CALCULUS THOMAS

Tam metin

(1)THOMAS. CALCULUS O. N. B. ‹. R. ‹. N. C. ‹. B. George B.Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology Maurice D.Weir Naval Postgraduate School Joel Hass University of California, Davis Frank R. Giordano Naval Postgraduate School. Çeviren: Recep Korkmaz. A. S. K. I.

(2) Yayın No. : 2150. Teknik Dizisi :. 134. 11. Baskıdan çeviri 1. Baskı - Ağustos 2009 - İSTANBUL. ISBN 978 - 605 - 377 - 068 - 8. Authorized translation from the English language edition, entitled THOMAS’ CALCULUS, 11th Edition by THOMAS, GEORGE B.; WEIR, MAURICE D.; HASS, JOEL; GIORDANO, FRANK R., published by Pearson Education, Inc, publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2005 TURKISH language edition published by BETA BASIM YAYIM DAĞITIM A.S. Copyright © 2009 All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc. Copyright© 2009 Bu kitabın Türkiye’deki yayın hakları BETA Basım Yayım Dağıtım A.Ş.’ye aittir. Her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile, taranarak, internet ortamında elektronik posta ile herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur.. Dizgi : Beta Basım A.Ş. Sayfa Düzenleme : Gülgonca Çarpık Baskı - Cilt : Kahraman Neşriyat Ofset San. Tic. Ltd. Şti. (Sertifika No: 12084) Yüzyıl Mah. Matbaacılar Cad. Atahan No: 34 K: 4 Bağcılar/İstanbul (0-212) 629 00 01. Beta BASIM YAYIM DAĞITIM A.Ş. Himaye-i Etfal Sokak Talas Han No. 13-15 Cağaloğlu - İSTANBUL Tel : (0-212) 511 54 32 - 519 01 77 Fax: (0-212) 511 36 50 www.betayayincilik.com.

(3) İÇİNDEKİLER. 1. Önsöz. ix. Önbilgiler. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7. 2. Limitler ve Süreklilik 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7. 3. Reel Sayılar ve Reel Doğru 1 Doğrular, Çemberler ve Paraboller 9 Fonksiyonlar ve Grafikleri 19 Fonksiyonları Tanımlamak; Matematik Modeller 28 Fonksiyonları Birleştirmek; Grafikleri Kaydırmak ve Ölçeklemek Trigonometrik Fonksiyonlar 48 Hesap Makinesi ve Bilgisayarla Grafik Çizmek 59 TEKRAR SORULARI 68 PROBLEMLER 69 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 71. Değişim Oranları ve Limitler 73 Limit Kurallarını Kullanarak Limitler Hesaplamak Bir Limitin Kesin Tanımı 91 Tek Taraflı Limitler ve Sonsuzda Limitler 102 Sonsuz Limitler ve Dikey Asimptotlar 115 Süreklilik 124 Teğetler ve Türevler 134 141 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 142 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 144. Türev. 38. 73 84. 147 3.1 3.2. Bir Fonksiyon Olarak Türev 147 Türev Alma Kuralları 159. iii.

(4) iv. ‹çindekiler. 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8. 4. Fonksiyonların Ekstremum Değerleri 244 Ortalama Değer Teoremi 255 Monon Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi 262 Konkavlık ve Eğri Çizimi 267 Uygulamalı Optimizasyon Problemleri 278 Belirsiz Şekiller ve L’Hôpital Kuralı 292 Newton Yöntemi 299 Ters Türevler 307 TEKRAR SORULARI 318 PROBLEMLER 318 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 322. 325. ‹ntegrasyon 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6. 6. 244. Türev Uygulamalar› 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8. 5. Bir Değişim Oranı Olarak Türev 171 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri 183 Zincir Kuralı ve Parametrik Denklemler 190 Kapalı Türetme 205 İlişkili Oranlar 213 Lineerizasyon ve Diferansiyeller 221 235 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 235 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 240. Sonlu Toplamlarla Tahminde Bulunmak 325 Toplam Notasyonu ve Sonlu Toplamların Limitleri 335 Belirli İntegral 343 Analizin Temel Teoremi 356 Belirsiz İntegraller ve Dönüşüm Kuralı 368 Değişken Dönüşümü ve Eğriler Arasındaki Alan 376 TEKRAR SORULARI 387 PROBLEMLER 388 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 391. 396. Belirli ‹ntegrallerin Uygulamalar› 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7. Dilimleyerek Hacim Bulmak ve Bir Eksen Etrafında Dönme Silindirik Kabuklarla Hacim Bulmak 409 Düzlem Eğrilerin Uzunlukları 416 Momentler ve Kütle Merkezleri 424 Dönel Yüzey Alanları ve Pappus Teoremleri 436 İş 447 Akışkan Basınçları ve Kuvvetleri 456. 396.

(5) ‹çindekiler. TEKRAR SORULARI 461 PROBLEMLER 461 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR. 7. 8. 466. Ters Fonksiyonlar ve Türevleri 466 Doğal Logaritmalar 476 Üstel Fonksiyon 486 a x ve loga x 495 Üstel Büyüme ve Bozunma 502 Bağıl Büyüme Oranları 511 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 517 Hiperbolik Fonksiyonlar 535 TEKRAR SORULARI 546 PROBLEMLER 547 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 550. 553. ‹ntegrasyon Teknikleri 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8. 9. 464. Transandant Fonksiyonlar 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8. Temel İntegrasyon Formülleri 553 Kısmi İntegrasyon 561 Rasyonel Fonksiyonların Kısmi Kesirlerle İntegrasyonu Trigonometrik İntegraller 581 Trigonometrik Dönüşümler 586 Integral Tabloları ve Bilgisayar Cebir Sistemleri 593 Sayısal İntegrasyon 603 Genelleştirilmiş İntegraller 619 633 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 634 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 638. 570. Integrasyonun Di¤er Uygulamalar› 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5. v. Eğim Alanları ve Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler 642 Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemler 650 Euler Yöntemi 659 Otonom Diferansiyel Denklemlerin Grafik Çözümleri 665 Birinci Mertebe Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları 673 682 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 682 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 683. 642.

(6) vi. ‹çindekiler. 10. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8. 11. Konik Kesitler ve Kuadratik Denklemler 685 Konik Kesitleri Dışmerkezliklerine Göre Sınıflandırmak Kuadratik Denklemler ve Dönmeler 702 Konikler ve Parametrik Denklemler; Sikloid 709 Kutupsal Koordinatlar 714 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizmek 719 Kutupsal Koordinatlarda Alanlar ve Uzunluklar 725 Kutupsal Koordinatlarda Konik Kesitler 732 739 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 739 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 742. Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatlar 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11. 12. 685. Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatler. 746. Diziler 747 Sonsuz Seriler 761 İntegral Testi 772 Karşılaştırma Testleri 777 Oran ve Kök Testleri 781 Alterne Seriler, Mutlak ve Koşullu Yakınsaklık 787 Kuvvet Serileri 794 Taylor ve Maclaurin Serileri 805 Taylor Serisinin Yakınsaklığı; Hata Tahmini 811 Kuvvet Serilerinin Uygulamaları 822 Fourier Serileri 833 TEKRAR SORULARI 839 PROBLEMLER 840 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 843. Vectörler ve Uzayda Geometri 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6. 697. Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri 848 Vektörler 853 Nokta Çarpımı (Skaler Çarpım) 862 Vektörel Çarpım 873 Uzayda Doğrular ve Düzlemler 880 Silindirler ve Kuadrik Yüzeyler 889 TEKRAR SORULARI 899 PROBLEMLER 900 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 902. 848.

(7) ‹çindekiler. 13. 14. Vektör Fonksiyonlar 906 Atış Hareketini Modellemek 920 Yay Uzunluğu ve Birim Teğet Vektör T 931 Eğrilik ve Birim Normal Vektör N 936 Burulma ve Birim Binormal Vektör B 943 Gezegen Hareketi ve Uydular 950 TEKRAR SORULARI 959 PROBLEMLER 960 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 962. 965. K›smi Türevler 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10. 15. 906. Vektör-De¤erli Fonksiyonlar ve Uzayda Hareket 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6. vii. Çok Değişkenli Fonksiyonlar 965 Yüksek Boyutlarda Limitler ve Süreklilik 976 Kısmi Türevler 984 Zincir Kuralı 996 Doğrultu Türevleri ve Gradiyent Vektörler 1005 Teğet Düzlemler ve Diferansiyeller 1015 Ekstremum Değerler ve Eyer Noktaları 1027 Lagrange Çarpanları 1038 Kısıtlanmış Değişkenlerle Kısmi Türevler 1049 İki Değişken İçin Taylor Formülü 1054 TEKRAR SORULARI 1059 PROBLEMLER 1060 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 1063. 1067. Katl› ‹ntegraller 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7. İki Katlı İntegraller 1067 Alan, Momentler ve Kütle Merkezleri 1081 Kutupsal Formda İki Katlı İntegraller 1092 Kartezyen Koordinatlarda Üç Katlı İntegraller 1098 Üç Boyutta Kütle ve Momentler 1109 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda Üç katlı İntegraller Çok Katlı İntegrallerde Değişken Dönüşümü 1128 TEKRAR SORULARI 1137 PROBLEMLER 1138 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 1140. 1114.

(8) viii. ‹çindekiler. 16. Vektör Alanlar›nda ‹ntegrasyon 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8. Eğrisel İntegraller 1143 Vektör Alanları, İş, Dolaşım ve Akı 1149 Yoldan Bağımsızlık, Potansiyel Fonksiyonları ve Korunmalı Alanlar Düzlemde Green Teoremi 1169 Yüzey Alanı ve Yüzey İntegralleri 1182 Parametrize Yüzeyler 1192 Stokes Teoremi 1201 Diverjans Teoremi ve Bir Birleştirilmiş Teori 1211 1222 TEKRAR SORULARI PROBLEMLER 1223 EK VE İLERİ ALIŞTIRMALAR 1226. 1143. 1160. EK-1. Ekler A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9. Matematik İndüksiyon EK-1 Limit Teoremlerinin İspatları EK-4 Sık Karşılaşılan Limitler EK-7 Reel Sayıların Teorisi EK-9 Kompleks Sayılar EK-12 Vectörel Çarpım İçin Dağılma Kuralları EK-22 Karışık Türev Teoremi ve Artma Teoremi EK-23 Bir Paralelkenarın Bir Düzlem Üzerine İzdüşümünün Alanı EK-28 Temel Cebir, Geometri, ve Trigonometri Formülleri EK-29. Cevaplar. C-1. ‹ndeks. ‹-1. K›sa Bir ‹ntegral Tablosu. T-1. Krediler. K-1.

(9) Önsöz. G‹R‹fi Thomas Calculus’un 11.basımının hazırlanmasında önceki basımların tarzını ve gücünü yakalamaya çalıştık. Amacımız, birçok kullanıcımızı ve eleştirmenimizi dikkatlice dinleyerek Thomas Calculus’un klasik basımlarının en iyi özelliklerini tekrar ziyeret etmek oldu. Aklımızdaki bu yüksek standartlarla, alıştırmaları yeniden kurduk ve bazı zor konuları aydınlattık. George Thomas’ın sözleri ile ‘‘Kitabı, olabileceği kadar açık ve kesin olarak yazmaya çalıştık’’. Ek olarak, daha mantıklı ve standart müfredat programı ile aynı hizada olması için içeriği yeniden yapılandırdık. Geriye bakmakla, mühendisler ve bilim adamları için kullanışlı ve çekici bir calculus metni hazırlamakta bize yardımcı olacak çok şey öğrendik. On birinci basımda metin, öğrenciye sadece calculus’un yöntemlerini ve uygulamalarını değil ayrıca bir matematiksel düşünme yolu da tanıtır. Alıştırmalardan örneklere kavramları geliştiren ve teoriyi okunabilir bir lisanla açığa çıkaran anlatıma, bu kitap matematiksel fikirleri düşünme ve iletme hakkındadır. Calculus, matematiğin anahtar örneklerinden bir çoğunu içerir ve fiziksel ve matematiksel konular hakkında doğru ve mantıklı bir yolla nasıl düşünüleceğinin gerçek başlangıçlarını işaret eder Materyale hakim olmaları ve gücünü kullanmak için gerekli matematiksel olgunluğa ulaşmaları için öğrencilere yardım etmeyi deniyoruz. Derin bir bilgiden gelen kavrayışlar gayrete değerdir. Bu kitabı tamamlayan öğrencilerin , bilimde ve mühendislikte bir çok uygulamaya calculus kavramlarını uygulamak için ihtiyaç duyulan, matematiksel lisan konusunda oldukça bilgi edinmiş olmaları gerekir. Ayrıca, diferansiyel denklemler, lineer cebir ve ileri analiz derslerine iyi bir şekilde hazırlanmış olmaları gerekir.. Onbirinci Bas›mdaki De¤ifliklikler ALIfiTIRMALAR Alıştırmalar ve örnekler calculus öğrenmede çok önemli bir rol oynarlar. Thomas Calculus’un önceki basımlarında yer alan ve o basımların muazzam gücünü oluştan alıştırmalardan bir çoğunu bu yeni basıma dahil ettik. Her bölümde, hesaplamalı problemlerden uygulamalı ve teorik problemlere ilerleyen alıştırmaları konulara göre düzenledik ve grupladık. Bu düzenleme öğrencilere, calculus yöntemlerini kullanma becerilerini geliştirme ve değerlendirmelerini derinleştirmenin yanında calculus uygulamalarını ve mantıklı matematiksel yapılarını anlamaları fırsatını verir. ÖZEN Özen seviyesi, önceki basımlarla karşılaştırıldığında baştan sona daha tutarlıdır. İkisi arasındaki farkı ortaya koymak için hem biçimsel ve hem de biçimsel olmayan tartışmaları verdik. Ayrıca, kesin tanımları ve öğrencilerin anlayabileceği ispatları dahil ettik. Metin, materiyalin gayri resmi olarak anlaşılabileceği şekilde düzenlenmiştir. Bu, öğret-. ix.

(10) x. Önsöz. mene önemli derecede bir esneklik sağlar. Örneğin, kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralıkta bir maksimumunun bulunduğunu ispat etmediğimiz halde bu teoremi çok dikkatli bir şekilde ifade ettik ve takip eden çeşitli sonuçları ispat etmek için bunu kullandık. Bundan başka, limitlerle ilgili bölüm, açıklığa ve kesinliğe karşı büyük bir dikkatle önemli ölçüde yeniden düzenlenmiştir. Önceki basımlarda olduğu gibi limit kavramı yine bir eğriye üzerindeki bir noktada teğet olan doğrunun eğimini elde etme fikri ile motive edilmektedir. ‹ÇER‹K Bu basımın hazırlığı sırasında, Thomas Calculus’un önceki basımlarının kullanıcıları ve eleştirmenlerimizin önerilerine ve yorumlarına önemli ölçüde dikkat sarf ettik. Bu, bazı bölümlerde büyük revizyonlara ve değişikliklere yol açtı.. •. • • •. •. •. • • •. •. Önbilgiler Bölüm 1’i, temel fonksiyonların kısa bir incelemesi olarak tekrar yazdık. Bir çok eğitimcinin bu bölümü atlamayı seçebilecek olmasına rağmen, bölüm öğrenciye kolay bir referans ve inceleme olanağı sunar, notasyonu standart hale getirir ve altyapı materyali olarak nelerin kabul edildiğine işaret eder. Ayrıca birçok öğrencinin, bir hesap makinesine veya bilgisayara bir fonksiyonun grafiğini vermesi konusunda tam olarak güvenmedeki tuzaklar gibi, görmemiş olabileceği bazı yardımcı materyal içerir. Limitler Bölüm 2’de içerilenler, limitlerin epsilon-delta tanımları, birçok teoremin ispatı, sonsuzda limitler ve sonsuz limitlerdir (ve bunların bir grafiğin asimptotları ile ilişkileri). Ters türevler Türev ve önemli uygulamalarını, bütünlüğü sağlayan ters türev kavramı ile sonuçlanan Bölüm3 ve Bölüm 4’te verdik. İntegrasyon Çeşitli sonlu toplam örneklerini tartıştıktan sonra Bölüm 5’te, eğrinin altındaki alan, geleneksel çerçevesi içinde belirli integrali tanıttık. Türevleri ve ters türevleri birbirine bağlayan Analizin Temel Teoremini işledikten sonra, integrasyon için Değişken Dönüşümü’nün yanında belirsiz integrali tanıttık. Bunları, belirli integralin uygulamaları hakkındaki alışılmış bölüm takip eder. İntegrasyon Teknikleri İntegrasyonun, sayısal integrasyonu da içeren temel teknikleri Bölüm 8’de verilmektedir. Bunlar, bir integral olarak doğal logaitmayı ve onun tersi olarak üstel fonksiyonu tanımladığımız transandant fonksiyonların tanıtımını takip etmektedirler. Diferansiyel denklemler Temel diferansiyel denklemlerin çözümleri hakkındaki materiyalin önemli kısmı, şimdi tek bir bölümde, Bölüm 9’da düzenlenmiştir. Bu düzenleme, bu konuların kavranması açısından eğitimcilere önemli ölçüde esneklik sağlar. Konikler Birçok kullanıcının isteği üzerine, konik kesitler hakkındaki Bölüm 10 tamamen yenilendi. Bu bölüm ayrıca, parabollerin, hiperbollerin ve sicloidlerin parametrizasyonlarını vererek parametrik denklemler hakkındaki materyali tamamlar. Seriler Bölüm 11’de, dokuzuncu basımda gözüken, serilerin yakınsaklık testlerinin daha bütün bir gelişimini yeniden düzenledik. Ayrıca, bölümün sonuna (atlanabilecek olan) Fourier serilerini tanıtan kısa bir bölüm ekledik. Vektörler Temel cebirsel ve geometrik fikirlerin tekrarından kaçınmak için, iki ve üç boyutlu vektörlerin işlenmesini tek bir bölümde Bölüm 12’de birleştirdik. Bu tanıtımı, düzlemde ve uzayda vektör-değerli fonksiyonlar hakkındaki bir bölüm takip etti. Reel sayılar Calculus’a uyglanmasından dolayı Reel sayılar teorisi hakkında kısa ve yeni bir ek yazdık.

(11) Önsöz. xi. SANAT Şekillerin ve resimlerin calculus öğrenmede kritik bileşenler olduklarını fark ettik. Bu nedenle kitaptaki bütün şekillere yeni bir bakışı ele aldık. Var olan şekilleri düzenlerken ve yenilerini oluştururken, şekillerin resmettiği, ilişkilendirildikleri kavramların berraklığını geliştirmeye çalıştık. Bu, özellikle derinliği, katmanları ve döndürmeleri daha iyi belirtmeyi başarabildiğimiz üç-boyutlu grafiklerde çok açıktır (aşağıdaki şekillere bakın). Ayrıca, renklerin tutarlı ve pedagojik bir kullanımını sağlamayı denedik ve tamamlanmış parçaların düzeltilmesine kendini adamış bir ekip bir araya getirdik. y. fiEK‹L 6.11, sayfa 402 (a) bölgesinin y-ekseni etrafında döndürülmesi ile üretilen cismin hacminin bulunması. 4 x ⫽ 2y y 1. R(y) ⫽ 2y. 0. x. 2 (a) y. 4. x ⫽ 2y ⎛ 2 , y⎛ ⎝y ⎝. y 1 R(y) ⫽ 2y. 0 2. x. (b). y. y. (x, R(x)). y. fiEK‹L 6.13, sayfa 403 Burada üretilen dönel cismin dik-kesiteri diskler değil pullardır.. (x, r(x)). 0 y ⫽ R(x). 0 a. y ⫽ r(x). x b. 0 x. x x. x. x Pullar.

(12) Bölüm. 1. ÖN B‹LG‹LER G‹R‹fi Bu bölüm analize başlamak için bilmeniz gereken temel konuları tekrar eder. Bu konular reel sayı sistemi, düzlemde kartezyen koordinatlar, düz çizgiler, paraboller, çemberler, fonksiyonlar ve trigonometridir.. 1.1. Reel Say›lar ve Reel Do¤ru Bu bölümde reel sayıların, eşitsizliklerin, aralıkların ve mutlak değerlerin tekrarı yapılmaktadır.. Reel Say›lar Analizin büyük bir bölümü reel sayı sisteminin özellikleri üzerine kurulmuştur. Reel sayılar, ondalık sayı olarak ifade edilebilen sayılardır; örneğin -. 3 = -0.75000 Á 4 1 = 0.33333 Á 3 22 = 1.4142 Á. Sayıların sonlarındaki üç nokta Á ondalık basamak dizisinin sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. Her ondalık açılım bir reel sayıyı temsil eder, bazı sayıların iki temsili olsa dahi. Örneğin .999 Á ve 1.000 Á sonsuz ondalık açılımları 1 reel sayısını temsil ederler. Benzer ifade ondalık açılımı .999 Á şeklinde olan her sayı için geçerlidir. Reel sayılar goemetrik olarak reel doğru diye adlandırılan bir sayı doğrusunun üzerindeki noktalar şeklinde gösterilebilirler. –2. –1 – 3 4. 0. 1 3. 1 2. 2. 3p. 4. sembolü ya reel sayı sistemini ya da buna eşdeğer olarak reel sayı doğrusunu ifade eder. Reel sayı sisteminin özellikleri üç kategoride incelenir: cebirsel, sıralanma ve tamlık özellikleri. Cebirsel özellikler reel sayıların, bilinen aritmetik kurallar altında başka reel sayılar üretecek şekilde toplanabileceğini, çıkartılabileceğini, çarpılabileceğini ve (sıfır ile olmamak üzere) bölünebileceğini söyler. Asla 0 ile bölemezsiniz.. 1.

(13) 2. Bölüm 1: Ön Bilgiler. Reel sayıların sıralanma özellikleri Ek 4 te verilmiştir. Aşağıdaki kullanışlı kurallar onlardan elde edilebilir, Q sembolü ‘‘gerektirir’’ anlamındadır.. Eşitsizlik Kuralları a, b ve c reel sayılar ise,. 5.. a 6 b Q a + c 6 b + c a 6 b Q a - c 6 b - c ve c 7 0 Q ac 6 bc a 6 b and ve c 6 0 Q bc 6 ac a 6 b and Özel durum: a 6 b Q -b 6 -a 1 a 7 0 Q a 7 0. 6.. a ve b’nin her ikisi de pozitif veya negatifse a 6 b Q. 1. 2. 3. 4.. 1 1 6 a b. Bir eşitsizliğin bir sayı ile çarpımı kurallarına dikkat edin. Bir pozitif sayı ile çarpmak eşitsizliği korur; bir negatif sayı ile çarpmak eşitsizliği tersine çevirir. Ayrıca, aynı işaretli sayılar için ters almak eşitsizliği tersine çevirir. Örneğin 2 6 5 dir fakat -2 7 -5 ve 1@2 1@5 dir. Reel sayı sisteminin tamlık özelliğini tam olarak tanımlamak daha derin ve daha zordur. Ancak, özellik, limit kavramı için gereklidir (Bölüm 2). Kabaca, hiçbir “boşluk” veya “delik” kalmayacak şekilde, reel sayı doğrusunu “tamamlamaya” yetecek kadar reel sayı bulunduğunu söyler. Reel sayı sisteminin tamlık özelliği olmasaydı analiz teoremlerinin çoğu geçersiz olurdu. Bu konu daha ileri seviyede derslerin konusudur, fakat Ek 4, nelerin içerildiği ve reel sayıların nasıl kurulduğu hakkında ip uçları vermektedir. Reel sayıların üç özel alt kümesini ayırıyoruz. 1. 2. 3.. Doğal sayılar, yani 1, 2, 3, 4, Á Tamsayılar, yani 0, ;1, ;2, ;3, Á Rasyonel sayılar, yani m ve n tamsayı ve n 0 olmak üzere m@n gibi bir kesir şeklinde yazılabilen sayılar; örneğin, 1 , 3. -. 4 -4 4 = = , 9 9 -9. 200 ve , and 13. 57 =. 57 . 1. Rasyonel sayılar esas olarak ondalık açılımları ya (a) sonlanan (sonsuz bir sıfır dizisiyle son bulan), örneğin 3 = 0.75000 Á = 0.75 veyaor 4 (b) tekrarlanan (sürekli olarak tekrarlanan bir sayı dizisiyle biten),örneğin 23 = 2.090909 Á = 2.09 11. Üstteki çizgi tekrarlanan basamakları gösterir.. şeklinde olan sayılardır. Sonlanan bir ondalık açılım, sondaki sıfırlar tekrar ettiğinden, tekrarlanan ondalıkların bir özel halidir..

(14) 1.1. Reel Say›lar ve Reel Do¤ru. 3. Rasyonel sayılar kümesi reel sayıların tüm cebirsel ve sıralanma özelliklerine sahiptir, ancak tamlık özelliği yoktur. Örneğin, karesi iki olan bir rasyonel sayı yoktur; yani rasyonel doğruda 22 ’nin bulunması gereken yerde bir “boşluk” vardır. Rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayılar denir. Ondalık açılımlarının ke3 5, ve log10 3. silmeyen ve tekrarlanmayan olmalarıyla belirlenirler; örneğin p, 22, 2 Her ondalık açılım bir reel sayıyı temsil ettiğinden şu açık olmalıdır, sonsuz tane irrasyonel sayı vardır. Reel doğru üzerindeki herhangi bir noktaya yeterince yakın, hem rasyonel hemde irrasyonel sayılar bulunur. Küme gösterimi, reel sayıların özel bir alt kümesini belirlemede çok kullanışlıdır. Bir küme bir nesneler topluluğudur, ve bu nesneler kümenin elemanları dır. S bir küme ise, “a H S ” gösterimi “a, S’nin bir elemanıdır” anlamındadır ve a x S gösterimi “a, S’nin bir elemanı değildir” anlamındadır. S ve T kümeler ise, S ´ T bunların birleşimi dir veya S ye ya da T ye (veya herikisine) ait bütün elemanlardan oluşur. S ¨ T kesişimi hem S ye ve hem de T’ye ait bütün elemanlardan oluşur. Boş küme ¤ eleman bulundurmayan küme dir. Örneğin, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların kesişimi boş kümedir. Bazı kümeler, elemanları parantezler içinde listelenerek tanımlanabilir. Mesela, 6’dan küçük doğal sayılar (veya pozitif tam sayılar ) kümesi A A = 51, 2, 3, 4, 56.. şeklinde gösterilebilir. Bütün tamsayılar kümesi. 50, ;1, ;2, ;3, Á 6.. şeklinde yazılır. Bir kümeyi tanımlamanın başka bir yolu, kümenin bütün elemanlarını üreten bir kuralı parantezler içine almaktır. Örneğin, A = 5x ƒ x bir is an integer and tamsayıdır ve 0 6 x 6 66 kümesi 6’dan küçük pozitif tam sayılar kümesidir.. Aral›klar İçinde en azından iki sayı varsa ve elemanlarından herhangi ikisinin arasında bulunan bütün reel sayıları içeriyorsa, reel doğrunun bir alt kümesi aralık adını alır. Örneğin, x 6 şeklindeki bütün x’lerin kümesi bir aralıktır, –2 x 5 şeklindeki bütün x’lerin olduğu gibi. İçinde sıfır olmadığından; sıfırdan farklı bütün reel sayıların kümesi bir aralık değildir, kümede (örneğin) –1 ile 1 arasındaki bütün reel sayılar bulunmamaktadır. Geometrik olarak, aralıklar reel doğrunun yanısıra, reel doğru üzerindeki ışınlara ve doğru parçalarına karşılık gelirler. Doğru parçalarına karşılık gelen sayı aralıklarına sonlu aralıklar, ışınlara karşı gelenlere ise sonsuz aralıklar denir. Sonlu aralıklar, iki uç noktalarını da içeriyorlarsa kapalı, tek uç noktalarını içeriyorlarsa yarı-açık, iki uç noktalarını da içermiyorlarsa açık olarak adlandırılırlar. Uç noktalarına sınır noktaları da denir, bunlar aralığın sınırlarını oluştururlar. Aralığın diğer noktaları ise iç noktalar dır, birlikte aralığın içini oluştururlar. Sonsuz aralıklar, sonlu bir uç nokta içeriyorlarsa kapalıdırlar, aksi halde açıktırlar. Bütün reel doğru , hem açık hem kapalı olan sonsuz bir aralıktır.. Eflitsizliklerin Çözümü x’in bir eşitsizliğini sağlayan aralık veya aralıkları bulma işlemine eşitsizliği çözme denir..

(15) 4. Bölüm 1: Ön Bilgiler. TABLO 1.1 Aral›k Çeflitleri. Sonlu:. Sonsuz:. Notasyon. Açıklama. Tip. (a, b). 5x ƒ a 6 x 6 b6. Açık. [a, b]. 5x ƒ a … x … b6. Kapalı. [a, b). 5x ƒ a … x 6 b6. Yarı-açık. (a, b]. 5x ƒ a 6 x … b6. Yarı-açık. sa, q d. 5x ƒ x 7 a6. Açık. [a, q d. 5x ƒ x Ú a6. Kapalı. s - q , bd. 5x ƒ x 6 b6. Açık. s - q , b]. 5x ƒ x … b6. Kapalı. (bütün reel sayılar kümesi). s - q, q d. ÖRNEK 1. 1. 4. x. 0. 1. (a) x. 11 5. 1. a. b. a. b. a. b. a. a. b. b. Aşağıdaki eşitsizlikleri çözün ve çözüm kümelerini reel doğruda gösterin. (b) -. x 6 2x + 1 3. (c). 6 Ú 5 x - 1. 2x - 1 6 x + 3 2x 6 x + 4 x 6 4. İki tarafa da 1 ekleyin. İki taraftan da x çıkarın.. Çözüm kümesi s - q , 4d aralığıdır (Şekil 1.1a).. (b) 0. b. Çözüm. (a) –3 7. a. Hem açık hem kapalı. (a) 2x - 1 6 x + 3. 0. Resim. x. (c). fiEK‹L 1.1 Örnek 1 deki eşitsizliklerin çözüm kümeleri. (b). -. x 6 2x + 1 3. -x 6 6x + 3 0 6 7x + 3 -3 6 7x -. 3 6 x 7. İki tarafı da 3 ile çarpın. İki tarafa da x ekleyin. İki taraftan da 3 çıkarın. 7 ile bölün.

(16) 1.1. Reel Say›lar ve Reel Do¤ru. 5. Çözüm kümesi s -3>7, q d aralığıdır (Şekil 1.1b). (c) 6@(x – 1) 5 eşitsizliği ancak x 1 için geçerli olabilir, çünkü öteki türlü 6@(x – 1) tanımsız veya negatiftir. Dolayısıyla, iki tarafı da (x – 1) ile çarparsak eşitsizlik korunacaktır. 6 Ú 5 x - 1 6 Ú 5x - 5 11 Ú 5x. İki tarafı da (x – 1) ile çarpın. 11 Ú x. 5. 11 veya x —– 5. İki tarafa da 5 ekleyin.. Çözüm kümesi (1, 11@5] yarı-açık aralığıdır (Şekil 1.1c).. Mutlak De¤er Bir x sayısının u x u ile gösterilen mutlak değeri ƒxƒ = e. x, -x,. x Ú 0 x 6 0.. formülü ile tanımlanır.. ÖRNEK 2. Mutlak De¤erleri Bulmak ƒ 3 ƒ = 3,. –5 5 –5. 3 0. 3. 4 1 1 4 3 1. 4. fiEK‹L 1.2 Mutlak değerin özellikleri aşağıda verilmiştir (Alıştırmalarda bu özellikleri ispat etmeniz istenmektedir).. ƒ 0 ƒ = 0,. ƒ -5 ƒ = -s -5d = 5,. ƒ - ƒaƒƒ = ƒaƒ. Geometrik olarak x’in mutlak değeri, reel sayı doğrusu üzerinde x’ten 0’a olan uzaklıktır. Uzaklıklar daima pozitif veya 0 olduklarından, her x reel sayısı için u x u 0 olduğunu görürüz. Ancak ve yalnız x = 0 ise u x u = 0 dır. Ayrıca, u x – y u= reel doğru üzerinde x ve y arasındaki uzaklık dır (Şekil 1.2 ). 2a sembolü daima a’nın negatif olmayan karekökünü belirttiği için, u x u ’in başka bir tanımı da ƒ x ƒ = 2x 2 . 2a 2 = ƒ a ƒ . olduğunu unutmayın. a 0 olduğunu kesin olarak bilmeden sakın 2a 2 = a yazmayın. Mutlak değerin özellikleri aşağıda verilmiştir (Alıştırmalarda bu özellikleri ispat etmeniz istenmektedir). Mutlak Değerin özellikleri 1.. ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ. Bir sayı ve onun ters işaretlisinin mutlak değerleri aynıdır.. 2.. ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ. Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımıdır.. ƒaƒ a ` ` = b ƒbƒ ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ. Bir bölümün mutlak değeri mutlak değerlerin bölümüdür.. 3. 4.. Üçgen eşitsizliği. İki sayının toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından küçük veya ona eşittir..

(17) 6. Bölüm 1: Ön Bilgiler. u –a u –u a u olduğuna dikkat edin. Örneğin, u –3 u = 3’dür oysa –u 3 u = –3’dür. a ve b nin işaretleri farklıysa u a + b u mutlak değeri u a u + u b u den küçüktür. Diğer bütün durumlarda u a + b u ve u a u + u b u eşittir u –3 + 5 u gibi ifadelerde mutlak değer çizgileri parantezler gibidir: mutlak değeri almadan önce içini hesaplarız. a. a –a. x. 0. ÖRNEK 3 a. Üçgen Eflitsizli¤ini Aç›klamak ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8 ƒ3 + 5ƒ = ƒ8ƒ = ƒ3ƒ + ƒ5ƒ ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ -8 ƒ = 8 = ƒ -3 ƒ + ƒ -5 ƒ. x. fiEK‹L 1.3 uxu a ifadesi x’in –a ile a arasında olması demektir.. u x u a eşitsizliği, x’in sıfıra olan uzaklığını pozitif a sayısından daha küçük olduğunu söyler. Dolayısıyla Şekil 1.3 te görüleceği gibi x sayısı, –a ile a arasında bulunmak zorundadır. Aşağıdaki ifadelerin hepsi mutlak değer tanımının sonuçlarıdır ve mutlak değer bulunduran denklemleri veya eşitsizlikleri çözerken oldukça faydalıdırlar.. Aralıklar ve Mutlak Değerler a herhangi bir pozitif sayı ise, 5. 6. 7. 8. 9.. | x | = a ancak ve ancak | x | a ancak ve ancak | x | a ancak ve ancak | x | a ancak ve ancak | x | a ancak ve ancak. x = a ise –a x a ise x a veya x –a ise –a x a ise x a veya x –a ise. 3 sembolü, matematikçiler tarafından “ancak ve ancak” veya “ gerekir ve gerektirir” anlamında sıklıkla kullanılır. Aynı zamanda “ifade eder ve ifade edilir” anlamındadır.. ÖRNEK 4. Mutlak De¤erli bir Denklemi Çözmek. u 2x – 3 u = 7 denklemini çözün. Çözüm. Özellik 5 ten, 2x – 3 = 7 dir, şu halde iki olasılık vardır: 2x – 3 = 7. 2x – 3 = –7. 2x = 10 x=5 u2x – 3u = 7’nin çözümleri x = 5 ve x = –2’dir.. ÖRNEK 5. Mutlak De¤er ‹çeren Bir Eflitsizli¤i Çözmek. 2 ` 5 - x ` 6 1. eşitsizliğini çözün.. 2x = –4 x = –2. Mutlak değersiz eşdeğer denklemler Her zamanki gibi çözün..

(18) 1.1. Reel Say›lar ve Reel Do¤ru. 7. Çözüm. 2 2 ` 5 - x ` 6 1 3 -1 6 5 - x 6 1. Özellik 6. 2 3 -6 6 - x 6 -4. 5 çıkarın. 1 33 7 x 7 2. 1 – — ile çarpın 2. 3. 1 1 6 x 6 . 3 2. terslerini alın.. Eşitsizlikler hakkındaki değişik kuralların burada nasıl kullanıldığına dikkat edin. Bir negatif sayı ile çarpmak eşitsizliği tersine çevirir. Her iki tarafı da pozitif olan bir eşitsizlikte iki tarafın terslerini almak da aynıdır. Asıl eşitsizlik ancak ve ancak (1@3) x (1@2) ise sağlanır. Çözüm kümesi (1@3, 1@2) açık aralığıdır.. ÖRNEK 6 Eşitsizlikleri çözün ve çözüm kümesini reel doğruda gösterin. (a) u2x – 3u 1 x 1. 2. (b) u2x – 3u 1. Çözüm. u2x – 3u 1 –1 2x – 3 1 2 2x 4 1x2. (a). (a) x 1. 2 (b). fiEK‹L 1.4 Çözüm kümesi (a) [1, 2] ve (b) s - q , 1] ´ [2, q d Örnek 6.. Özellik 8 3 ekleyin 2 ile bölün. Çözüm kümesi [1, 2] kapalı aralığıdır (Şekil 1.4a). (b) 2x – 3 1 x -. u2x – 3u 1 veya 2x – 3 –1. 3 1 Ú 2 2. veya or. x2. veya. x -. 3 1 … 2 2 x1. Özellik 9 2 ile bölün 3 . ekleyin 2. Çözüm kümesi s - q , 1] ´ [2, q d (Şekil 1.4b).. ALIfiTIRMALAR 1.1 Ondal›k Gösterimler 1. Tekrarlanan basamakların üzerine bir çizgi koyarak, 1@9’u tekrarlanan bir ondalık olarak yazın. 2@9, 3@9, 8@9 ve 9@9’un ondalık gösterimleri nedir? 2. Tekrarlanan basamakların üzerine bir çizgi koyarak, 1@11’i tekrarlanan bir ondalık olarak yazın. 2@11, 3@11, 9@11 ve 11@11’in ondalık gösterimleri nedir?. Eflitsizlikler 3. 2 x 6 ise, x hakkında aşağıda verilen eşitsizliklerin hangileri doğru, hangileri yanlıştır? a. 0 6 x 6 4 x c. 1 6 6 3 2 6 e. 1 6 x 6 3. b. 0 6 x - 2 6 4 1 1 1 6 x 6 d. 6 2. g. -6 6 -x 6 2. h. -6 6 -x 6 -2. f. ƒ x - 4 ƒ 6 2.

(19) 8. Bölüm 1: Ön Bilgiler. 4. –1 y – 5 1 ise, y hakkında aşağıda söylenenlerden hangileri doğrudur? a. 4 6 y 6 6. b. -6 6 y 6 -4. c. y 7 4. d. y 6 6 y f. 2 6 6 3 2. e. 0 6 y - 4 6 2 1 1 1 6 y 6 g. 6 4. ‹kinci Dereceden Eflitsizlikler 35–42 alıştırmalarındaki eşitsizlikleri çözün. Çözüm kümelerini aralıklar veya aralıkların birleşimi olarak ifade edin ve çizin. Uygun durumlarda 2a 2 = ƒ a ƒ sonucunu kullanın. 35. x 2 6 2 38.. h. ƒ y - 5 ƒ 6 1. 1 1 6 x2 6 9 4. 41. x 2 - x 6 0. 36. 4 … x 2. 37. 4 6 x 2 6 9. 39. sx - 1d2 6 4. 40. sx + 3d2 6 2. 42. x 2 - x - 2 Ú 0. 5–12 alıştırmalarında, eşitsizlikleri çözüp çözüm kümelerini çizin.. Teori ve Örnekler. 5. -2x 7 4. 6. 8 - 3x Ú 5. 7. 5x - 3 … 7 - 3x. 8. 3s2 - xd 7 2s3 + xd. 7 1 9. 2x - Ú 7x + 2 6 4 1 11. sx - 2d 6 sx - 6d 5 3. 6 - x 3x - 4 6 10. 4 2 x + 5 12 + 3x … 12. 2 4. 43. | –a | = a gibi bir tuzağa düşmeyin. Hangi a reel sayıları. için bu eşitlik doğrudur? Hangileri için yanlıştır? 44. | x – 1| = 1 – x denklemini çözün. 45. Üçgen eşitsizliğinin bir ispatı Üçgen eşitliğinin aşağıdaki ispatındaki numaralanmış adımları açıklayacak nedenleri söyleyin. ƒ a + b ƒ 2 = sa + bd2 = a 2 + 2ab + b 2. Mutlak De¤er 13–18 alıştırmalarındaki denklemleri çözün.. (1). … a2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + b2. 13. ƒ y ƒ = 3. 14. ƒ y - 3 ƒ = 7. 15. ƒ 2t + 5 ƒ = 4. 16. ƒ 1 - t ƒ = 1. 9 17. ƒ 8 - 3s ƒ = 2. 18. `. s - 1` = 1 2. (2). = ƒaƒ2 + 2ƒaƒ ƒbƒ + ƒbƒ2 = s ƒ a ƒ + ƒ b ƒ d2 ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ. (3). (4). 19-34 alıştırmalarındaki eşitsizlikleri, çözüm kümelerini aralıklar veya aralıkların birleşimi olarak ifade ederek çözün. Ayrıca, her çözüm kümesini reel doğruda gösterin.. 46. Her a ve b sayısı için ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ olduğunu gösterin. 47. ƒ x ƒ … 3 ve x –1@2 ise, x hakkında ne söyleyebilirsiniz?. 19. ƒ x ƒ 6 2 22. ƒ t + 2 ƒ 6 1. 20. ƒ x ƒ … 2 23. ƒ 3y - 7 ƒ 6 4. 21. ƒ t - 1 ƒ … 3 24. ƒ 2y + 5 ƒ 6 1. 25. `. 26. `. 1 1 27. ` 3 - x ` 6 2. 49. ƒ(x) = 2x + 1 ve d 7 0 herhangi bir pozitif sayı olsun. u x – 1 u d’nın u ƒ(x) – ƒ(1) u 2d yı gerektiğini gösteriniz. Burada ƒ(a) notasyonu 2x + 1 ifadesinin x = a için değeridir. Bu fonksiyon notasyonu Bölüm 1.3’te açıklanmaktadır. 50. ƒ(x) = 2x + 3 ve 0 herhangi bir pozitif sayı olsun. | x – 0 | < — iken | ƒ(x) – ƒ(0) | < olduğunu gösteriniz. Burada 2 ƒ(a) notasyonu 2x + 3 ifadesinin x = a için değeridir. (Bölüm 1.3’e bakın). z - 1` … 1 5. 3 z - 1` … 2 2. 2 28. ` x - 4 ` 6 3. 29. ƒ 2s ƒ Ú 4. 1 30. ƒ s + 3 ƒ Ú 2. 31. ƒ 1 - x ƒ 7 1. 32. ƒ 2 - 3x ƒ 7 5. 33. `. 34. `. 3r 2 - 1` 7 5 5. r + 1 ` Ú 1 2. 48. u x u + u y u 1 eşitsizliğini çizin.. 51. Herhangi bir a sayısı için u –a u = u a u olduğunu ispat edin. 52. a herhangi bir pozitif sayı olsun ancak ve yalnız x a veya x –a için | x | | a | olduğunu ispat edin. 53. a. b sıfırdan farklı herhangi bir reel sayı ise u 1@b u = 1@u b u olduğunu ispat edin. b. herhangi a ≠ 0, b ≠ 0 reel sayılar için a = a b b pat edin.. olduğunu is-. 54. Matematik İndüksiyon yöntemini kullanarak (Bak Ek 1) herhangi bir a sayısı ve herhangi bir pozitif n tamsayısı için | an | = | a |n olduğunu ispat edin..

(20) 1.2. 1.2. Bu bölümde, düzlemde koordinatlar, doğrular, uzaklık, çemberler ve paraboller tekrarlanacaktır. Ayrıca, artım kavramı da tartışılacaktır. P(a, b). b Pozitif y-ekseni. 3 2. –3. –2. –1. 1. Orijin. 0. 1. –1 Negatif y-ekseni. 2. a3. x. Pozitif x-ekseni. –2 –3. fiEK‹L 1.5 Düzlemde Kartezyen koordinatlar, orijinde dik kesişen iki eksene oturtulmuştur. y (1, 3) 3 İkinci dörtte bir bölge (, ) (–2, 1) –2. Birinci dörtte bir bölge (, ). 2. 1 (0, 0) –1. 9. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. y. Negatif x-ekseni. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. (2, 1) (1, 0). 0. 1. 2. x. (–2, –1) –1 Üçüncü dörtte bir bölge (, ) –2. Dördüncü dörtte bir bölge (, ) (1, –2). fiEK‹L 1.6 xy-koordinat veya Kartezyen düzlem de işaretlenmiş noktalar. Eksenler üzerindeki bütün noktaların koordinat çiftleri vardır fakat genellikle tek bir reel sayı ile gösterilirler, ( böylece x-ekseni üzerindeki noktası (1, 0) ile 1 işaretlenmiştir). Dörtte bir bölgelerin koordinat işaret modellerine dikkat edin.. Düzlemde Kartezyen Koordinatlar Önceki bölümde doğru üzerindeki noktaları, koordinatlar dediğimiz reel sayılar ile belirledik. Düzlemdeki noktalar, sıralı reel sayı ikilileri ile belirtilebilir. Başlarken, 0 noktalarında kesişen birbirine dik iki koordinat doğrusu çizeriz. Bu doğrulara düzlemde koordinat eksenleri denir. Yatay x-ekseninde, sayılar x ile gösterilir ve sağa doğru artarlar. Dikey y–ekseninde ise, sayılar y ile gösterilir ve yukarı doğru artarlar (Şekil 1.5). Böylece ‘‘yukarıya’’ ve ‘‘sağa’’ yönleri pozitif yönlerdir, buna karşılık ‘‘aşağıya’’ ve ‘‘sola’’ yönleri negatif yönlerdir. Koordinat sisteminin orijini O, aynı zamanda 0 ile de gösterilir, düzlemde x ve y’nin her ikisinin de sıfır olduğu noktadır. P düzleme herhangi bir nokta ise, tam olarak bir sıralı reel sayı ikilisiyle şu şekilde konumlandırılabilir. P den iki koordinat eksenine dik doğrular çizilir. Bu doğrular eksenleri ve koordinatlı noktalarda keserler (Şekil 1.5). (a, b) sıralı ikilisi P noktası ile eşlenir ve bu ikiliye P’nin koordinat çifti denir. Birinci sayı ‘‘a’’ P’nin x–koordinatı (veya apsisi) dır; ikinci sayı ‘‘b’’ P’nin y – koordinatı (veya ordinatı ) dır. y–ekseni üzerindeki her noktanın x–koordinatı 0 dır. x–ekseni üzerindeki her noktanın y–koordinatı 0 dır. Orijin (0, 0) noktasıdır. Bir (a, b) sıralı ikilisi ile başlayarak, işlemi tersine çevirebiliriz ve düzlemde bu ikiliye karşı gelen bir P noktasına ulaşırız. Çoğu kez P’yi sıralı ikili ile tanımlar ve P(a, b) yazarız. Bazen “(a, b) noktası’’ olarak da adlandırırız ve (a, b)’nin reel doğru üzerinde bir açık aralığı değil de düzlemde bir noktayı gösterdiği sözün gelişinden anlaşılacaktır. Şekil 1.6 da koordinatları ile işaretlenmiş birkaç nokta gösterilmiştir. Bu koordinat sistemine dik koordinat sistemi veya Kartezyen koordinat sistemi denir (16.yy Fransız matematikçi René Descartes’den sonra). Bu koordinat veya Kartezyen düzlemin koordinat eksenleri, düzlemi dörtte bir (quadrant) denen, Şekil 1.6 gösterildiği gibi saat yönünün tersine numaralanan, dört bölgeye ayırır. x ve y değişkenlerine bağlı bir denklemin veya bir eşitsizliğin grafiği, koordinatları denklemi veya eşitsizliği sağlayan düzlemdeki bütün P(x, y) noktalarının kümesidir. Koordinat düzleminde veri çizerken veya değişkenlerinin birimleri farklı olan formüllerin grafiklerini çizerken, iki eksen üzerinde aynı ölçeği kullanmak zorunda değiliz. Örneğin, bir roket motoru için zaman- itme çiziyorsak, zaman ekseninde 1 sn’yi gösteren işareti, orijinden, itme ekseninde 1 lb’yi gösteren işaretle aynı uzaklığa koymak için bir neden yoktur. Genellikle değişkenleri fiziksel büyüklükler temsil etmeyen fonksiyonların grafiklerini çizerken, geometrilerini ve trigonometrilerini incelemek için düzlemde şekiller çizerken, eksenler üzerindeki ölçeği aynı almaya çalışırız. Böylece, bir dikey uzaklık birimi ile yatay uzaklık birimi aynı gözükür. Bir ölçümcü haritasında veya ölçekli çizimde olduğu gibi, aynı uzunlukta olduğu kabul edilen doğru parçaları öyleymiş gibi gözükecektir ve eş olduğu kabul edilen açılar eş gözükecektir. Bilgisayar ekranları ve hesap makinesi ekranları ayrı bir sorundur. Makine ile üretilen grafiklerde dikey ve yatay ölçekler genellikle farklıdır ve buna bağlı olarak uzaklıklarda, eğimlerde ve açılarda bozukluklar vardır. Çemberler elips gibi, dikdörtgenler kare gibi, dik açılar dar açı veya geniş açı gibi, vs. görünebilir. Bu ekran ve bozuklukları Bölüm 1.7 de geniş ayrıntıları ile tartışıyoruz..

(21) 10. Bölüm 1: Ön Bilgiler. y. Art›mlar ve Do¤rular. C(5, 6) 6. Bir parçacık düzlemde bir noktadan diğerine hareket ederken, koordinatlarındaki net değişikliklere artım denir. Başlangıç noktasının koordinatları bitiş noktasınınkilerden çıkartılarak hesaplanırlar. x, x1 den x2 ye değişirse x teki artım. B(2, 5). 5 4. y –5, x 0. 3. Δx = x2 – x1. ÖRNEK 1 A (4, –3) noktasından B(2, 5) noktasına gidilirken x- ve y-koordinatlarındaki. 2. artımlar. y 8. 1. D(5, 1). 0. 1. 2. 3. 4. Δx = 2 – 4 = – 2,. x. 5. Δy = 5 – (–3) = 8. dir. C(5, 6)’dan D(5, 1)’e koordinat artımları. –1. Δx = 5 – 5 = 0,. –2 –3. (2, –3). Δy = 1 – 6 = –5. dir. Bakınız Şekil 1.7. Düzlemde P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) noktaları verilmişse, Δx = x2 – x1 ve Δy = y2 – y1 artırımlarına sırasıyla P1 ve P2 arasındaki ilerleme ve yükselme denir. Böyle iki nokta daima, bu noktalardan geçen tek bir doğru belirler. Doğruya P1P2 doğrusu adı verilir. Düzlemde dikey olmayan herhangi bir doğrunun, doğru üzerinde seçilen her P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) noktası için geçerli olan bir özelliği. A(4, –3) x –2. fiEK‹L 1.7 Koordinat artımları pozitif, negatif veya sıfır olabilir (Örnek 1).. y –y m = yükselme = Δy = 2 1 ilerleme Δx x2 – x 1 oranının aynı olmasıdır (Şekil 1.8). Bunun nedeni, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranlarının aynı olmasıdır.. TARİHSEL BİYOGRAFİ* René Descartes (1596–1650). y P2´. L. TANIM. E¤im y –y m = yükselme = Δy = 2 1 ilerleme Δx x2 – x 1. P2 (x2, y2) Δy (yükselme). Δy´. sabitine dikey olmayan P1P2 doğrusunun eğimi denir.. P1 (x1, y1) Δx. (ilerleme). P1´. Δx´ 0. Q(x2, y1) Q´ x. fiEK‹L 1.8 P1 QP2 ve P1 ¿Q¿P2 ¿ üçgenleri benzerdir dolayısıyla kenarlarının oranı, doğru üzerindeki herhangi iki nokta için aynıdır. Bu ortak değer doğrunun eğimidir.. Eğim bir doğrunun yönünü (yukarı, aşağı) ve dikliğini belirler. Eğimi pozitif olan bir doğru sağa doğru yukarı çıkar, eğimi negatif olan bir doğruysa sağa doğru aşağı iner (Şekil 1.9). Eğimin mutlak değeri ne kadar büyük olursa, yükselme veya alçalma o kadar hızlı olur. Dikey bir doğrunun eğimi tanımsızdır. Dikey bir doğru için Δx ilerlemesi sıfır olduğundan, m eğim oranını hesaplayamayız. Bir doğrunun yönü ve dikliği bir açıyla da ölçülebilir. x ekseninden geçen bir doğrunun eğim açısı, x ekseninden doğruya saat yönünün tersine olan en küçük açıdır (Şekil 1.10). Yatay doğrunun eğim açısı 0° dir. Dikey doğrunun eğim açısı ise 90° dir. f bir doğrunun eğim açısıysa, 0 f 180° dir. Tarihi portreler ve Calculus’un temel öğeleri ve konuları hakkında daha fazla bilgi için www.aw-bc.com/thomas sayfasını ziyaret ediniz..

(22) 1.2 y. L2. m = tan f. P4(3, 6). P1(0, 5). Doğruların denklemleri basittir. x-eksenindeki a noktasından geçen dikey doğru üzerindeki bütün noktaların x koordinatları a’dır. Yani, x = a dikey doğrunun denklemidir. Aynı şekilde, y = b de y-eksenini b noktasında kesen yatay doğrunun denklemidir. (Şekil 1.12 ye bakınız). Eğimini ve üzerindeki bir P1(x1, y1) noktasının koordinatlarını biliyorsak, dikey olmayan bir L doğrusunun denklemini yazabiliriz. P(x, y) L üzerindeki herhangi bir başka noktaysa P1 ve P noktalarını. 4 3. P2(4, 2). 2 1 0 –1. 1. 2. 3. 11. Dikey olmayan bir doğrunun eğimi m ile doğrunun eğim açısı f arasındaki ilişki Şekil 1.11’de gösterilmektedir:. L1 6. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. 4. 5. x. 6. y - y1 m = x - x1. P3(0, –2). fiEK‹L 1.9. L1’in eğimi ¢y 6 - s -2d 8 m = = . = 3 - 0 3 ¢x dir. Yani, x 3 birim arttıkça, y 8 birim artar. L2’in eğimi ise ¢y -3 2 - 5 = . m = = 4 - 0 4 ¢x dir. Yani, x 4 birim arttıkça, y 3 birim azalır.. bu. x. bu değil. y – y1 = m(x – x1). denklemi (x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun nokta-eğim denklemi dir.. Çözüm. (2, 3) noktasından geçen ve eğimi –3@2 olan doğrunun denklemini yazın. Nokta-eğim denkleminde x1 = 2, y1 = 3 ve m = –3@2 yerleştirir ve. bu değil. y = 3 fiEK‹L 1.10 Eğim açıları x-ekseninden saat yönünün tersine ölçülür.. veya y = y1 + m(x – x1). y = y1 + m(x – x1). ÖRNEK 2. bu x. eğimini hesaplamak için kullanabiliriz, dolayısıyla. 3 Ax - 2B, 2. veya or. y = -. 3 x + 6. 2. elde ederiz. x = 0 için y = 6 d›r. Dolay›s›yla do¤ru y-eksenini y = 6 da keser.. ÖRNEK 3. ‹ki noktadan geçen bir do¤runun denklemi. (–2, –1) ve (3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.. y P2. Çözüm. L. Doğrunun eğimi. y P1. m =. f. -5 -1 - 4 = 1. = -5 -2 - 3. x. dir. Bu eğimle birlikte nokta-eğim denkleminde verilen iki noktadan birini kullanabiliriz:. y m tan f x. sx1 , y1 d s2, 1d ile. sx1 , y1 d s3, 4d ile. y = -1 + 1 # sx - s -2dd y = -1 + x + 2 y = x + 1. y = 4 + 1 # sx - 3d y = 4 + x - 3 y = x + 1. x. fiEK‹L 1.11 Dikey olmayan bir doğrunun eğimi, eğim açısının tanjantı dır.. Aynı sonuç. Her iki şekilde de doğrunun denklemi y = x +1’dir (Şekil 13)..

(23) 12. Bölüm 1: Ön Bilgiler. Dikey olmayan bir doğrunun y-eksenini kestiği noktanın y koordinatına doğrunun y-kesim noktası denir. Aynı şekilde, x-kesim noktası da yatay olmayan bir doğrunun x-ekseninden geçtiği noktanın x koordinatıdır (Şekil 1.14). Eğimi m ve y-kesim noktası b olan bir doğru (0, b) noktasından geçer ve denklemi. y Bu doğru boyunca, x=2. 6 5. y = b + m(x – 0) veya, daha basit olarak, y = mx + b. Bu doğru boyunca, y=3. 4 3. dir.. (2, 3). 2 1 1. 0. 2. 3. x. 4. y = mx + b. fiEK‹L 1.12 (2, 3) ten geçen dikey ve yatay doğruların standart denklemleri x = 2 ve y = 3 tür.. denklemine eğimi m ve y-keseni b olan doğrunun eğim-kesim noktası denklemi denir.. Denklemi y = mx şeklinde olan doğruların y-kesim noktaları 0’dır ve dolayısıyla orijinden geçerler. Ax + By = C. denklemine, x ve y’nin genel lineer denklemi denir, çünkü grafiği her zaman bir doğruyu temsil eder ve her doğrunun denklemi (eğimi tanımlı olmayan doğrular da dahil) bu şekildedir.. y 4. (A ve B’nin ikisi birlikte 0 olmamak üzere). (3, 4) yx1. ÖRNEK 4. E¤imi ve y-kesimini bulmak. 8x + 5y = 20 doğrusunun eğimini ve y-kesim noktasını bulun. –2. 0 –1 (–2, –1). 1. 2. 3. x. Çözüm. Eğim-kesim noktası şekline sokmak için denklemi y’ye göre çözelim: 8x + 5y = 20 5y = -8x + 20. fiEK‹L 1.13 Örnek 3 teki doğru.. y = -. 8 x + 4. 5. Eğim m = –8@5 dir. y-kesim noktası b = 4’tür.. Paralel ve Dik Do¤rular y. Paralel doğruların eğim açıları aynıdır. Yani eğimleri aynıdır (dikey birer doğru değillerse). Tersine, eğimleri aynı olan doğruların eğim açıları aynıdır ve dolayısıyla paraleldirler. Dikey olmayan L1 ve L2 doğruları birbirine dikse, m1 ve m2 eğimleri m1m2 = –1 eşitliğini sağlar, yani her eğim diğerinin çarpmaya göre negatif tersidir:. b L. 1 m1 = - m2 , 0. a. 1 m2 = - m1 .. x. fiEK‹L 1.14 L doğrusunun x-kesimi a ve y-kesimi b dir.. Bunu görmek için, Şekil 1.15’teki benzer üçgenleri inceleyerek m1 = a@h ve m2 = –h@a olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla, m1m2 = (a@h) (–h@a) = –1 dir..

(24) 1.2 y. Düzlemde Uzakl›k ve Çemberler. L1. L2. 13. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. Düzlemdeki noktalar arasındaki uzaklık, Pisagor formülünden gelen bir formülle hesaplanır (Şekil 1.16).. C. 0. A. y Uzaklık. m2 eğimi. D. a. x2 – x12 y2 – y12 (x2 – x1)2 (y2 – y1)2dir.. d. f2 y2. x. B. fiEK‹L 1.15 ΔADC üçgeni ΔCDB üçgenine benzerdir. Dolayısıyla f1 aynı zamanda ΔCDB üçgeninin üst açısıdır. ΔCDB üçgeninin kenarlarından tan f1 = a@h olduğu görülür.. P(x1, y1). y1. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩. f1. f1 h. x2 x1 x1. 0. Q(x2, y2). ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩. m1 eğimi. y2 y1. C(x2, y1). x2. x. fiEK‹L 1.16 P(x1, y1) ve Q(x2, y2), arasındaki uzaklığı hesaplamak için, PCQ üçgenine Pisagor Teoremini uygulayın.. Düzlemdeki Noktaların Arasındaki Uzaklık Formülü P(x1, y1) ve Q(x2, y2) arasındaki uzaklık aşağıdaki gibidir: d = 2s¢xd2 + s¢yd2 = 2sx2 - x1 d2 + s y2 - y1 d2 .. ÖRNEK 5. Uzakl›k Hesaplamak. (a) P(–1, 2) ile Q(3, 4) arasındaki uzaklık 2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225 . (b) Orijinden P(x, y) noktasına olan uzaklık. y. 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x 2 + y 2 . P(x, y). Tanım olarak; a yarıçaplı bir çember, bir C(h, k) merkezine uzaklıkları a olan bütün P(x, y) noktalarının kümesidir (Şekil 1.17). Uzaklık formülünden, ancak ve yalnız. a. 2sx - hd2 + s y - kd2 = a, C(h, k). ise, P noktası çember üzerindedir. Dolayısıyla (x h)2 (y k)2 a2 0. fiEK‹L 1.17 xy-düzleminde merkezi (h, k)’da olan a yarıçaplı bir çember.. (x – h)2 + (y – k)2 = a2. x. (1). dir. (1) denklemi (h, k) merkezli ve a yarıçaplı bir çemberin standart denklemidir. Yarıçapı ve merkezi orijinde olan birim çember’ in denklemi x2 + y2 = 1’dir..

(25) 14. Bölüm 1: Ön Bilgiler. ÖRNEK 6 (a) Merkezi (3, 4)’te olan 2 yarıçaplı çemberin standart denklemi (x – 3)2 + (y – 4)2 = 22 = 4. tür. (x – 1)2 + (y + 5)2 = 3. (b). çemberinde, h = 1, k = –5 ve a = √ 3 ’tür. Merkezi (h, k) = (1, –5) noktasıdır ve yarıçapı a = √ 3 ’tür. Bir çemberin denklemi standart şeklinde değilse, çemberin merkezini ve yarıçapını denklemi önce standart şekle sokarak bulabiliriz. Bunu yapmak için gereken cebirsel yönteme kareyi tamamlama denir (Ek 9 a bakın).. ÖRNEK 7. Bir Çemberin Merkezini ve Yar›çap›n› Bulmak. Aşağıdaki çemberin merkezini ve yarıçapını bulun. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 Çözüm. x ve y’nin karelerini tamamlayarak denklemi standart şekline döndürürüz:. 2. y. x + y2 + 4x – 6y – 3 = 0. Verilen denklemle başlayın.. (x2 + 4x) + (y2 – 6y) = 3. Terimleri bir araya getirin. Sabiti sağ tarafa geçirin.. 2. 2. -6 4 ax 2 + 4x + a b b + ay 2 - 6y + a b b = 2 2. Dış: (x h) 2 (y k) 2 a 2 Üzeri: (x h) 2 (y k) 2 a 2. 2. -6 4 3 + a b + a b 2 2 k. a. 2. sx 2 + 4x + 4d + s y 2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9. (h, k). x’in katsayısının yarısının karesini denklemin iki tarafında da ekleyin Aynısını y için yapın. Sol taraftaki parantez içindeki ifadeler artık tam karelerdir. Her kareyi karesi alınmış lineer açılımlar olarak yazın.. sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16 Merkez (–2, 3) ve yarıçap a = 4 tür. 2. 2. İç: (x h) (y k) a. 2. (x – h)2 + (y – k)2 a2 0. h. fiEK‹L 1.18 (x – h)2 + (y – k)2 = a2 çemberinin içi ve dışı. x. eşitsizliğini sağlayan noktalar, merkezi (h, k) ve yarıçapı a olan çemberin içi denilen bölgeyi oluştururlar (Şekil 1.18). Çemberin dışı (x – h)2 + (y – k)2 a2. Paraboller Genel parabollerin geometrik tanımı ve özellikleri bölüm 10.1 de incelenmektedir. Burada parabollere y = ax2 + bx + c şeklindeki eşitliklerin grafikleri olarak bakacağız..

(26) 1.2 y. ÖRNEK 8. 15. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. y = x 2 Parabolü. x2. (–2, 4). y (2, 4). 4. y = x2 eşitliğini göz önüne alın. Koordinatları bu eşitliği sağlayan bazı noktalar 3 9 s0, 0d, s1, 1d, a , b, s -1, 1d, s2, 4d, ve (–2, 4)’tür. Bu noktalar (ve eşitliği sağlayan 2 4 bütün diğerleri) parabol denen düzgün bir eğri oluşturur (Şekil 1.19).. ⎛3 , 9⎛ ⎝2 4⎝ (–1, 1). –2. –1. (1, 1). 1 0. 1. y = ax2. x. 2. şeklindeki bir denklemin grafiği, ekseni (simetri ekseni) y-ekseni olan bir paraboldür. Parabolün tepe noktası (parabol ve eksenin kesiştiği nokta) orijinde bulunur. a 0 ise parabol yukarı, a 0 ise aşağı doğru açılır. u a u değeri ne kadar büyükse, parabol o kadar dar olur (Şekil 1.20 ). Genel olarak y = ax2 + bx + c eşitliğinin grafiği, y = x2 parabolünün grafiğinin kaydırılmış ve uyarlanmış şeklidir. Grafiklerin kaydırılmasını ve uyarlanmasını daha detaylı olarak Bölüm 1.5 te inceleyeceğiz.. fiEK‹L 1.19 y = x2 parabolü (Örnek 8). y = ax2 + bx + c, a ≠ 0’ın Grafiği y = ax2 + bx + c, a 0 denkleminin grafiği bir paraboldür. a 0 ise parabol yukarı, a 0 ise aşağı doğru açılır. Ekseni. y y = 2x 2. b x = – —– 2a. ekseni. 2. y=. x 2. y=. (2). doğrudur. Parabolün tepe noktası eksen ve parabolün kesiştiği noktadır. Tepe noktasının x-koordinatı x = –b@2a’dır; y-koordinatı ise parabol denkleminde x = –b@2a konularak elde edilir.. x2 10. 1 –4 –3 –2. 2. 3. x. 4. Orijinde tepe noktası. Simetri. –1 2. y = –x 6 y = –x 2. fiEK‹L 1.20 y = ax2 parabolünün açıldığı yönü belirlerken a sayısı bir ölçü faktörüdür. a sıfır’a yaklaştıkça parabol genişler, | a | büyüdükçe parabol daralır.. a = 0 ise y = bx + c doğru denklemini elde ettiğimize dikkat edin. (2) denklemi ile verilen eksen, kareye tamamlama veya Bölüm 4.1 de incelenen bir teknikle bulunabilir.. ÖRNEK 9 y = Çözüm. Bir parabolü çizmek. 1 2 x - x + 4. denkleminin grafiğini çizin. 2 Denklem, y = ax2 + bx + c ile karşılaştırılırsa 1 a = - , 2. b = -1,. c = 4.. olduğu görülür. a 0 olduğundan parabol aşağıya doğru açılır. (2) denkleminden, eksen x = dikey doğrusudur.. s -1d b = = -1. 2a 2s -1>2d.

(27) 16. Bölüm 1: Ön Bilgiler ⎛ ⎛ Köşe ⎝–1, 9⎝ ’dir 2. y = -. y-kesim noktası simetrik nokta. Kesim noktası y 4 Eksen: x –1. (–2, 4). x = –1 için. y. –3 –2. (0, 4) 1 y – 2 x2 x 4. 3. -. 1. 1 2 x - x + 4 = 0 2. x 2 + 2x - 8 = 0 sx - 2dsx + 4d = 0 x = 2, x = -4. x. 1. Kesim noktaları x –4 ve x 2’de. fiEK‹L 1.21. dir. Tepe noktası (–1, 9@2) dir. x-kesim noktaları y = 0 olduğu yerdedir:. 2. 0. 9 1 s -1d2 - s -1d + 4 = . 2 2. Bazı noktaları işaretler, ekseni (silik olarak) çizer ve açılma yönünü kullanarak grafiği tamamlarız (Şekil 1.21).. Örnek 9 daki parabol.. ALIfiTIRMALAR 1.2 18. 1@2 eğimiyle (2, –3) noktasından geçer.. Art›mlar ve Uzakl›k İlk dört alıştırmada, bir parçacık koordinat düzleminde A’dan B’ye ilerlemektedir. Parçacığın koordinatlarındaki Δx ve Δy artımlarını ve A’dan B’ye olan uzaklığı bulun. 1. As -3, 2d,. Bs -1, -2d. 3. As -3.2, -2d, Bs -8.1, -2d. 2. As -1, -2d,. Bs -3, 2d. 4. As 22, 4d, Bs0, 1.5d. 19. (3, 4) ve (–2,5) noktalarından geçer. 20. (–8, 0) ve (–1, 3) noktalarından geçer. 21. Eğimi –5@4 ve y-kesim noktası 6’dır. 22. Eğimi 1@2 ve y-kesim noktası –3’tür. 23. 0 eğimle (–12, –9) noktasından geçer. 24. Eğimi yoktur ve (1@3, 4) noktasından geçer.. 5–8 alıştırmalarındaki eşitliklerin grafiklerini tanımlayın.. 25. y-kesim noktası 4 ve x-kesim noktası –1’dir.. 5. x2 + y2 = 1. 6. x2 + y2 = 2. 26. y-kesim noktası –6 ve x-kesim noktası 2’dir.. 7. x2 + y2 3. 8. x2 + y2 = 0. 27. (5, –1) noktasından geçer ve 2x + 5y = 15 doğrusuna paraleldir. 28.. E¤imler, Do¤rular ve Kesim Noktalar› 9–12 alıştırmalarindaki noktaları işaretleyin ve (varsa) eğimlerini bulun. Ayrıca AB doğrusuna dik doğruların ortak eğimlerini bulun. 9. A(–1, 2), B(–2, –1) 11. A(2, 3), B(–1, 3). 10. A(–2, 1), B(2, –2) 12. A(–2, 0), B(–2, –2). 13–16 alıştırmalarında, verilen noktalardan geçen (a) dik doğru ve (b) yatay doğru için bir denklem yazın. 13. s -1, 4>3d. 15. A 0, - 22 B. 14.. A 22, -1.3 B. 16. s -p, 0d. 17–30 alıştırmalarında tanımlanan doğrunun denklemini yazın. 17. –1 eğimiyle (–1, 1) noktasından geçer.. A - 22, 2 B noktasından geçer ve 22x + 5y = 23 doğrusuna paraleldir.. 29. (4, 10) noktasından geçer ve 6x – 3y = 5 doğrusuna diktir. 30. (0, 1) noktasından geçer ve 8x – 13y = 13 doğrusuna diktir. 31–34 alıştırmalarında, doğrunun x- ve y-kesim noktalarını bulun ve bu bilgiyi kullanarak doğruyu çizin. 31. 3x + 4y = 12. 32. x + 2y = -4. 33. 22x - 23y = 26. 34. 1.5x - y = -3. 35. Ax + By = C1 ve Bx – Ay = C2 (A ≠ 0, B ≠ 0) doğruları arasındaki ilişkinin bir özelliği var mıdır? Cevabınızın nedenlerini açıklayın. 36. Ax + By = C1 ve Ax + By = C2 (A ≠ 0, B ≠ 0) doğruları arasındaki ilişkinin bir özelliği var mıdır? Cevabınızın nedenlerini açıklayın..

(28) 1.2. 17. Do¤rular, Çemberler ve Paraboller. Art›mlar ve Hareket. 67. x 2 + y 2 + 6y 6 0,. 37. Bir parçacık A(–2, 3) noktasından harekete başlar ve koordinatları Δx = 5 ve Δy = –6 artımlarıyla değişir. Parçacığın yeni konumunu bulunuz. 38. Bir parçacık A(6, 0) noktasından harekete başlar ve koordinatları Δx = –6 ve Δy = 0 artımlarıyla değişir. Parçacığın yeni konumunu bulunuz. 39. A(x, y)’den B(3, –3)’ye giderken, bir parçacığın koordinatları Δx = 5 ve Δy = 6 olarak değişir. x ve y’yi bulun. 40. Bir parçacık A(1, 0) noktasından başlayarak orijin etrafında saat yönünün tersine bir çember çizer ve A(1, 0)’a geri döner. Koordinatlarındaki net değişiklik nedir?. 68. x 2 + y 2 - 4x + 2y 7 4, x 7 2 69. Merkezi (-2, 1) ve yarıçapı √6 olan çemberin içinde bulunan noktaları tanımlayan bir eşitsizlik yazın. 70. Merkezi (-4, 2) ve yarıçapı 4 olan çemberin dışında bulunan noktaları tanımlayan bir eşitsizlik yazın. 71. Merkezi (0, 0) ve yarıçapı √2 olan çemberin içinde veya üstünde bulunan ve (1, 0)’dan geçen dikey doğrunun üstünde veya sağında kalan noktaları tanımlayan bir eşitsizlik çifti yazın. 72. Merkezi (0, 0) ve yarıçapı 2 olan çemberin dışında ve merkezi (1, 3) olan ve orijinden geçen çemberin içinde kalan noktaları tanımlayan bir eşitsizlik çifti yazın.. Çemberler 41–46 alıştırmalarında verilen C(h, k) merkezli ve a yarıçaplı çemberin denklemini bulun. Çemberi xy-düzleminde çizin ve merkezini grafiğinizde belirtin. Ayrıca, varsa çemberin x ve y kesim noktalarını koordinat ikilileriyle birlikte gösterin. 41. Cs0, 2d, 43. Cs -1, 5d,. a = 2. 42. Cs -3, 0d,. a = 210. 45. C A - 23, -2 B ,. 44. Cs1, 1d,. a = 2. 46. Cs3, 1>2d,. y 7 -3. Kesiflen Do¤rular, Çemberler ve Paraboller 73–80 alıştırmalarında, iki denklemi çizin ve grafiklerin kesiştikleri noktaları bulun. 73. y = 2x,. x2 + y2 = 1. a = 3. 74. x + y = 1,. sx - 1d2 + y 2 = 1. a = 22. 75. y - x = 1,. y = x2. a = 5. 76. x + y = 0,. y = -sx - 1d2. 47-52 alıştırmalarında denklemleri verilmiş olan çemberleri çizin. Merkezlerini ve varsa x ve y kesim noktalarını koordinat ikilileriyle birlikte belirtin.. 77. y = -x 2,. y = 2x 2 - 1. 1 2 x , 4. y = sx - 1d2. 47. x 2 + y 2 + 4x - 4y + 4 = 0. 78. y =. 79. x 2 + y 2 = 1,. sx - 1d2 + y 2 = 1. 2. 2. 80. x 2 + y 2 = 1,. x2 + y = 1. 2. 2. 49. x + y - 3y - 4 = 0. Uygulamalar. 50. x 2 + y 2 - 4x - s9>4d = 0. 81. Yalıtım Şekildeki eğimleri ölçerek, derece@ft olarak (a) alçı duvardaki, (b) fiberglas yalıtımdaki ve (c) tahta kaplamadaki sıcaklık değişimlerini bulunuz.. 48. x + y - 8x + 4y + 16 = 0. 51. x 2 + y 2 - 4x + 4y = 0 52. x 2 + y 2 + 2x = 3. Paraboller. 80°. 53–60 alıştırmalarındaki parabolleri çizin. Her birinde tepe noktasını, ekseni ve kesim noktasını belirtin.. 70°. 53. y = x 2 - 2x - 3. 54. y = x 2 + 4x + 3. 60°. 55. y = -x 2 + 4x. 56. y = -x 2 + 4x - 5. 57. y = -x 2 - 6x - 5. 58. y = 2x 2 - x + 3. 1 59. y = x 2 + x + 4 2. 1 60. y = - x 2 + 2x + 4 4. Kaplama. İki kaplama arasında fiberglas. Isı (°F). 50° Oda. içindeki hava 40° 72°F. Eflitsizlikler. 30°. 61–68 alıştırmalarındaki eşitsizlikler ve eşitsizlik çiftleriyle tanımlanan bölgeleri açıklayın.. 20°. 2. Alçı duvar. Kenar. Dışarıdaki hava 0°F. 2. 61. x + y 7 7 10°. 62. x 2 + y 2 6 5 63. sx - 1d2 + y 2 … 4. 0°. 64. x 2 + sy - 2d2 Ú 4 2. 2. 2. 2. 65. x + y 7 1,. x + y 6 4. 66. x 2 + y 2 … 4,. sx + 2d2 + y 2 … 4. 0. 1. 2 3 4 5 Duvar içindeki uzaklık (inç). Alıştırma 81 ve 82 deki duvarda sıcaklık değişimleri.. 6. 7.

(29) 18. Bölüm 1: Ön Bilgiler. 82. Yalıtım Alıştırma 81’deki şekle göre, malzemelerden hangisi en iyi, hangisi en kötü yalıtkandır? Açıklayın. 83. Su altı basıncı Su altındaki bir dalgıç tarafından hissedilen p basıncı dalgıcın derinliği d’ye, p = kd + 1 (k bir sabit) şeklinde bir denklemle bağlıdır. Yüzeyde basınç 1 atmosferdir. 100 metredeki basınç ise 10.94 atmosfer civarındadır. 50 metredeki basıncı bulun. 84. Yansıyan ışık Bir ışık demeti ikinci bölgeden x + y = 1 doğrusu boyunca gelir ve x ekseninden yansır (Şekle bakınız). Geliş açısı yansıma açısına eşittir. Yansıyan ışığın izlediği doğrunun denklemini yazınız.. 88. Köşeleri A(0, 0), B A 1, 23 B , ve C(2, 0) noktalarında olan üçgenin eşkenar olduğunu gösterin. 89. A(2, –1), B(1,3) ve C(–3, 2) noktalarının bir karenin köşeleri olduğunu gösterin ve dördüncü köşeyi bulun. 90. Aşağıda gösterilen dikdörtgenin kenarları eksenlere paraleldir. Uzunluğu genişliğinin üç katıdır ve çevresi 56 birimdir. A, B ve C noktalarının koordinatlarını bulunuz. y. A. D(9, 2). xy1 1. x. 0. y. Geliş açısı. 0. B Yansıma açısı. 1. C. 91. Üç farklı paralelkenarın köşeleri (–1, 1), (2, 0) ve (2, 3) noktalarındadır. Bunları çizin ve herbirinin dördüncü köşesini bulun. x. Alıştırma 84’deki ışık demetinin yolu. Geliş ve yansıma açıları dikey eksene göre ölçülürler.. 92. Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90°’lik bir dönme, Şekilde gösterildiği gibi (2, 0) noktasını (0, 2) noktasına ve (0, 3) noktasını (–3, 0) noktasına götürür. Aşağıdaki noktalar bu dönme altında hangi noktaya giderler? a. (4, 1). b. s -2, -3d. c. s2, -5d. d. (x, 0). e. (0, y). f. (x, y). g. (10, 3) noktasına gelen nokta hangisidir? 85. Fahrenheit ve Santigrad FC düzleminde, Fahrenheit ve santigrad sıcaklıkları arasındaki ilişkiyi veren C =. y. 5 sF - 32d 9. denklemini çizin. Aynı garfik üzerinde C = F doğrusunu belirtin. Santigrad ölçen termometrenin Fahrenheit ölçen bir termometreyle aynı sayısal değeri gösterdiği bir sıcaklık var mıdır? Varsa, bu sıcaklığı bulun. 86. Washington Cog Tren Yolu İnşaat mühendisleri bir yol yatağının eğimini yükseldiği veya alçaldığı mesafenin yatayda aldığı mesafeye oranı olarak ölçerler. Genellikle yüzde olarak yazılan bu orana da yol yatağının mertebesi derler. Bir kıyı boyunca, ticari tren yollarının mertebesi genellikle %2’den azdır. Dağlarda ise %4’e kadar çıkabilir. Otoyolların mertebesi genellikle %5’ten azdır. New Hampshire’daki Washington Cog Tren Yolu’ nun en dik kısmının mertebesi bir istisna olarak %37.1’dir. Yolun bu kısmında, vagonun önündeki koltuklar arkasındakilerden 14 ft daha yüksektir. Ön ve arka koltukların arasındaki uzaklık nedir?. Teori ve Örnekler 87. Kenarlarının uzunluklarını hesaplayarak, köşeleri A(1, 2), B(5, 5) ve C(4, –2) noktalarında bulunan üçgenin ikizkenar olduğunu fakat eşkenar olmadığını gösteriniz.. (0, 3) (0, 2). (4, 1) x. (–3, 0). (2, 0). (–2, –3). (2, –5). 93. Hangi k değeri için 2x + ky = 3 doğrusu 4x + y = 1 doğrusuna diktir? Hangi k değeri için bu doğrular paraleldir? 94. (1, 2) noktasından ve x + 2y = 3 ve 2x – 3y = –1 doğrularının kesişim noktasından geçen doğruyu bulun. 95. Bir doğru parçasının orta noktası Koordinatları a. x1 + x2 y1 + y2 , b 2 2. olan noktanın P(x1, y1) noktasını Q(x2, y2) noktasına bağlayan doğru parçasının orta noktası olduğunu gösterin..

(30) 1.3 96. Bir noktadan bir doğruya olan uzaklık Bir P(x0, y0) noktasından bir L: Ax +By = C doğrusuna olan uzaklığı aşağıdaki adımları izleyerek bulabiliriz (Bölüm 12.5’te daha hızlı bir yöntem verilmektedir):. Fonksiyonlar ve Grafikleri. 19. Bu adımları kullanarak, aşağıdaki her durum için P’den L’ye olan uzaklığı bulun. a. Ps2, 1d,. L: y = x + 2. b. Ps4, 6d,. L : 4x + 3y = 12. 1. P’den geçen ve L’ye dik olan M doğrusunun denklemini bulun. c. Psa, bd,. L : x = -1. 2. M ve L doğrularının kesiştikleri Q noktasının koordinatlarını bulun.. d. Psx0 , y0 d,. L : Ax + By = C. 3. P ve Q arasındaki uzaklığı bulun.. 1.3. Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksiyonlar, analizde ele alınan temel öğelerdir çünkü onlar gerçek dünyayı matematiksel terimlerle tanımlamanın anahtarıdır. Bu bölümde fonksiyon kavramı, fonksiyonların grafikleri ve gösterimleri tekrarlanmaktadır.. Fonksiyonlar; Tan›m ve De¤er Kümeleri Suyun kaynadığı sıcaklık deniz seviyesinden yüksekliğe bağlıdır (yükseldikçe kaynama noktası düşer). Bir yatırıma ödenen faiz, yatırımın ne kadar süreyle tutulduğuna bağlıdır. Bir çemberin alanı çemberin yarıçapına bağlıdır. Doğru bir yolda, bir başlangıç noktasından hareket eden bir cismin kat ettiği yol, cismin hızına bağlıdır. Her durumda, y olarak adlandırabileceğimiz bir değişken büyüklüğün değeri, x olarak adlandırabileceğimiz başka bir değişken büyüklüğün değerine bağlıdır. y’nin değeri x’in değeriyle kesin olarak belirlenebildiğinden dolayı, y’ye x’in bir fonksiyonu deriz. y değeri genellikle, x değişkeninden nasıl hesaplanacağını söyleyen bir kural veya bir formülle verilir. Örneğin, A = pr2 denklemi, r yarıçapından, bir çemberin A alanını hesaplayan bir kuraldır. Analizde, herhangi bir formülü olmayan, belirlenmemiş bir fonksiyona başvurmak isteyebiliriz. ‘‘y, x’in bir fonksiyonudur’’ demenin sembolik yolu y = ƒ(x). (“y, ƒ’te x’e eşittir”). yazmaktır. Bu gösterimde, ƒ sembolü fonksiyonu temsil etmektedir. Bağımsız değişken adı verilen harfi ƒ’nin girdi değerini ve bağımlı değişken x ise ƒ’nin x’teki değerine karşılık gelen, çıktı değerini göstermektedir.. TANIM Fonksiyon Bir D kümesinden bir Y kümesine bir fonksiyon, D’deki her x elemanına Y’de tek bir ƒ(x) elemanı karşılık getiren bir kuraldır.. x. Girdi (Tanım). f. Çıktı (Değer). fiEK‹L1.22 Bir fonksiyonun “makine” diyagramı. f(x). Bütün olası girdi değerlerinin kümesi D’ye fonksiyonunun tanım kümesi denir. x, D üzerinde değişirken bütün ƒ(x) değerlerinin kümesine fonksiyonun değer kümesi denir. Değer kümesi Y’deki her elemanı içermeyebilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri nesnelerden oluşan herhangi kümeler olabilirler. Ancak, analizde bunlar çoğu kez reel sayı kümeleridir (13–16 Bölümlerde birçok değişken dahil edilecektir). Bir ƒ fonksiyonu, tanım kümesinden bir x değeri verdiğimizde değer kümesinde bir ƒ(x) çıktısı oluşturan bir makine gibi düşünün (Şekil 1.22). Bir hesap makinesinin işlem.