BÖLÜM 4:

1

BÖLÜM 4: BİR BOYUT İÇİNDE İLERLEYEN DALGALAR VE FAZ HIZI

Bu bölüme kadar kapalı sistemler ele alındı. Bu sistemlerde enerji sistemin sınırları içinde korunur. Kapalı bir sistemin serbest salınımları ve kararlı durumdaki zorla salınımları duran dalgaların yani kiplerin üst üste gelmiş şekli olarak anlatılabilir. Kipleri belirleyen sistemin sınır şartlarıdır.

Sınırı bulunmayan (veya dalga soğuran bir uç ile sona eren) sistemler açık sistemerl olarak adlandırılır. Bu bölümde açık sistemlerin zorla salınımları incelenecek. Açık bir ortam ile çiftlenimli sürücü kuvvetin oluşturuduğu dalgalara ilerleyen dalga denir. Bu dalgalar kaynaktan uzaklara yayılırlar ve enerji, momentum taşırlar.

4.1 Bir Boyutta İlerleyen Harmonik Dalgalar

İlerleyen sinüsel dalgalar pek çok fiziksel durumda ortaya çıktığından önemlidir. Pek çok karışık dalga şekli, sinüsel dalgaların birleşiminden oluşur. Bu nedenle sinüsel (harmonik) ilerleyen dalgaları anlamak karmaşık dalgaları anlamayı kolaylaştırır. Sağa doğru (+𝑥 doğrultusunda), 𝑣 hızıyla ilerleyen sinüsel dalga

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(2𝜋

𝜆 (𝑥 − 𝑣𝑡)) olarak, sola doğru (−𝑥 doğrultusunda) ilerleyen dalga ise

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(2𝜋

𝜆 (𝑥 + 𝑣𝑡))

şeklinde ifade edilir. Burada 𝐴 dalganın genliği, 𝜆 dalganın hızıdır. 𝜓(𝑥, 𝑡) hem 𝑥’e hem de 𝑡’ye bağlıdır.

2

şeklinde ilişkilidir. 𝑓 = 1/𝑇 frekans, 𝑇 periyottur. Açısal frekans; 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋

𝜆 𝑣 = 𝑘 𝑣

bağıntısı ile verilir. Buradan, faz hızı (hareketin tekrarlanma hızı) ise 𝑣 =𝜔

𝑘

olarak bulunur. Sonuç olarak, sola ilerleyen sinüsel dalga 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) şeklinde ve sağa ilerleyen sinüsel dalga ise

𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) olarak ifade edilir.

Sürekli bir ipin enine titreşimlerini tanımlayan denklem 𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡2 = 𝑣 2𝜕 2_{𝜓(𝑥, 𝑡)} 𝜕𝑥2 şeklindedir ve dalganın hızı 𝑣 = √𝑇0 𝜌₀

olarak tanımlıdır. Burada, 𝜌₀ ipin birim uzunluğunun kütlesi, 𝑇₀ ipin dengedeki gerilimidir.

3 𝐸 =1 2∫ [𝜌0( 𝜕𝜓 𝜕𝑡) 2₊ 𝜆 0 𝑇₀(𝜕𝜓 𝜕𝑥) 2_] bağıntısından 𝐸 = 1 4𝜌0 𝜔 2 _𝐴2 _𝜆 olarak bulunur. 𝐴

2 genlikli zıt yönde ilerleyen iki dalga bir duran dalga

oluşturur: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 2sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴 2sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡)