İstatistiksel yöntemlerin bir çoğu normallik varsayımına dayanır.

DÖNÜŞÜMLER (TRANSFORMATIONS)

İstatistiksel yöntemlerin bir çoğu normallik varsayımına dayanır.

 Deney tasarımı

 Regresyon

 Zaman serileri

alanlarındaki yöntemler buna örnek olarak verilebilir. Bu nedenle analize başlamadan önce veri setinin dağılımının normal olup olmadığının test edilmesi gerekir. Eğer veri setinin dağılımı normal değilse veri seti aşağıda gösterilen alternatif yaklaşımlardan bir tanesi kullanılarak analiz edilmelidir.

Bu alternatif yaklaşımlar

 Parametrik Olmayan Teknikler

 Dayanıklı (Robust) Teknikler

 Dönüşümler olarak gruplandırılabilir.

Bu bölümde dönüşümler konusu detaylı olarak incelenecektir. Veri setinin dağılımı normal olmadığında uygun dönüşüm yapılarak veri setinin dağılımı normal hale getirilir ve normal dağılım varsayımına dayanan testler kullanılarak analize devam edilir.

Not: Burada önemli olan hangi dönüşümün yapılacağına karar vermektir.

Üssel dönüşümler (Power transformations)

Üssel dönüşümler uygulamada yaygın olarak kullanılır. Sadece pozitif değerler alan gözlemler için kullanılabilir, ancak bu problem negatif değerler alabilen gözlemlere belli bir sabit ekleyerek söz konusu negatif değerleri pozitif hale getirerek ortadan kaldırılabilir.

bir gözlem olmak üzere, üssel dönüşüm parametresi ile ilişkilendirilir. değeri belirli bir dönüşümü temsil eder.

Örnek: dönüşümü kullanıldığında

ise olduğundan tüm gözlemlerin tersi alınarak dönüşüm yapılır.

ise olarak tanımlanmaktadır. Bu durumda tüm gözlemlerin doğal logaritması (ln) alınarak dönüşüm yapılır.

Mümkün dönüşümler

şeklinde gösterilebilir.

Bu dönüşümlerden,

büyük değerli gözlemleri aşağıya çekerken gibi dönüşümler büyük değerli gözlemleri daha da arttırır.

Box-Cox Dönüşümü

için

şeklinde tanımlanır.

Uygun değeri, aşağıdaki fonksiyonunu ’ya göre maksimize eden değerin bulunmasıyla belirlenir. Burada,

dır ve

şeklinde tanımlanır.

Verileri dönüştürmek için kullanılacak uygun değeri belirlendikten sonra, dönüştürülen

verilerin Q-Q grafiği çizilerek dağılımın normale uyup uymadığı kontrol edilir.

Örnek: Aşağıdaki veri setine Box-Cox dönüşümünü uygulayınız.

i i

1 ^0.0001 26 ^0.6824

2 ^0.0012 27 ^0.6960

3 ^0.0439 28 ^0.7735

4 ^0.0612 29 ^0.7846

5 ^0.1104 30 ^0.8454

6 ^0.2040 31 ^0.8625

7 0.2298 32 0.9307

8 ^0.2315 33 ^1.0497

9 0.2420 34 1.0865

10 0.2438 35 1.1022

11 ^0.2534 36 ^1.2232

12 ^0.2959 37 ^1.2679

13 ^0.3286 38 ^1.3481

14 ^0.3357 39 ^1.3637

15 ^0.3692 40 ^1.3895

16 ^0.3885 41 ^1.4969

17 ^0.3935 42 ^1.5587

18 ^0.5170 43 ^1.7953

19 ^0.5356 44 ^1.9355

20 ^0.5560 45 ^2.1845

21 ^0.6161 46 ^2.2269

22 ^0.6167 47 ^2.3061

23 ^0.6452 48 ^2.6206

24 ^0.6543 49 ^3.0595

25 ^0.6789 50 ^4.0151

Öncelikle verilerin Q-Q grafiği aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi çizilmiş ve gözlemlerin düz

bir doğru etrafında yayılım göstermediği görülmüştür. Sonuç olarak orijinal verinin

dağılımının normal olmadığı gösterilmiştir.

Not: Q-Q grafiği verilerin normal dağılıma sahip olması durumunda düz bir doğru şeklinde olur. Eğer normal dağılımdan sapmalar varsa Q-Q grafiğindeki bazı gözlemler doğrudan sapmalar gösterir.

Şimdi uygun değerini belirlemek için rastgele olarak seçilmiş bir aralıkta değişen değerlerine karşılık gelen değerlerini elde edelim. Bu örnekte olarak alınmıştır. Bu aralığın fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı kapsaması gerekir.

Sonuçlar aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi elde edilmiştir.

-1.0 -291.4442 0.3 26.0313

-0.9 ^-254.2973 0.4 26.6314

-0.8 -217.8169 0.5 25.6828

-0.7 -182.1864 0.6 23.6352

-0.6 ^-147.6599 0.7 ^20.7669

-0.5 -114.5884 0.8 17.2532

-0.4 -83.4544 0.9 13.2091

-0.3 -54.9101 1.0 8.7139

-0.2 ^-29.7975 1.1 ^3.8252

-0.1 -9.0628 1.2 -1.4131

0.0 6.5692 1.3 -6.9660

0.1 ^17.0618 1.4 ^-12.8048

0.2 23.1754 1.5 -18.9050

Yukarıdaki tablodan fonksiyonunu maksimum yapan değerinin 0.4 olduğu görülmektedir. Orijinal verilere ( ), alınarak Box-Cox dönüşümü uygulanırsa

olarak ifade edilen dönüştürülmüş veriler elde edilir.

Dönüştürülmüş verilerin Q-Q grafiği aşağıdaki gibidir.

Dönüştürülmüş verilerin normal dağılıma sahip olduğu görülür. Çünkü Q-Q grafiğinden de görüleceği gibi veriler düzgün bir doğru etrafında yayılım göstermektedir.

Not: için aralık belirlenirken fonksiyonunun bu aralıkta önce artan sonra azalan olması

gerekir. Aksi takdirde kullanılan aralık maksimum noktayı kapsamaz.