Sayısal İntegral

(1)

BÖLÜM 14

Sayısal İntegral

 

a b

,

sonlu ,a b aralığı üzerinde

 

b

a

I f 



f x dx integral tanımlansın. Bu tür integralleri hesaplamak için çok sayıda yöntem vardır. Bunların bir çoğu f fonksiyonu yerine yaklaşan fonksiyonların kullanılması esasına dayanır. f fonksiyonu için yaklaşan bir fonksiyon ailesi



f

_n

,

n 

1 

olsun.

 

max 0 n n a x b f x f x     

 

n b

 

n a I f 



f x dx

     

n n

E

f



I f



I f

Yamuk Kuralı

( )

f x fonksiyonunun

 

a b

,

aralığında integrali bulunmak istenirse x0 a ve x1   a h b olsun.

Birinci dereceden lagrange interpolasyon polinomu

 

1

x b

x a

P x

f a

f b

a b

b a









Şeklinde yazılır. Buradan

 

1

 

( ) 1 ( )( ) 2 2! b b x a a f x b x a I P f a f b dx x a x b dx a b b a



     _  _       



 

1

 

1 2 2 b a h f a f b E f a f b E   _  _  _  _

 

3 3 1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) , , 2 2! 12 12 b x x x x a f b a h E 



xa x b 



dx   f



  f



 a b

 

3 1 ( ) ( ) 2 12 x h h I P  _f a  f b _ f



(2)

, 0,1, 2,..., j x  a jh j n

 

   





 



 







 





 

 

1 1 3 1 1 3 0 1 1 2 1 1 3 0 1 1 1 '' 2 12 '' ... 2 12 '' 2 ... 2 , , 2 12 j j b a x n j x n j j j j n j n n j n j n n j I f f x x f x x h h f x f x f h f h f f f f f f h f h f f f f a b                _   _    _       _       



 



ξ ξ ξ ξ

   

3

 

1

12

n n j j

h

I f

n

f

n











_

_





ξ



   

3 ''

 

12 n h n I f I f  f



, n b a h  

 





2

 

''

,

12

n

b a

E

f

 



h f



a

 



b

, Örnek:

 

1 1 f x x 

 fonksiyonunun

0  

x

1

aralığında

n 

4

için yaklaşık değerini yamuk kuralı

ile integral değerini hesaplayınız. Hata için üst sınırı bulunuz.

(3)

(4)

 





2 4 1 1 0 4 2 0.0104 12 E f           

Simpson Kuralı

 

b

 

a I f 



f x dx 2 a b

c  ,

c

değeri

 

a b

,

değerinin orta noktasıdır.

  

_



_



_{  }

_





_

_{  }





_



_

_{  }



2 x b x c x a x c x a x b P x f a f b f c a b a c b a b c c a c b               

 

2 2

0

4

3

2

b a

I P

P x dx

h

a b

f

f b















_



_

_



_











( 1) 0 1 1 ( ) ( )( )...( ) ( ) ( 1)! b b n n n n a a I P x dx x x x x x x f dx n



      



n

çift olduğundan

 





   





2 2 2 / 2 2 1 / 2 2 2 2 1 2 1 0 1 2 3

4

3

4

2

4 ...

3

j j x n n n j x n j j j n j n n

I

f

P x dx

E

h

f x

E

h

f

E

    











_



_







 



 



n

çift sayı olmalı. Hatanın üst sınırı; ( 2) 0 1 ( ) ( )( )( )...( ) , , ( 2)! 2 b n n a f a b Hata x x x x x x x dx a b n



_

 _         



şeklindedir.

2

(5)

0 0 2 (4) 0 0 0 0 5 (4) 0 0 2 ( ) ( )( 2 )( ) 4! 2 ( ) , 2 90 x h x x x h f E x x x x h x dx h f x x h



             



Olur. Bu durumu genellediğimizde hata için üst sınır

5 5 5 4 (4) (4) (4) (4) 1 1

1 (

)

(

)

(

)

( )

( ) , ,

( , )

90

180

n n n j j j j

h

h b a

E

f

n

f

nf

f

a b

n





 







 

_

_

 









Şeklinde elde edilir. burada

2 b a h n   dir.

Örnek:

 

1 1 f x x 

 fonksiyonunun

0  

x

1

aralığında

n 

4

için yaklaşık integral değerini

hesaplayınız. Hata için üst sınırı bulunuz.

 

4

1

1 4 1 4

2

4 0.6932

1

2

3

3 ₁

₁

2

4

4 I

f











_



_













 





2 1 ' 1 f x x    ,

 





3 2 '' 1 f x x  

 





4 6 ''' 1 f x x    ,  

_{ }





4 5 24 1 f x x    

_{ }





4 5 0 1 0 1 24 max max 24 1 f



 ξ   ξ _ 





4 4 1 1 0 4 24 0.0005208 180 E   _{ }      

Romberg metoduyla nümerik integral

(6)

2,3,..., k n için 2 2 ,1 1,1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 k k k k k i R R h f a i h       _ _  _  _   __   



 1 , 1 1, 1 , 1 4 , 2,3,..., ve 2,3,..., 4 1 j i j i j i j j R R R i n j i           1,1 R 2,1

R

_2,2 3,1 R R_3,2 R_3,3 4,1 R R_4,2 R_4,3 R_4,4 ,1 n

R

_n_,2

R

_n_,3

R

_n_,4

R

_{n n}_, Örnek: k 1, 2,3, 4,5, 6 için 0 sin xdx 



integralini romberg integrasyon yöntemini uygulayarak yaklaşık olarak hesaplayınız.

Çözüm: k 1, 2,3, 4,5, 6





1,1 sin 0 sin 0 2 R 







 2,1 1,1 1 sin 1.57079633 2 2 R  _R 



_   3,1 2,1 1 sin sin 1.89611890 2 2 4 4 R  _R 



_







__     4,1 3,1 1 3 5 7

sin sin sin sin 1.9742316

(7)

Gerçek değer: 0 0 sinxdx cosx ( 1 1) 2         



Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)