• Sonuç bulunamadı

İki serbestlik derecli bir sistemi ele alalım. Bu sistemin iki farklı kipi vardır ve her kip durumu için frekanslar farklıdır:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "İki serbestlik derecli bir sistemi ele alalım. Bu sistemin iki farklı kipi vardır ve her kip durumu için frekanslar farklıdır: "

Copied!
3
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

1

BÖLÜM 1: BİR ve İKİ SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI

1.3 İki Serbestlik Dereceli Sistemlerin Serbest Salınımları

Bu kesimde iki serbestlik dereceli sistemler ele alınacak. Eğer her bir serbestlik derecesi için hareket çizgisel denklemleri sağlıyorsa en genel hareket aynı anda varolan iki basit harmonik hareketin üst üste gelmişidir. Bu iki basit harmonik hareket kipler ya da sistemin normal modları olarak adlandırılır. Sistem belirli bir kipte ise sistemin tüm parçaları aynı frekanslı ve belirli faz ilişkili harmonik hareket yapar. Sistemin kip sayısı serbestlik derecesi sayısı kadardır. Örneğin bir serbestlik dereceli bir sistemin bir kipi, iki serbestlik dereceli bir sistemin iki kipi vardır.

İki serbestlik derecli bir sistemi ele alalım. Bu sistemin iki farklı kipi vardır ve her kip durumu için frekanslar farklıdır: 𝜔

1

ve 𝜔

2

. Sistemin her bir parçası için genel hareket

𝜓

𝑎

(𝑡) = 𝐴

1

cos(𝜔

1

𝑡 + 𝜑

1

) + 𝐴

2

cos (𝜔

2

𝑡 + 𝜑

2

) 𝜓

𝑏

(𝑡) = 𝐵

1

cos(𝜔

1

𝑡 + 𝜑

1

) + 𝐵

2

cos (𝜔

2

𝑡 + 𝜑

2

)

şeklindedir.

İki serbestlik dereceli sistemlere örnek olarak; düzlemde salınan çift sarkaç, iki

kütle üç yay sistemi, iki kütle bir yaydan oluşan çiftlenimli sarkaç verilebilir.

(2)

2

Örnek: İki kütle, üç yaydan oluşan sistemin boyuna salınımlarının incelenmesi.

Sürtünmesiz bir yüzeyde, kütlesiz ve özdeş üç yay ile birbirine bağlammış iki kütleyi ele alalım. Sistemi serbestlik derecesi ikidir ve iki tane kipi vardır. Her kip durumunda kütlelelr aynı frekansa sahiptirler.

𝑎 kütlesi sağa doğru 𝑥

𝑎

ve 𝑏 kütlesi sağa doğru 𝑥

𝑏

kadar denge konumundan ayrılsın ve sistem titreşime bırakılsın ve 𝑥

𝑏

> 𝑥

𝑎

. Özel olarak kütleler de aynı olsun: 𝑚

𝑎

= 𝑚

𝑏

= 𝑚.

𝑎 kütlesi için hareket denklemi;

𝑚 𝑑

2

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

2

= −𝑘 𝑥

𝑎

+ 𝑘(𝑥

𝑏

− 𝑥

𝑎

) 𝑏 kütlesi için hareket denklemi;

𝑚 𝑑

2

𝑥

𝑏

𝑑𝑡

2

= −𝑘 𝑥

𝑏

− 𝑘(𝑥

𝑏

− 𝑥

𝑎

)

Bu denklemler ikinci mertebeden, çizgisel, homojen olmayan denklemlerdir. Bu denklem birbirine bağlıdırlar. Bu iki denklemin bağlılığı bazı matematiksel işlemler ile ortadan kaldırılabilir. Bu iki denklem toplandığında;

𝑑

2

𝑥

1

𝑑𝑡

2

+ 𝜔

12

𝑥

1

= 0

(3)

3

elde edilir. Burada, 𝑥

1

= 𝑥

𝑎

+ 𝑥

𝑏

normal koordinat ve 𝜔

12

= 𝑘/𝑚 1. Kip frekansı olarak tanımlıdır. 1. kipe karşı gelen çözüm ise

𝑥

1

(𝑡) = 𝐴 cos (𝜔

1

𝑡 + 𝜙

1

) olarak bulunur.

Bu iki denklem çıkarıldığında;

𝑑

2

𝑥

2

𝑑𝑡

2

+ 𝜔

22

𝑥

2

= 0

elde edilir. Burada, 𝑥

2

= 𝑥

𝑎

− 𝑥

𝑏

normal koordinat ve 𝜔

22

= 3𝑘/𝑚 2. Kip frekansı olarak tanımlıdır. 2. kipe karşı gelen çözüm ise

𝑥

2

(𝑡) = 𝐵 cos (𝜔

2

𝑡 + 𝜙

2

) olarak bulunur.

𝜔

1

, 𝜔

2

normal kiplere karşı gelen frekanslar ve 𝑥

1

(𝑡), 𝑥

2

(𝑡) de normal koordinatlar ya da kip çözümleri olarak adlandırılırlar. Sistemin genel hareketi bu iki kipin karşımından oluşur:

𝑥

𝑎

(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔

1

𝑡 + 𝜙

1

) + 𝐵 cos (𝜔

2

𝑡 + 𝜙

2

) 𝑥

𝑏

(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔

1

𝑡 + 𝜙

1

) − 𝐵 cos (𝜔

2

𝑡 + 𝜙

2

)

1. kip durumunda sistem 𝜔

1

frekanslı ve aynı fazlı harmonik hareket yapar. Bu durumda 𝑥

𝑎

(𝑡) = 𝑥

𝑏

(𝑡)’dir. İki kütle eşit uzaklıkta aynı yönde çekilip bırakılmıştır.

2. kip durumunda sistem 𝜔

2

frekanslı ve aynı fazlı harmonik hareket yapar. Bu durumda 𝑥

𝑎

(𝑡) = −𝑥

𝑏

(𝑡)’dir. İki kütle aynı eşit uzaklıkta zıt yönde çekilip bırakılmıştır.

Bu problemi çözmenin bir diğer yolu ise sistematik yöntemi kullanmaktır.

Prof. Dr. Şengül Kuru, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

Referanslar

Benzer Belgeler

Ne yaz ık ki, ilaç satıcıları tüccar ve sanayiciler kimi “aydın” ve “ekonomistin” desteğinde kimyasala dayalı “zehir ürün üretimine” yani endüstriyel

Ateşleme Noktası Eksen Takımına göre Roket İrtifası – Zaman Grafiği).. Time Graph wrt Launch Point Frame).. Başlangıç Yakıt Kütlesi (Initial

Üst üste frekansları birbirinden çok az farklı iki harmonik hareketin üstü üste gelmesiyle oluşan fiziksel olaya ‘vuru’ (beat) denir.. Vuru olayının bir

Periyot: Bir tur için geçen

Harmonik salınıcıya dışardan periyodik bir kuvvet uygulandığında rezonans gözlenir.. 9.4 ZORLAMALI HARMONİK HAREKET

 DENETİMLİ SERBESTLİK; KAPSAMI KANUNLARCA BELİRLENEN, ŞÜPHELİ, SANIK VE HÜKÜMLÜLER HAKKINDA MAHKEMELERCE VERİLEN ALTERNATİF CEZA VE TEDBİRLERİNİN UYGULANMASI,..

hastanın sağ femura açık redüksiyon internal fiksasyon uygulanmıştır , sol os tibia malleolusa kapalı redüksiyon yapılmıştır. Sol os humerusa açık redüksiyon

(Time to Apogee/Time to Maximum Altitude) Uçuş Boyunca Toplam Kütle Değişimi (Total Mass Change in Flight). • Doğrulama -2