5. Ders Prof.Dr.Prof.Dr.BernaBerna Dengiz Dengiz BENZETBENZETİİMM

BENZET

BENZET İ İ M M

Prof.Dr.

Prof.Dr. Berna Berna Dengiz Dengiz

5. Ders

KUYRUK SİSTEMLERİNDE PERFORMANS

KUYRUK SİSTEMLERİNDE PERFORMANS ÖÖLÇLÇÜTÜTLERİLERİ

 M/M/S kuyruk modelleri, M/G/1 kuyruk modelleri ve M/M/S kuyruk modelleri, M/G/1 kuyruk modelleri ve bazı diğerbazı diğer kuyruk sistemleri için

kuyruk sistemleri için önceki yansılarda önceki yansılarda verilen performans verilen performans ölçüölçüttleri analitik olarak hesaplanabilir. Analitik çözümlerin leri analitik olarak hesaplanabilir. Analitik çözümlerin mümkün olması için, varışlar arası dağılımın, servis dağılımının mümkün olması için, varışlar arası dağılımın, servis dağılımının ya da her ikisinin üstel olması

ya da her ikisinin üstel olması ya da bazı özel kuyruk modelleri ya da bazı özel kuyruk modelleri için tanımlanmış dağılımlar olması

için tanımlanmış dağılımlar olması gerekir.gerekir.

Parametreler arasındaki ilişki;

Parametreler arasındaki ilişki;

BENZETİM BENZETİM

Q=λ*d ve L= λ*w

Q=λ*d ve L= λ*w w=d+E(s)w=d+E(s)

M/M/1 Kuyruk Modeli : M/M/1 Kuyruk Modeli :

 Varışlar arası zamanın ve servis zamanının üstel dağılıma sahip Varışlar arası zamanın ve servis zamanının üstel dağılıma sahip olduğu,

olduğu,bir servis olanağı olanbir servis olanağı olan FİFO kuyruk disiplininin FİFO kuyruk disiplininin kullanıldığı kuyruk modelidir. Kuyruk kapasitesi sonsuzdur.

kullanıldığı kuyruk modelidir. Kuyruk kapasitesi sonsuzdur.

 Bu modelinBu modelin, , sürekli zamanlı Markov Prosesinden elde edilen sürekli zamanlı Markov Prosesinden elde edilen matematiksel

matematiksel modeller ile modeller ile çözümü vardır. (Bu formüller, denge çözümü vardır. (Bu formüller, denge durumu için geçerlidir.)

durumu için geçerlidir.)

PP₀₀ : : sistemde iş veya müşteri olmaması olasılığı sistemde iş veya müşteri olmaması olasılığı PP₁₁ : : sistemde 1 iş veya müşteri olma olasılığı sistemde 1 iş veya müşteri olma olasılığı PP_nn : : sistemde n iş veya müşteri olma olasılığı sistemde n iş veya müşteri olma olasılığı

BENZETİM

BENZETİM

BENZETİM BENZETİM

M/M/1 Kuyruk Modeli : M/M/1 Kuyruk Modeli :

Trafik yoğunluğu, doluluk oranı

BENZETİM BENZETİM

M/M/1 Kuyruk Modeli: M/M/1 Kuyruk Modeli:

BENZETİM BENZETİM

M/M/1 Kuyruk Modeli: M/M/1 Kuyruk Modeli:

Sistemdeki ortalama

müşteri sayısı / birim zaman

Kuyruktaki ortalama

müşteri sayısı / birim zaman

BENZETİM BENZETİM

M/M/1 Kuyruk Modeli: M/M/1 Kuyruk Modeli:

Bir müşterinin sistemde ortalama bekleme zamanı

Bir müşterinin kuyrukta ort.bekleme zamanı

KESİKLİ-OLAY KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ BENZETİMİ

 Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli

belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi ile ilgilenir. noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi ile ilgilenir.

Sistemin zamana göre benzetimidir. Zaman içinde kesikli Sistemin zamana göre benzetimidir. Zaman içinde kesikli

noktalarda bir olay ortaya çıkar ve sistemin durumunu değiştirir.

noktalarda bir olay ortaya çıkar ve sistemin durumunu değiştirir.

ÖRNEK 1 :

ÖRNEK 1 : Bir servisli kuyruk sistemi Bir servisli kuyruk sistemi

BENZETİM BENZETİM

SERVİS

MÜŞTERİ VARIŞI MÜŞTERİ ÇIKIŞI

KESİKLİ-OLAY

KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ BENZETİMİ

BENZETİM BENZETİM

Bir varış kanalı Bir servis olanağı

FİFO ilk gelen ilk servis

Servis meşgul ise, müşteri kuyrukta bekler

Varışlararası zaman ve servis süreleri bilgisayar ortamında belirlenen dağılımlardan üretilir.

KESİKLİ-OLAY

KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ BENZETİMİ

 M/M/1M/M/1 Modelinde Modelinde

BENZETİM BENZETİM

Varışlar arası zamanlar rassal değişkendir Servis zamanları rassal değişkendir

İş veya müşteri servisleri bittiği an sistemden çıkar Bir servis tamamlandığında en yakın müşteri

servise alınır.

KESİKLİ-OLAY

KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ BENZETİMİ

 Performans ÖlçüPerformans Ölçütütü : :

Performans ölçü

Performans ölçüttünün tahmin edilmesinde sistemin durum değişkenlerinin ünün tahmin edilmesinde sistemin durum değişkenlerinin izlenmesi gerekir.

izlenmesi gerekir.

 Durum DeğişkenleriDurum Değişkenleri : :

1.Servisin Durumu: Servisin boş veya dolu olması gelen müşterinin servise Servisin boş veya dolu olması gelen müşterinin servise veya kuyruğa girmesini belirler.

veya kuyruğa girmesini belirler.

2.Kuyruktaki Müşteri Sayısı: Bir servis tamamlandığında kuyurktaki müşteri Bir servis tamamlandığında kuyurktaki müşteri sayısı servisin yeni durumunu belirler. Kuyrukta müşteri yoksa

sayısı servisin yeni durumunu belirler. Kuyrukta müşteri yoksa servis boş servis boş duruma geçer. Müşteri varsa, kuyruğun başındaki müşteri servise alınarak duruma geçer. Müşteri varsa, kuyruğun başındaki müşteri servise alınarak servis dolu

servis dolu duruma geçecektir. duruma geçecektir.

3.Varış Zamanları:

3.Varış Zamanları: Her bir mHer bir müşteri için kuyrukta bekleme zamanının üşteri için kuyrukta bekleme zamanının bulunmasında kullanılır

bulunmasında kullanılır

BENZETİM

BENZETİM

KESİKLİ-OLAY

KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ BENZETİMİ

 OlaylarOlaylar : :

• 1. Müşteri Varışı (Varış Olayı) :1. Müşteri Varışı (Varış Olayı) :

Sistemin durumunu değiştirir. Yani, servis boş ise dolu Sistemin durumunu değiştirir. Yani, servis boş ise dolu

konuma geçer veya kuyruktaki müşteri sayısı 1 artar.

konuma geçer veya kuyruktaki müşteri sayısı 1 artar.

• 2. Servisin Tamamlanması (Servis Olayı – Çıkış Olayı):2. Servisin Tamamlanması (Servis Olayı – Çıkış Olayı):

Sistemin durumunu değiştir. Servis dolu iken boş Sistemin durumunu değiştir. Servis dolu iken boş

konuma geçer ya da kuyruktaki müşteri sayısı 1 azalır.

konuma geçer ya da kuyruktaki müşteri sayısı 1 azalır.

BENZETİM

BENZETİM

KOB’DA KULLANILAN KAVRAMLAR

 KKOBOB’da kullanılan önemli kavramlar aşağıda sıralanmıştır’da kullanılan önemli kavramlar aşağıda sıralanmıştır 1.Sistem:

1.Sistem: Bir veya daha fazla amacı gerçekleştirmek için Bir veya daha fazla amacı gerçekleştirmek için çalışma zamanı boyunca etkileşimli nesnelerin (Örn; insan ve çalışma zamanı boyunca etkileşimli nesnelerin (Örn; insan ve

makine) toplamıdır.

makine) toplamıdır.

2.Model:

2.Model: Bir sistemin gösterimidir. Bu gösterim, bir sistemi Bir sistemin gösterimidir. Bu gösterim, bir sistemi tanımlamak için sistem durumunu, nesnelerini, olayların tanımlamak için sistem durumunu, nesnelerini, olaylarınıı, ,

faaliyetlerini kullanan matematiksel ve mantıksal ili

faaliyetlerini kullanan matematiksel ve mantıksal ilişşkileri kileri kapsar.

kapsar.

33..Sistem Durumu:Sistem Durumu:Herhangi bir zamanda sistemi tanımlamak Herhangi bir zamanda sistemi tanımlamak için gerekli olan bilgiyi kapsayan değişkenler setidir.

için gerekli olan bilgiyi kapsayan değişkenler setidir.

BENZETİM

BENZETİM

KOB’DA KULLANILAN KAVRAMLAR

44.Nesne :.Nesne : Sistemin bir bileşenidir. (örn; bir servis, bir müşteri, Sistemin bir bileşenidir. (örn; bir servis, bir müşteri, bir makine)

bir makine) 2.Özellik:

2.Özellik: VVerilen nesnenin özellikleri (örn; bekleyen bir erilen nesnenin özellikleri (örn; bekleyen bir müşterinin önceliği, atölye’de bir işin uğrayacağı makinaların müşterinin önceliği, atölye’de bir işin uğrayacağı makinaların

sırası) sırası)

3.Olay :

3.Olay : Bir sitemin durumunu değiştiren bir oluş. (Örn; müşteri Bir sitemin durumunu değiştiren bir oluş. (Örn; müşteri varışı

varışı))

4.Faaliyet:

4.Faaliyet: Belirli bir zaman içinde tamamlanan iş veya işlem. Belirli bir zaman içinde tamamlanan iş veya işlem.

Bir üretim hattında bir aşamada bir kesme işleminin Bir üretim hattında bir aşamada bir kesme işleminin tamamlanması gibi. Faaliyetlerin zamanları değişken ise ilgili tamamlanması gibi. Faaliyetlerin zamanları değişken ise ilgili

istatistiksel dağılımlarla tanımlanır.

istatistiksel dağılımlarla tanımlanır.

BENZETİM

BENZETİM

BENZETİM BENZETİM



Performans Ölçütleri

KOB’DA ZAMAN İLERLETME

 Kesikli olay benzetim modelinin yapısı gereği, her adımda benzetim zamanınınn bilinmesi gerekir. Bu nedenle, benzetim zamanının bir değerden diğer bir değere artmasını sağlayacak bir işlem gerekir. Benzetim zamanını veren değişken

BENZETİM SAATİ olarak adlandırılır. Modelde zaman birimi olarak, giriş parametrelerinde kullanılan birim alınır. Benzetim zamanı ile modelin bilgisayarda işletilmesi zamanı arasında bir ilişki yoktur.

 Benzetim saatinin iletilmesinde iki yaklaşım kullanılmaktadır.

1. En yakın olay zamanı 2. Sabit artışlar

BENZETİM

BENZETİM



En yakın olay zamanı ile:

Örnek:

Bir servisli kuyruk modeli benzetimi ti = i. Müşterinin varış zamanı (t=0)

A_i = t_i-(t_i-1)= i. ve ( i-1). müşterilerin varışlar arası zaman aralığı S_i = i. müşteri için harcanan servis zamanı

D_i = i.müşterinin kuyrukta beklemesi

c_i = t_i+D_i+S_i= i. müşterinin servisini tamamlaması ve çıkış zamanı ei = herhangi bir i. olayın ortaya çıkış zamanı

A₁,A₂,………_ F_A : varışlar arası zaman aralığı dağılımı S₁,S₂,………..._ F_S : servis süreleri dağılımı

BENZETİM

BENZETİM

BENZETİM

BENZETİM



E E n yakın olay zamanı n yakın olay zamanı ile; ile;

 e₀ = 0 anında servisin durumu boştur.

 t₁ = 1. müşterinin varış zamanı

(FA dağılımından A1 değişkeninin üretilmesiyle belirlenir) ( 0 + A₁ = t₁ )

 Benzetim saati e₀ = 0’dan e₁’e ilerletilir.

 t1’de gelen müşteri servisi boş bulur.

 D₁ = 0. Servisin durumu boştan doluya çevrilir.

 1. müşterinin çıkış zamanı = c₁ = ( t₁+ D₁ + S₁ )

 (t₁ zamanında gelen müşteri FS’den üretilen S₁ süresince servisini alarak sistemden çıkacaktır.)

BENZETİM

BENZETİM

 t₂ = t₁ + A₂ anında gelecek yeni bir müşteri ve

 c1’de çıkacak eski bir müşteri vardır.



Bunlardan hangisi en yakın olay olacak???

BENZETİM

BENZETİM



E E n yakın olay zamanı n yakın olay zamanı ile zaman ilerletme ile zaman ilerletme

•

tt_{2 2} < c< c₁₁ ise benzetim saati e ise benzetim saati e_{2 2} = t= t₂₂ olarak ilerletilir. olarak ilerletilir.

•

cc1 ₁ < t< t2₂ olsaydı , benzetim saati e olsaydı , benzetim saati e1₁’den c’den c1₁’e ilerletilmiş ’e ilerletilmiş olacaktı.

olacaktı.

•

tt₂₂ zamanında gelen müşteri servisi meşgul bulacaktır. zamanında gelen müşteri servisi meşgul bulacaktır.

•

Kuyruktaki müşteri sayısı , 0’dan 1’e arttırılacak ve bu Kuyruktaki müşteri sayısı , 0’dan 1’e arttırılacak ve bu müşterinin varış zamanı kaydedilecektir. Bu müşterinin müşterinin varış zamanı kaydedilecektir. Bu müşterinin

servis zamanı şu anda üretilemez.

servis zamanı şu anda üretilemez.

•

3.varış zamanı t3.varış zamanı t3₃ , t , t3₃= t= t2₂+A+A3₃ olarak hesaplanır. olarak hesaplanır.

•

cc₁₁< t< t₃₃ ise benzetim saati e ise benzetim saati e₃₃= c= c₁₁ olarak ilerletilir. olarak ilerletilir.

BENZETİM

BENZETİM



E E n yakın olay zamanı n yakın olay zamanı ile; ile;

•

tt₁₁’de gelen müşteri c’de gelen müşteri c₁₁ de çıkıyor ve de çıkıyor ve

•

tt₂₂’de gelen müşteri c’de gelen müşteri c₁₁’de servise alınıyor. ’de servise alınıyor.

•

DD_{2 2} = c= c₁₁- t- t₂₂ ve c ve c_{2 2} = c= c₁₁+S+S₂₂ ( S ( S₂₂; F; F_SS’den şimdi üretildi ) . ’den şimdi üretildi ) .

•

Kuyruktaki müşteri sayısı 1 azaltılır. Kuyruktaki müşteri sayısı 1 azaltılır.

•

tt3 ₃ < c< c2₂ ise benzetim saati e ise benzetim saati e₄4= t= t₃3’e ilerletilir.’e ilerletilir.

BENZETİM

BENZETİM



Sabit artışlar ile zaman ilerletme: Sabit artışlar ile zaman ilerletme:

•

Bu yaklaşımda benzetim saati, önceden belirlenen bir Bu yaklaşımda benzetim saati, önceden belirlenen bir ΔΔ_tt zamanı kadar arttırılır.

zamanı kadar arttırılır.

•

Benzetim saatindeki her Benzetim saatindeki her ΔΔ_tt artış sonrası, artış sonrası, ΔΔ_tt aralığında herhangi aralığında herhangi bir olayın ortaya çıkıp çıkmadığı kontrol edilir.

bir olayın ortaya çıkıp çıkmadığı kontrol edilir.

•

Bu aralıkta bir veya birden fazla olay ortaya çıkmış ise, bu Bu aralıkta bir veya birden fazla olay ortaya çıkmış ise, bu olaylar aralığın sonunda olmuş gibi dikkate alınır ve sistemin olaylar aralığın sonunda olmuş gibi dikkate alınır ve sistemin

durumu güncelleştirilir.

durumu güncelleştirilir.

BENZETİM

BENZETİM



Sabit artışlar ile zaman ilerletme: Sabit artışlar ile zaman ilerletme:

BENZETİM BENZETİM

0 0

e_e11

∆t 2∆t

ee₂₂ ee₃₃

3∆t

ee₄₄

4∆t



Sabit artışlar ile zaman ilerletme: Sabit artışlar ile zaman ilerletme:

•

[ 0 , ][ 0 , ] zaman aralığında , e zaman aralığında , e₁₁ zamanında ortaya çıkan olay , zamanında ortaya çıkan olay , modelde At zamanında olmuş gibi dikkate alınır.

modelde At zamanında olmuş gibi dikkate alınır.

•

[[ΔΔt _t , 2 ] aralığında hiçbir olay ortaya çıkmamıştır. Ancak, , 2 ] aralığında hiçbir olay ortaya çıkmamıştır. Ancak, model bu durumu belirlemek için kontrol işlemini yapar.

model bu durumu belirlemek için kontrol işlemini yapar.

•

[ 2 [ 2 ΔΔ _{t t} , 3, 3ΔΔ _tt ] ] aralığında e aralığında e₂₂ ve e ve e₃₃ zamanında 2 olay olmuştur. zamanında 2 olay olmuştur.

Ancak her iki olay da 3

Ancak her iki olay da 3ΔΔ_tt zamanında olmuş gibi dikkate zamanında olmuş gibi dikkate alınır. Modelde, aynı zamanda birden fazla olay ortaya alınır. Modelde, aynı zamanda birden fazla olay ortaya çıktığında, olayların hangi sırada dikkate alınacağına karar çıktığında, olayların hangi sırada dikkate alınacağına karar verecek bir kural bulunmalıdır. Bu yaklaşımın iki verecek bir kural bulunmalıdır. Bu yaklaşımın iki

dezavantajı vardır:

dezavantajı vardır:

BENZETİM BENZETİM

∆t

∆t



Sabit artışlar ile zaman ilerletme: Sabit artışlar ile zaman ilerletme:

• Gerçekte aynı anda meydana gelmeyen olayların Gerçekte aynı anda meydana gelmeyen olayların zaman aralığı sonunda birlikte dikkate alınması ve zaman aralığı sonunda birlikte dikkate alınması ve bunlardan hangisinin önce ortaya çıkacağına karar bunlardan hangisinin önce ortaya çıkacağına karar

verme işlemi hata oluşur.

verme işlemi hata oluşur.

• Δ Δ

_tt

çok küçük alınarak bu hata azaltılabilir. Ancak, her çok küçük alınarak bu hata azaltılabilir. Ancak, her Δ Δ

_tt

aralığında yapılacak kontrolden dolayı modelin aralığında yapılacak kontrolden dolayı modelin

çalışma zamanı artacaktır.

çalışma zamanı artacaktır.

• Bu nedenle KOB’da, bu yaklaşım genellikle Bu nedenle KOB’da, bu yaklaşım genellikle kullanılmaz.

kullanılmaz.

BENZETİM

BENZETİM