3. · Indirgeme Ba¼ g¬nt¬lar¬

(1)

3. · Indirgeme Ba¼ g¬nt¬lar¬

Yüksek dereceden baz¬fonksiyonlar¬n integralleri, k¬smi integrasyon metodu yard¬m¬yla daha küçük dereceden bir ifadenin integraline dönü¸ stürülerek daha kolay bir ¸ sekilde hesaplanabilir. Kullan¬lan indirgeme ba¼ g¬nt¬lar¬ndan baz¬lar¬¸ sunlard¬r:

1) n 2 N için R

sin

ⁿ

xdx integrali için bir indirgeme formülü a¸ sa¼ g¬daki ¸ sekildedir:

Z

sin

ⁿ

xdx = Z

sin

^{n 1}

x sin xdx

integralinde u = sin

^{n 1}

x ve dv = sin xdx seçilirse du = (n 1) sin

^{n 2}

cos xdx ve v = cos x olup k¬smi integrasyon formülünden

Z

sin

ⁿ

xdx = sin

^{n 1}

x ( cos x) + (n 1) Z

cos

²

x sin

^{n 2}

xdx

= sin

^{n 1}

x cos x + (n 1) Z

(1 sin

²

x) sin

^{n 2}

xdx

= sin

^{n 1}

x cos x + (n 1) Z

sin

^{n 2}

xdx (n 1) Z

sin

ⁿ

xdx

bulunur. Böylece

n Z

sin

ⁿ

xdx = sin

^{n 1}

x cos x + (n 1) Z

sin

^{n 2}

xdx

e¸ sitli¼ gine ula¸ s¬l¬r. Son e¸ sitli¼ gin her iki yan¬n ile bölünürse Z

sin

ⁿ

xdx = 1

n sin

^{n 1}

x cos x + n 1 n

Z

sin

^{n 2}

xdx

formülü elde edilir. S¬radaki indirgeme formülleri de benzer ¸ sekilde elde edilir.

2) n 2 N için R

cos

ⁿ

xdx integrali için indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬

Z

cos

ⁿ

xdx = 1

n cos

^{n 1}

x sin x + n 1 n

Z

cos

^{n 2}

xdx

¸ seklinde verilir.

1

(2)

3) n 2 N için

Z dx

sin

ⁿ

x integrali için indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬

Z dx

sin

ⁿ

x = 1

n 1

cos x

sin

^{n 1}

x + n 2

n 1

Z dx

sin

^{n 2}

x

¸ seklindedir.

4) n 2 N için

Z dx

cos

ⁿ

x integrali için indirgeme ba¼ g¬nt¬s¬

Z dx

cos

ⁿ

x = 1

n 1

sin x

cos

^{n 1}

x + n 2

n 1

Z dx

cos

^{n 2}

x

¸ seklindedir.

5) n 2 N için R

tan

ⁿ

xdx integrali için indirgeme formülü Z

tan

ⁿ

xdx = 1

n 1 tan

^{n 1}

x Z

tan

^{n 2}

xdx

biçimindedir.

Örnek 1.

Z

sin

⁵

xdx integralini hesaplay¬n¬z.

Indirgeme formülünde n = 5 al¬n¬rsa · Z

sin

⁵

xdx = 1

5 sin

⁴

x cos x + 4 5 Z

sin

³

xdx

bulunur. Tekrar indirgeme formülünde n = 3 al¬narak Z

sin

³

xdx = 1

3 sin

²

x cos x + 2 3 Z

sin xdx

= 1

3 sin

²

x cos x 2

3 cos x + c

2

(3)

elde edilir. Böylece Z

sin

⁵

xdx = 1

5 sin

⁴

x cos x + 4 5

1 3 sin

²

x cos x 2

3 cos x + c sonucuna ula¸ s¬l¬r.

Örnek 2.

Z dx

cos

⁴

x integralini hesaplay¬n¬z.

Indirgeme formülünde n = 4 al¬n¬rsa · Z dx

cos

⁴

x = 1 3

sin x cos

³

x + 2

3 Z dx cos

²

x

= 1 3

sin x cos

³