BÖLÜM 3: ZORLA SALINIMLAR

1 BÖLÜM 3: ZORLA SALINIMLAR

3.5 Çok Serbestlik Dereceli Kapalı Bir Sistemde Zorla Salınımlar

𝜔 frekanslı bir dış (sürücü) kuvvet etkisinde kararlı durumda salınan çiftlenimli özdeş sarkaçlar dizisini ele alalım. Bu dizide dış kuvvet ile doğrudan çiftlenimli bulunmayan bir sarkaç cismi (𝑝. sarkaç) için hareket denklemi

𝑚𝑑 2_𝜓 𝑝 𝑑𝑡2 = −𝑚𝑔 𝜓_𝑝 ℓ − 𝐾(𝜓𝑝 − 𝜓𝑝−1) + 𝐾(𝜓𝑝+1− 𝜓𝑝)

şeklindedir. Burada, 𝜓_𝑝 𝑝. sarkaç cisminin dengeden ayrılma miktarı (yerdeğiştirmesi), 𝐾 sarkaçları birleştiren yayların yay sabiti, 𝑚 sarkaç cisminin kütlesi, ℓ sarkacın uzunluğudur. 𝜓_𝑝+1 ve 𝜓_𝑝−1 ise sırasıyla (𝑝 + 1). ve (𝑝 − 1). sarkaç cisimlerinin yerdeğiştirmelerini göstermektedir. Bu hareket denklemi için genel çözüm bütün hareketli parçaların (sarkaçların) aynı frekans ve aynı faz sabiti ile salınım yaptığı varsayılarak (yani 𝜓_𝑝(𝑡) = 𝐴_𝑝cos(𝜔𝑡 + 𝜙)) ya da süreklilik yaklaşımı (𝜓_𝑝(𝑡) = 𝜓(𝑥, 𝑡)) yapılarak çözülebilir.

Süreklilik yaklaşımında sarkaç sayısı arttırılır ve sarkaçlar arasındaki uzaklık küçültülür ve böylece sürekli sisteme geçilir:

𝜓_𝑝(𝑡) = 𝜓(𝑥, 𝑡), 𝜓𝑝−1(𝑡) = 𝜓(𝑥 − 𝑎, 𝑡), 𝜓𝑝+1(𝑡) = 𝜓(𝑥 + 𝑎, 𝑡)

𝑎 çok küçük olduğundan 𝜓(𝑥 − 𝑎, 𝑡) ve 𝜓(𝑥 + 𝑎, 𝑡) Taylor serisine açılarak her ikisi de 𝜓(𝑥, 𝑡) cinsinden ifade edilir ve

𝜕2𝜓 𝜕𝑡2 = −𝜔02𝜓 + 𝐾 𝑚 𝑎 2𝜕 2_𝜓 𝜕𝑥2

denklemi (Klein-Gordon dalga denklemi) elde edilir. Kararlı durumda tüm parçalar 𝜔 frekanslı (dış kuvvetin salınım frekansı) salınım hareketi yapar:

2 Bu durumda, dağınım bağıntısı

𝜔2 = 𝜔₀2+ (𝐾 𝑎

2

𝑚 ) 𝑘

2

olarak elde edilir. Burada, 𝜔₀2 = 𝑔/ℓ en düşük kip frekansıdır. 𝐴(𝑥) için diferansiyel denklem ise

𝑑2𝐴(𝑥)

𝑑𝑥2 + 𝑘2𝐴(𝑥) = 0

şeklindendir. Eğer 𝜔 > 𝜔₀ ise,

𝐴(𝑥) = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥 ve eğer 𝜔 < 𝜔₀ ise,

𝐴(𝑥) = 𝐴𝑒−𝜅𝑥 + 𝐵𝑒𝜅𝑥 olarak bulunur. Burada, 𝑘2 = −𝜅2’dir.

Böylece, 𝜓(𝑥, 𝑡) 𝜔 frekansına bağlı olarak farklı karaktere sahiptir. Eğer 𝜔 > 𝜔₀ ise, ortamda sinüsel dalgalar; eğer 𝜔 < 𝜔₀ ise, ortamda üstel dalgalar oluşur.

Çiftlenimli sarkaçlar iyonosfer için iyi bir model oluşturur. İyonosfer, 𝜔_𝑝 plazma frekansının (kesilim frekansının) üzerindeki frekanslar için dağınımlı, bu kesilim frekansının altındaki frekanslar için tepkin olarak davranır. Elekromanyetik (em) dalgalar için dağınım bağıntısı:

𝜔2 = 𝜔_𝑝2+ 𝑐2 𝑘2, 𝜔_𝑝 < 𝜔, Dağınımlı (dalgayı olduğu gibi geçirir) 𝜔2 = 𝜔_𝑝2− 𝑐2 𝑘2, 𝜔_𝑝 > 𝜔, Tepkin (dalga özelliği yok olur)

şeklindedir. Burada, 𝑐 em dalgaların hızıdır. FM radyo dalgaları iyonesferde çok iyi iletilirken, AM dalgaları iyonosferden yansırlar.