1.3 Mittag-Le- er Fonksiyonu

1.3 Mittag-Le- er Fonksiyonu

Mittag-Le- er fonksiyonlar¬ kesirli analizde çok yayg¬n kullan¬m alan¬

bulunan, oldukça önemli bir fonksiyondur. e ^z üstel fonksiyonu tamsay¬

basamaktan diferensiyel denklemler teorisinde oldukça önemli rol oynar.

Üstel fonksiyonun bir parametreli genellemesi

E (z) = X 1 k=0

z ^k ( k + 1) formülü ile Mittag-Le- er taraf¬ndan verilmi¸ stir.

Özel olarak = 1 ve = 2 durumunda

E ₁ (z) = X 1 k=0

z ^k (k + 1) =

X 1 k=0

z ^k k! = e ^z ve

E ₂ (z) = X 1 k=0

z ^k

(2k + 1) = cosh( p z) dir.

· Iki parametreli Mittag-Le- er fonksiyonu:

E _; (z) = X 1 k=0

z ^k

( k + ) ( > 0; > 0)

¸ seklinde verilir. Bu gösterime bazen Mittag-Le- er tipi fonksiyon da denir.

Böylece

E _1;1 (z) = X 1 k=0

z ^k (k + 1) =

X 1 k=0

z ^k k! = e ^z

E _1;2 (z) = X 1

k=0

z ^k (k + 2) =

X 1 k=0

z ^k

(k + 1)! = 1 z

X 1 k=0

z ^k+1

(k + 1)! = e ^z 1 z

E _1;3 (z) = X 1 k=0

z ^k (k + 3)! =

X 1 k=0

z ^k

(k + 2)! = 1 z ²

X 1 k=0

z ^k+2

(k + 2)! = e ^z 1 z z ² bulunur ve en genelle¸ stirirsek

E _1;m (z) = 1 z ^{m 1} fe ^z

m 2 X

k=0

z ^k k! g elde edilir.

4

Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinüs, Mittag-Le- er fonksiyonunun özel durumlar¬d¬r.

E _2;1 z ² = X 1 k=0

z ^2k (2k + 1) =

X 1 k=0

z ^2k

(2k)!

= cosh(z)

E _2;2 z ² = X 1

k=0

z ^2k

(2k + 2) = 1 z

X 1 k=0

z ^2k+1

(2k+1)!

= sinh(z) z dir.

1.4 Wright Fonksiyonu

Wright fonksiyonu, lineer k¬smi kesirli diferensiyel denklemlerin çözüm- lerinde önemli rol oynamaktad¬r. Kesirli difüzyon ve dalga denklemleri örnek gösterilebilir.

Bu fonksiyon, iki parametreli E ; (z) Mittag-Le- er fonksiyonuyla ili¸ skilidir.

Wright fonksiyonu

W (z; ; ) = X 1

k=0

z ^k k! ( k + )

¸ seklinde tan¬mlan¬r.

1.4.1 Integral Gösterimi · Bu fonksiyon;

W (z; ; ) = 1 2 i

Z

H

z e ⁺ d

integraliyle gösterilebilir. Burada H a , Henkel çevresini ifade etmektedir.

5