Vektör Fark Denklemleri için Kararl¬l¬k Teorisi

Vektör Fark Denklemleri için Kararl¬l¬k Teorisi

Ankara Üniversitesi

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 1 / 8

f : N R ! R ve x 2 R olmak üzere k boyutlu

x ( n + 1 ) = f ( n, x ( n )) (1) vektör fark denklemini ele alal¬m. Burada f ( n, x ) fonksiyonu x e göre sürekli ve x

2 R

verilmi¸s bir sabit vektördür.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 2 / 8

Tan¬m 8 ^{n n}

^için

f ( n, x ) = x

e¸sitli¼ gini sa¼ glayan x 2 ^R

noktas¬na (1) denkleminin bir denge noktas¬

veya sabit çözümü denir.

Özel olarak,

x = 0 denge noktas¬s¬f¬r çözümü ad¬n¬al¬r.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 3 / 8

e > 0 için k ^x

^x k < ^{δ oldu¼ gunda}

k ^x ( n, n

, x

) x k < ^{e, n n}

⁰

olacak biçimde bir δ = δ ( e, n

) > 0 say¬s¬varsa, x denge noktas¬na kararl¬d¬r denir. E¼ ger, δ = δ ( e ) ise, x denge noktas¬na düzgün kararl¬d¬r denir.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 4 / 8

Tan¬m

Kararl¬olmayan x denge noktas¬na karars¬zd¬r denir.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 5 / 8

k ^x

^x k < ^{µ oldu¼ gu zaman}

n

lim

x ( n, n

, x

) = x

olacak ¸sekilde bir µ = µ ( n

) say¬s¬varsa, x denge noktas¬na atraktiftir denir. E¼ ger µ, n

dan ba¼ g¬ms¬z ise, x düzgün atraktiftir denir.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 6 / 8

Tan¬m

Kararl¬ve atraktif olan denge noktas¬na asimptotik kararl¬d¬r denir.

Tan¬m

k ^x

^x k < ^{δ oldu¼ gunda}

k ^x ( n, n

, x

) x k ^M k ^x

^x k ^η

olacak ¸sekilde δ > 0, M > 0 ve η 2 ( ^{0, 1} ) say¬lar¬varsa, x denge noktas¬na üstel kararl¬d¬r denir.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 7 / 8

8 ^{n n}

^için

k ^x ( n, n

, x

) x k ^M

olacak ¸sekilde pozitif bir M sabiti varsa, x ( n, n

, x

) çözümüne s¬n¬rl¬d¬r denir.

Matematik Bölümü-MAT444 () 5. Hafta 8 / 8