Fizik 101: Ders 16

Fizik 101: Ders 16

Konu: Katı cismin dönmesi



Dönme kinematiği



Bir boyutlu kinematik ile benzeşim



Dönen sistemin kinetik enerjisi



Eylemsizlik momenti



Ayrık parçacıklar



Sürekli katı cisimler



Paralel eksen teoremi

Rotasyon

 Şimdiye kadarki konularımızda cisimlerin belirli bir eksen etrafında dönmesini üzerine çok durmadık. (öteleme

hareketi ağırlıklıydı)

 Kayan cisimleri inceledik.

 Makaraların kütlelerini yok saydık.

 Rotasyon oldukça önemlidir, dolayısıyla rotasyonu anlamalıyız!

 Türeteceğimiz denklemlerin pek çoğu lineer kinematik ve dinamikte çıkardığımız denklemlerin benzerleridir.

Katı Cismin Dönmesi

 Şekildeki katı cisim z ekseni etrafında döndürülmeye

başlansın, bu katı silindir üzerinde P noktası alırsak bu

noktanın yaptığı hareket dairesel harekettir.

 P noktası Dt zamanında A

noktasından B noktasına gekirse:

P

θ dθ

dS

A B

 





dt R R dw dt R

a dv

Rw R

v

hiz.

ortalama Rw

v

2 2 ani

ani

ani 0

ani

ort ort

lim











 D 

 D

D 

 D D

 D

 D

t d d

dt d dt

ds t

s t R t

s

t

Rotasyon Değişkenleri.

 Sabit eksen etrafındaki rotasyon:

 Merkezinden geçen eksen etrafında dönen bir diske bakalım:

 Öncelikle Düzgün Dairesel Hareket hakkında öğrendiklerimizi hatırlayalım:

(lineer hıza benzer )

dt d

 

v  dx





Rotasyon Değişkenleri...

 Farz-ı muhal  zamanın bir fonksiyonu olsun:

 Açısal ivme

tanımı: _





2 2

2

rad/s

dt

d θ

dt

α  dω 

 Açısal ivme  nin sabit olduğu durumu dikkate alalım.

 Bunu integre ederek

 ve  yı zamanın bir fonksiyonu olarak buluruz:

αt ω

ω

sabit α

0 





2 0

0 2

1 t

t 





   

Rotasyon Değişkenleri...

 Dönme ekseninden R uzaklıktaki bir nokta için:

 x = ^R

 v = ^R

Bunun türevini alarak:

 a = ^R



 R

v

 x

2 0

0 0

2 t t 1 t



























 _sabit

Özet

(1-D kinematikle karşılaştırma)

sabit



α

 t



 



  ₀ ₀ 1  ² t 2 t

sabit

a 

at v

v  ₀ 

x  x₀ v t₀  1 at² 2

Rotasyon ekseninden R uzaklığında bir nokta için:

x = R v = R a = R

Örnek: Tekerlek ve Sicim

 Yarıçapı R = 0.4 m olan bir tekerlek sabit bir eksen

etrafında serbestçe dönmektedir. Tekerleğin etrafında

sarılan bir ip var. t = 0 anında durgunken ip sabit bir ivme a

= 4 m/s² ile çekilir. 10 saniye sonra tekerlek kaç tur döner? (Bir tur = 2 radyan)

a

Tekerlek ve Sicim...

28 80 . 6

500 14

. 3 2

410 . 0 5 4 . 0 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2



 

 















 







 

































t

t

t R t

a R

at R

tur

: mumerik tur

ile i denklemler dönme

Yol tur tur

: le denklemler Çizgisel

a

 R

Tekerlek ve Sicim...

a

 R

Tekerlek ve Sicim...

a

 R

Rotasyon & Kinetik Enerji

 Aşağıda gösterilen basit dönen bir sistemi dikkate

alalım. (Noktasal kütleler kütlesiz bir çubuğa iliştirili)

 Sistemin kinetik enerjisi her bir parçacığın kinetik enerjisinin toplamıdır:

r₁

r₂ r₃

r₄ m₄

m₁

m₂ m₃



Rotasyon & Kinetik Enerji...

 Yani: ^



i

i2 i v 2m

K 1

  





i

i i i

i

i r mr

m

K ^{2 2 2}

2 1 2

1  

Başka bir şekilde yazım:

K  1 2

I 2

I 



2

Dönme ekseni etrafında

eylemsizlik momenti I nın birimi kg m^2. r₁

r₂ r₃

r₄ m₄

m₁

m₂ m₃



Rotasyon & Kinetik Enerji...

 Dönen bir sistemin kinetik enerjisi nokta parçacığın kinetik enerjisine benziyor:

 Nokta parçacık Dönen sistem

K  1 2

I 2

I 



K  1 mv 2

2

v “lineer” hız m  kütle.

  açısal hız

I dönme ekseni etrafında eylemsizlik momenti.

Eylemsizlik Momenti

 Eylemsizlik momenti I sistemin kütle dağılımına bağlıdır.

 Kütlenin dönme ekseninden uzaklaşması eylemsizlik momentini artırır.

 Verilen bir cisim için eylemsizlik momenti dönme

eksenini nerde seçtiğimize bağlıdır. (kütle merkezinden farklı).

 Lineer dinamikteki denklemlerde m kütlenin yerini dönme dinamiğinde I eylemsizlik momenti alır!

K  1 2

I 2 I 



i

sonuç burada 2

Eylemsizlik Momenti Hesabı

 Sabit bir eksen etrafında dağılmış N ayrık noktasal parçacık için eylemsizlik momenti:

I 



N 2

1

burada r kütlenin dönme eksenine olan uzaklığı.

Örnek:Kenar uzunluğu L olan bir karenin köşelerinde 4 (m) kütlesi var ve kare merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmektedir.

Kütle sisteminin eylemsizlik momentini hesaplayınız:

m m

L

Eylemsizlik Momenti Hesabı...

m m

m m

L

r

L / 2

2 4 2

1

2

2 2

4 L 2 I mL

m

r

m

I

i

i

i

  



 



 





 



Eylemsizlik Momenti Hesabı...

 I ‘yı şimdide merkezden kenara paralel olan bir dönme ekseni için hesaplayalım:

m m

m m

L

r

Eylemsizlik Momenti Hesabı...

 Son olarak aynı sistemin eylemsizlik momentini bir kenarından geçen bir eksen için hesaplarsak:

m m

m m

L

r

Eylemsizlik Momenti Hesabı...

 Aynı cisim için I dönme eksenine açıkça bağlıdır!!

L

I = 2mL² I = mL²

m m

I = 2mL²

Ders 16, Soru 1

Eylemsizlik Momenti

 Üçgen şeklindeki cisim 3 özdeş kütle ve katı kütlesiz çubuktan oluşmaktadır. a, b, ve c eksenlerine göre eylemsizlik momenti I_a, I_b, ve I_c dir.

 Aşağıdakilerden hangisi doğrudur:

(a) I_a > I_b > I_c (b) I_a > I_c > I_b (c) I_b > I_a > I_c

a b c

Ders 16, Soru 1

Eylemsizlik Momenti

a b c

 Kütleler ve uzaklıları işaretleyelim:

m

m L L

   

I_a  m 2L ² m 2L ² 8mL²

 Eylemsizlik momentini hesaplayalım:

I_b  mL² mL² mL²  3mL²

 

I_c  m 2L ² 4mL²

(b) doğru: I_a > I_c > I_b

Eylemsizlik Momenti Hesabı...

 Ayrık nokta kütleleri için eylemsizlik momenti:

 Sürekli kütle dağılımı gösteren bir cisim için her bir sonsuz küçük dm kütle elementinden gelen mr²

katkısını verilen bir eksen için toplamalıyız.

 Yani eylemsizlik momenti I integralden elde edilir^: I 



N 2

1

r

dm

boyutlu

3

r

)d

r

ρ(

r

)dv

r

ρ(

r

I

dm

r

I

3 2

2 2













  

Eylemsizlik Momenti...

 Katı cisim için eylemsizlik momentine bazı örnekler:

M kütleli ve R yarıçaplı bir çember için merkezinden geçen ve silindir

düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momenti

I  MR²

R

I  1 2

MR2

M kütleli ve R yarıçaplı bir çember için,

çaptan geçen eksene göre eylemsizlik momenti

R

Eylemsizlik Momenti...

 Katı cisim için eylemsizlik momentine bazı örnekler:

M kütleli ve R yarıçaplı katı küre için Merkezinden geçen eksene göre

eylemsizlik momenti.

I  2 5

MR2

R

I  1 2

MR2

R

M kütleli ve R yarıçaplı katı disk yada silindir için merkezden geçen dik eksene göre

eylemsizlik momenti.

Ders 16, Soru 2

Eylemsizlik Momenti

 Kütleleri ve yarıçapları aynı iki küreden biri katı alüminyumdan diğeri içi boş altın kabuğundandır.

 Merkezden geçen eksene göre hangisinin eylemsizlik momenti daha büyüktür?

M & R aynı

katı oyuk

(a) Katı alüminyum (b) oyuk altın (c) aynı

Ders 16, Soru 2

Eylemsizlik Momenti

 Eylemsizlik momenti kütleye (her iki cisimde de aynı) ve dönme ekseninden olan uzaklığın

karesine bağlıdır. Oyuk kürede mesafe daha büyüktür, çünkü kütlesi daha dışarıdadır.

 Küresel kabuk (altın) daha büyük eylemsizlik momentine sahiptir.

M & R aynı I_KATI < I_KABUK

katı oyuk

Eylemsizlik Momenti...

 Katı cisimler için I ya bazı örnekler :

M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti.

I  1 12

ML2

L

M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için bir köşesinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti.

I  1 3

ML2

L

Paralel Eksen Teoremi

 M kütleli bir katı cismin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentini I_KM, bildiğimizi farz edelim.

 KM’inden geçen eksene paralel ve ona D uzaklığında başka bir eksene göre eylemsizlik momenti:

I_PARALEL = I_KM + MD²

 Eğer I_KM biliyorsak KMzinden geçen eksene paralel eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak kolaydır.

Paralel Eksen Teoremi:Örnek

 Kütlesi M ve uzunluğu D olan düzgün bir çubuk dikkate alalım. Çubuğun en ucuna göre eylemsizlik momentini bulun.

I_PARALEL = I_KM + MD²

L D=L/2

x ^CM M

I_KM I_UÇ

Enerji Korunumuna Dair

 Sistemin toplam kinetik enerjisi lab gözlem çerçevesine göre:

E_LAB  1 m v  m v 2

1

1 1 2

2

2 2

2 ama

yani

(v₂ için aynısı söz konusu

= K_REL = K_KM = P_NET,KM = 0

* 2 KM

2

* 1 KM

1

V v

V v

V V









  



* 1 1 2

2 1

2

* 2 2 2

* 1

1 2

1 2

1 2

1 m v m v m m V m v m v

E_LAB     _KM V_KM  

*1 KM

2

*1 2

KM 1

1 2

1 v v V V 2V V

v      

KM hareketi ile bağlantı

 Önceki slaytte parçacıklar sistemi için bulduğumuz kinetik enerji terimi :

 





 





KM2 i2

i

NET

MV

2

u 1

2 m

K   1 

K_REL K_KM

2 KM 2

KM

TOP

MV

2

ω 1

2 I

K  1 

 KM etrafında dönen katı cisim için birinci terim:



 _{i i}²

REL m u

2

K 1 Yerine koyarak u_i  r_i



 ² _{i i}²

REL m r

2

K 1  ^ KM

2 i

ir I

m 



KM hareketi ile bağlantı...

 Kütle merkezi etrafında dönen katı bir cisim için KM hareket halinde ise:

KM2 KM 2

NET MV

2 ω 1

2I

K  1 

 V_KM

Önümüzdeki derste daha sı var...

Özet



Dönme kinematiği



Bir boyutlu kinematik ile benzeşim



Dönen sistemin kinetik enerjisi



Eylemsizlik momenti



Ayrık parçacıklar



Sürekli katı cisimler



Paralel eksen teoremi