FİZ 217 TİTREŞİM ve DALGALAR

FİZ 217

TİTREŞİM ve DALGALAR

Hazırlayanlar:

Dr. Mustafa POLAT

Dr. Leyla TATAR YILDIRIM

YARARLANILAN KAYNAKLAR:

Prof. Dr. Hüseyin ÇELİK, FİZ 217 Titreşim ve Dalgalar

ders notları. http://yunus.hacettepe.edu.tr/~hucelik/fiz217/

French, A.P. (1971). ‘‘Vibrations and Waves’’. The M.I.T.

Introductory Physics Series, W.W. Norton & Company

Inc., New York.

King, G.C. (2009). ‘‘Vibrations and Waves’’. Manchester

Physics Series, John Wileys and Sons Ltd., Hoboken,

United States.

Pain, H.J. And Rankin, P. (2015). ‘‘Introduction to

Vibrations and Waves’’. John Wileys and Sons Ltd.,

Hoboken, New Jersey.

TİTREŞİM VE DALGALAR

 Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit bir sinüs eğrisidir. Bu nedenle basit harmonik harekete sinüzoidal hareket denir.

 Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir.

 Bir eksen boyunca, sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

 Genellikle sinüs veya cosinüs fonksiyonları ile ifade edilen periyodik hareketlere harmonik hareket denir.

 Böyle hareket yapan bir parçacığın hiç bir kuvvetin etkisinde kalmadığı konuma denge konumu ve herhangi bir

 Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir.

Periyodik Hareketler:

Titreşim, bir denge noktası etrafındaki mekanik salınımdır.

Bir ortamın veya uzamış ya da yayılmış bir cismin tüm noktalarının kendi denge konumları çevresinde yaptıkları titreşim hareketlerinin topluca görünümüne dalga hareketi denir.

Bu salınımlar, kütle-yay sistemi veya bir sarkacın hareketi gibi periyodik olabileceği gibi rastgele de olabilir.

Başka bir tanımla dalga, bir ortamın (katı, sıvı, gaz hatta plazma olabilir) maruz kaldığı etkiyi iletmesidir.

Düzgün Dairesel Hareket Konik Sarkaç Fiziksel Sarkaç

Periyodik Bazı Hareketlere Örnekler:

N

⃗𝜇𝜇

⃗𝑆𝑆 e

S

⃗𝜇𝜇

⃗𝑆𝑆 e

1.1. PERİYODİK HAREKET

• Bütün titreşen cisimler aynı hareketi belirli zaman aralıklarında defalarca yaparlar. Böyle hareketlere periyodik hareketler denir.

• Uzamayan ve kütlesi ihmal edilebilen bir ipin ucuna asılmış bir kürecikten oluşan düzeneğe basit sarkaç denir. Şekildeki basit sarkaç bir yönde çekilip bırakılırsa, ileri ve geri hareket yaparak titreşir.

• Titreşimin periyodu (T), hareketin bir tam salınımı için geçen zamandır. Şekildeki sarkacın periyodu, A’ dan C ’ ye ve tekrar A ’ ya dönmesi için geçen süredir.

A B C

BÖLÜM 1

• Periyot ile frekans arasındaki ilişki f = 1/T bağıntısı ile verlir ve bütün periyodik hareketler için geçerlidir.

• Titreşimin frekansı, birim zamanda sistem tarafından tamamlanan titreşim devirlerinin sayısıdır. Genellikle f sembolü ile gösterilir ve saniyedeki devir sayısı olarak ifade edilir. SI sistemindeki birimi hertz (Hz = s⁻¹)’ dir.

1

Kuvvet sabiti k olan bir yaya bağlı, sürtünmesiz yatay bir düzlemde serbestçe hareket eden ve kütlesi m olan bir cisim, basit harmonik harekete bir örnek oluşturur.

1.2. BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)

Bir denge konumu etrafında salınım hareketi yapan, denge noktasından olan uzaklıkla doğru orantılı ve daima denge noktasına doğru yönelmiş geri çağırıcı bir kuvvetin etkisinde olan maddesel bir noktanın hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir.

F = − kx

Bu tanıma göre blok-yay sistemi için geri çağırıcı kuvvet, x denge noktasından olan uzaklık olmak üzere, aşağıdaki gibi yazılır:

Düzgün dairesel hareket yapan bir parçacığın, yörünge düzlemindeki bir doğru üzerindeki izdüşümünün hareketi de basit harmonik harekettir.

Düzgün dairesel hareket yapan bir parçacığın bulunduğu P noktasının herhangi bir anda y-ekseni üzerindeki izdüşümünün denge noktasına uzaklığı, y = Asinθ ile verilir. ω parçacığın açısal frekansı olmak üzere, θ = ωt olduğundan, parçacığın y-ekseni üzerindeki izdüşümünün konumu, çizgisel hızı ve çizgisel ivmesi:

Düzgün Dairesel Hareket → BHH ilişkisi

( )

( )

y(t)= Asin ωt

v(t)= dy = A cos ωt

dt

ω



 ^{a(t)= dv = A 2sin}

( )

^{ωt 2y(t)}

dt −

ω

= −

ω

Dönme Vektörü ile Basit Harmonik Hareketin (BHH) Tanımlanması:

Büyüklüğü A olan OP vektörünün O noktası etrafında sabit bir ω açısal hızı ile döndüğünü varsayalım. OP vektörünün +x-ekseni ile yaptığı açıyı θ = ωt olarak açısal hıza bağlı yazabiliriz. Bu durumda OP vektörünün x-ekseni ve y-ekseni üzerindeki izdüşümleri için, sırasıyla,

ifadelerini yazabiliriz. Her iki durumda da, eksenler üzerindeki izdüşümler –A ile +A arasında basit harmonik hareket yaparlar. A niceliğine hareketin genliği denir.

( )

( )

x(t)= Acos ωt

y(t)= Asin ωt

Düzgün Dairesel Hareketin Polar Koordinatlarda Analizi:

Orijinden parçacığın bulunduğu noktaya giden yer vektörünün (OP vektörü) boyunu r ve x-ekseninin pozitif tarafı ile yaptığı açıyı θ ile gösterelim. Bu durumda P noktasının yerini P( r, θ ) polar koordinatlarıyla belirleyebiliriz.

Dik koordinatlar ile polar koordinatlar arasındaki ilişki:

Bu ifadeyi başka bir şekilde yazabiliriz:

Bu eşitlik aslında z = a + ib şeklinde yazılan kompleks niceliğine denktir.

( ) ( )

( ) ( )

ve

ˆ ˆ ˆ ˆ

x = rcos y = rsin

r xi yj rcos i rsin j

θ θ

θ θ

= + = +



:

:

r = x + iy

x x - ekseni üzerindeki izdü şüm

iy y - ekseni üzerindeki izdü şüm x

iy

reel imajiner

θ

a ve b nicelikleri reel sayılar olmak üzere,

Çağdaş mühendislik alanında yer alan

• titreşim hareketleri,

• harmonik salınımlar,

• sönümlü titreşimler,

• değişken akımlar,

• dalga olayları

gibi konuların incelenmesinde uygun bir matematik dilidir.

KOMPLEKS SAYILAR:

z = a + ib

şeklinde tanımlanan z niceliği kompleks (karmaşık) bir sayıdır.

a

ib

reel imajiner

θ

• ib niceliğini oluşturmak için, x-ekseni boyunca b kadarlık bir mesafe

ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğunda bir yer değiştirme

olması için 90° döndürülür.

• i

²

b niceliğini oluşturmak için, önce ib oluşturulur ve ona 90°’ lik bir

dönme daha uygulanır. i

²

b = i (ib) = – b

• Arka arkaya 90°’ lik iki dönme pozitif x-ekseni boyunca b yer

değiştirmesini, negatif x-ekseni boyunca –b yer değiştirmesine

dönüştürmektedir.

b

ib

π /2

i

²

b

π /2 ib

a

ib

reel imajiner

θ

Geometrik olarak şekilde görüldüğü gibi,

Buradan cebirsel bir eşitlik elde ederiz:

Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek, BHH’ i analiz etmek

için fiziksel olarak uygun bir yönteme sahip olmuş olduk. Bu yöntemle bir

titreşim hareketi probleminin çözümünden, a ve b değerleri reel olan, z = a + ib

şeklinde bir sonuç elde edilir. a istenen nicelik olup b ise ihmal edilebilir.

2

1 1

i = − ⇒ i = −

( ) ^b

tan =

θ a

olacak şekilde x-ekseni ile θ açısı yapan eksen boyunca bir yer değiştirme söz

konusudur.

a

ib

reel imajiner

θ

KOMPLEKS ÜSTEL FONKSİYON VE

BU FONKSİYON İLE BASİT HARMONİK HAREKETİN TANIMLANMASI

Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin

zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz.

Hareketi tanımlayan yer değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve kosinüs’ lü

terimler içerir.

Bir f (x) fonksiyonunun x = a noktasında Taylor serisine açılımı,

Kompleks üstel fonksiyonu tanımlamak ve ele almak titreşim problemlerini

kolaylaştırması bakımından önemlidir.

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

²

^{( )} ( )

³

^{( )}

2! 3!

f a f a

f x = f a

+

x

−

a f a

′ +

x

−

a

′′ +

x

−

a

′′′ + ⋅⋅⋅

şeklinde tanımlanır. a = 0 durumunda bu seri, sıfır noktasında Maclaurin

serisi olarak adlandırılır.

biçiminde yazılabilir. Bu iki fonksiyon kullanılarak,

Sinüs ve Cosinüs fonksiyonlarının θ = 0 civarındaki seri açılımları, sırasıyla,

( )

( )

3 5

2 4

3! 5!

1 2! 4!

sin =

cos =

θ θ

θ θ

θ θ

θ

− + + ⋅⋅⋅

− + + ⋅⋅⋅

( ) ( ) ¹

^{2 3 4 5}

2! 3! 4! 5!

cos θ + isin θ = + i θ − θ − i θ + θ + i θ + ⋅⋅⋅

bulunur. Bu ifade, −1 yerine i

²

yazılarak tekrar düzenlenirse,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{2 3 4 5}

( )

1 2! 3! 4! 5! !

i i i i i

n

cos + isin = + i

n

θ θ θ θ θ

θ θ θ + + + + + ⋅⋅⋅ +

Genellikle 𝑒𝑒

^{𝑖𝑖𝑖𝑖}

ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z’ nin uzunluğunu

değiştirmeden θ açısı kadar dönmesini tanımlar. Örneğin BHH için,

( ) ( )

ⁱ

cos θ + isin θ = e

^θ

olarak yazılabilir. Bu eşitlik Leonhard EULER tarafından 1748’ de elde edilmiştir ve EULER eşitliği olarak bilinir.

Bu durumda eşitlik,

( ) ( ) ve ( ) ( )

x t = Acos ω α t + y t = Asin ω α t +

( ) ^dx ( )

v t = = A sin t

dt − ω ω α +

( ) ^{dv d x}

²₂ ²

( )

²

( )

a t = = = A cos t x t

dt dt − ω ω α + = − ω

şeklindedir.

Diğer taraftan, x ve y’ nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak

aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz.

Bu ifadede x, z’ nin reel kısmını göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık elde

edilecek vektörler,

( ) ( )

^{i( t )}

z = Acos ω α t + + iAsin ω α t + = Ae

^{ω α+}

( )

^{i( t )}

veya

^{i( t / 2)}

dz dz

= A i e i z = A e

dt dt

ω α ω α π

ω

⁺

= ω ω

^{+ +}

Üç vektör arasındaki faz ilişkisinden görüldüğü gibi, her bir i

çarpanı, faz açısında π kadarlık bir artışa karşılık gelir.

( )

^{( ) ( )}

2 2

2 2 2

2 ^{i t}

veya

2 ^{i t}

d z d z

A i e z A e

dt dt

ω α ω α π

ω

⁺

ω ω

^{+ +}

= = − =

biçimindedir.

Şekil 1.2. Vektörlerin reel eksen üzerindeki izdüşümleri.

(a) z yer- değiştirme vektörü

(b) Hız vektörü

(c) İvme vektörü

( )

i t

z = Ae

^{ω α+}

( ^{/ 2})

i t

dz = A e

dt

ω α π

ω

^{+ +}

( )

2

2 2

i t

d z A e

dt

ω α π

ω

^{+ +}

=

de MOIVRE teoremi:

z = re

i^θ

( )

ⁿ

^{cos ( ) sin ( )}

n i n in n

z = re

^θ

= r e

^θ

= r   n θ + i n θ  

( )

1/ 1/

2 2

cos sin ; 0 1 2 1

n n

k k

z = r i k = , , , , n

n n

θ π θ π

   +   +   +    ⋅⋅⋅ −

     

 

Kompleks bir niceliği n. kuvveti:

Kompleks bir niceliğin n. dereceden kökü:

KOMPLEKS SAYILARIN ÖZELLİKLERİ:

1 1 1

ve

2 2 2

gibi iki komplex niceli ğimiz olsun :

z = x + iy z = x + iy

1 2

ve

1 2

ise,

1 2

x = x y = y z = z

•

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

z + z = x x + i y y

• + +

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

z z = x iy x iy x x y y i x y y x

• + ∗ + = − + +

(

1 2 1 2

) (

1 2 1 2

)

1 1 1 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

x x y y i y x x y

z x iy x iy

=

z x iy x iy x y

+ + −

+ −

• ∗ =

+ − +

{ }

, nin gerçel (reel) k ısmıdır ve ile gösterilir.

x z' x = Re z

•

{ }

, nin sanal (imajinar) k ısmıdır ve ile gösterilir.

y z' y = Im z

•

2 2

, nin mutlak de ğeri veya normu veya

büyüklü ğü olarak adlandırılır.

z x y z'

• = +

, nin kompleks e şleniği olarak adlandırılır.

z

^∗

x iy z'

• = −

,

2 2

z z z z

x y

i

∗ ∗

+ −

• = =

( z

1

z

2

)

^∗

z

1^∗

z

2^∗

• + = +

(

_{1 2}

)

_{1 2}

z z

^∗

z z

^{∗ ∗}

• =

cos 2

i i

e e

θ θ

θ ⁺

⁻

• =

( )

1

y ; nin arguman ı olarak adlandırılır.

= tan = arg z z'

θ

⁻

^{ } x

•  

 

Örnek-1. 𝑧𝑧1=𝑎𝑎+𝑖𝑖𝑏𝑏, 𝑧𝑧2=𝑐𝑐+𝑖𝑖𝑑𝑑 olan 𝑧𝑧=𝑧𝑧1𝑧𝑧2 ifadesi ile verilen bir z vektörünü göz önüne alınız .

a) 𝑧𝑧1 ve 𝑧𝑧2’ nin büyüklükleri çarpımının 𝑧𝑧’ nin büyüklüğüne eşit olduğunu gösteriniz.

b) 𝑥𝑥-ekseni ile 𝑧𝑧’ nin yapmış olduğu açının, 𝑧𝑧1ve 𝑧𝑧2’nin x-ekseni ile ayrı ayrı yapmış oldukları açıların toplamı olduğunu gösteriniz.

Çözüm-1. a) z =1 a² +b² ve z = c2 ² +d² ⇒ z z =1 2

( ) ( ) ( ) ( )

ac ² + ad ² + bc ² + bd ²

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

z z z = a ib c id ac bd i ad bc

ac bd abcd ad bc abcd

ac bd ad bc

= + + = − + +

= + − + + +

= + + + ^{z z = z z}_{1 2 1 2}

b)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 2 2

1 2

/ ve /

z = a + ib = tan b a z = c + id = tan d c ad bc

z z z ac bd i ad bc tan =

ac bd

θ θ

θ

− −

⇒ ⇒

= = − + + ⇒ +

−

(i= −1)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 2

1 2

1 2 1 2

tan tan tan tan

tan tan 1 tan tan tan

ac ac

tan =

ac ac

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

+ +

= = +

− −

θ θ θ

= +

Örnek-2. 𝑧𝑧 = 1−𝑖𝑖 ise 𝑧𝑧¹⁰ ’ u hesaplayınız.

Çözüm-2.

( ) ( )

^{1 2 1 2} 2 ve ^{1 1}

1 4

z = + − =

θ

= tan^{− } ^{− } = −

π

2 cos sin

4 4

z =  −

π

+i −

π



10 5 10 10 5 5

2 cos sin 32 cos sin

4 4 2 2

z =  −

π

+i −

π

 =  −

π

+i −

π



[ ]

10 32 cos sin 32 0 32

2 2

z =  −

π

+i −

π

 = − = −i i

Örnek-3. 𝑒𝑒^{𝑖𝑖𝜃𝜃} ile z gibi bir kompleks sayının çarpımının z’ nin boyunda bir değişme olmaksızın 𝜃𝜃 kadarlık bir pozitif dönmeye karşılık geldiğini gösteriniz.

( ) ( )

cos sin

z = a + ib = re = ri^ϕ 

ϕ

+i

ϕ



( ) ^cos

( )

^sin

( )

i i i i

e z = e re = re^{θ θ ϕ ϕ θ+} = r 

ϕ θ

+ +i

ϕ θ

+  Çözüm-3.

Örnek-4. Euler eşitliğinde 𝑒𝑒^{𝑖𝑖𝜃𝜃} = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 ’ dir.

a) 𝑒𝑒^{−𝑖𝑖𝜃𝜃}’ nın geometrik gösterimini, b) 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝜃𝜃’nın üstel gösterimini,

c) 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃’nın üstel gösterimini bulunuz.

Çözüm-4. a) ^{e−iθ = cos}

( )

^{− +θ isin}

( )

^{− =θ cos}

( )

^{θ −isin}

( )

^θ

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝜃𝜃

-𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃

𝜃𝜃

( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos sin

cos cos sin 2

i i i

i

e i e e

e i

θ θ θ

θ

θ θ

θ θ θ

− = −  ⇒ = + −

= + 

b)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos sin

sin cos sin 2

i i i

i

e i e e

e i i

θ θ θ

θ

θ θ

θ θ θ

− = −  ⇒ = − −

= + 

c)

( ) ( )

2 2

cos sin

e zi^θ = r

ϕ θ

+ +

ϕ θ

+ = r

Örnek-5. sin(𝜃𝜃) ve cos (𝜃𝜃)’ nın üstel ifadelerini kullanarak aşağıdaki trigonometrik bağıntıların gerçekleştiğini gösteriniz.

a) cos²(𝜃𝜃) −sin²(𝜃𝜃) = cos(2𝜃𝜃) b) 2sin(𝜃𝜃)cos(𝜃𝜃) = sin(2𝜃𝜃) Çözüm-5. a)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

cos 2

2 2

4 cos sin cos 2

2 4

sin 4

i i

i i

i i

e e

e e

e e

θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ θ θ

θ

−

−

+ + 

=  ⇒ − = + =

+ − 

= − 

b) ^{2 sin}

( ) ( )

^{cos 2 2 2 sin 2}

( )

2 2 2

i i i i i i

e e e e e e

= = =

i i

θ θ θ θ θ θ

θ θ

^{− −} ∗ ^{+ − − −}

θ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

3

cos sin cos 3 sin 3

27 ; cos 3 cos ve sin 3 sin olmalıdır.

2 2

z = r i z = r i

r

θ θ θ θ

π π

θ θ

+ ⇒ +

   

   

   

= =    =   

3 ve 3 2 bulunur.

r =

θ

= +

π

2

π

k

Burada k’ nın alabileceği değerler: 0, 1 ve 2 ’ dir. Bu durumda küp kökler,

3

3 3 3

2 3 cos sin = 3

2 2 2

k = ⇒

θ

=

π

⇒ z = ^ ^

π

^+i ^

π

^^ − i olarak hesaplanır.

Örnek-6. 27𝑖𝑖 kompleks sayısının tüm kompleks küp köklerini bulunuz.

Çözüm-6. ³ 27 27 cos sin

2 2

z = i =     

π

+i    

π



eşitliğini sağlayan z kompleks sayılarını arıyoruz.

1

3 3 3 0 3 cos sin =

6 6 6 2 2

k = ⇒

θ

=

π

⇒ z = ^{  }  

π

+i ^{ }  

π

^ +i

2

5 5 5 3 3 3

1 3 cos sin =

6 6 6 2 2

k = ⇒

θ

=

π

⇒ z = ^ ^

π

^+i ^

π

^^ − +i

Örnek-7. diferansiyel denkleminin 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥) + 𝐵𝐵𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑘𝑘𝑥𝑥) şeklinde bir çözüme sahip olduğunu gösteriniz. Burada A ve B keyfi sabitlerdir. Aynı

zamanda bu eşitliğin 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑥𝑥+𝛼𝛼) = 𝐶𝐶𝑅𝑅𝑒𝑒[𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑥𝑥+𝛼𝛼)] = 𝑅𝑅𝑒𝑒[𝐶𝐶𝑒𝑒^{𝑖𝑖𝛼𝛼}𝑒𝑒^{𝑖𝑖𝑘𝑘𝑥𝑥}] şeklinde de yazılabileceğini gösteriniz. C ve 𝛼𝛼’ yı A ve B’ nin fonksiyonları olarak ifade ediniz.

2

2 2

d y k y dx = −

Cevap-7. ^{y = Acos}

( )

^{kx Bsin}

( )

^{kx d y2}₂ ^{= Ak2 cos}

( )

^{kx Bk2 sin}

( )

^kx

+ ⇒ dx − −

A B

2 2

A +B

θ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

cos ve sin

cos cos sin sin

A A B B A B

y = A B kx kx

θ θ

θ θ

= + = +

+  + 

( )

2 2

cos

y = A +B  kx−θ 

y

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2 cos sin cos sin

d y k y Ak kx Bk kx k A kx B kx

dx = − ⇒ − − = −  + 

BÖLÜM 2: PERİYODİK HAREKETLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ

2.1. Çizgisel (Lineer) Diferansiyel denklemler

1 2

( )

1 1 2 2 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n n n n n n

d y d y d y dy

C t C t C t C t C t y F t

dt dt dt dt

− −

− − − −

+ + + ⋅⋅⋅ + + =

biçiminde tanımlanan denkleme n. mertebeden çizgisel diferansiyel denklem, bu forma uymayan denklemlere ise çizgisel olmayan diferansiyel denklem denir.

• Bağımlı değişken ve türevlerinin kuvvet dereceleri 1’ dir.

• Tüm katsayılar, bağımsız değişken olan t’ ye bağlı olabildiği gibi sabit de olabilirler.

• En yüksek türev mertebesi, diferansiyel denklemin ‘‘mertebesini’’ gösterir.

Eşitliğin sağ tarafındaki F(t) fonksiyonunun sıfır olması durumunda, diferansiyel denklem homojen çizgisel denklem adını alır ve aşağıdaki formdadır:

1 2

1 1 2 2 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

n n n

n n n n n n

d y d y d y dy

C t C t C t C t C t y

dt dt dt dt

− −

− − − −

+ + + ⋅⋅⋅ + + =

Çizgisel diferansiyel denklemlerde;

Çizgisel homojen diferansiyel denklemlerin çok önemli bir özelliği vardır:

Herhangi iki çözümün toplamı da bir çözümdür.

Oysa çizgisel olmayan bir diferansiyel denklemin ayrı iki çözümünün toplamı bir çözüm değildir.

Çözümlerinin üst üste gelmesinin yine bir çözüm olması özelliği yalnız çizgisel denklemlere özgüdür. Böyle denklemlere uyan salınımlar üst üste gelme (süperpozisyon) ilkesine uyuyor denir.

Bir çok fiziksel durum, bir sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak üst üste gelme metodlarından bir kaç özel durumu göz önüne alacağız.

TEMEL KABUL: “İki ya da daha fazla harmonik titreşimin üst üste gelmesi, tek tek titreşimlerin basitçe toplamı olarak alınacaktır.”

2.2. Periyodik Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi (süperpozisyon)

Hook yasasının (F = −kx) geçerli olduğu ve sürtünmenin olmadığı kütle-yay problemlerinde geri çağırıcı kuvvet sadece x ile orantılıdır.

formundadır ve 2. mertebeden sabit katsayılı çizgisel ve homojen bir diferansiyel denklemdir.

2

2 0

m d x kx dt + =

2

2 0

d x dx

m b kx

dt + dt + =

ifadesine sahiptir ve yine 2. mertebeden sabit katsayılı çizgisel ve homojen bir diferansiyel denklemdir.

Bu durumda bloğun hareket denklemi,

Bloğun hareketine zıt yönde ve bloğun hızıyla orantılı bir sürtünme kuvvetinin olması durumunda ise hareket denklemi, b pozitif bir sabit olmak üzere,

Karın Noktaları: Düğüm noktalarının tam ortasında kalan ve en hızlı hareket eden noktalara da karın noktaları denir.

Düğüm Noktaları: Bir ipte ilerleyen dalgalar sabit bir destekten yansıdıklarında gelen ve yansıyan dalgalar birbirlerinin üzerine gelirler. Bu durumda bazı noktalar hiç hareket etmez. Bu noktalara düğüm noktaları denir.

Üst Üste Binme İlkesi: Aynı anda iki veya daha fazla dalga atmasının etkisi altında kalan bir noktanın yer değiştirmesi, bunların bireysel yer değiştirmelerinin vektörel toplamına eşit olur.

İki BHH’ in aşağıda eşitliklerle tanımlandığını farz edelim.

2.2.1. Eşit Frekanslı Farklı Genlikli Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi

( )

( )

1 1 1

2 2 2

cos cos

x A t

x A t

ω α

ω α

= +

= +

( ) ( )

1 2 1cos 1 2 cos 2

x = +x x = A

ω α

t + + A

ω α

t +

Burada A₁ ve A₂ genlikleri, α₁ ve α₂ faz sabitlerini ve ω açısal frekansı göstermektedir.

Toplam fonksiyonun tam olarak tanımlanabilmesi için A ve α’ nın bulunması gerekmektedir.

Bu ifadeleri elde etmek için iki farklı yöntem kullanacağız.

( )

cos

x = A

ω α

t +

Bunların cebirsel toplamı üst üste gelmeyi verir:

Geometrik yöntem ile Analiz:

Yukarıdaki toplamı elde etmek için BHH’ in dönme vektörü ile tanımlanmasını kullanabiliriz.

Başka bir deyişle geometriden faydalanırız. x₁ ile temsil edilen BHH’ i 𝑂𝑂𝑂𝑂₁vektörü ile, x₂ ile temsil edilen BHH’ i 𝑂𝑂𝑂𝑂₂ vektörü ile temsil edelim.

𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂₁ + 𝑂𝑂𝑂𝑂₂

( ) ( )

( )

2 2

2

1 2 2 1 2 2 1

2 2

1 2 1 2 2 1

cos sin

2 cos

A A A A

A A A A A

α α α α

α α

=  + −  +  − 

= + + −

A

( ) (

2 1

) ( )

2

(

2 1

)

2

sin PH ve sin PH sin sin

A A

A A

β

=

α α

− = ⇒

β

=

α α

−

( )

2 2 1

1 sin

sin A

α α

α α β α

= + = + ^{−  − }

A₂

𝑂𝑂𝑂𝑂₁

Kompleks Üstel Fonksiyonların Toplanması Yöntemi:

𝑂𝑂𝑂𝑂₁ ve 𝑂𝑂𝑂𝑂₂ dönme vektörleri aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

( )

( )

1

2

1 1

2 2

vektörüne kar şı

vektörüne kar şı

i t

i t

z A e

z A e

ω α ω α

+

+

=

𝑂𝑂𝑂𝑂₂

=

Bu vektörlerin toplamı bileşke vektörü verecektir,

( 1) ( 2) 1 2

1

2

1 2 1 2 1 2

1 1

2 2

terimi, kompleks vektörünün 0 ' daki değerine karşılık gelir.

terimi, kompleks vektörünün 0 ' daki değerine karşılık gelir.

i t i t i t i i

i i

z z z A e A e e A e A e

A e z t

A e z t

ω α ω α ω α α

α α

+ +  

= + = + =  + 

=

=

( )

1 2

1 2

i t i t i

i i

i

z Ae e Ae

Ae A e A e

ω α ω α

α α

α

= + =

 

=  + 

( ) ( )

²

( ) ( )

²

2

1cos 1 2cos 2 1sin 1 2 sin 2

A = A α + A α  +A α + A α 

( )

2 2

1 2 2 1 2 cos 2 1

A = A + A + A A α α−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

cos cos cos

sin sin sin

A A A

A A A

α α α

α α α

= +

= +

( )

^{1/ 2}

( )

2 2

1 2 2 1 2 cos 2 1 cos

x = ^A + A + A A

α α

− ^

ω α

t +

2.2.2. Eşit Frekanslı Eşit Genlikli Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi

1 2

A = A

A₁

ω α β

α_2-α₁ β

A₁ A

P

( ) ( )

1

cos

1

cos 2

1

cos

A = A β + A β = A ^{ }     δ 2

2 1

2 β α α = − = δ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

cos cos cos

sin sin sin

A A A

A A A

α α α

α α α

= +

= +

(

1

)

2

(

1 2

)

sin sin

A α α− = A α α−

( )

1

/ sin α

∗

( )

1

/ cos α

∗ −

( )

( )

2 2 1

1

1 2 2

1 2 1 2 2 1

sin sin

2 cos

A

A A A A

α α α α

α α

−  − 

= +

 + + − 

 

İki benzer hoparlörün aynı sinyal üretecinden sinüzoidal olarak sürüldüğü ve bunların ses titreşimlerinin şekilde görüldüğü gibi uzakta bir noktadaki mikrofondan algılandığı durumda, bu çeşit üst üste gelme elde edilebilir.

Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse δ faz farkı, O’ daki sıfır ilk durumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının dalga boyu, iki hoparlör arasındaki uzaklıktan daha kısa ise, A bileşke vektörünün genliği OB noktaları arasında bir kaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar arasındaki noktalarda da 2A₁ genliğine sahip maksimumlara ulaşır. (Bu gibi durumlar daha ileriki konularda ayrıntılı olarak incelenecektir).

Fizikte uygulaması:

ω₁ ve ω₂ arasında özel bir ilişki olmadıkça, bileşke yer değiştirme zamanın karmaşık bir fonksiyonu olacaktır.

Genlikleri A₁ ve A₂, açısal frekansları ω₁ ve ω₂ olan iki titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim.

2.2.3. Farklı Frekanslı Titreşimlerin Üst Üste Gelmesi ve Vurular (beats)

( )

( )

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

x A t

ω

ω

=

=

Bileşke vektörün OP uzunluğu, A₁ ve A₂ vektörlerinin toplamı ile farkı arasında bir değere sahip olacaktır. x-eksenindeki yer değiştirmenin büyüklüğü Ox ise A₁+A₂ ile sıfır arasında yer alır.

Üst üste gelmiş hareketin periyodikliği için gerekli koşul; n₁ ve n₂ farklı tamsayılar olmak üzere, iki titreşimin periyotları arasında,

Periyotları orantılı iki sinüzoidal titreşimin üst üste gelmesi (n₁=9, T₁=1/450 s, n₂=2, T₂=1/100 s, T=1/50 s)

Periyotları orantılı olan iki titreşimin üst üste gelmesi durumunda bileşke titreşimin görünümü önemli derecede üst üste gelen titreşimlerin birbirlerine göre fazlarına bağlıdır.

gibi bir ilişki olmalısıdır. Buradaki T, üst üste gelmiş hareketin periyodudur.

1 1 2 2

n T = n T = T

Eğer iki BHH’ in frekansları birbirine çok yakın ise, böyle üst üste gelmeler VURU (beat) olarak adlandırılır. Vuru olayında üst üste gelmiş titreşim, üst üste gelen titreşimlerin frekansları ortalamasına eşit bir frekansa sahip olur, hareketin genliği ise zamanla periyodik olarak değişir.

Bu eşitlik matematiksel olarak ω₁ ve ω₂’ nin herhangi iki değeri için yazılabilir ancak, bu eşitliğin bir vuruyu temsil edebilmesi için,

Eğer eşit genlikli (A1 = A₂ = A) iki BHH’ in toplamını göz önüne alırsak vuru olayını anlamak çok kolay olacaktır:

( )

( )

1 1 1

1 2

2 2 2

cos cos

x A t

x x x

x A t

ω

ω

=  ⇒ = +

= 

koşulunun sağlanması gerekmektedir.

( )

1 2 << 1 2

ω ω

−

ω ω

+

cos cos 2 cos cos

2 2

A B A B

A+ B =  −   + 

   

1 2 1 2

2 cos cos

2 2

A 

ω ω

− t 

ω ω

+ t

=      

Bileşke titreşimin frekansı, toplamı oluşturan titreşimlerin frekanslarının ortalamasıdır:

1 2

. 2

ort

ω

=

ω ω

⁺

Bileşke titreşimin genliği de,

1 2

mod. 2

ω

=

ω ω

⁻

ile verilen ve adına modülasyon frekansı denilen bir frekansla değişecektir. Bu olaya genlik modülasyonu adı verilir.

1 2 1 2

2 cos cos

2 2

x = A 

ω ω

− t 

ω ω

+ t

Bileşke titreşimde hızlı salınım

1 2

cosω ω+2 t

 

  

 

terimleri tarafından temsil edilir ve şekil üzerinde, sırasıyla, düz ve kesikli çizgilerle gösterilmiştir.

Bileşke titreşimde yavaş salınım

1 2

cosω ω−2 t

 

  

 

1 2

cosω ω−2 t

 

  

 

fonksiyonu −1 veya +1’ e eşit olursa, bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydana gelmiş olur. Bir saniyedeki vuru sayısı (vuru frekansı), modülasyon frekansının iki katıdır.

2

mod.

ω

vuru

= ω

Genlik değişimini belirleyen

Aynı sonuca, bileşke titreşimde genliğin sıfır olması için gerekli koşul kullanılarak da ulaşılabilir:

1 2 1 2

1

cos 0 ( ) ; 0 , 1 , 2 ,

2

t

2

tⁿ n

2

n

ω ω ω ω π

   −    = ⇒   −   = + = ⋅⋅⋅

     

 

Ardışık iki minimum arasında geçen zaman vuru periyodu olduğundan,

(

²₁ ¹₂

)

¹

(

₁¹ ₂

) (

2 1

)

1 (2 1)

(

₁ ¹ ₂

)

2 2

n vuru n n

t n T t t n n

f f ⁺ f f f f

= −+ ⇒ = − = −  + + − +  = −

(

1 2

)

^{1 2}

1

vuru vuru

T f f f

f f

= ⇒ = −

−

sonucu elde edilir.

2.2.4. Aynı Frekans ve Genlikli Birçok Titreşimin Üst Üste Gelmesi

Üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çok sayıda titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir.

Aynı frekans, aynı genlikli ve birbirlerini eşit faz farkı ile takip eden çok sayıda BHH’ in üst üste gelmesi, optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizinde ve diğer dalga olaylarının analizinde kullanılacaktır.

Şekilde genlikleri eşit ve A₀ olan, birbirini aynı faz farkı (δ) ile takip eden aynı frekanslı N tane dönme vektörünün üst üste gelmesini göstermektedir.

Titreşimlerden birincisini temsil eden 𝑂𝑂𝑂𝑂 vektörünün ve bileşke titreşimi temsil eden 𝑂𝑂𝑂𝑂 vektörünün x- bileşenleri, sırasıyla, aşağıdaki ifadelere sahiptir:

( ) ( ) ( )

1 0

cos

cos

x A t

x A t

ω

ω δ

= 

= +   ⇒

Eşit büyüklükte N tane vektörün, düzgün bir çokgen (tamamlanmamış) oluşturmak üzere uç-uca getirildiklerini varsayabiliriz. Böylece çokgen, C merkezli ve R yarıçaplı bir çemberin parçası olarak düşünülebilir. Çokgenin köşeleri çember üzerindedir ve her biri A₀ genliğine sahip titreşimleri gösteren vektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit ve δ ’ dır.

Böylece, OCP toplam açısı Nδ _olacaktır.

Geometrik yöntem ile Analiz:

( ) ( )

( )

0 / 2 0

sin / 2 2

sin / 2

A A

R R

δ ^{= ⇒ =} δ

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0

/ 2 sin / 2

sin / 2 2 sin / 2

sin / 2

A N

N A R N A

R

δ δ δ

= ⇒ = = δ

(

¹

)

2 2 2

N N

α = π δ−   − π − δ = ⁻ δ

   

( ) ( )

( ) ( )

0

sin / 2 1

cos cos

sin / 2 2

N N

x A t A δ t δ

ω α ω

δ

−

 

= + =  + 

 

Bileşke vektör 𝑂𝑂𝑂𝑂’ nin x-bileşeni için,

ifadesi yazılabilir. Bu ifade çok yarıkta girişim (girişim ızgarası) olayını analiz etmede bir temel oluşturur.

Komleks Gösterim Yöntemi ile Analizi:

Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak analiz edebiliriz. x-ekseni boyunca eşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri arasındaki faz farkı ( δ ) aynı olan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı,

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

0

cos

0

cos

0

cos 2

0

cos 1

x = A ω t + A ω δ t + + A ω t + δ + ⋅⋅⋅ + A ω t + N − δ

( ¹)

1 e

ⁱ

e

ⁱ2

e

^{i N} s

= +

^δ

+

^δ

+ ⋅⋅⋅ +

^{− δ}

e

^iδ s

= e

^iδ

+ e

ⁱ2^δ

+ ⋅⋅⋅ + e

^iNδ

( ¹

ⁱ

) ( ¹

^iN

)

s − e

^δ

= − e

^δ

( )

( )

1

1

iN i

s e

e

δ δ

= −

−

Bu ifadeyi z₁ = e^iδ kısaltmasını kullanarak kompleks gösterimde yazarsak,

( ¹)

2

0

e

^{i t}

1 e

ⁱ

e

ⁱ

e

^{i N}

z = A

^ω

  +

^δ

+

^δ

+ ⋅⋅⋅ +

^{− δ}

 

ifadesini elde ederiz. Köşeli parantez içindeki geometrik seri aşağıdaki gibi belirlenebilir:

Böylece, bileşke harektin kompleks üstel fonksiyonu,

0

e 1

1

iN i t

i

z A e

e

ω δ

δ

 − 

=   −  

ifadesine sahip olur.