 8 = 4 +1 + 8 - 6 - 8 = - 1 -1 < 0 oldu¤undan

P 2, 1 noktas› çemberin iç bölgesindedir.

fiekil 3.20

O x y

-2 M(4,-2)

4

fiekil 3.21

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÖRNEK 1

x²+ (a - 1 ) y² - 4ax + 4y - (a + 3) = 0 denklemin bir çember belirtmesi için a kaçt›r? Bu çemberin merkezinin koordinatlar›n› ve yar›çap uzunlu¤unu bulal›m.

Çemberi analitik düzlemde çizelim.

ÇÖZÜM 1

Verilen denklemin bir çember belirtmesi için x² ve y² nin katsay›lar› eflit o l m a l › d › r. 1 = a - 1 ise a = 2 dir.

Çember denklemi, x² + y² - 8x + 4y - 5 = 0 olur.

Merkezin koordinatlar›: a = - D 2 = - -8

2 = 4 ; b = - E 2 = - 4

2 = - 2 olup M 4, - 2 dir.

r = 1

2 -8²+ 4² - 4 -5 = 1

2 64 + 16 + 20 = 1

2 100 r = 1

2 10 = 5 birimdir.

Çemberin yar›çap uzunlu¤u: r = 1

2 D² + E² - 4F ;

Çember analitik düzlemde, (fiekil 3.21) de çizilmifltir.

ÖRNEK 2

a. Merkezi bafllang›ç noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin denklemini,

b. Merkezi (-1 , 1) noktas›nda olan ve A(3, 4) noktas›ndan geçen çemberin denklemini yazal›m.