1
BÖLÜM 1: BİR ve İKİ SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
1.3 İki Serbestlik Dereceli Sistemlerin Serbest Salınımları
Bu kesimde iki serbestlik dereceli sistemler ele alınacak. Eğer her bir serbestlik derecesi için hareket çizgisel denklemleri sağlıyorsa en genel hareket aynı anda varolan iki basit harmonik hareketin üst üste gelmişidir. Bu iki basit harmonik hareket kipler ya da sistemin normal modları olarak adlandırılır. Sistem belirli bir kipte ise sistemin tüm parçaları aynı frekanslı ve belirli faz ilişkili harmonik hareket yapar. Sistemin kip sayısı serbestlik derecesi sayısı kadardır. Örneğin bir serbestlik dereceli bir sistemin bir kipi, iki serbestlik dereceli bir sistemin iki kipi vardır.
İki serbestlik derecli bir sistemi ele alalım. Bu sistemin iki farklı kipi vardır ve her kip durumu için frekanslar farklıdır: 𝜔
1ve 𝜔
2. Sistemin her bir parçası için genel hareket
𝜓
𝑎(𝑡) = 𝐴
1cos(𝜔
1𝑡 + 𝜑
1) + 𝐴
2cos (𝜔
2𝑡 + 𝜑
2) 𝜓
𝑏(𝑡) = 𝐵
1cos(𝜔
1𝑡 + 𝜑
1) + 𝐵
2cos (𝜔
2𝑡 + 𝜑
2)
şeklindedir.
İki serbestlik dereceli sistemlere örnek olarak; düzlemde salınan çift sarkaç, iki
kütle üç yay sistemi, iki kütle bir yaydan oluşan çiftlenimli sarkaç verilebilir.
2
Örnek: İki kütle, üç yaydan oluşan sistemin boyuna salınımlarının incelenmesi.
Sürtünmesiz bir yüzeyde, kütlesiz ve özdeş üç yay ile birbirine bağlammış iki kütleyi ele alalım. Sistemi serbestlik derecesi ikidir ve iki tane kipi vardır. Her kip durumunda kütlelelr aynı frekansa sahiptirler.
𝑎 kütlesi sağa doğru 𝑥
𝑎ve 𝑏 kütlesi sağa doğru 𝑥
𝑏kadar denge konumundan ayrılsın ve sistem titreşime bırakılsın ve 𝑥
𝑏> 𝑥
𝑎. Özel olarak kütleler de aynı olsun: 𝑚
𝑎= 𝑚
𝑏= 𝑚.
𝑎 kütlesi için hareket denklemi;
𝑚 𝑑
2𝑥
𝑎𝑑𝑡
2= −𝑘 𝑥
𝑎+ 𝑘(𝑥
𝑏− 𝑥
𝑎) 𝑏 kütlesi için hareket denklemi;
𝑚 𝑑
2𝑥
𝑏𝑑𝑡
2= −𝑘 𝑥
𝑏− 𝑘(𝑥
𝑏− 𝑥
𝑎)
Bu denklemler ikinci mertebeden, çizgisel, homojen olmayan denklemlerdir. Bu denklem birbirine bağlıdırlar. Bu iki denklemin bağlılığı bazı matematiksel işlemler ile ortadan kaldırılabilir. Bu iki denklem toplandığında;
𝑑
2𝑥
1𝑑𝑡
2+ 𝜔
12𝑥
1= 0
3