Fizik 101: Ders 19 Gündem

Fizik 101: Ders 19

Gündem

 Açısal Momentum:

 Tanım & Türetmeler

 Anlamı nedir?

 Sabit bir eksen etrafında dönme

 L = I^

 Örnek: 2 disk

 Dönen iskemlede bir öğrenci

 Serbest hareket eden bir cismin açısal momentumu

 Değneğe çarpan kurşun

 Top fırlatan öğrenci

Ders 19, Soru 1

Rotasyon

 Atlı karıncaya binen bir çocuk dairesel bir yörüngede sabit w hızı ile dönerken elinde tuttuğu bir topu serbest bırakır. Yukarıdan bakınca top hangi yolu izler?

(c)



(b) (a)

(d)

Ders 19, Soru 1

Çözüm

 Bırakmadan hemen önce topun hızı dairesel yörüngeye teğettir.



Ders 19, Soru 1

Çözüm

 Hızı değiştirecek etki eden başka kuvvet olmadığından bırakıldıktan sonra aynı yolda devam eder.

 Kuvvete rotasyonda karşıklık gelen tork

 Çizgisel momentumun p, rotasyon analoğunu açısal momentum olarak

şeklinde tanımlayalım.

L  r p

  r F

Açısal Momentum:

Tanımlar & Türetmeler

 Çok parçacıklı bir sistem için :

ise momentum korunur.

 Buna rotasyonda karşılık gelen nedir??

dt

d

DIŞ

F  p

p = mv

Tanımlar & Türetmeler...

 Önce Ldeki değişim miktarına bakalım:

 

d dt

d dt

d r p r dt

p r p

   

 

  

 



 

 



v mv 0

 ^d_dt^{L  r d}_dt^p (ne yani...?)

 

d dt

d dt

L  r p

Tanımlar & Türetmeler...

d dt

d dt

L r p

 

dt F_DIŞ  dp

 Anımsatma:

 Sonuç olarak:

dt dL

DIŞ 



 F’ ye anolog !!

dt F_DIŞ  dp

F

dt r

dL  



_DIŞ

Bu Ne Demek?



dt

τ

 dL

^τ

^{ r  F}

dt 0 τ_DIŞ  dL 

 Dış tork’un olması durumunda

Toplam açısal momentum korunur

i j

Sabit bir eksen etrafında katı bir

cismin açısal momentumu:

kˆ v r m m

i i i i

i i i i

i i  i     

 r p r v L

 Şekilde gösterildiği gibi x-y düzleminde z ekseni

etrafında dönen noktasal parçacıkların katı dağılımını

dikkate alalım. Orijin etrafındaki toplam açısal momentum her bir parçacığın açısal momentumunun toplamına eşittir:

r₁ r₃

r₂ m₂

m₁ m₃

 v₂

v₁

v₃ L nin yönü z yönünde dir..

v_i =  r_i kullanarak

 L I

(r_ive v_i birbirine dik olduğundan)

benzeri  p = mv !!!

 k r

m L

i

2 i

i ˆ

  

Sabit bir eksen etrafında katı bir

cismin açısal momentumu:

 Genelde, sabit bir (z) ekseni etrafında dönen bir cisim için L_Z = I ^ yazabiliriz.

 L_Z nin yönü sağ el kuralı ile verilir. ( ile aynı ).

 Kolaylık olması açısından z indisini kaldırıp,

L = I ^ yazarız. L_Z  I

 z

Örnek: İki Disk

 Kütlesi M ve yarıçapı R olan bir disk z ekseni etrafında

_i açısal hızı ile dönmekte iken durgun olan özdeş ikinci disk birincisi üzerine düşer. İki disk arasında sürtünme mevcuttur. Sonunda her iki disk _f açısal hızı ile

dönmeye başlar.

_i

z

_f

z

Örnek: İki Disk

 Öncelikle her iki diske dıştan etki eden bir tork olmadığının altını çizelim!

 Başlangıçtaki toplam açısal momentum alttaki dönen disk yüzündendir:

₀ z

i

i MR

L ₁₁ ²

2 I  1



2

1

Örnek: İki Disk

 Dışardan her iki diskede etki eden tork olmadığından

 Açısal momentum korunur!

 Sondaki toplam açısal momentum her iki diskin birden dönmesinden dolayıdır:

_f z

f 2 2

2 1 1

f MR

L I  I    2

1

Örnek: İki Disk

 Zira L_i = L_f

_i z

_f z

L_i L_f

f 2 i

2 MR

2 MR

1   

i

f 2

1 

 

Sürtünmeden dolayı E

korunmadığından inelastik bir çarpışmadır!

Örnek: İki Disk

_i z

_f z

L_i L_f

Örnek: Dönen iskemlede

 Ellerinde ağırlıklar taşıyan bir öğrenci kollarını gererek bir taburede oturmaktadır. Öğrencinin açısal dönme hızı

_i ve eylemsizlik momentumu I_i olarak veriliyor. Sonra kollarını vucuduna değecek şekilde büker ve son

eylemsizlik momenti I_f olur. Son durumdaki açısal hızı _f nedir?

_i

I_i

_f

I_f

Örnek: Dönen iskemlede...

 Burada da öğrenci iskemle sistemine etki eden dış tork olmadığından açısal momentum korunur.

 Başlangıçta: L_i = I_i ^_i

 Sonunda: L_f = I_f ^_f

f i i

f

I

 I





_i

I_i

_f

I_f

L_i L_f

Örnek: Dönen iskemlede...

_i

I_i

_f

I_f

L_i L_f

 Bir öğrenci w₁ açısal hızı ile serbestçe dönmekte olan bir iskemleye kolları gergin olarak oturuyor. Öğrenci sonra kollarını kavuşturur ve açısal hızı w₂ ye çıkar. Bunu

yapmakla kinetik enerji:

Ders 19, Soru 2

Açısal Momentum

 Bir öğrenci w₁ açısal hızı ile serbestçe dönmekte olan bir iskemleye kolları gergin olarak oturuyor. Öğrenci sonra kollarını kavuşturur ve açısal hızı w₂ ye çıkar. Bunu

yapmakla kinetik enerji:

(a) artar (b) azalır (c) aynı kalır

₁ ₂

I₂ I₁

L L

Ders 19, Soru 2

Çözüm



I 2 I L

2 K 1

2

2 

  ^{(L = I} kullanarak)

 L korunur:

I₂ < I₁ K₂ > K₁ K artar!

₁ ₂

I₂ I₁

L L

Ders 19, Soru 2

Çözüm

 Öğrenci kollarını bükmek için bir kuvvet uygular ve pozitif bir iş yapar!

 İş/KE enerji teoremine göre sistemin KEsi artacaktır!

₁

I₁

₂

I₂

L L

Serbestçe hareket eden bir

parçacığın açısal momentumu

 Bir parçacığın orijine göre açısal momentumu tanımı:

 Bu tanım parçacığın dairesel hareket etmesini gerektirmez !

 Bu parçacığın sabit bir açısal momentumu vardır!

L  r p

y

x

v

Serbestçe hareket eden bir

parçacığın açısal momentumu...

 Kütlesi m ve v hızı ile y = -d doğrusunda hareket eden bir parçacığı dikkate alalım. Orijinde (0 , 0) ölçülen açısal momentum nedir?

x

v d m

y

Serbestçe hareket eden bir

parçacığın açısal momentumu...

 Bulmamız gereken

 Açısal momentumun büyüklüğü:

 r ve p nin her ikiside x-y düzleminde olduğundan, L nin yönü z dir (sağ el kuralı):

y

x p=mv

d

 r









p rpsin θ

p r

L      

mvd

pd

L

 

L  r p



Serbestçe hareket eden bir

parçacığın açısal momentumu...

 Gördük ki L nin yönü z ekseni yönündedir, ve büyüklüğü L_Z = pd = mvd ile verilir.

 Açıkca L korunumludur, zira d (parçacığın orijine olan en yakın uzaklığı) ve p (momentumun korunumu) sabittir.

y

x

p d

Örnek: Sopaya çarpan kurşun

 Kütlesi M ve uzunluğu D olan bir sopa merkezinde dönecek şekilde yerleştirilmiştir. Kütlesi m olan bir kurşun sopayı dönme noktası ve ucu arasında tam ortadan vurur.

Kurşunun ilk hızı v₁, ve son hızı v₂ dir.

 Çarpışmadan sonra sopanın açısal hızı _F nedir?

(gravitasyon ihmal ediliyor.)

v₁ v₂

M

_F

önce sonra

m D

D/4

Örnek: Sopaya çarpan kurşun...

 Dönme ekseni (z-ekseni) etrafında açısal momentum korunur!

 Çarpışmadan önce sopa dönmediğinden toplam açısal momentum sadece kurşundan dolayıdır.

v₁

D M

initial

D/4 m

4 mv D mesafe)

n yakı en

( x p

L_i   ₁

Örnek: Sopaya çarpan kurşun...

 z-ekseni etrafında açısal momentum korunur!

 Çarpışmadan sonra toplam açısal momentum hem kurşundan hem de sopadan dolayı mevcuttur.

 burada I sopanın dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti .

v₂

_F

sonra D/4

F 2

f 4

mv D

L  I

Örnek: Sopaya çarpan kurşun...

 L korunumundan  L_i = L_f

v₁ v₂

M

_F

önce sonra

m D

D/4

I  1 12

MD2

mv D

mv D

MD _F

1 2

2

4 4

1

 12  ^_F ^m

 

MD v v

 3 

1 2

Örnek: İskemleden top fırlatmak

 Serbestçe dönebilen bir iskemleye bir öğrenci oturur.

Öğrenci ve iskemle sisteminin eylemsizlik momenti I

olarak verilir. Öğrenci kütlesi M olan ağır bir topu v hızı ile öyle fırlatır ki hız vektörü iskemlenin dönme

ekseninden d mesafesinden geçer.

 Öğrenci topu fırlattıktan sonra öğrenci ve iskemle sisteminin açısal hızı _F nedir?

Önce (tepeden) sonra

d M v

I I

_F

Örnek: İskemleden top fırlatmak...

 Dış tork olmadığından toplam açısal momentum korunumludur:

 L_i = 0

 L_f = 0 = I^_F - Mvd

Önce (tepeden) sonra

d M v

I I

_F

_F  Mvd I

Ders 19, Soru 3

Açısal Momentum

₁

 Bir atlı karıncada sabit w hızı ile dönmekte iken elinde

tuttuğu bir topu serbest bırakan çoçuğun açısal momentum nasıl değişir?

(a) artar (b) azalır (c) aynı kalır

Ders 19, Soru 3

Çözüm

 Çocuk atlı karınca ve top sisteminin toplam açısal momentumu: L_NET = L_AK + L_ÇCK + L_TOP

Önce:

 

R mR v

Iω

L_TOP ²  



 



 





v R

m sonra L_TOP  mvR



v m aynı

Ders 19, Soru 3

Çözüm



 Önce & sonra L_TOP aynı olduğundan, w aynı

kalmalıdır ki “sistemin toplam” L_NET değişmesin.



Ders 19, Soru 3

Kavramsal Çözüm



 Topu bırakmak atlı karıncaya hiç bir kuvvet

uygulamayacağından açısal momentumunun değişmesi söz konusu değil.

Özet

 Açısal Momentum:

 Tanım & Türetmeler

 Anlamı nedir?

 Sabit bir eksen etrafında dönme

 L = I^

 Örnek: 2 disk

 Dönen iskemlede bir öğrenci

 Serbest hareket eden bir cismin açısal momentumu

 Değneğe çarpan kurşun

 Top fırlatan öğrenci