BÖLÜM 2 ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLAR. ~ Parçalý Fonksiyon. ~ Mutlakdeðer Fonksiyonu. ~ Ýþaret (Sgn) Fonksiyonu. ~ Tamdeðer Fonksiyonu.

(1)

~ Parçalý Fonksiyon

~ Mutlakdeðer Fonksiyonu

~ Ýþaret (Sgn) Fonksiyonu

~ Tamdeðer Fonksiyonu

~ Alýþtýrmalar 1

~ Fonksiyonlarýn En Geniþ Taným Aralýklarýnýn Bulunmasý

~ Alýþtýrmalar 2

~ Test 1 - 2 - 3 - 4 - 5

~ ÖSYM Sorularý

ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLAR

BÖLÜM 2

(2)

Einstein’a göre baþarýnýn formülü

Einstein’dan bir gün, hayatta baþarýlý olmayý, matematiksel bir ifade ile anlatmasýný istediler.

Bu büyük fizik bilgini cevaben dedi ki:

“Eðer (a) hayatta baþarýlý olmayý gösterirse, formül þöyledir:

a = x + y + z

Bu formülde (x) çalýþmayý, (y) de dinlenmeyi gösterir.”

“Peki (z) neyi gösterir?” diye sordular.

Einstein cevap verdi:

“(z) de, çenenizi tutmayý...”

Millet ve Medeniyet

Uluslararasý bir konferansa Temel de katýlýr. Konferansta Alman bir profesör:

- Biz ülkemizde yaptýðýmýz kazýlarda yirmi beþ metre aþaðýya indik ve telefon tellerine rastladýk. Bu da gösteriyor ki atalarýmýz yüzyýllar önce telefon kullanýyor- lardý... der ve alkýþlar arasýnda iner kürsüden. Buna içerleyen Temel kürsüye gelir ve þöyle der:

- Biz de benzer bir araþtýrmayla elli metre aþaðýya kadar kazdýk ve fakat hiçbir

tele rastlamadýk. Bu da gösteriyor ki atalarýmýz bundan yüzyýllar önce cep telefonu

kullanýyorlardý...

(3)

1. PARÇALI FONKSÝYON

Taným :

Taným kümesinin aralýklarýnda ayrý birer fonksiyon olarak tanýmlanan fonksiyonlara parçalý fonksiyonlar denir.

alt aralýklarýn uç noktalarý olan x = a, x = b .... noktalarýna parçalý fonksiyonun kritik noktalarý, ayrýca f(x), g(x), h(x) .... fonksi- yonlarýna da parçalý fonksiyonun dallarý denir.

Örnek 1

biçiminde bir fonksiyon tanýmlanýyor.

a) f(20) ++ f(2) ++ f(−−2) = ? b) (fofof) (0) deðerini bulunuz.

c) −1 < x ≤ 3 için f⁻⁻¹(6) = ?

d) x > 3 için f(x) in görüntü kümesini bu- lunuz.

Çözüm

Yukarýda, parçalý fonksiyonda verilen ara- lýklara göre soruyu çözelim.

a) f(20) = 1

f(2) = 2² − 2 = 2

f(−2) = (−2)²+ 3 = 7 Bunlarý toplarsak f(20) + f(2) + f(−2) = 1 + 2 + 7 = 10 bulunur.

b) fofo ( f(0) ) = fof(−1) f(0) = 2^o− 2 = −1

= f ( f(−1)) f(−1) = (−1)³+ 3 = 4

= f(4) f(4) = 1

= 1 bulunur.

c) −1 < x ≤ 3 için f(x) = 2^x − 2 þeklinde olup, buradan x’i yalnýz býrakalým.

y = 2^x − 2 ise y + 2 = 2^x olup, her iki tarafýn 2 tabanýna göre logaritmasýný alalým.

log₂(y + 2) = x bulunur. Buradan f⁻¹(x) = log₂(x + 2) olup,

f⁻¹(6) = log₂(6 + 2) = log₂8 = log₂2³= 3 bulunur.

II. yol : 6 = 2^x − 2

8 = 2^x ise x = 3 bulunur.

d) x > 3 için, fonksiyonu sabit olduðundan görüntü kümesi tek bir reel sayýdýr.

Yani (3, ∞) aralýðýndaki tüm sayýlarýn görün- tüsü tek bir sayýya eþittir.

Dolaysýyla f (3, ∞) = 1 dir.

Örnek 2

fonksiyonu için f(1) = 4 ve f(−1) = 2 ise, m + n toplamýnýn deðeri kaçtýr?

Çözüm

x ≥ 1 ise

m + 2 = 4 . 2 ise m = 6 x < 1 ise f(−1) = n(−1)²−(−1) = 2

n + 1 = 2 ise n = 1 ise m + n = 6 + 1 = 7 bulunur.

Örnek 3

f(x) = x + 1 ,

fonksiyonlarý verildiðine göre, (fog)(x) i bulunuz.

Çözüm

x ≥ 1 ise (fog)(x) = f( g(x) ) = g(x) + 1

= x + 3 + 1 = x + 4 x < 1 ise (fog)(x) = f( g(x) ) = g(x) + 1

= 2x − 3 + 1 = 2x − 2

ise = ⎨⎧⎪ + ≥

− <

⎪⎩

x 4 , x 1 (fog)(x)

2x 2 , x 1

+ ≥

= ⎨⎧⎪

− <

⎪⎩

x 3 , x 1 g(x) 2x 3 , x 1

2 m .1 2

f(1) 4

1 1

= + =

+

⎧ + ≥

⎪⎪ +

= ⎨⎪

− <

⎪⎩

2 2

mx 2 , x 1 x 1

f(x)

nx x , x 1

⎧ + ≤ −

⎪⎪

=⎨ − − < ≤

⎪ ≥

⎪⎩ 2

x

x 3 , x 1 ise f(x) 2 2 , 1 x 3 ise

1 , x 3 ise

⎧ ≤

=⎪⎪⎨ < <

⎪ ≥

⎪⎩

f(x) , x a ise y g(x) , a x b ise h(x) , x b ise

(4)

Örnek 4

f⁻⁻¹(x) in eþiti kaçtýr?

Çözüm

Parçalý fonksiyonun tersinin tanýmlý olabilmesi için parçalý fonksiyonun tanýmlý oldu- ðu aralýkta bire-bir ve örten olmalýdýr. Ayrýca kritik noktadaki deðerleri birbirine eþit ol- malýdýr. Yani,

2 . 2 − 3 = 2 − 1 1 = 1 olmalý.

f⁻¹(x) =

þeklinde ayrý ayrý tersleri alýnýr.

Not:

x = 1 ters fonksiyonun sýnýr deðeri olduðu- na dikkat ediniz.

Örnek 5

f : R → R ,

fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

x > 1 ise y = x − 1 ve x ≤ 1 ise y = x + 2 grafikleri ayrý ayrý çizilerek istenilen yerler taranýr.

Buna göre;

þekildeki taralý bölgeler f(x) in grafiðidir.

Örnek 6

f : R → R ,

Çözüm

Verilen aralýklarda üç farklý fonksiyonun grafiði çizilir. y = −x grafiði çizilir x < −1 kýsmý taranýr.

y = x − 2 fonksiyonunun grafiði çizilir x ≥ 1 kýsmý alýnýr.

−1 ≤ x < 1 aralýðýnda f(x) = 2 olduðu bilin- mektedir.

Buna göre;

Örnek 7

Çözüm

Yukarýdaki örneklere benzer þekilde çözüm yapalým.

f(x) = x + 1 f(x) = x²− 1 A(0, 1) , B(−1, 0) tepe noktasý (0, 1) noktalarýndan geçen olan bir paraboldür.

bir doðrudur.

Bu fonksiyonlarýn verilen aralýklarda grafiklerini çizdiðimizde

x > 0 için doðruyu , x < 0 için parabolün alýndýðýna dikkat ediniz.

x y

1 1 2

−1 1

−1

⎧ + >

⎪⎪⎪

=⎨ =

⎪⎪

− <

⎪⎩ ²

x 1 , x 0 ise f(x) 1 , x 0 ise

2

x 1 , x 0 ise

x y

y = x−2 y = −x

2

1

−2

−1−1

− < −

⎧⎪⎪

=⎨ − ≤ <

⎪ − ≥

⎪⎩

x , x 1

f(x) 2 , 1 x 1

x 2 , x 1

x y y = x+2

y = x−1 2

1

−2

−1

− >

= ⎨⎧⎪

+ ≤

⎪⎩

x 1 , x 1 f(x) x 2 , x 1

⎧ + >

⎪⎨

⎪ + ≤

⎩

x 3 , x 1 2

x 1 , x 1

− >

= ⎨⎧⎪

− ≤

⎪⎩

2x 3 , x 2 f(x) x 1 , x 2 ise

(5)

2. MUTLAKDEÐER FONKSÝYON

Taným :

veya daha açýk bir ifadeyle

þeklinde de tanýmlanan

|f|: A → R⁺∪ {0} fonksiyonuna mutlakde- ðer fonksiyonu denir.

Mutlak deðeri bir uzunluk olarak ele alýp incelemiþtik, burada ise mutlakdeðeri bir fonksiyon olarak inceleyip, grafiklerini çizeceðiz.

Uyarý :

Mutlakdeðer fonksiyonunun içini sýfýr yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarýdýr. Bu fonksiyonlar incelenirken önce kritik nokta- lara göre parçalý biçimde yazýlýr.

Mutlakdeðer Fonksiyonun Özellikleri

1) |f(x)| = |−f(x)|

2) |f(x) . g(x)| = |f(x)|.|g(x)|

3)

4) |f(x)|ⁿ= |fⁿ(x)|

5) |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)|

6) =|f(x)| , (m ∈ Z⁺)

Örnek 1

f(x) = |4 + |x − |1 − x||

x < 0 ise f(x) fonksiyonunu düzenleyiniz.

Çözüm

x < 0 olduðundan |1 − x| = 1 − x olur.

f(x) = |4 + |x − 1 + x||

= |4 + |2x − 1||

x < 0 olduðundan |2x − 1|= −2x + 1 f(x) = |4 − |2x − 1| = |5 − 2x|

x < 0 olduðundan f(x) = |5 − 2x|

= 5 − 2x bulunur.

Örnek 2

f(x) = x + |x − 2| fonksiyonunu parçalý fonksiyon þeklinde yazýnýz.

Çözüm

Mutlakdeðer fonksiyonunun içini sýfýr yapan deðer kritik nokta olduðundan

x > 2 ise,

|x − 2| = x − 2 ⇒ f(x) = x + x − 2

= 2x − 2 x < 2 ise,

|x − 2| = −x + 2 ⇒ f(x) = x − x + 2 = 2 x = 2 için,

f(x) = 2 + |2 − 2| = 2

Buna göre f(x) in parçalý fonksiyon þeklin- de yazýlmýþ hali,

Örnek 3

fonksiyonunu parçalý fonksiyon þeklinde yazýnýz.

Çözüm

iþaretlerini inceleyelim.

− + = − = −

= − −

2 2

x 6x 9 (x 3) x 3

f(x) x 3 x

= ²− + −

f(x) x 6x 9 x 2x 2 , x 2 f(x) 2 , x 2 dir.

− >

= ⎨⎧⎪

⎪⎩ ≤

2mf(x)2m

= f(x) ≠

f(x) , g(x) 0

g(x) g(x)

x 3 , x 3

g(x) x 3 0 , x 3

x 3 , x 3

− >

⎧⎪⎪

= − =⎨ =

⎪− + <

⎪⎩

⎧ >

=⎪⎪⎨ =

⎪− <

⎪⎩

f(x) , f(x) 0 f(x) 0 , f(x) 0 f(x) , x 0

(6)

Buna göre fonksiyonu tanýmlayalým.

x < 0 ise f(x) = −x + 3 − (−x)

= −x + 3 + x = 3 0 < x < 3 ise f(x) = −x + 3 −x

= −2x + 3 x > 3 ise f(x) = x − 3 − x = −3 Ayrýca kritik noktalara bakalým.

x = 0 için f(0) = |0 − 3| − |0| = 3 x = 3 için f(3) = |3 − 3| − |0| = −3 Buna göre;

þeklinde yazýlýr.

Örnek 4

R⁺ da tanýmlý,

fonksiyonunun en sadeleþtirilmiþ halini bulunuz.

Çözüm

Mutlakdeðerin içini tamkare yapalým.

Örnek 5

f(x) = |x − 2| fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Mutlakdeðerin içini sýfýr yapan deðer x = 2 olup bu nokta fonksiyonun kritik noktasýdýr.

x = 2 nin saðýnda ve solunda fonksiyon farklý tanýmlanýr ve parçalý þekilde yazýlýr.

x > 2 ise |x − 2| = x − 2 ⇒ f(x) = x − 2 x < 2 ise |x − 2| = −x + 2 ⇒ f(x) = −x + 2 olduðundan,

Uyarý :

y = x − 2 nin grafiði ile

y = −x + 2 nin grafiðini incelediðimizde y = x − 2 nin ox eksenine göre simetriðinin alýnmýþ hali y = −x + 2 grafiði olduðu gö- rülür.

Bundan dolayý f(x) fonksiyonunun tamamý mutlakdeðer içinde ise, mutlakdeðerin içinin grafiði çizilip ox eksenine göre simet- riði alýnýrsa |f(x)| fonksiyonunun grafiði elde edilmiþ olur.

Örnek 6

f(x) = |x² − 1| fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Önce f(x) in iþaretini inceleyelim.

Bu fonksiyonun grafiði f(x) = x² − 1 para- bolünün x ≤ −1 ile x ≥ 1 þartýna uyan parçasý ile f(x) = −x² + 1 parabolünün

−1 < x < 1 þartýna uyan parçasýnýn bir- leþimidir.

2

x 1 , x 1 veya x 1 ise f(x)

(x 1) , 1 x 1 ise

⎧ − ≤ − ≥

= ⎨⎪

⎪− − − < <

⎩

x −∞ −1 1 +∞

f(x) + − +

x y

2 2

−2

y = x−2

y = −x+2

x 2 , x 2 f(x) 0 , x 2 x 2, x 2

− >

⎧⎪⎪

=⎨ =

⎪− + <

⎪⎩

2

| x 2 x 1 x | 1

f(x) x

|( x 1) x | 1

f(x) x

( x 1) x 0 olduðundan ( x 1) x 1

f(x) x

x 2 x 1

− + + −

=

− + −

=

− + >

− + −

=

− +

= + x 1−

x

= x( x 1) x

−

f(x)= x 1 bulunur.−

− + −

= x x 1 1

f(x) x

3 , x 0 f(x) 2x 3 , 0 x 3

3 , x 3

⎧ ≤

= −⎪⎪⎨ + < <

⎪ − ≥

⎪⎩

x −∞ 0 3 +∞

x − 3 − − +

x − + +

(7)

Pratik olarak f(x) parabolü ve x ekseni altýnda kalan kýsmýn yine x eksenine göre simetriði alýndýðýnda |f(x)| in grafiði çizil- miþ olur.

y = x² − 1 in tepe noktasý (0, −1) olup, x eksenini kestiði yerler x = −1 ve x = 1 dir.

Buna göre grafik yukarýdaki gibi çizilmiþ olur.

Örnek 7

f(x) = x − |x − 2| fonksiyonunun grafiði- ni çiziniz.

Çözüm

Mutlakdeðerin içini sýfýr yapan kritik nokta x = 2 dir.

x > 2 ise f(x) = x − (x − 2) = x − x + 2 = 2 x < 2 ise f(x) = x +(x − 2) = 2x − 2

y = 2

y = 2x − 2 in grafiklerini çizip istenilen yerleri taradýðýmýzda yandaki grafik elde edilmiþ olur.

Örnek 8

Çözüm

Belirtilen aralýklarda grafikleri çizelim.

Örnek 9

f(x) fonksiyonunun grafiði yanda veril- miþtir.

g(x) = [f(x) + |f(x)|] fonksiyonunun gra- fiðini çiziniz.

Çözüm

f(x) in grafiðinden yararlanarak iþaretini inceleyelim.

buna göre g(x) ’i tanýmlayalým.

~ x < 0 ve x > 2 ise f(x) < 0 ve mutlak- deðerin tanýmýndan g(x) = 1/2 [ f(x) − f(x) ] ise g(x) = 0 dýr.

~ 0 ≤ x ≤ 2 ise g(x) = 1/2 (f(x) + f(x))

buna göre g(x) in grafiði ,

x y

0 2

2f(x)

g(x) f(x) dir.

= 2 =

x −∞ 0 2 +∞

f(x) − + − 1

2

x y

2

f(x) x y

2

(2 x)

x 2 ise f(x) x 1 x

2 x x 2 ise f(x) tan ýmsýzdýr.

x 2 ise f(x) 2 x x 1 x 2 2 x

> = − − + + =

−

= =

< = − + + = +

−

x −∞ 2 +∞

2 − x + −

|2 x |

f(x) x 1

2 x

= − + +

−

x y

2 1

y = 2

−2

x y

1

−1 1

−1

(8)

Örnek 10

Çözüm

f(x) = |x − 1|−|x + 2|

x ≤ −2 ise f(x) = −x + 1 + x + 2 = 3

−2 < x < 1 ise f(x) = −x + 1 − x − 2 = −2x − 1 x ≥ 1 ise f(x) = x − 1 − x − 2 = −3

Örnek 11

|y| = |x − 1| + 2 baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

Çözüm

x ≥ 1 ve y > 0 ise

y = x − 1 + 2 ⇒ y = x + 1 x ≥ 1 ve y < 0 ise

−y = x − 1 + 2 ⇒ y = −x − 1 x ≤ 1 ve y > 0 ise

y = −x + 1 + 2 ⇒ y = −x + 3 x ≤ 1 ve y < 0 ise

−y = −x + 1 + 2 ⇒ y = x − 3

verilen aralýkta tanýmlanan fonksiyonun grafiði çizilir.

3. ÝÞARET (SGN) FONKSÝYONU

Taným :

biçiminde tanýmlanan f(x) fonksiyonuna g(x) in iþaret fonksiyonu denir ve sgn(g(x)) þeklinde gösterilir.

Örnek 1

Sgn(10) = 1 , Sgn(45) = 1 Sgn(−5) = −1 , Sgn(−2,75) = −1

∀x ∈ R için Sgn(x² + 2) = 1

Örnek 2

Sgn(x² − 4x + 3) = 0

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

Sgn(x² − 4x + 3) = 0 ⇔ x²− 4x + 3 = 0 dýr. O halde bu denklemin çözüm kümesini bulmalýyýz.

x²− 4x + 3 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) = 0

Çk = {1, 3} bulunur.

Örnek 3

~ Sgn(x² + 7) = 1

denkleminin çözüm kümesi Çk = {R}

~ Sgn(x² + 3) = −1

denkleminin çözüm kümesi boþ kümedir.

Çünkü, x² + 3 < 0 olmaz.

~ Sgn(2x²+ 1) = 0

denkleminin çözüm kümesi boþ kümedir.

Çünkü, 2x²+ 1 = 0 ⇒

denkleminin kökleri reel sayý deðildir.

2 1

x = −2 x = 3 x = 1

−1−3 x

x

{ }

f : R 1, 0, 1

1 , g(x) 0 ise f(x) sgn(g(x)) 0 , g(x) 0 ise 1 , g(x) 0 ise

⎯⎯→ −

⎧ >

= =⎪⎪⎨ =

⎪− <

⎪⎩

x y

3 y = x−3 y = x+1

y = −x+3 y = −x−1 1

−1−1

x y

3

−3

−2

−1 1

x −∞ −2 1 +∞

x − 1 − − +

x + 2 − + +

= ²− + − +

f(x) x 2x 1 x 2

(9)

Örnek 4

|x − 2|+ Sgn(x − 2) = 0

Çözüm

x > 2 ise x − 2 + 1 = 0 ⇒ x = 1 x > 2 olduðundan Ç₁= ∅

x < 2 ise −x + 2 − 1 = 0 ⇒ x = 1 Ç₂= {1}

x = 2 ise |2 − 2| + Sgn(2 − 2) = 0 olduðundan Ç₃ = {2}

O halde Çk = {1, 2}

Örnek 5

Sgn(x² − 3x + 2) = −1

Çözüm

Sgn(x² − 3x + 2) = −1 ⇒ x²− 3x + 2 < 0 eþitsizliðini çözmeliyiz.

x² − 3x + 2 < 0 ifadesinin köklerini bulup iþaretini inceleyelim.

(x − 1)(x − 2) < 0

Çk = {1 < x < 2} bulunur.

Örnek 6

|x² − 4|.Sgn(x² − 3x) = 0

Çözüm

Ýki ayrý fonksiyonun çarpýmý þeklinde olduðun- dan her çarpaný sýfýra eþitleyelim.

|x² − 4| = 0 veya Sgn(x²− 3x) = 0 x² − 4 = 0 veya x²− 3x = 0 x² = 4 veya x(x − 3) = 0 x = ± 2 x = 0 , x = 3 Çk = {−2, 2, 0, 3} bulunur.

Örnek 7

f : R → R, f(x) = Sgn(x − 1) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Önce y = x − 1 in iþaretini inceleyip f(x) i tanýmlayalým.

Örnek 8

f : R → R, f(x) = Sgn(x²− x − 6) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

y = x² − x − 6 nýn iþaretini inceleyerek f(x) fonksiyonunu tanýmlayalým.

x²− x − 6 = 0 ⇒ (x + 2)(x − 3) = 0

Buna göre f(x) in grafiði;

Örnek 9

f : R → R, f(x) = |x| + Sgn(x) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

x > 0 ise f(x) = x + 1 x < 0 ise f(x) = −x − 1

x = 0 ise f(0) = 0 þeklinde tanýmlanýyor.

x y

3 1

−2

−1

1 , x 2 ve x 3 f(x) 0 , x 2 ve x 3

1 , 2 x 3

< − >

⎧⎪⎪

=⎨ = − =

⎪− − < <

⎪⎩

x −∞ −2 3 +∞

x²− x − 6 + − + Sgn(x²− x − 6) 1 −1 1

x = 3 x =−2 +2

−3 x

x

x y

1 1

−1

1 , x 1 f(x) 0 , x 1

1 , x 1

⎧ >

=⎪⎪⎨ =

⎪− <

⎪⎩

x −∞ 1 2 +∞

f(x) + − + x = 2

x = 1

(10)

Buna göre; grafikleri çizip istenilen yerleri tarayalým.

Örnek 10

f : R → R, f(x) = |x| . Sgn(x−2) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Fonksiyonlarýn iþaretlerini inceleyip taným- larýný yapalým.

x < 0 ise f(x) = −x . (−1) = x 0 < x < 2 ise f(x) = x . (−1) = −x x > 2 ise f(x) = x . (1) = x Buna göre;

f(0) = 0 , f(2) = 0

Örnek 11

f : R → R, f(x) = |x| + Sgn(x−2) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Ýki ayrý fonksiyonun iþaretlerini tablo ile inceleyelim.

x < 0 ise f(x) = −x − 1 0 < x < 2 ise f(x) = x − 1 x > 2 ise f(x) = x + 1 olur.

x = 0 ise y = −1 ve x = 2 ise y = 2 dir.

Bu üç fonksiyonun grafiðini çizip istenen bölgeleri tarayalým.

Örnek 12

f : R − {2} → R,

Çözüm

x − 2 ifadesinin iþaretine göre, fonksiyonu tanýmlayalým.

x > 2 ise

x < 2 ise

x = 2 de f(x) fonksiyonu tanýmsýzdýr.

Buna göre x = 2 noktasý hariç, tüm diðer sayýlarda fonksiyon bir doðru belirtir. Bu doðru

f(x) = 2x − 2 dir.

Örnek 13

f : R → R, f(x) = |x² − 1| + sgn(x² − 1) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

y = x² − 1 in iþaretini inceleyelim.

x −∞ −1 1 +∞

x²−1 + − +

x y

−2 2 1

(x 2)

f(x) x f(x) 2x 2

1

= +− − ⇒ = −

−

f(x) x x 2 f(x) 2x 2 1

= + − ⇒ = −

| x 2|

f(x) x

sgn(x 2)

= + −

−

x y

2 2 3

1

−1 1

−1

x −∞ 0 2 +∞

x − + +

x − 2 − − +

x y

2 y = x

y = −x

x −∞ 0 2 +∞

x − + +

x − 2 − − +

x y y = x+1

y = −x−1 1

−1

(11)

x < −1 ve x > 1 ise f(x) = x²− 1 + 1 = x²

−1 < x < 1 ise f(x) = −x²+ 1 − 1 = −x² x = −1 ve x = 1 ise f(x) = 0 dýr.

Örnek 14

f(x) fonksiyonunun grafiði yanda veril- miþtir.

Buna göre, g(x) = sgn(f(x)) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

Verilen grafikten f(x) in iþaretini inceleyip g(x) fonksiyonunu tanýmlayalým.

4. TAMDEÐER FONKSÝYONU

Taným :

x ∈ R olmak üzere, x’ten küçük olan en büyük tamsayýya x’in tamdeðeri denir.

þeklinde gösterilir.

2 ≤ x < 3 ⇔ = 2

f : R → Z, f(x) =

fonksiyonuna tamdeðer fonksiyonu denir.

∀x ∈ A için,

þeklinde tanýmlanýr.

Daha sade bir ifadeyle

x ∈ R ise a ≤ x < a + 1 eþitsizliðini sað- layan a tamsayýsýna, x’in tamdeðeri denir.

Örnek 1

Tamdeðer fonksiyonunun özellikleri :

∀x, y

∈

^{R ve a}

∈

Z olmak üzere,

= ⇔ ≤ ≤ +

+ = +

≤ < +

+ ≤ +

≤

+ = +

≤ + − =

= ≠

= + + + + +

+ + −

1) x a a x a 1

2) x a x a

3) x x x 1

4) x y x y

5) x . y x . y

6) x y x y

7) x x

a a 0

x x , a 0

a a

1 1

8) ax x x x ...

a a

x a 1 a

4 4 3 3

3,85 3 2,55 3

2,001 2 3,99 4

3 4

1 1

2 5

2,9 2 4,001 5

= − = −

f(x) ≤f(x)< f(x) +1 f(x) ∈Z dir.

x

2 x 3

x

x y

3 1

−3 −1

−1

x −∞ −3 −1 3 +∞

f(x) − + − + sgn(f(x)) −1 1 −1 1

x y

f(x)

−1 3

−3

x y

1

−1 1

−1

(12)

Örnek 2

Çözüm

Tamdeðer fonksiyonun tanýmýndan,

Örnek 3

fonksiyonunun 1 < x < 2 aralýðýndaki eþiti bulunuz.

Çözüm

1 < x < 2 aralýðýnda þeklinde tanýmlanýr.

1 < x < 2 aralýðýnda |x − 2| = −x + 2 sgn(1 − x) = −1 olarak tanýmlanýr.

Buna göre, 1 < x < 2 aralýðýnda f(x) = −2 + 1 + (−x) + 2 − 1 = −x f(x) = −x olarak tanýmlanýr.

Örnek 4

þeklinde tanýmlanan f(x) fonksiyonu için, in eþiti nedir?

Çözüm

Buna göre,

Örnek 5

Çözüm

Yine tamdeðerin özelliklerinden,

eþitsizliðin her üç tarafý −3 e bölünürse eþit- sizlik yön deðiþtirir.

Örnek 6

Çözüm

− + = ⇒ ≤ − + < +

≤ − <

≤ − < ≤ − − <

≤ < − ≥ − > −

≥ > −

= ≤ < ∪ − < ≤

x 2 1 3 3 x 2 1 3 1

2 x 2 3

2 x 2 3 ve 2 (x 2) 3

4 x 5 2 x 2 3

0 x 1

Çk {4 x 5} { 1 x 0}

− + =

x 2 1 3

6 3x 5

3 3 3

5 5

2 x x 2 bulunur.

3 3

− ≤− <−

− − −

≥ > ⇒ < ≤

3x 4 2

3x 6 6 3x 6 1

6 3x 5

− + = −

− = − ⇒ − ≤ − < − +

− ≤ − < −

3x 4 2

− + = −

f(2) f 3 f(0) f( 1) 2

2 2 ( 1) 3 3 5

16 16 30 14

2 bulunur.

15 15 15

= + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− + −

= + − − −

= − = − = −

2 2 2

f(2) 2 sgn(2) 2 1 3

3

3 2 1 2

f 2 3 sgn 3 3 1 5

2 2 2

f(0) 0 1 0 1 f( 1) 1 1 1 3

= = =

+ +

⎛ ⎞ = = =

⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ + ⎜ ⎟⎝ ⎠ +

= − + = −

− = − − − = − f(2) f 3 f(0) f( 1)

2

+ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− + −

⎧ >

= ⎨⎪⎪ +

⎪ − + ≤

⎪⎩

x , x 0

x sgn x f(x)

x 1 x , x 0

x 3− = −2 ve x =1

= − + + − + −

f(x) x 3 x x 2 sgn(1 x)

2x 1 5 5 2x 1 5 1

4 2x 5

2 x 5 bulunur.

2

+ = ⇒ ≤ + < +

≤ <

2x 1+ =5

(13)

Örnek 7

Çözüm

Örnek 8

Çözüm

Her üç taraftan 3x çýkartalým.

olup bulunan aralýktaki çift sayýlar alýnmalý- dýr.

Çk = {8, 10, 12} dir.

Örnek 9

Çözüm

Örnek 10

Çözüm

Örnek 11

Çözüm

Her üç tarafýn karesini alalým.

4 ≤ x − 5 < 9 9 ≤ x < 14 olup Çk = {9 ≤ x < 14}

x 5− =2 ⇒ 2≤ x 5 3− <

x 5− =2

2x 3 x 5

x x 1 x 8

2

x 1 8 ise 2

8 x 1 9 2

1 1

8 x 9

2 2

15 17

x bulunur.

2 2

− = +

+ + = +

+ =

≤ + <

− ≤ < −

≤ <

2x 3− = x 5+

2 3

3 3 3

log 3 log (x 1) log 3 log 9 log (x 1) log 27 ise 9 x 1 27

10 x 28 bulunur.

≤ − <

≤ <

3

3 log (x 1) 2 2 log (x 1) 3

− =

≤ − <

3+ log (x 1)3 − =5 6 x 6 0 olur.

12 x 6

12 x 6 bulunur.

Ayrýca x 2 Z olmalýdýr.

2 x 2 x 1

2 2

− ≤ − + <

− ≤ − < −

≥ >

− ∈

− = −

x 2 x 3 x 2

2 3 2 1

x 2 x 3 x

6. 6. 6.

2 3 2

3x 6 2x 6 3x

− ≤ + < − +

− ≤ + <

x 3 x 2

3 2

+ = −

x 2 x 3 5

2. x 4

x 2 2 x 3

Çk {2 x 3} bulunur.

− + + =

=

= ⇒ ≤ <

= ≤ <

x 2− + x 3+ =5

(14)

Örnek 12

Çözüm

Örnek 13

Çözüm

bu aralýkta bir tane tamsayý vardýr;

olduðundan t = 0 dýr. Buna göre, t = 0 deðerini ii’de yerine yazalým.

Tamdeðer Fonksiyonun Grafikleri

Tamdeðer fonksiyonunun grafiðini çizmek için önce deðiþim aralýðý belirlenir. Buna göre fonksiyon tanýmlanarak grafiði çizilir.

1) f(x) = fonksiyonunun deðiþim aralýðý d = 1 dir.

Örnek 1

f : [−1, 2) → R, f(x) = + 1 fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

f(x) in deðiþim aralýðý d = 1 olduðundan

−1 ≤ x < 0 ise f(x) = −1 + 1 = 0 0 ≤ x < 1 ise f(x) = 0 + 1 = 1 1 ≤ x < 2 ise f(x) = 1 + 1 = 2

Buna göre f(x) in grafiði aþaðýda çizilmiþtir.

2) f(x) = fonksiyonunun deðiþim aralýðý

Örnek 2

f : [−1, 1] → R, f(x) = + x fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

f(x) in deðiþim aralýðý d = dir.

Buna göre [−1, 1] aralýðý için;

− ≤ < − = − +

− ≤ < = − +

≤ < = +

1 x 1 ise f(x) 2 x 2

1 x 0 ise f(x) 1 x 2

0 x 1 ise f(x) 0 x 2

1 x 1 ise f(x) 1 x 2

1 2 2x d =1 dýr.

a ax

x y

2 1

1 2

−1 0

x x

2 t x 3 t

4 4

2 0 3 0 1 3

x x dür.

4 4 2 4

+ ≤ < +

+ ≤ < + ⇒ ≤ <

x =t t Z olmak üzere x t diyelim, buna göre

4x 2 t i) t x t 1

2 t 3 t

ii) 2 t 4x 2 t 1 ise x

4 4

3 t 2 t

i ve ii den t ve t 1

4 4

4t 3 t 2 t 4t 4

3t 3 2 3t

t 1 2 t

3 2 t 1 ise

3

∈ =

= +

≤ < +

+ +

+ ≤ < + + ≤ <

+ +

< < +

< + + < +

< − <

− < <

4x = +2 x

x x x 3 12

3. x 3 12

3. x 9 ise x 3 3 x 4

Çk {3 x 4} bulunur.

+ + + =

+ =

= = ⇒ ≤ <

= ≤ <

x+ x+ x 3+ =12

(15)

Buna göre f(x) in grafiði aþaðýda verilmiþtir.

3) f(x) = fonksiyonunun deðiþim aralýðý

Uyarý :

Tamdeðer fonksiyonunda x in önündeki kat- sayýnýn çarpmaya göre tersi fonksiyonun deðiþim aralýðý olduðuna dikkat ediniz.

Örnek 3

f : [-4, 4] → R , f(x) = + sgn(x) fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

fonksiyonunun deðiþim aralýðý

dir. Buna göre f(x) = + sgn(x)

−4 ≤ x < −2 ⇒ f(x) = −2 − 1 = −3

−2 ≤ x < 0 ⇒ f(x) = −1 − 1 = −2 x = 0 ⇒ f(x) = 0

0 < x < 2 ⇒ f(x) = 0 + 1 = 1 2 ≤ x < 4 ⇒ f(x) = 1 + 1 = 2 x = 4 ⇒ f(x) = 2 + 1 = 3

4) f(x) = in deðiþimini inceliyelim.

x in deðiþim aralýðýnýn kare deðerlerinden meydana geldiðine dikkat ediniz.

5) f(x) = fonksiyonu incelenirken x in de- ðiþim aralýðý karekök deðerleri olarak alýnýr.

f(x) = in deðiþimini inceleyelim.

x in deðiþim aralýðýnýn karekök deðerlerden meydana geldiðine dikkat ediniz.

Örnek 4

f : [−2, 2) → R, f(x) =

Çözüm

Tamdeðer fonksiyonundaki x in önündeki katsayý negatif olduðundan aralýklar sað- dan kapalý soldan açýktýr.

−2 < x ≤ −1 ise f(x) = 3

−1 < x ≤ 0 ise f(x) = 2 0 < x ≤ 1 ise f(x) = 1 1 < x < 2 ise f(x) = 0

Buna göre f(x) in grafiði aþaðýda çizilmiþ- tir.

x y

2 2 3 4

1

−2 −1 1

2 x−

2 2

x 1 ise 1 x 2 1 x 2

x 2 ise 2 x 3 2 x 3

x 3 ise 3 x 4 3 x 4

x 4 ise 4 x 5 4 x 5

= ≤ < ⇒ ≤ <

x2 x2

x 1 ise 1 x 2 1 x 4

x 2 ise 2 x 3 4 x 9

x 3 ise 3 x 4 9 x 16

= ≤ < ⇒ ≤ <

x

x y

2 4

2 3

1

−2

−3

−2

−4

x 2

d 1 2

1 2

= = x

2

x 2 d =11= a dýr.

a x a

x y

1

1 2

−2

−1

(16)

Örnek 5

f : (−4, −2] → R, f(x) = x + fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

Çözüm

fonksiyonunun deðiþim aralýðý, dir.

−4 < x ≤ −2 ise f(x) = x + 1

−2 < x ≤ 0 ise f(x) = x 0 < x ≤ 2 ise f(x) = x − 1

Buna göre f(x) in grafiði aþaðýda çizilmiþ- tir.

Örnek 6

x ∈ R , y ∈ R olmak üzere,

baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

Çözüm

ise 2 ≤ x + y < 3 2 ≤ x + y ve x + y < 3 2 − x ≤ y ve y < 3 − x

Bu iki grafiði çizip uygun bölgeyi taradýðý- mýzda,

Örnek 7

y ∈ [−1, 2) ise

baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

Çözüm

−1 ≤ y < 0 ise |x|− 1 = 2 ⇒ |x| = 3 eþitliðinden x = 3 ve x = −3

0 ≤ y < 1 ise |x|− 0 = 2 ⇒ |x| = 2 eþitliðinden x = 2 ve x = −2

1 ≤ y < 2 ise |x|+ 1 = 2 ⇒ |x| = 1 eþitliðinden x = 1 ve x = −1 bulunur.

Bu deðerleri düzlemde gösterelim.

Örnek 8

[−π, π] → R, f(x) =

Çözüm

f(π) = sin(−π) = 0 f(0) = sin(0) = 0

O halde f(x) in grafiði aþaðýdaki gibidir.

2 x y

1

−1

−π −π

2π π

ð ð ð ð

f sin 1 f sin 1

2 2 2 2

⎛− ⎞= ⎛− ⎞= − ⎛ ⎞= =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 −1 0 1 0

sinx

x −π −π/2 0 π/2 π sinx

−¹−1 0 0

sin x

x y

2 2

1

3

−2

−3

−1

+ =

x y 2

x y

2

2 3

3

x y+ =2 x y+ =2

x

y y = x+1

y = x y = x−1 2

−4 −2

d 11 2

2

= = −

− x

−2

(17)

Örnek 9

x ∈ [−1, 2) ve y ∈ R için baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

Çözüm

−1 ≤ x < 0 ise −1 − = 1

buradan = −2 ⇒ −2 ≤ y < −1 0 ≤ x < 1 ise 0 − = 1

buradan = −1 ⇒ −1 ≤ y < 0 1 ≤ x < 2 ise 1 − = 1

buradan = 0 ⇒ 0 ≤ y < 1

Bu aralýklarý koordinat düzleminde göstere- lim.

Örnek 10

f = {(x, y): | | = 2 ve =1}

þeklinde verilen f baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

Çözüm

| | = 2’i tanýyalým.

i) = 2 ⇒ 2 ≤ x < 3 dür.

ii) = −2 ⇒ −2 ≤ x < −1 ayrýca

=1 ⇒ 1 ≤ y < 2

Bu üç eþitsizliði birlikte saðlayan noktalarý düzlemde gösterirsek istenilen grafik çizil- miþ olur.

Örnek 11

f : [−2, 2] → R,

Çözüm

f : [−2, 2] → R

−2 ≤ x < −1 ise f(x) = −x(−2) = 2x

−1 ≤ x < 0 ise f(x) = −x(−1) = x x = 0 ise f(x) = 0 dýr.

0 ≤ x < 1 ise f(x) = x⁻¹= 1/x 1 ≤ x < 2 ise f(x) = x¹= x

Örnek 12

x ∈ R , y ∈ R olmak üzere,

denkleminin grafiðini çiziniz.

Çözüm

2 nin tamsayý olan çarpanlarý

Bu bulunan aralýklarý birlikte düzlemde gösterelim.

0 x

y

2 3

1 1

−1

−2

−1

−2

x . y 1.2 ( 1).( 2)

x . y 2.1 ( 2).( 1) oldu ðundan

x 1 1 x 2 ve y 2 2 y 3

x 2 2 x 3 ve y 1 1 y 2

x 1 1 x 0 ve y 2 2 y 1

x 2 2 x 1 ve y 1 1 y 0

= = − −

= ⇒ ≤ < = ⇒ ≤ <

= − ⇒ − ≤ < = − ⇒ − ≤ < −

= − ⇒ − ≤ < − = − ⇒ − ≤ <

x . y =2

x y

y = 2x y = x

1 2

−1

−2

−1

−2

−1 +1

x²− 1 + − + sgn(x2 1)

x , x 0

f(x)

x . x , x 0

⎧ − >

= ⎨⎪

⎪ ≤

⎩

x y

2 2

1

−2 −1 3

y x x x

y x

0 x

y

1 2

−1

y

y y

y

x − y =1

(18)

ALIÞTIRMALAR 1

Özel Tanýmlý Fonksiyonlar

1.

fonksiyonu verildiðine göre, f(2) + f(5) + f(13) in eþiti kaçtýr?

Cevap : 11

2.

fonksiyonlarý verildiðine göre, (fog)(2) + (f . g)(1) in eþiti kaçtýr?

Cevap : 21

3.

f(x) = 1 + |x − 4| , g(x) = x + sgn(x − 1) fonksiyonlarý verildiðine göre,

(gof)(3)’ün deðeri kaçtýr?

Cevap : 3

4.

|x² − 4|− 3|x − 2| = 0

Cevap : {−5, 1, 2}

5.

f(x) =|2 − x|+ sgn(x − 1) +

fonksiyonu veriliyor. f(−−3) ün deðeri kaç- týr?

Cevap : 3

6.

^Sgn(x²− 4x) = −1

Cevap : {0 < x < 4}

7.

Sgn(x²+ 3) + x² = 5

Cevap : {−2, 2}

8.

f(x) = 3x + 2 +

fonksiyonunun x ∈∈ [1, 2) aralýðýndaki tanýmýný bulunuz.

Cevap : f(x) = 3x + 3

9.

Sgn(x²+ 7x − 18) = 1

denklemini saðlayan tamsayýlarýn topla- mý kaçtýr?

Cevap : 42

10.

denkleminin kaç tane tamsayý olan kökü vardýr?

Cevap : 6 x 1 1

6− =

x x x

x 1 2+

2 5x , x 0

x 2, x 1

f(x) g(x)

x 3 , x 0 x 1 , x 1

⎧ − < ⎧ >

⎪ ⎪

=⎨ =⎨

− ≤

⎪ + ≥ ⎪⎩

⎩

x2 2 , x 3 ise f(x) x 1 , 3 x 5 ise

x 4 , x 5 ise

⎧ − ≤

⎪⎪

=⎨ + < ≤

⎪⎪ − >

⎩

(19)

ALIÞTIRMALAR

11.

Cevap :

12.

Cevap : 4 ≤ x < 5

13.

f : R → R,

14.

f : R → R,

15.

f : R → R, f(x) = |x − 2|

16.

f : R → R, f(x) = x − |x − 2|

17.

f : R → R, f(x) = |x| − sgnx fonksiyonunun grafiðini çiziniz.

18.

y ∈ (−1, 2) ise |x| + = 2 baðýntýsýnýn grafiðini çiziniz.

x y

y

x y

x2 4 , x 0 ise f(x)

0 , x 0 ise

⎧ − >

= ⎨⎪

⎪ ≤

⎩

x y

x 2 , x 1 ise f(x) 2 x , x 1 ise

− >

= ⎨⎧⎪

− ≤

⎪⎩

− − − =

x x x 1 3

7 9

2≤ <x 2 2x 1− = x +3

(20)

5. FONKSÝYONLARIN EN GENÝÞ TANIM KÜMELERÝ

Taným :

Bir fonksiyon tanýmlanmýþ ise, bu fonksiyonun taným kümesi fonksiyonu anlamlý yapan noktalarýn kümesidir. Bu kümeye fonksiyonun en geniþ taným kümesi denir.

Bazý fonksiyonlarýn en geniþ taným küme- lerini bulalým.

1) f(x) = P(x) polinomu ∀∀x ∈∈ R için tanýmlýdýr.

f(x) = 3x² + 4x − 7 fonksiyonu ∀x ∈ R için tanýmlýdýr. Bundan dolayý,

f : R → R, f(x) = 3x² + 4x − 7 þeklinde ifade edilir.

2) kesirli fonksiyonu paydayý sýfýr yapan Q(x) = 0 denkleminin köklerinde tanýmsýzdýr. Bunun dýþýndaki sayýlar için tanýmlýdýr.

Örnek 1

fonksiyonunun en geniþ taným kümesini bulunuz.

Çözüm

x² − x − 12 denkleminin köklerinde taným- sýzdýr.

x² − x − 12 = (x + 3)(x − 4) = 0 x + 3 = 0 ise x = −3 x − 4 = 0 ise x = 4 f : R − {−3, 4} → R þeklinde ifade edilir.

Örnek 2

fonksiyonunu tanýmsýz yapan x deðerle- rini bulunuz.

Çözüm

Kesirli fonksiyonun paydasýný sýfýr yapan x deðerlerini bulmalýyýz.

Örnek 3

Çözüm

Kesirli fonksiyonun paydasýný sýfýr yapan deðerleri bulalým.

|2x − 3| − 5 = 0

|2x − 3| = 5

2x − 3 = 5 ve 2x − 3 = −5

2x = 8 2x = −2

x = 4 x = −1

f(x) in taným kümesi R − {4, −1} dir.

Örnek 4

fonksiyonunun taným kümesi R −− {1, −−3}

olmasý için c kaç olmalýdýr?

Çözüm

f(x) fonksiyonu x = 1, x = −3 noktalarýnda tanýmsýz olup, bu x deðerleri

x²+ 2x + c = 0 denkleminin kökleridir.

Bu kökler x²+ 2x + c = 0 denklemini saðlar. Buna göre;

x = 1 için 1²+ 2.1 + c = 0 ⇒ c = −3 x = −3 için (−3)²+ 2.(−3) + c = 0 ⇒ c = −3 O halde c = −3 bulunur.

3 2

x x 2

f(x) x 2x c

= − +

+ +

= +

− − f(x) x 1

2x 3 5

x 2 x 0

2. x 2 ise x 1

1 x 2 aralýðý bulunur.

− + =

= =

⇒ ≤ <

x2 3 f(x) x 2 x

= +

− +

= +

− + x2 3 f(x) x 2 x

2 f(x) 2x 3

x x 12

= +

− − f(x) =P(x)

Q(x)

(21)

3) m ∈∈ N⁺ olmak üzere, fonksiyonu,

i) m tek ise ; ∀∀x ∈∈ R için f(x) tanýmlýdýr.

ii) m çift ise ; g(x) ≥≥ 0 ise f(x) tanýmlýdýr.

g(x) << 0 ise f(x) tanýmsýzdýr.

Örnek 5

Çözüm

f(x) in tanýmlý olabilmesi için 5 − |x − 2| ≥ 0 olmalýdýr.

|x − 2| ≤ 5 ⇒ −5 ≤ x − 2 ≤ 5

−3 ≤ x ≤ 7 f : [−3, 7] → R dir.

Örnek 6

Çözüm

Bu kesirli ifadenin paydasý daima pozitif olduðundan pay kýsmýda daima pozitif olmalýdýr. Buna göre;

Sgn(x² − 3x) ≥ 0 olmalý.

x² − 3x = 0 veya x² − 3x > 0 x(x − 3) = 0

x = 0 ve x = 3

f(x) in en geniþ taným kümesi, {−∞ < x ≤ 0} ∪ {3 ≤ x < +∞} dir.

Örnek 7

Çözüm

Bu eþitsizliði inceleyelim.

x²− 6x + 5 = 0 , x − 3 = 0 (x − 1)(x − 5) = 0 x = 3 x = 1 ve x = 5

Buna göre en geniþ taným kümesi, {1 ≤ x < 3} ∪ {5 ≤ x < +∞} dir.

Örnek 8

Çözüm

Bu eþitsizliðin çözüm kümesini bulalým.

3 − x = 0 ⇒ x = 3 3 + x = 0 ⇒ x = −3

f(x) in taným kümesi −3 < x < 3 aralýðýdýr.

Bu fonksiyon f : (−3, 3) → R þeklinde gös- terilir.

Örnek 9

= + −

f(x) log(x) 3 x

x −∞ −3 3 +∞

− + − 3 x 0 olmalýdýr.

x 3− >

+ f(x) log 3 x

x 3

⎡ − ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦

x −∞ 1 3 5 +∞

f(x) − + − + x2 6x 5 0 olmalýdýr.

x 3

− + ≥

−

x2 6x 5

f(x) x 3

− +

= −

x −∞ 0 3 +∞

+ − +

− ≥

+ +

2 2

sgn(x 3x)

0 olmalýdýr.

x x 3

= −

+ +

2 2

sgn(x 3x)

f(x) x x 3

= − −

f(x) 5 x 2 f(x)=mg(x)

(22)

Çözüm

f(x) in içinde iki ayrý fonksiyon vardýr. Bu fonksiyonlarýn ikisini birden tanýmlý yapan x deðerlerini bulmalýyýz.

i) y₁= logx ⇒ x > 0 olmalý

ii) y₂= ⇒ 3 − |x| ≥ 0 ⇒ |x| ≤ 3

−3 ≤ x ≤ 3 (i) ve (ii) yi birlikte ele aldýðýmýzda f(x) in en geniþ taným kümesi 0 < x ≤ 3 aralýðýdýr.

Örnek 10

fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný bulunuz.

Çözüm

i) y₁= logx ⇒ x > 0 olmalý

ii)

(i) ve (ii) den x > −1 bulunur.

Örnek 11

fonksiyonunun tanýmsýz olduðu tamsayý- larýn kümesini bulunuz.

Çözüm

Kesirli fonksiyonlarda paydayý sýfýr yapan x deðerleri fonksiyonu tanýmsýzdýr. Buna göre,

∀x ∈ R için x² + 2 > 0 olduðundan

fonksiyonun tanýmsýz olduðu tamsayýlar {−2, 2} dir.

Örnek 12

fonksiyonunun tanýmsýz olduðu aralýðý bulunuz.

Çözüm

Kesirli fonksiyonlar paydayý sýfýr yapan deðerlerde tanýmsýzdýr. Buna göre;

1 + sgn(x²− 9) = 0 sgn(x² − 9) = −1 ise x²− 9 < 0 olmalýdýr.

x²< 9

|x| < 3 ise −3 < x < −3 aralýðýnda f(x) tanýmsýzdýr.

Örnek 13

fonksiyonu ∀∀ x∈∈R için tanýmlý olduðuna göre c’nin alacaðý deðerleri bulunuz.

Çözüm

Kesirli fonksiyonun bütün x deðerlerinde tanýmlý olmasý için paydayý sýfýr yapan x deðeri bulunmamalýdýr. O halde paydadaki x²− 2x + c denkleminin kökü olmamalýdýr.

Dolayýsýyla; Δ < 0 dýr.

Δ = b²− 4ac < 0 (2)²− 4.1.c < 0 4 − 4c < 0 4 < 4c

1 < c olmalýdýr.

2 2 x 3x 1 f(x) x 2x c

+ −

= − +

= + ²−

f(x) x

1 sgn(x 9) 2

2

1 5 x 0

1 5 x

x 4 x 2 dir.

− − =

= −

= ⇒ = ∓

2 2

Sgn(x + −2) 5 x− =0 2

2 2

x 1 f(x)

Sgn(x 2) 5 x

= +

+ − −

y2 x x ise x x 1 0 x x ise x R

= − − + ≥

≥ ∈

f(x) log sgn x 1 ise,

sgn x 1 0 x 1 0

x 1 x 1

⎡ ⎤

= ⎣ + ⎦

+ > ⇒ + >

> − ⇒ > −

f(x) log sgn x 1= ⎡⎣ + ⎤⎦+ x− x 3 x−