1.1 Bir Serbestlik Dereceli Sistemlerin Serbest Salınımları

1

BÖLÜM 1: BİR ve İKİ SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI

1.1 Bir Serbestlik Dereceli Sistemlerin Serbest Salınımları

Basit harmonik hareket:

Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan bir cismin hareketine ise titreşim (salınım) hareketi denir.

Sinüsel salınım hareketi:

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝑤𝑡 + 𝜑) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜑′), 𝜑 = 𝜑′ + 𝜋/2

Dalga boyu (𝜆): Bir salınımın boyu Genlik (𝐴): Dağınımın şiddeti

Frekans (𝑓): Saniye başına salınımın tekrarlanma sayısı Periyot (𝑇): Bir salınımın geçmesi için geçen süre (𝑇 = 1/𝑓) Faz ( 𝜙): Faz

Açısal Frekans (𝑤): 𝑤 = 2𝜋𝑓 = ^2𝜋

𝑇

2

Bir Serbestlik Dereceli Sistemlerin Serbest Salınımlarına Örnekler:

Bir cismin herhangi bir durmunu belirlemek için gerekli koordinat sayısına o sistemin serbestlik derecesi denir. Bir serbestlik dereceli sistemlere bir kaç örnek:

Bir serbestlik dereceli sistemlerin serbest salınımları Çizgisellik ve üst üste gelme ilkesi

İki serbestlik dereceli sistemlerin salınımları

Bu üç örnek için de hareket, küçük salınımlar durumunda basit harmonik harekettir.

1.1.1 Basit harmonik salınıcı

𝑘: yay sabiti

𝑥(𝑡): kütlenin denge konumundan olan uzaklığı (yerdeğiştirme) 𝐹 = −𝑘𝑥: yay kuvveti (geri çağırıcı kuvvet)

L-C Devresi Basit Sarkaç Kütle-Yay Sistemi

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡 + 𝜑) 𝜃(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜑)

𝑇 = 2𝜋 √(𝑚/𝑘) 𝑇 = 2𝜋 √(𝑔/ℓ)

𝐼(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜑)

𝑇 = 2𝜋 √(𝐿 𝐶)

3

Newton’un 2. yasası bu sisteme uygulandıgında:

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 𝑑 ² 𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 ² + 𝑤 ² 𝑥(𝑡) = 0 Burada, 𝑤 ² = 𝑔𝑒𝑟𝑖 ç𝑎ğ𝚤𝑟𝚤𝑐𝚤 𝑘𝑢𝑣𝑣𝑒𝑡

𝑘ü𝑡𝑙𝑒×𝑦𝑒𝑟𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑡𝑖𝑟𝑚𝑒 = ^𝑘

𝑚 olarak tanımlanır. Bu denklemin çözümü

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡 + 𝜑)

şeklindedir. 𝐴 ve 𝜑 sabitleri, baslangıç koşulları (𝑡 = 0’da; 𝑥(0) = 𝑥 ₀ , 𝑥̇ (0) = 𝑣_0) cinsinden belirlenir:

𝐴 = √𝑥 ₀ ² + 𝑣 ₀ ²

𝑤 ² = √ 2 𝐸 𝑘 𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (− 𝑣 ₀

𝑤 𝑥 ₀ ) Burada, 𝐸 = ¹

2 𝑚𝑣 ₀ ² + ¹

2 𝑘𝑥 ₀ ² sistemin toplam enerjisidir. Yay kuvveti korunumlu bir kuvvet oldugundan, sistemin toplam mekanik enerjisi korunur.

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡 + 𝜑) çözümü aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir:

𝑥(𝑡) = 𝐴 ₁ cos(𝑤𝑡) + 𝐵 ₁ sin(𝑤𝑡) Burada, 𝐴 ₁ = −𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝐵 ₁ = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝐴 = √𝐴 ₁ ² + 𝐵 ₁ ² , 𝑡𝑎𝑛𝜑 = − ^𝐴

𝐵

şeklindedir.

4

1.1.2 Basit sarkaç

Boyu ℓ olan hafif bir çubuk ve çubuğa bağlı m kütlesinden oluşan basit sarkacı ele alalım. Bu sistem için küçük açı yaklaşımında hareket denklemi:

𝑑 ² 𝜃(𝑡)

𝑑𝑡 ² + 𝑤 ² 𝜃(𝑡) = 0, 𝑤 ² = 𝑔 ℓ ile verilir. Bu denklemin çözümü

𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)

şeklindedir. 𝐴 ve 𝜑 başlangıç koşulları (𝑡 = 0’da; 𝜃(0) = 𝜃 ₀ , 𝜃̇(0) = 𝑣 ₀ ) ile belirlenir.

𝐴 = √𝜃 ₀ ² + 𝑣 ₀ ²

𝑤 ² = √ 2 𝐸

𝑘 , 𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (− 𝑣 ₀ 𝑤 𝜃 ₀ )

1.1.3 L-C devresi

L-C devresi için de hareket denklemi 𝑑 ² 𝐼(𝑡)

𝑑𝑡 ² + 𝑤 ² 𝐼(𝑡) = 0, 𝑤 ² = 1 𝐿 𝐶 basit harmonik hareket denklemidir ve çözümü

𝐼 = 𝐼 ₀ cos(𝑤𝑡 + 𝜑)

şeklindedir. Benzer olarak 𝐼 ₀ ve 𝜑 başlangıç koşulları ile belirlenir.

Prof. Dr. Şengül Kuru, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü