41. Tablo 1.7, inşaat işçilerinin yıllık ortalama tazminatlarını
göster-mektedir. y = x 3 - 1 x2 - 1 y = x:x; y = sin1x y = 1 x - 3 ƒsxd = sin3x . ƒsxd = sin2x + cos3x . ƒsxd = 3cotx 2 + 1 . ƒsxd = -tan2x . y2 - 16x2 = 1 .
TABLO 1.7 ‹nflaat iflçilerinin ortalama y›ll›k tazminat-lar› Yıllık Tazminat Yıl (dolar) 1980 22,033 1985 27,581 1988 30,466 1990 32,836 1992 34,815 1995 37,996 1999 42,236 2002 45,413
Kaynak: A.B.D Ekonomik Analiz Bürosu
T
a. Data için bir lineer yaklaşım denklemi bulunuz.
b. Yaklaşım doğrusunun eğimini bulunuz. Eğim neyi temsil
c. Lineer yaklaşım denkleminin grafiğini datanın nokta çizimi
üzerine yerleştirin.
d. Yaklaşım denklemini, inşaat işçilerinin 2010 daki yıllık
orta-lama tazminatlarını tahminde kullanın.
42. Mevcut tek-aile evlerinin medyan fiyatı 1970 den beri sürekli
olarak artmıştır. Oysa, Tablo 1.8 deki data ülkenin çeşitli böl-gelerinde farklılıklar olduğunu göstermektedir.
a. Kuzeydoğudaki ev fiyatları için bir lineer yaklaşım denklemi
bulunuz.
b. Yaklaşım doğrusunun eğimi neyi temsil eder?
c. Orta-batıdaki ev fiyatları için bir lineer yaklaşım denklemi
bu-lunuz.
d. Medyan fiyat nerede daha hızlı artar, Kuzeydoğuda mı veya
Orta-batıda mı?
44. Stern dalgaları Bir gemiyi rotasına dik açılarla takip eden stern dalgalarının gözlemi şunu ortaya çıkarmıştır: bu dalgaların tepeleri arasındaki mesafe (bunların dalga boyları) geminin hızıyla artmaktadır. Tablo 1.10 dalga boyu ile geminin hızı arasındaki bağıntıyı göstermektedir.
TABLO 1.8 Tek-aile evlerinin medyan fiyat›
Kuzeydoğu Orta-Batı
Yıl (Dolar) (Dolar)
1970 25,200 20,100 1975 39,300 30,100 1980 60,800 51,900 1985 88,900 58,900 1990 141,200 74,000 1995 197,100 88,300 2000 264,700 97,000
Kaynak: Ulusal Emlakçılar Birliği®
TABLO 1.9 Vas›ta durma mesafesi
Hız (mil/sa) Ortalama toplam durma mesafesi (ft)
20 42 25 56 30 73.5 35 91.5 40 116 45 142.5 50 173 55 209.5 60 248 65 292.5 70 343 75 401 80 464
Kaynak: A.B.D Kamu Yolları Bürosu
TABLO 1.10 Dalga boyu
Dalga boyu (m) Hız (km/h) 0.20 1.8 0.65 3.6 1.13 5.4 2.55 7.2 4.00 9.0 5.75 10.8 7.80 12.6 10.20 14.4 12.90 16.2 16.00 18.0 18.40 19.8 T T
43. Vasıta durma mesafesi Tablo 1.9 bir otomobilin toplam durma mesafesini hızının bir fonksiyonu olarak göstermektedir.
a. Tablo 1.9 daki data için kuadratik yaklaşım denklemi bulunuz. b. Kuadratik yaklaşım denkleminin grafiğini datanın nokta
çizi-mi üzerine yerleştirin.
c. 72 ve 85 mil@sa hızları için ortalama toplam durma mesafelerini tahmin etmede kuadratik yaklaşım denklemin grafiğini kullanın. Cebirsel olarak doğrulayın.
d. Şimdi, 72 ve 85 mil@sa hızları için ortalama toplam durma mesafelerini tahmin etmede lineer yaklaşım kullanın. Yaklaşım doğrusunu datanın nokta çizimi üzerine yerleştirin. Hangisi daha iyi uyumu verir, buradaki doğrumu yoksa (b) deki grafik mi?
a. Tablo 1.10 daki data için x dalga boyu ve y geminin hızı
ol-mak üzere bir y = axbkuvvet yaklaşım denklemi bulunuz.
b. Kuvvet yaklaşım denkleminin grafiğini datanın nokta çizimi
üzerine yerleştirin.
c. Kuvvet yaklaşım denkleminin grafiğini, dalga boyu 11m iken
geminin hızını tahmin etmek için kullanın. Cebirsel olarak doğrulayın.
d. Şimdi, dalga boyu 11m iken hızı tahmin etmek için lineer
yaklaşım kullanın. Yaklaşım doğrusunu datanın nokta çizimi üzerine yerleştirin. Hangisi daha iyi uyumu verir, buradaki doğrumu yoksa (b) deki grafik mi?
Bölüm 1 Tekrar Sorular›
1. Reel sayılar nasıl gösterilirler? Reel sayılar sisteminin
özellikleri-ni karakterize eden temel kategoriler nelerdir? Reel sayıların baş-lıca alt kümeleri nelerdir?
2. Rasyonel sayılar, ondalık açılımlarla nasıl tanımlanırlar?
İrrasyo-nel sayılar İrrasyo-nelerdir? Örnek veriniz.
3. Reel sayıların sıralanma özellikleri nelerdir? Bunlar denklem
çözmede nasıl kullanılırlar?
4. Bir sayının mutlak değeri nedir? Örnekler veriniz. | –a |, | ab |,
| a@b | ve | a + b |’nin | a | ve | b | ile ilişkileri nedir?
5. Mutlak değerler aralıkları veya aralıkların birleşimlerini
tanımla-makta nasıl kullanılırlar? Örnek verin.
6. Kartezyen koordinat sistemini kullanarak düzlemdeki noktaları
nasıl tanımlarız? x ve y değişkenlerine bağlı bir denklemin grafiği nedir?
7. Bir doğru üzerindeki iki noktanın koordinatlarını biliyorsanız, bu
doğrunun denklemini nasıl yazarsınız? Ya doğrunun eğimini ve doğru üzerindeki noktalardan birini? Ya da doğrunun eğimini ve
y-kesim noktasını? Örnek verin.
8. Koordinat eksenlerine dik doğruların standart denklemleri nedir? 9. Aralarında dik doğruların eğimleri arasında nasıl bir ilişki vardır?
Ya doğrular paralelse? Örnek verin.
10. Dikey olmayan bir doğrunun eğimi ile eğim açısı arasındaki ilişki
nedir?
11. Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı nasıl
bulur-sunuz?
12. Merkezi (h, k) ve yarıçapı a olan bir çemberin standart denklemi
nedir? Birim çember ve denklemi nedir?
13. x2+ y2+ 4x – 6y + 12 = 0 çemberinin grafiğini çizmek için at-acağınız adımları açıklayın.
14. Koordinat sisteminde merkezi (h, k) ve yarıçapı a olan çemberin
içindeki noktaları hangi eşitsizlik tanımlar? Ya çemberin içindeki ve üzerindeki noktaları? Çemberin dışındaki noktaları? Ya da çemberin dışındaki ve üzerindeki noktaları?
15. a, b ve c sabitler ve a ≠ 0 ise, y = ax2+ bx + c fonksiyonunun grafiği hakkında ne söyleyebilirsiniz? Özel olarak, y = 2x2+ 4x eğrisini nasıl çizersiniz?
16. Fonksiyon nedir? Tanım kümesi nedir? Ya değerler kümesi? Bir
fonksiyon için ok diyagramı nedir? Örnek verin.
17. Reel değişkenli bir reel-değerli fonksiyonunun grafiği nedir?
Dikey doğru testi nedir?
18. Parçalı tanımlı fonksiyon nedir? Örnek verin.
19. Analizde sık karşılaşılan önemli fonksiyon tipleri nelerdir? Her
tipte bir örnek verin.
20. Grafiği bakımından, artan fonksiyon ne anlama gelir? Ya azalan
fonksiyon? Her birine örnek verin.
21. Çift fonksiyon nedir? Ya tek fonksiyon? Böyle fonksiyonların ne
gibi simetri özellikleri vardır? Bunlardan nasıl yararlanabiliriz? Ne tek ne çift olan bir fonksiyona örnek verin.
22. y, x ile orantılıdır demek ne demektir? Ya x3/2ile? Orantılı ol-manın geometrik açıklaması nedir? Bu açıklama ileri sürülen bir orantılılığı test etmek için nasıl kullanılabilir?
23. ƒ ve g reel değerli iki fonksiyonsa, ƒ + g, ƒ – g, ƒg ve ƒ@g’nin
tanım aralıkları ƒ ve g’ninkilere nasıl bağlıdır?
24. Bir fonksiyonun bir diğeriyle bileşkesini almak ne zaman
müm-kündür? Bileşkelere ve değişik noktalardaki değerlerine örnekler verin. Fonksiyonların bileşkesinin hangi sırada alındığının bir önemi var mıdır?
25. Grafiğini k 0 kadar yukarı veya aşağı, yahut sağa veya sola kaydırmak için y = ƒ(x) fonksiyonunu nasıl değiştirirsiniz? Örnek verin.
26. Grafiğini c 1 kat sıkıştırmak veya uzatmak için y = ƒ(x) fonksiyonunu nasıl değiştirirsiniz? Ya grafiği bir koordinat eks-eninin diğer tarafına yansıtmak için? Örnek verin.
27. Merkezi (h, k) olan bir elipsin standart denklemi nedir? Asal
ek-seni nedir? Yedek ekek-seni nedir? Örnekler verin.
28. Radyan ölçü nedir? Radyandan dereceye nasıl geçersiniz? Ya
dereceden radyana?
29. Altı temel trigonometrik fonksiyonu çizin. Bu grafiklerin
simetri-leri nelerdir?
30. Periyodik bir fonksiyon nedir? Örnek verin. Altı temel
16. (–3, 6) ve (1, –2)den geçen 17. (0, 2) den geçen yatay doğru 18. (3, 3) ve (–2, 5) ten geçen 19. eğimi –3 ve y-kesimi 3 olan
20. (3, 1) den geçen ve 2x – y = –2 doğrusuna paralel olan
21. (4, –12) den geçen ve 4x + 3y = 12 doğrusuna paralel olan 22. (–2, –3) ten geçen ve 3x – 5y = 1 doğrusuna dik olan 23. (–1, 2) den geçen ve (1@2)x + (1@3)y = 1 doğrusuna dik olan
24. x-kesimi 3 ve y-kesimi -5 olan
Fonksiyonlar ve Grafikleri
25. Bir çemberin alanını ve çevresini çemberin yarıçapının
fonksiyo-nu olarak ifade edin. Sonra alanı çevrenin bir fonksiyofonksiyo-nu olarak yazın.
26. Bir çemberin alanını ve çevresini çemberin yarıçapının
fonksiyo-nu olarak ifade edin. Sonra alanı çevrenin bir fonksiyofonksiyo-nu olarak yazın.
27. Birinci dörtte bir bölgedeki bir P noktası y = x2parabolünün üze-rindedir. P’nin koordinatlarını P’yi orijine bağlayan doğrunun eğim açısının bir fonksiyonu olarak yazın.
28. Yerden yükselen bir sıcak hava balonu kalkış noktasından 500 ft
uzağa yerleştirilmiş bir tarayıcıyla izleniyor. Balonun yüksekliği-ni tarayıcıyla balon arasındaki doğrunun yerle yaptığı açının fonksiyonu olarak ifade edin.
29–32 alıştırmalarında, verilen fonksiyonun grafiğinin y-eksenine göre, orijine göre simetrik olup olmadığını veya her iki simetrininde bulunmadığını belirleyin.
29. y = x1@5 30. y = x2@5
31. y = x2– 2x – 1 32. y = e–x2
33–40 alıştırmalarında, verilen fonksiyonun çift, tek olup olmadığını veya her ikisinin de olmadığını belirleyin.
33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. y = x + cosx 40. y = 2x4 - 1 y = 1 - sinx y = x 4 + 1 x3 - 2x y = secxtanx y = 1 - cosx y = x5 - x3- x y = x2 + 1
31. sin2 u + cos2 u = 1 ve cos(A + B) ile sin(A + B)’nin formülleri kullanılarak, başka trigonometrik bağıntıların nasıl üretilebilece-ğini gösterin.
32. ƒ(x) = A sin ((2p@B)(x – C)) + D genel sinüs fonksiyonunun
for-mülü, grafiğini kaydırma, uzatma, sıkıştırma ve yansıtma ile nasıl
bağlıdır? Örnekler verin. Genel sinüs eğrisini çizin ve A, B, C ve
D sabitlerini tanımlayın.
33. Hesap makinesi veya bilgisayar grafik programı ile grafik
çizer-ken ortaya çıkan üç sorun söyleyin. Örnekler verin.
Bölüm 1 Problemler
Eflitsizlikler
1–4 alıştırmalarında eşitsizlikleri çözün ve çözüm kümelerini reel doğru üzerinde gösterin.
1. 2.
3. 4.
Mutlak De¤er
5–8 Alıştırmalarındaki denklemleri veya eşitsizlikleri çözün.
5. 6.
7. 8.
Koordinatlar
9. Bir parçacık düzlemde A(–2, 5) noktasından y-eksenine Δy 3Δx’e eşit olacak şekilde ilerliyor. Parçacığın yeni koordinatları nedir?
10. a. A(8, 1), B(2, 10), C(–4,6), D(2, –3) ve E(14@3, 6) noktalarını çizin.
b. AB, BC, CD, DA, CE ve BD doğrularının eğimini bulun. c. A, B, C, D ve E noktalarından herhangi dördü bir paralelkenar
oluşturur mu?
d. Beş noktanın herhangi üçü aynı doğru üstünde midir? Nereden
biliyorsunuz?
e. Bu beş nokta tarafından belirlenen doğruların hangileri
orijin-den geçer?
11. A(6, 4), B(4, –3) ve C(–2, 3) noktaları bir eşkenar üçgen
oluştu-rur mu? Peki ya bir dik üçgen? Açıklayın.
12. y = 3x + 1 doğrusu üzerinde bulunan ve (0, 0) ile (–3, 4)’ dan eşit
uzaklıkta olan noktanın koordinatlarını bulun.
Do¤rular
13–24 alıştırmalarında, belirtilen doğru için bir denklem yazın.
13. (1, –7)’dan geçen ve eğimi 3 olan 14. (–1, 2) den geçen ve eğimi –1@2 olan
15. (0, –3) ten geçen dikey doğru
`2x + 73 ` … 5 ` 1 - x2 ` 7 3 2 ƒy - 3 ƒ 6 4 ƒx + 1 ƒ = 7 x - 3 2 Ú -4 + x 3 1 5sx - 1d 6 1 4sx - 2d -3x 6 10 7 + 2x Ú 3
41–50 Alıştırmalarında, (a) tanım ve (b) değer kümelerini bulun. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.