Fizik 101: Ders 3

Fizik 101: Ders 3

Ajanda



Anlamlı Sayılar



Tekrar: Vektörler, 2 ve 3D düzgün

doğrusal hareket



Rölatif hareket ve gözlem çerçeveleri



Düzgün dairesel hareket

Vektörler (tekrar)

 Vektör  (Türkçe) ; Vektör  (Almanca) ; Vector  (İngilizce) ;Vectour  (Fransızca) ; BeKTUP  (Rusca)

 Hem büyüklüğü, hem yönü olan bir niceliktir ve diğer vektörlerle belirli kurala göre birleşir.

 Büyüklüğü olup yönü olmayan niceliklere skaler denir.

 Vektör gösterimi:

 kalın yazılarla: A

 “ok” işaretiyle:

 Birim vektörler ve birim vektörler cinsinden gösterim

 Vektör toplamı

 Vektör çarpımı (skaler, vektörel)

A 

Vektörler...

 r vektörünün büyüklüğü (uzunluk) pisagor teoremiyle bulunabilir:

r  r x²  y²

r y

x

 Vektörün büyüklüğü yöne bağlı değildir.

Vektörler...

 r vektörünün bileşenleri (x,y,z) koordinatlarıdır.

 r = (r_x ,r_y ,r_z ) = (x,y,z)

 2-D olarak göz önüne alırsak (kolay olduğundan):

 r_x = x = r cos 

 r_y = y = r sin 

burada r = |r |

y

x

(x,y)



r arctan( y / x )

Birim Vektörler...

 Bir Birim vektör büklüğü 1 olan bir vektördür ve birimsizdir.

 Yön göstermek için kullanılır.

 u birim vektörü U vektörünün yönünü gösterir

 genellikle “şapka” ile gösterilir: u = û

 Örnek: kartezyen birim vektörleri [ i, j, k ]

 yönelişleri x, y ve z eksenleri doğrultusundadır.

U

û

x y

z

i j

k

Vektör toplamı:

 A ve B vektörlerini dikkate alalım. A + B ?

A

B

A B A B

C = A + B

 Yönü ve büyüklüğünü değiştirmeden vektörleri istediğimiz gibi düzenleyebiliriz!

Bileşenleri kullanarak vektör

toplamı:

 C = A + B ise:

(a) C = (A_x i + A_y j) + (B_x i + B_y j) = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j

(b) C = (C_x i + C_y j)

 Bileşenleri karşılaştırırsak :

 C_x = A_x + B_x

 C_y = A_y + B_y

C

B_x A

B_y B

A_x

A_y

İki vektörün skaler çarpımı:



C = A B =A.B.Cos

^(a) C = (A

i + A

j + A

k) (B

i + B

j + B

k)

(A

B

) + (A

B

) + (A

B

)

İki vektörün vektörel çarpımı:

cˆ

Sinθ

B

A

B

A

C      

) B A - B (A kˆ ) B A - B (A ˆ j - ) B A - B (A iˆ

B B

A A B kˆ

B A jA

ˆ B

B A A iˆ B

B B

A A A

kˆ jˆ iˆ B

A C

x y y

x x

z z

x y

z z

y

y x

y x z

x z x z

y z y

z y x

z y x















  



 



C_x C_y C_z

Özel not

0 kˆ kˆ 0

jˆ kˆ 1

kˆ kˆ

jˆ kˆ

iˆ iˆ

jˆ kˆ k

iˆ jˆ 0 jˆ jˆ 0

kˆ iˆ 1

jˆ jˆ

jˆ iˆ kˆ iˆ

kˆ jˆ k

jˆ iˆ 0

iˆ iˆ 0

jˆ iˆ 1

iˆ iˆ



































































Vektörel çarpımda yön bulmak için sağ el kuralı uygulanır.

Vektörler (örnekler)



Paralel kenarın alanı



Sinüs teoremi



Bir paralel yüzün hacmi



Bir düzlemin normali

Sinθ B

A B

A

C    







A Sin(BC) C

Sin(AB) B

Sin(AC)  

C B

A

V   







Üç Boyutta (3-D) Kinematik

 İlgilenilen parçacığın konumu, hızı ve ivmesi 3 boyutta:

r = x i + y j + z k

v = v_x i + v_y j + v_z k (i , j , k birim vektörler ) a = a_x i + a_y j + a_z k

 Bir boyutta (1-D) kinematik denklemlerini gördük.

a dv dt

d x dt

  ²

v dx 2

 dt x  x(t)

 3-D için, denklemin her bir bileşeni için 1-D denklemlerini uygularız.

 Bileşenler vektör olarak birleştirilip tek bir ifade halinde yazılabilir:

r = r(t) v = dr / dt a = d

r / dt

3-D Kinematik

a d x

x  dt²

2

x  x(t)

a d y

y  dt²

2

y  y t( )

a d z

z  dt²

2

v dx

x  dt v dy

y  dt v dz

z  dt

z  z t( )

3-D Kinematik

 Sabit ivmeli hareket için integre ederek:

 a = sabit

 v = v₀ + a t

 r = r₀ + v₀ t + ¹/₂ a t²

(burada hepsi a, v, v₀, r, r₀, vektördür.)

2D Harekete Örnek



Soru: V

ilk hızı ve yerle  açısı yaparak eğik

atılan bir cismin maksimum yüksekliği ve

menzili nedir?

Eylemsiz Gözlem Çerçeveleri:

 Gözlem çerçevesi gözlemi (ölçmeyi) yaptığımız yerdir…

 (x,y,z) koordinatını koyduğumuz yer!

 Eylemsiz gözlem çerçevesi (EGÇ) ivmelenmenin olmadığı gözlem çerçevesidir.

 Bu derste eylemsiz gözlem çerçevesini dikkate alacağız..

 Eylemsiz gözlem çerçevelerinde birbirlerine bağlı hızlar olabilir.

Rölatif Hareket

 Farklı 2 EGÇ dikkate alalım:

 Rüzgarlı bir günde bir uçan bir uçak.

 Ankara İstanbul seferini yapmakta olan bir uçakta havaya göre hızı ölçen bir takometre ve bir yönünü gösteren bir pusula mevcuttur..

 Pusula sayesinde yönünü belirlemektedir.

 Havaya göre hızını ölçen takometre saatteki hızını 180 km olarak göstermektedir.

Rölatif Hareket...

 Havadaki EGÇ’ne göre uçak batıya doğru hareket etmektedir:

 V_{p, a} uçağın havaya göre hızı.

Hava V p,a

Rölatif Hareket...

 Yerdeki EGÇ’sine göre hava kuzeye hareket etmektedir.

 V_a,g havanın yere göre hızı (yani rüzgar).

V a,g

Hava V p,a

Rölatif Hareket...

 Yerdeki EGÇ’sine göre uçağın hızı nedir?

 V_p,g uçağın yere göre hızı.

Rölatif Hareket...

è V_p,g = V_p,a + V_a,g Uçağın hızını yerdeki gözlemciye göre veren vektör denklemi.

V p,g

V a,g V p,a

Ders 3, Soru 1

Rölatif Hareket

 Yere göre 1 m/s hızıyla akan 50m

genişliğindeki bir nehirde karşıya yüzmek istiyorsunuz ve hızınız suya göre 2 m/s dir.

Öyle yüzüyorsunuz ki karşıya çıktığınız nokta yüzmeye başladığınız noktanım tam karşısıdır.

 Karşıya kaç saniyede çıkabilirsiniz?

(a) (b) (c)

2 m/s

1 m/s 50 m

50 3  29 35 2

50 

50 1

50 

Ders 3, Soru 1

çözüm

 Karşıya geçmek için gerekli zaman (nehir genişliği) / (v_y )

x ekseni nehir akış yönü,

y eksenini karşı yönde seçelim

y

x

 Tam karşıya yüzdüğünüzden su akıntısı yolunuzu değiştirmelidir öyle ki hızınızın suya göre x bileşenini suyun akış hızıyla birbirini yok etmelidir:

2 m/s 1m/s

y

x

1 m/s

2 1

3

2  2

 m/s

Ders 3, Soru 1

çözüm

 Suya göre hızın y bileşeni

 Karşıya geçme zamanı

y

x

3 m/s 50

3 m 29 m s  s

50 m

3 m/s

Düzgün Dairesel Hareket



Ne demektir?



Nasıl tanımlarız?



DDH’dan ne öğrenebiliriz?

DDH nedir?



Daire üzerinde hareket. Ama Nasıl?



Sabit yarıçaplı R



Sabit hızla v = |v|

R v

x y

(x,y)

DDH’i nasıl tanımlarız?

 Herhangi bir koordinat sistemi seçebiliriz:

 Kartezyen:

 (x,y) [konum]

 (v_x ,v_y) [hız]

 polar:

 (R,^) [konum]

 (v_R ,^) [hız]

 DDH’da:

 R sabittir (böylece v_R = 0).

  (açısal hız) sabittir.

 DDH’i tanımlamada polar koordinatlar (2D) en doğalıdır!

R v

x y

(x,y)



Polar koordinatlar:

 Bir daire üzerindeki yay uzunluğu s ile açı arasındaki bağlantı:

s = R^, burada  açısal yer değiştirme.

 ’nın birimi radyan’dır.

 Daire etrafında tam bir tur için:

2R = R_c

 _c = 2

’nın periyodu 2.

1 tur = 2  radyan

R v

x y

(x,y)

 s

Polar koordinatlar…

x = R cos ^

y = R sin ^

/2  3/2 2

-1

1

0 cos sin

R

x y

(x,y)





Polar koordinatlar…

 Kartezyen koordinatlarda hız dx/dt = v.

 x = vt

 Polar koordinatlarda açısal hız d^/dt = ^.

  = t

  nın birimi radyan/saniye.

 Yer değiştirme s = vt.

burada s = R^ = R^t, dolayısıyla:

R v

x y

t s

v = R

Periyot ve Frekans

 Anımsatama: 1 dönü = 2 radyan

 frekans (f) = dönü / saniye (a)

 Açısal hız () = radyan / saniye (b)

 (a) ve (b) birleştirilirse:

 = 2^ f

 Sonuç olarak:

 Periyot (T) = saniye / dönü

 Sonuç: T = 1 / f = 2^/

R v

s



 = 2 / T = 2f

Özet:

R v

t s

(x,y)

x = R cos( ^{ )}  = R cos( ^{ t} ) 

y ⁼ R sin( ^{ )}  = R sin( ^{ t} )

 = arctan (y/x)

 =  t

s = v t

s = R  = R  t

v =  R 

Polar birim vektörler



Kartezyen koordinatlardaki birim vektörler: i j k



Tanışalım: polar koordinatlarda

“birim vektörler” r ve  :



r radyal yöndedir



 teğetsel yöndedir

R

x y

i

j 

r ^

^ 

^

^

^

^

(saatin tersi yönde)

DDH’te ivmelenme:

 DDH’te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira yönü mütemadiyen değişmektedir: ivme içinde aynısı söz konusudur!

 Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım

  t a_ort = v / t

v₂

t

v₁ R

 DDH’te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira yönü mütemadiyen değişmektedir: ivme içinde aynısı

sözkonusudur!

 Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım

 t a

=  v /  t

DDH’te ivmelenme:

v gibi (çünkü v/t ) orijine doğrudur!

R v

Merkezcil İvme



DDH ivme yaratır:



Büyüklüğü: a = v

/ R



Yönü: - r (dairenin merkezine doğru)

R

a=dv/dt



^

Görüyoruz ki a - R yönündedir!..

DDHda Merkezcil İvme

 Bunun adı: Merkezcil İveme.

 Büyüklüğü nedir:

v₂

v₁

v₁ v₂

v

R R

v  v

R

 R Benzer Üçgenler:

Küçük t için R = vt

: ^

 v

t

v

 R²

v  v

v t

 R

a v

 R²

Eşdeğeri:

 

R a R

 2

Biliyoruz ki ve ^{= R}

v’yi yerine koyarsak:

a v

 R²



a = ²R

Örnek: Pervanenin ucunda ivme

 Küçük bir uçağın pervanesinin dönüş frekansı

f = 3500 dönü/dak. Her bir pervanenin uzunluğu L = 80cm. Pervanenin en ucundaki noktada

merkezcil ivme nedir?

f

L a burada nedir?

Örnek:



Önce pervanenin açısal hızını hesaplayalım:



3500 dönü/dak ^ = 367 s



İvmeyi hesaplarsak.



a = 

R = (367s

)

x (0.8m) = 1.1 x 10

m/s

= 11,000 g



a nın yönü pervanenin merkezine doğrudur (- r ).

1

s

0.105

s

0.105 rad

d

2π rad

s x

d

60

x 1

d

1 d

d/d

1   

^

Örnek: Newton & Ay

 Ay’ın dünya etrafındaki hareketinden dolayı ivmesi nedir?

 Biliyoruz ki (Newton da biliyordu bunu):

 T = 27.3 gün = 2.36 x 10⁶ s (periyot ~ 1 ay)

 R = 3.84 x 10⁸ m (ay’ın uzaklığı)

 R_E = 6.35 x 10⁶ m (dünyanın yarıçapı)

R R_E

Ay...

 Açısal hızı hesaplarsak:

 buradan  = 2.66 x 10^-6 s^-1.

 İvme’yi hesaplarsak.

 a = ²R = 0.00272 m/s² = 0.000278 g

 a nın yönü dünyanın merkezine doğrudur (-r ).

1 - 6 s 2.66x10 d

2π rad s x

gün 86400

x 1 gün

d 27.3

1  _

^

Ay...

 Ay’ın ivmesi a_ay / g = 0.000278

 Newton nun hesabına göre R_E² / R² = 0.000273

 Bundan yola çıkıp F_Mm  1 / R²

 (sonra daha fazlası var!)

R R_E

a_ay g