Dolayısıyla dalga fonksiyonu ψ (x<0) ve ψ (x>a) için sıfır olmalıdır

Basamak potansiyeli ^E<V0

x<0 için,

ψ₁(x)=A e^{i k1x}+B e^{−i k1x}k₁=√^{2 mEℏ2}

x>0 için,

−ℏ² 2 m

d²ψ₂

d x² +V₀ψ₂=E ψ₂ d²ψ2

d x² =[^{2mℏ2 (V0−E)}]^ψ2=k22ψ2

k₂=√^{2 mℏ2 (V0−E)E< V0}

ψ₂(x)=C e^k2x+D e^−k2x

E>V (x ) olduğu zaman dalga fonksiyonu harmonik, E<V (x ) olduğu zaman dalga fonksiyonu üstel,

Dalga fonksiyonu bu özelliği, potansiyel x -bağlı olsa bile genellikle korunur.

x → ∞ giderken dalga fonksiyonunun sonlu olabilmesi için C=0 olmalıdır.

ψ₂(x)=D e^−k2x

ψ₂( x ) , dalga fonksiyonunun formu bize, klasik olarak yasaklanan bölgeye parçacıkların sızabileceğini söylemektedir. Klasik olarak bütün parçacıklar, kinetik enerjileri negatif olmayacağı için x=0 noktasında geriye yansırlar. Diğer taraftan kuantum mekaniksel dalga paketi yasak bölgeye bir miktar sızabilmektedir.

A +B=D

i k₁( A−B )=−k₂D B−D=−A

(^−k1iB+k₂D)^=−k1iA

(^−k11i ⁻¹k₂)^{(DB)=−k1i(AA)}

B= A(^{i ki k1}1^−k+k₂²)⁻¹

D= A 2 k₁i ik₁−k₂

R=|B|²

|A|²⁼¹

T = 0

|A|²⁼⁰

Engel Potansiyeli E>V0

V(x)={^{V0,∧x <00}, 0 ≤ x ≤ a 0,∧x >a

ψ₁(x)=A e^{i k1x}+B e^{−i k1x}x <0 ψ₂( x )=C e^ik2x+D e^{−i k2x}0≤ x ≤ a ψ₃(x)=F e^{i k3x}

k₁=k₃=√^{2 mE /ℏ2} k₂=√^{2 m(E−V}0)/ℏ²

R=|F|²

|A|²⁼

1 1+1

4

V₀²

E (E−V₀)sin²k₂a

geçme katsayısı

Engel Potansiyeli ^E<V0

ψ₂( x )=C e^k2x+D e^−k2x0 ≤ x ≤ a k₂=√^{2 m(V0−E)/ℏ2}

T = 1

1+1 4

V₀²

E(V₀−E)sinh²k₂a Kuyu Potansiyeli I.

V (x )={ 0 0 ≤ x ≤ a

∞ x <0, x >a

Bu tür potansiyel parçacığın 0 ≤ x ≤ a aralığına hapsedildiğini ve hiçbir şekilde bu aralığın dışına çıkamayacağını ifade eder. Dolayısıyla dalga fonksiyonu ψ (x<0) ve

ψ (x>a) için sıfır olmalıdır.

S.D.’nin çözümü,

ψ(x)=Asinkx+Bcoskx

k²=2 mE ℏ²

x=0 ve x=a ‘da dalga fonksiyonunun süreklilik şartı ψ ( x=0)=ψ ( x=a )=0 olmasını gerektirir.

ψ(x=0)=0⇒ B=0 ψ ( x=a)=0⇒ Asinka 0=¿

ka=nπ n=1,2,3 … k → k_n=nπ

a

değerlerini alabilmektedir.

E → E_n=ℏ²k_n²

2 m =ℏ²π²

2 m a²n²n=1,2,3 , …

Enerji kuantumlanmıştır, yani parçacık sadece belirli enerji değerlerine sahip olabilir.

ψ_n=√^2asinnπxa 0 ≤ x ≤ a bağlı öz-fonksiyonlar.

Koyu çizgi ile gösterilen dalga fonksiyonu, kesikli çizgi ise olasılık dağılımını göstermektedir. Parçacık kuyuda x-ekseni boyunca, 0 ≤ x ≤ a aralığında her noktada aynı olasılıkla bulunamıyor.

Kuyu Potansiyeli II.

V (x )={^{V00||xx||<>a /2a/2}

ψ_I=A e^k1x+B e^−k1xx ←a

2k₁=√^{2 m(Vℏ20−E)}

ψ_II=C e^{i k2x}+D e^−ik2x|x|≤a

2k₂=√^2mEℏ2

ψ_III=F e^k1x+G e^−k1xx>−a 2

I. Bölgede dalga fonksiyonunun x →−∞ giderken sonlu olabilmesi için B = 0;

III. Bölgede dalga fonksiyonunun x→ ∞ giderken sonlu olabilmesi için F = 0 olmalıdır.

x=∓a /2 noktalarında süreklilik şartının uygulaması sonucu,

k₁=k₂tank₂a 2 veya

k₁=−k₂cotk₂a 2

bağlantıları elde edilir. Parçacığın dalga fonksiyonu sürekli olabilmesi için parçacığın enerjisi E, bu bağlantıları sağlayan değerlere haiz olabilir.

Yukarıdaki denklemler;

αtanα =√^P2−α2α=k2a /2

−αcotα=√^P2−α2P=√^mV0a²/2ℏ²

şeklinde yazılabilir. Bu denklemler sayısal olarak veya grafik yardımıyla çözülebilir.

Denklemin her iki tarafı α ’nın fonksiyonu olarak grafik üzerinde çizilirse sağa taraf P-yarıçaplı bir daire tanımlar.

Eğrilerin kesim noktaları ise çözümleri verir. Dolayısıyla çözümlerin sayısı P’nin büyüklüğü ile yani V0 değerinin büyüklüğü ile belirlenir. (Not: sonsuz derinlikteki kuyuda sonsuz tane çözüm vardı.)

P<π /2 1 tane bağlı öz fonksiyon

π /2<P<π 2 tane bağlı öz fonksiyon

Böyle bir fiziksel sistemi inceler ve sistemin sadece tek bağlı öz-fonksiyona sahip olabileceğini görürsek etkileşim potansiyeli hakkında bazı limit değerler bulabiliriz.

Benzer bir teknik bize nükleer potansiyelin derinliğini tahmin etmemizi sağlar.

Örnek: döteron, iki nükleondan oluşan en basit bağlı sistem, sadece bir tane bağlı öz- fonksiyonu vardı.

Basit Harmonik Osilatör

Herhangi bir, iyi-davranışlı potansiyel V (x) , ^x0−¿ noktası civarında Taylor serisini açılabilir.

V (x )=V(^x0)⁺(^dVdx)_x=x0^{(x −x0)+1}2(^dd x^2V2)x=x0

(^x−x0)^2+…

Eğer ^x0 potansiyelin minimumu ise (^dVdx|x=x0¿0) ikinci terim yok olur, ilk terimin enerjiye katkısı bir sabit olduğundan, üçüncü terim önem kazanır.

İlk yaklaşım olarak, sistem minimum değerine yakın enerjilerde basit harmonik osilatör gibi davranır.

V (x )=1

2k x² potansiyeli için ψ_n( x )= A H_n(αx )e^−α

2x²/2α²=√km/ℏ

E_n=ℏ ω₀(ⁿ⁺¹2)^{ω0=√k /m}

H_n(αx) ’de n-inci mertebeden Hermit polinomudur.

E>V (x ) Bölgelerinde dalga fonksiyonu sinüseldir.

E<V (x ) Bölgelerinde dalga fonksiyonu üsteldir.

ÖZET

1- Kuantum dalgaları, aynen klasik dalgalar gibi bir potansiyel engelli ile karşılaştıkları zaman yansıma ve atlama yaparlar.

2- Bir dalga paketi klasik olarak yasaklanan bölgeye sızabilir ve aşmak için yeterli enerjisi olmasa bile potansiyel engelinin diğer tarafında görülebilir.

3- Dalga fonksiyonu E>V (x) olduğu zaman osilasyon yapar ve E<V (x) bölgesinde ise üstel olarak azalırlar.

4- Potansiyel parçacığın hareketini uzayan bir bölgesini sınırladığı zaman bağlı öz- fonksiyonlar oluşur ve parçacık kesikli enerji değerlerine sahip olabilir. İzin verilen enerji değerlerinin sayısı ile potansiyelin derinliği tarafından belirlenir.