G ü ndem Fizik 101: Ders 23

Fizik 101: Ders 23

Gündem

 Basit Harmonik Hereket

 Yatay yay ve kütle

 Sinus ve cosinus’lerin anlamı

 Düşey yay ve kütle

 Enerji yaklaşımı

 Basit sarkaç

 Çubuk sarkaç

Basit Harmonik Hareket (BHH)

Ucunda bir kütle bulunan bir yayı gerip

bıraktığımızda kütle ileri geri titreşim hareketinde bulunacaktır (eğer

sürtünme yoksa).

 Bu titreşim hareketi basit harmonik hareket olarak adlandırılır ve de anlaması oldukça kolaydır...

k m

k m

k m

BHH Dinamik...

 Biliyoruzki F = ma

her zaman geçerlidir..

 Bu durumda F = -kx

ve ma =

 Yani: -kx = ma =

k

x m

F = -kx a

m d x dt

2 2

d x dt

k m x

2

2   x(t) için diferensiyel denklem!

m d x dt

2 2

BHH Dinamik...

d x dt

k m x

2

2  

d x

dt x

2 2

 2

  k m

Çözüm denemesi: x = A cos(t)

 ^t

sin dt A

dx   

 ^{t x}

cos dt A

x

d _{2 2}

2

2     

Denklem sağlandığından çözüm budur!

tanım

Burada w hareketin açısal frekansıdır.

BHH Dinamik...

y = R cos ^ = R cos ( ^ t ⁾

 Amaaaa!... Açısal frakansın ileri geri hareketle ne ilgisi var??

x y

-1 1

0 

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 2 6





BHH Çözüm

 Gösterdik ki: (F = ma denkleminden elde edildi) çözümü  x = A cos(^t) .

 Bu çözüm tekil değildir, binaenaleyh x = A sin(^t) da bir çözümdür.

 En genel çözüm bu iki çözümün bir lineer kombinasyonudur!!

x = B sin(^t)+ C cos(^t)

d x

dt x

2 2

 2

 ^{t Csin} ^t

cos dt B

dx      

 ^{t Ccos} ^{t x}

sin dt B

x

d _{2 2 2}

2

2         ok

Türetme:

x = A cos(t + )

= A cos(t) cos - A sin(t) sin

burada C = A cos() and B = A sin() doğru!

= C cos(t) + B sin(t)

En genel çözümü kullanmak istiyoruz:

dolayısıyla x = A cos(^t + ^) genel çözüm için kabul edebiliriz!

BHH Çözüm...

 A cos( ^t ) denkleminin grafiği

 A = titreşim genliği

   

T = 2/

A

 A

BHH Çözüm...

 A cos( ^t + ^) denkleminin grafiği



   



BHH Çözüm...



A cos( ^ t - ^ /2 )

A

 =

/2

   

= A sin(t)!



Ders 23, Soru 1

Basit Harmonik Hareket

 Aşağıdaki ilk grafikte verilen 2 sinüssel dalgayı toplarsak sonuç ne çıkar?

-0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(a)

-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(b)

(c)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ders 23, Soru 1

Çözüm

 Trik özdeşliği anımsayalım:     _



 



  



 



  

 2

B A 2

B 2 A

B

A cos cos cos

cos

 ^{t  cos}^{t }

cos



 



  2 2

a 

cos b _ 2

 ^{t b}

a 

 cos 



Burada

 Frakansları aynı olan iki veya daha fazla sinus ve cosinus fonksiyonun toplanı yine aynı frekansta başka bir sinus yada cosinus

fonksiyonudur.

 Cevap (b).

Excel programını kullanarak doğru olduğunu gösterebilirsiniz!!

Düşey yay nasıl?

 Yatay yay için (deneyden biliyoruz ki!)

eğer y denge durumundan olan uzaklık ise!

 Yaya etki eden kuvvet bu

fonksiyonun negatif türevidir:

 Aynen yatay yay da olduğu gibi:

-ky = ma =

j

k

m F = -ky y = 0 U  1 ky

2

2

dy ky

F  dU  

m d y dt

2 2

Çözümü y = A cos(^t + ^)

  k burada m

BHH Toparlarsak...

 BHHin en genel çözümü  x = A cos(^t + ^) burada A = genlik

 = açısal frekans

 = faz

 Yaya bağlı bir kütle için

 Frekans genliğe bağlı değildir!!!

 Bunun bütün basit harmonik hareketler için doğru olduğunu göreceğiz!

 Titreşim net kuvvetin sıfır olduğu denge konumu etrafında vukuu bulur!

  k m

Basit Sarkaç

 En basit sarkaç m kütlesinde bir cismin L uzunluğunda bir iple bir noktaya asılarak elde edilir. Denge konumu etrafında yaptığı

küçük salınımların frekansı nedir? ^ _L

m

mg z

Yan bilgi:

küçük  için sin  ve cos 

 sin ^ ve cos ^ fonksiyonların  = 0 yakınlarında Taylor açılımı:

! ...

5

! sin 3

5 3   

 





 ...

! 4

! 1 2

cos

4 2   

 

 ve 

 << 1 için ^{sin  } ve ^{cos 1}

Basit Sarkaç...

 Anımsatma:: ağırlıktan dolayı z ekseni etrafında tork

 = -mgd.

d = Lsin ^{ } L^ küçük  için

  = -mg L^

 Ama  = I^ , I = mL^{2  L}

d

m

mg z

mgL  mL d

 ₂ dt²

2

d dt

2 2

   2   g burada L

Basit harmonik hareket için diferansiyel denklem!

 = ₀ cos(t + )

Ders 23, Soru 2

Basit Harmonik Hareket

Bir salıncakta oturuyorsunuz. Bir arkadaşınız sizi hafif iter ve siz T₁ periyodu ile ileri geri salınmaya başlarsınız.

Oturmak yerine salıncakta dikildiğinizde hafif itiliyor ve T₂ periyodu ile ileri geri salındığınızı farz edersek:

Aşağıdakilerin hangisi doğru?

(a) T₁ = T₂ (b) T₁ > T₂ (c) T₁ < T₂

Ders 23, Soru 2

Çözüm

 Basit sarkaç için frekans   g

L

T L

 2 g Çünkü _{T } ^2



 Sarkaç boyu küçültülürse daha hızlı titreşir (periyot küçülür!)

Ders 23, Soru 2

Çözüm

L₁

L₂

Ayağa kalmak salıncağın KM ni daha kısa yapar!

T₁ T₂

L₁ > L₂ olduğundan T₁ > T₂ .

Çubuk Sarkaç

 Bu sarkaç L uzunluğunda m kütleli ince bir çubuğun bir ucundan asılmasıyla yapılır. Denge konumu

etrafında küçük yer değiştirmenin frekansı nedir?

 mg L z

x KM

Çubuk Sarkaç...

 (z) ekseni etrafında torku

 = -mgd = -mg(L/2)sin^{ } -mg(L/2) küçük  için

 Bu durumda

   = I^{  }

d L mg z

L/2

x KM I  1

3 mL2



2 2 2

dt mL d 3 1 2

mg L 











d dt

2 2

   2   3 2

g burada L

d I

Ders 23, Soru 3

Periyod

(a) (b) (c)

 Basit sarkacın uzunluğunu ne almalıyız ki periyodu çubuk sarkaç ile aynı olsun?

L_R L_S

R

S L

3 L  2

R

S L

2

L  3 L_S  L_R

L_R L_S

_S = _P eğer _S L_R 3 L  2

Ders 23, Soru 3

Çözüm

S

S L

 g



R

R 2L

g

 3



Özet

 Basit Harmonik Hereket

 Yatay yay ve kütle

 Sinus ve cosinus’lerin anlamı

 Düşey

yay ve kütle

 Enerji yaklaşımı

 Basit sarkaç

 Çubuk sarkaç