Fizik 101: Ders 24 Gündem

Fizik 101: Ders 24

Gündem

 Tekrar

 “Başlangıç koşullarını” kullanarak BHH denklemlerinin çözümü.

 Genel fiziksel sarkaç

 Burulmalı sarkaç

 BHHte enerji

 Atomik titreşimler

 Problem: Düşey yay

 Problem: taşıma tuneli

 BHH tekrar

BHH & yaylar

k

s m

0

k

m

s 0 d s

dt s

2 2

 2   k

m

çözüm

s = A cos(t + ) kuvvet:

Hız ve İvme

k

x m

0

Konum: x(t) = A cos(t + ) Hız: v(t) = -A sin(t + ) İvme: a(t) = ^-2A cos(t + )

Türevleri alarak...

a t dv t ( ) dt( )



v t dx t ( ) dt( )

 x_MAX = A

v_MAX = A a_MAX = ²A

Ders 24, Soru 1

Basit Harmonik Hareket

Bir yay üzerindeki bir kütle aşağı yukarı titreşim hareketler yapmaktadır. Kütlenin konumu zamanın bir fonksiyonu olarak aşağıda verilmiştir. Verilen noktakardan hangisinde hız pozitif ve ivme negatiftir?

t y(t)

(a)

(b)

(c)

Ders 24, Soru 1

Çözüm

y(t) nin eğimi hızın işaretini belirler zira:

t y(t)

(a)

(b)

(c)

v dy

 dt

y(t) ve a(t) nin işaretleri birbirinin tersidir a(t) = -w² y(t)

a < 0 v < 0

a > 0 v > 0

a < 0 v > 0

cevap (c).

Örnek

 m = 2 kg kütleli bir cisim bir yayın ucunda genliği A=10 cm olan titreşim hareketleri yapıyor. Başlangıçta t = 0 hızı maksimum, ve v = +2 m/s.

 Titreşimin frekansı  nedir?

 Yay sabiti k nedir?

k

x m

v_MAX = A  = ^MAX 20s ¹

cm 10

s m 2 A

v   _

  k

vede m k = m²

 k = (2 kg) x (20 s ^-1) ² = 800 kg/s² = 800 N/m

Başlangıç Koşulları

k

x m

0

“başlangıç koşullarını” kullanarak  yi belirleyelim!

Vasayım: x(0) = 0 , ve x

başlangıçta artıyor (v(0) = pozitif^):

x(0) = 0 = A cos()  = /2 yada -/2 v(0) > 0 = -A sin()  < 0

x(t) = A cos(t + ) v(t) = -A sin(t + ) a(t) = -²A cos(t + )

 

cos sin

 = -/2 



Başlangıç Koşulları...

k

x m

0

x(t) = A cos(t - /2 ) v(t) = -A sin(t - /2 ) a(t) = -²A cos(t - /2 ) bulgu  = -/2!!

x(t) = A sin(t) v(t) = A cos(t) a(t) = -²A sin(t)

  t x(t)

A

-A

Ders 24, Soru 2

Başlangıç Koşulları

Düşey bir yaya asılı bir kütle denge konumundan d kadar yukarıya kaldırılıp t=0 anında serbest bırakılıyor. Aşağıdakilerden hangisi hız ve ivmeyi zamanın fonksiyonu olarak verir?

k m

y

0 d (a) v(t) = -v_max sin(wt) a(t) = -a_max cos(wt)

(b) v(t) = v_max sin(wt) a(t) = a_max cos(wt) (c) v(t) = v_max cos(wt) a(t) = -a_max cos(wt)

(v_max ve a_max her ikiside pozitif)

t = 0

Ders 24, Soru 2

Çözüm

k m

y

0 d t=0 da mümkün olan en büyük yerdeğiştirme ile

başladığımızdan : y = d cos(^wt)

t = 0

   

v dy

dt d sin t v_maxsin t

      

   

a dv

dt d cos t a_maxcos t

  ²    

Tekrar: Basit sarkaç

  = I^ kullanarak ve sin ^{  } küçük lar için

bulgu

d dt

2 2

   2

L

 g burada 

BHH çözümü   = ₀ cos(t + )

 L

d m mg z

mgL  mL d

 ₂ dt²

2

 I 

Tekrar: Çubuk sarkaç

  = I^ kullanarak ve sin ^{  } küçük lar için

 d L

mg z

L/2

x KM

mg L 

mL d dt 2

1 3

2 2

 2

d dt

2 2

   2   3

2 g burada L

 I 

bulgu

BHH çözümü   = ₀ cos(t + )

Genel Fiziksel Sarkaç

 Elimizde M kütleli, şekli keyfi olan bir cisim sabit bir

eksene asılı bulunsun. Bunun yanında bu cisim için KM ve bu eksen etrafında biliniyor eylemsizlik moment I olsun.

 Küçük açılar  için dönme ekseni (z) etrafındaki tork

(sin   )

 = -Mgd -MgR



d

Mg z-ekseni

R x CM

d dt

2 2

 2

 

    MgR

burada I

 = ₀ cos(t + )

2 2

dt I d

MgR  



 





Ders 24, Soru 3

Fiziksel Sarkaç

 D çaplı bir hoola hoop’un bir çiviye asılmasıyla bir sarkaç yapılıyor.

hoola hoopun küçük yerdeğiştirmeleri için açısal frekans nedir? (I_KM = mR² hoop için)

(a) (b) (c)

  g D

  2g D

  g 2D

D Eksen (çivi)

Ders 24, Soru 3

Çözüm

 Küçük yerdeğiştirmeler içim hoopun açısal frekansı

Eksen (çivi)

R km

x

I

 mgR



Paralel eksen teoremini kullanarak: I = I_cm + mR²

m

= mR² + mR² = 2mR²

  mgR   mR

g R

g 2 ² 2 D

  g

 D

Burulmalı Sarkaç

 KM’inden bir tel ile asılı bir cismi dikkate alalım. Tel dönme eksenini tanımlar ve bu eksene göre eylemsizlik momenti I biliniyor olsun.

 Tel “burulma yayı gibi” davranır.

 Cisim döndürüldüğünde, tel burulur. Bu dönmeye karşı bir tork meydana getirir.

 Yay durumundaki gibi meydana gelen

tork açısal yer değiştirme ile orantılıdır:

 = -k

I tel



Burulmalı Sarkaç...



 = -k 

 = I

k  d

 dt  I

2 2

d dt

2 2

   2   k

burada I I

tel

 

Bu durum “yay da kütle” örneğine benzer bir farklılıkla m yerine I kullanılır.

BHHte Enerji

 Yay ve sarkaç için enerjinin korunumunu kullanarak BHH çözümünü bulabiliriz.

 BHH yapan sistemin toplam enerjisi (K + U) her zaman sabit kalacaktır!

 Sistemde korunumlu kuvvetler olduğundan bu beklenmektedir ve K+U eneji korunur.

-A 0 A s

U

U K E

BHH ve kuadratik (karesel)

potansiyeller

 Kuadratik potansiyelin bulunduğu her yerde BHH olur.

 Bu genel bir durum değildir.

 Örneğin, H₂ molekülündeki H atomları arasındaki potansiyel:

-A 0 A x

U

U K U E

x

BHH ve kuadratik potansiyeller...

Eğer potansiyelin minimum yakınlarında bir taylor serisine açarsak küçük yerdeğiştirmeler için kuadratik potansiyel:

U

x U(x) = U(x₀ ) + U(x₀ ) (x- x₀ )

+ U (x₀ ) (x- x₀ )²+....

2 1

U(x₀) = 0 (x₀ potansiyel minimumu olduğundan.)

x₀ U

x  tanım x = x - x₀ ve U(x₀ ) = 0

 U(x) = U (x₀ ) x ² 2

1

BHH ve kuadratik potansiyeller...

U

x x₀

U

x  U(x) = U (x₀) x ²

k = U (x₀) olsun.

Böylece:

U(x) = k x ² 2

1

2 1

BHH potansiyel!!!

Problem: Düşey Yay

 m = 102 g olan bir kütle yatay bir yaya asılır.

Denge pozisyonu y = 0 dır. Kütle denge konumundan d=10 cm aşağı çekilir ve t=0 anında serbest bırakılır. Titreşim periyodu T = 0.8 s olarak ölçülür.

 Yay sabiti k nedir?

 Kütle için konum, hız ve ivmeyi zamanın birer fonksiyonu olarak yazınız.

 Maksimum hız nedir?

 Maksimum ivme nedir?

k

m

y

0 -d t = 0

Problem: Düşey Yay

 k nedir? ^{  k}

m

 

 2  ^

7 85 ¹

T . s

böylece:

 

m

6.29 N

0.102kg

7.85s

k 



k  ²m

k

m

y

0 -d t = 0

Problem: Düşey Yay...

 Hareket denklemleri nelerdir?

 t = 0 da,

 y = -d = -y_max

 v = 0

 Böylece: y(t) = -d cos(t) v(t) = d sin(t) a(t) = ²d cos(t)

k

m

y

0 -d t = 0

Problem: Yatay Yay...

y(t) = -d cos(t) v(t) = d sin(t) a(t) = ²d cos(t)

x_max = d = .1m

v_max = d = (7.85 s^-1)(.1m) = 0.78 m/s a_max = ²d = (7.85 s^-1)²(.1m) = 6.2 m/s²

 

0 t

k

m

y

0 -d t = 0

İletim Tüneli

 Dünyanın merkezinden geçen bir tünel delinip bir mühendislik öğrencisi delikten aşağı öğle arasında (saat 12de) bırakılsın.

 Öğrenci ne zaman geri döner?

İletim Tüneli...

R

R_E

 

F R GmM

G  R₂ R

Burada R yarıçapı içindeki kütle M_R ile verilir.

M_R F_G

  

F R F R

M R

R M

G G E

R E E

 ₂ ²

ama M_R  R³

  

F R F R

R R

R R

R R

G G E

E

E E

 ³₂ ²₃ 

İletim Tüneli...

R

R_E M_R

F_G

 

G G

R R R

F R

F 

F mg R

R kR

G

E

   

k mg R_E Ucunda kütle 

olan yay gibi

mg )

R (

F_{G E}  

İletim Tüneli...

R

R_E M_R

F_G

k mg R_E Ucunda kütle 

olan yay gibi

  k  m

g R_E



g = 9.81 m/s² ve

R_E = 6.38 x 10⁶ m Yerine koyarsak

 = .00124 s^-1

sonuÇ T = = 5067 s 84 dk



 2



İletim Tüneli...

 84 dakika sonra geri döner, yani 1:24 te dünya turu yapıp döner.

İletim Tüneli...

 Tuhaf ama gerçek:

Titreşim periyodu tünelin dünyanın merkezinden

geçmesini gerektirmez.

Herhangi bir doğru tünel sürtünme olmadığı ve

yoğunluk sabit olduğu

sürece aynı sonucu verir.

İletim Tüneli...

 Bir başka tuhaf ama

gerçek: Dünyanın hemen yüzeyinde dolaşan bir

cisim geçiş tüneli ile aynı periyoda sahiptir.

a = ²R

9.81 = ² 6.38(10)⁶ m  = .00124 s^-1

 T = = 5067 s 84 min



 2



Basit Harmonik Hareket:

Özet

d s

dt s

2 2

 2

Çözüm:

s = A cos(t + ) Kuvvet:

  k m

k

s m

0 k

m

s 0

s L

  g L

Çözüm

 Tekrar

 “Başlangıç koşullarını” kullanarak BHH denklemlerinin çözümü.

 Genel fiziksel sarkaç

 Burulmalı sarkaç

 BHHte enerji

 Atomik titreşimler

 Problem: Düşey yay

 Problem: taşıma tuneli

 BHH tekrar

Quiz sınav soruları:



Bölüm 8 soru 81



Bölüm 9 soru 100



Bölüm 10 soru 44



Bölüm 11 soru 59



Bölüm 13 soru 68

Cevap kağıdının okunaklı, temiz ve düzenli

olması %25 ağırlıklıdır.

Teslim: 30.11.2012