Bernoulli Diferensiyel Denklemi

Bernoulli Diferensiyel Denklemi

Tan¬m. n; 1 den farkl¬bir reeel say¬olmak üzere y ⁰ + p(x)y = q(x)y ⁿ

formundaki diferensiyel denklemlere Bernoulli diferensiyel denklemi denir. Bernoulli diferensiyel denklemleri nonlineerdir.

Bu denklemler

z = y ^{1 n}

dönü¸ sümü yard¬m¬ile lineer diferensiyel denkleme dönü¸ stürülerek çözülürler.

Örnek. A¸ sa¼ g¬daki diferensiyel denklemleri çözünüz.

1.

y ⁰ + 2xy = e ^x

y ² Çözüm. n=2 için Bernoulli denklemidir.

z = y ¹ dönü¸ sümü uygulan¬rsa,

dy

dx = y ² dz dx ; dz

dx 2xz = e ^x

lineer denklemi elde edilir.

Bu denklemin çözümü

z = ( x + c)e ^x

dir. Verilen Bernoulli denkleminin çözümü,

y = 1

(x + c) e ^x

olarak bulunur.

2. dy

dx y x = y ²

3. dy

dx + 1

3 y = e ^x y ⁴ 4.

2 dy

dx + y tan x = (4x + 5) ² cos x y ³

1