(1)3.3 z-Dönüşümü Bilindiği gibi, fonksiyonların çeşitli ailelerine dönüşümlerin uygulanması çoğu kez belirli hesaplama avantajları getirmektedir

3.3 z-Dönüşümü

Bilindiği gibi, fonksiyonların çeşitli ailelerine dönüşümlerin uygulanması çoğu kez belirli hesaplama avantajları getirmektedir. Bir aralık üzerinde sürekli veya periyodik olan fonksiyonlar için Fourier serilerini kullanırız; eğer aralık yarı-sonsuz ise Laplace dönüşümünü kullanırız; aralık tüm reel sayılar olduğunda Fourier dönüşümü kullanılır.

Pratikte diskret verilere sahip fonksiyonlarla sıkça karşılaşılır. Sayıların bir diskret dizisi a n( ) ile gösterelim; n nin tamsayı olduğunu ve a n( ) lerin kompleks sayı olabileceğini kabul ederiz. Örneğin f x( ) 2 ^x fonksiyonunun xn tamsayılarındaki bazı değerleri:

(0) 1

a  olmak üzere ..., ^{1 1 1 1}, , , ,1, , , ,^{1 1 1 1} ,...

16 8 4 2 2 4 8 16 biçimindedir. f x( ) cos x in bazı  değerleri a(0) 1 olmak üzere ..., 1,1, 1,1, 1,1, 1,1,...    biçimindedir.

( )

a n dizisinin zdönüşümü

2 1 2

( ) ( ) ⁿ ... ( 2) ( 1) (0) (1) (2) ...

n

A z a n z a z a z a a z a z

   



          

serisinin yakınsak olduğu tüm noktalardaki toplamı olarak tanımlanır.

Örnek 3.3.1. a n( ) 2 ^n dizisi için zdönüşümü:

0

0 1

( ) 2 2 2 1

2 2

n n

n n n n n n

n n n n n

A z z z z z

z

   

    

    

   

           biçimindedir. İlk seri z  için 2 ¹

1 2

z

ye yakınsar. İkinci seri

1 0

1

1 1 1 2 1

2 2 2 1 1 2 1

2

n n

n n

z

z z z z

z

 

 

      

    

    

  e yakınsar. Böylece 1

2  yakınsaklık z 2

halkasında a n( ) 2 ^n dizisinin zdönüşümü

1 1 3

( ) 1 2 1 2( 2)( 1)

2 2

A z z

z z z z

   

    analitik fonksiyonudur. Açık olarak zdönüşümü ( )

A z  nin bu halkadaki Laurent serisidir.

Örnek 3.3.2. a n( ) ( 1)  ⁿ dizisnin zdönüşümü

0

1

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

n

n n n n

n

n n n

A z z z

z

 



  

        biçimindedir; Birinci seri z  de yakınsaktır. 1 İkincisi ise sadece z  de yakınsaktır. Bu bölgeler ayrık olduğundan 1 zdönüşümü hiçbir yerde yakınsak değildir.

Yakınsaklık teorisinden bilinir ki Laurent serisinin pozitif indisli kısmı z limsupⁿ a n( ) için ve negatif indisli kısım da 1

limsupⁿ ( ) z

a n

  için yakınsaktır. Böylece zdönüşümü limsup ( ) 1

limsup ( )

n

n

a n z

a n

   halkasında bulunan noktalarda iyi tanımlıdır.

Bir analitik fonksiyon birden fazla dizinin zdönüşümü olabilir, çünkü onun Laurent seri gösterimi (yakınsaklık bölgesine bağlı olarak) bir tek değildir. Örneğin 1

(z1)(z2) fonksiyonu aşağıdaki dizilerin herbirinin zdönüşümüdür:

1 z  için  

1 2 ,1 0

( ) 0, 0

n n

a n n

   

  

1  için z 2  

2 ,1 0

( ) 1, 0

n n

a n n

  

   2

z  için   0, ₁ 1

( ) 2ⁿ 1, 1 a n n

 n

 

    .

Problemler.

1. ( ) ^{1, 0}

0, 0 a n n

n

 

   dizisinin zdönüşümünün A z( ) 1 olduğunu gösteriniz.

2. a n( ) 1 dizisinin zdönüşümünün ( )

1 A z z

 z

 olduğunu gösteriniz.

3. a n( )n dizisinin zdönüşümünün ( ) ₂ ( 1) A z z

 z

 olduğunu gösteriniz.

4. a n( )ⁿ dizisinin zdönüşümünün ( ) z

A z ^ z olduğunu gösteriniz.