BÖLÜM 13
Langrance İnterpolasyonu ile Türev
Lagrange interpolasyonu
0 n n i i iP x
L x f x
şeklindedir. Türev
0'
'
n n i i iP
x
f x L
x
3 5 17 37 '' 4 0 2 4 2 4 P Newton İnterpolasyonu Yardımıyla Türev
Eşit aralıklı ayrık noktaların verilmesi durumunda Newton ileri fark interpolasyon formülü
0 x x s h alarak
0 2 0 0 0 0 0 01
1 ...
1
...
2!
!
Newton ileri fark interpolasyonu
n n n n k k
P x
P x
sh
s s
f
s s
s n
f
f
s f
n
s
f x
k
Şeklindedir. Bu eşitlikte
x
değişkenine bağlı türev alınarak, sayısal türev belirlenebilir. Her iki tarafınx
’ göre türevi alınırsa
2 0 0 02
1
1
1
( )
...
2
ns
s
dP ds
dP
d
f x
f
f
f
n
ds dx
h ds
h
ds
n
’e bağlı olarak f x( )0 için farklı formüller elde ederiz. İlk öncen
1
alalım 1 0 0 0 1 ( ) 2 f f f x f h ; ( ) 2 h E f
Olur. E interpolasyon polinomunun hatasını gösterir. Eğer
n
2
olarak alırsak
2 0 0 0 1 2 1 1 1 ( ) 3 4 2 2 f x f f f f f h h ; 2 ( ) 3 h E f
Olarak elde ederiz.
Nümerik Türevde Hata: I R ve
f
C
n2
I
olmak üzere xxi için P x( )i ’in hatasıÖrnek: x 0.3(0.1)0.6 için f x( )cosxfonksiyonunu alarak Newton ileri fark interpolasyon polinomunu kullanarak f (0.3)değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. xx0için
Çözüm: verilen fonksiyon için Newton ileri fark tablosu
i xi f x( ) f 2 f 3 f 0 0.3 0.95534 -0.03428 1 0.4 0.92106 -0.0092 -0.04348 0.00043 2 0.5 0.087758 0.00877 -0.05225 3 0.6 0.82534
2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) (0) 18 11 9 2 2 3 6 f x P s P f f f f f f f h h 1 1 1 ( 0.03428) ( 0.00920) (0.00043) 0.29529 0.1 2 3 0 0 x x s h ve
3 0 0 ( ) ( ) (0) ( ) , 0.3, 0.6 4 ıv h E x f x P f
elde edilir.
3 4 4 (0.1) (0.3) cos( ) 0.00025 cos( ) , 0.3, 0.6 4 d E
(0.3) 0.00025 cos( ) 0.00025 max cos( ) 0.00025cos(0.3) 0.00024 , 0.3, 0.6
E
Gerçek değer ( ) ( ) sin f x cosx f x x (0.3) 0.29552 f Kaynaklar
1. Fikri Öztürk web sitesi
http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html
2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER
Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz
Doç. Dr. Ömer AKIN
A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları
Nurhan KARABOĞA(2012)