Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar – II

DERS 7

Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar – II

Bu derste bileşke fonksiyonlarının türevi ile ilgili zincir kuralını, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevlerini, ortalama ve marjinal ortalama değerleri; dersin sonuna doğru, limit hesabında büyük kolaylık sağlayan L’Hospital Kuralını göreceğiz.

7.1. Bileşke Fonksiyonlarının Türevleri – Zincir Kuralı. f , g ve B fonksiyonları için

B(x) = f(g(x))

ise, B fonksiyonuna f ve g nin bileşke fonksiyonu denir.

f ve g nin bileşkesi olan B nin tanım kümesi, g nin tanım kümesinde olan ve g(x) değeri de f nin tanım kümesinde olan tüm x sayılarıdır:

{x ∈ R : g(x) ve f(g(x)) tanımlı}. Örnek 1. f (x) = x10 _{, g(x) = (2x + 1 ) için B(x) = (2x + 1 )}10

. B fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir.

Örnek 2. f (x) = ln x , g(x) = 3x + 2 için B(x) = ln (3x+2) dir. B fonksiyonunun tanım kümesi 3x+2 > 0 olan tüm x sayılarının kümesi, yani (-2/3 , ∝ ) dur.

Örnek 3. f(u)=eu ,g(x)=3x2+1,h(v)= v için , )) ( ( ( ) 3 2₊1 = = g x x e e x g f

(

( )

)

1 3

( )

1 3 1, 3 )) ( ( ₌ 2 _{+ =} u 2 _{+ =} 2u ₊ e e u f u f g

( )

1 3 1 3 1 )) ( ( 3 )) ( ( ₌₌ 2_{+ =} 2 _{+ = +} v v v h v h g . 1 3 ) ( )) ( ( _{= =} 2₊ x x g x g h

Şimdi bileşke fonksiyonunun türevi ile ilgili kuralı veriyoruz. y = f (u) ve u = g(x) ise, y = B(x) = f(g(x))

bileşke fonksiyonunun türevi ( f ´(g(x)) ve g´(x) var olmak koşuluyla) y ´ = B´(x) = f ´(g(x)) · g´(x)

dir.

Bileşke fonksiyonunun türevi ile ilgili bu kurala Zincir Kuralı denir. Zincir kuralının diğer gösterimlerle yazılışları

(

)

(

)

dx du du dy dx dy dx x g d x g f x g f dx d ⋅ = ⋅ = '( ( )) ( ) , ) ( (

biçiminde olur. Yukarıdaki ikinci formülde, y bağımlı değişkeni u nun, u da x in fonksiyonu olarak düşünülmekte, y nin x e göre türevinin y nin u ya göre türevi ile u nun x e göre türevinin çarpımı olduğu ifade edilmektedir.

Örnek 4. B(x) = (2x + 1 )10. B´ (x) = ? Burada, u = g(x) = (2x + 1 ) ve f(u)=u10 alınırsa, B(x) = f(g(x)) = (2x + 1 )10 olur. Böylece,

B´ (x) = f ´(g(x)) · g´(x) = 10·(2x+1)9·2 = 20·(2x+1)9. Örnek 5.

(

3 2 _{− x}4 ₊5

)

₌? x dx d Burada, ₌3 2₋4 ₊5 x x u ve y= u alınırsa,

(

)

(

)

(

)

5 4 3 2 4 6 4 6 2 1 5 4 3 2 2 + − − = − = ⋅ = = + − x x x x u dx du du dy dx dy x x dx d elde edilir. Örnek 6.

(

(

3 2_{− x}4 ₊5

)

12

)

₌? x dx d

Bu türevin hesabı için ₌ 12 , ₌3 2₋4 ₊5 x x u u y alalım. O zaman

(

)

(

3 2 ₋4 ₊512

)

_{= = ⋅ =}12 11_⋅(6 ₋4) x u dx du du dy dx dy x x dx d ₌12

(

3 2₋4 ₊5

)

11_⋅(6 ₋4)₌12 11_⋅(6 ₋4) x u x x x elde edilir.

Örnek 7.

(

3 ₃ 2−₄ +₅

)

= x x dx d ? Burada önce,

(

)

3 1 2 3 ₃ 2_{−4 +5= 3 −4 +5} x x x

x olduğuna dikkat edelim ve 3 ,

1 u y = 5 4 3 2 _{− +} = x x u alalım. O zaman

(

)

(

)

dx du du dy dx dy x x dx d x x dx d _{= = ⋅} ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{− +} = + − 3 1 2 3 ₃ 2 _{4 5 3 4 5} 2 3 2 3 2 3 2 ) 5 4 3 ( 3 4 6 3 4 6 ) 4 6 ( 3 1 + − − = − = − = − x x x u x x u . Örnek 8.

(

2 2 ₊2

)

₌? x x dx d

Burada türevi hesaplanmak istenen ifadeyi bir çarpım olarak düşünüp önce çarpım için türev formülünü kullanıyoruz:

(

2 2 ₊2

)

₌ 2

(

2 ₊2)

)

₊2 2 ₊2 x x x dx d x x x dx d . Şimdi de son ifadedeki

(

2x+2)

)

dx d

türevini zincir kuralı ile hesaplayarak sonuca gideriz.

(

)

(

)

(

)

. 2 2 4 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + + + = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _⋅ + = + + + = + x x x x x x x x x x x x x x x dx d x x x dx d Örnek 9.

(

3 2

)

2 ? 3 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − x x dx d

Bunu da bölümün türevi olarak düşünüp daha sonra ilgili yerde zincir kuralını kullanıyoruz.

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

3 2

)

. 6 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 4 3 2 2 4 2 3 2 2 2 3 − − = − ⋅ ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = − − ⋅ − − ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − x x x x x x x x x x x x x x dx d x x x x x dx d Örnek 10.

(

2

)

(

4

(

2

)

)

12

(

2

)

2 24

(

2

)

. 4 ₂ 3 ₂ 4 ₂ 4 3 2 − − − − − = ⋅ − − = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − dx x x x x x d x dx d

7.2. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri. Doğal Logaritma fonksiyonunun türevi ile başlayalım.

f(x)=ln x , h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = → .

Önce limitini hesaplayacağımız değişim oranını sadeleştirelim.

. 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln ln ) ( ln ) ( ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + = − + x h x x h x x x h x h x x x h x h h x h x h x h x h x f h x f h x O halde, ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → h x h _x h x x f'( ) lim 1ln 1 0 dir. Şimdi, t h

x = alalım. O zaman, h→0 için t →∞ olur. Dolayısıyla,

. 1 ln 1 1 1 lim ln 1 1 1 ln 1 lim ) ( ' x e x t x t x x f t t t t ⎟= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞ → ∞ →

Böylece, doğal logaritma fonksiyonunun türevi ile ilgili olarak

( )

x x dx d 1 ln = elde edilir.

Doğal üstel fonksiyonun türevi, doğal logaritma fonksiyonunun türevi ve zincir kuralı kullanılarak bulunabilir.

x x

e =

ln olduğunu anımsayalım. Burada x e u= ve y=lnu alınırsa,

( )

( )

x

( )

x x x x e u e dx d e dx d u e dx d u dx du du dy dx dy x e u y = = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = = = 1 1 1 1 1 1 ln ln

ve böylece

( )

x x e e dx d = elde edilir.

Doğal logaritma fonksiyonu ve ve üstel fonksiyon için elde edilen formüller zincir kuralı ile birleştirilirse, )u= g(x olmak üzere

( )

dx du u u dx d ⋅ = 1 ln ,

( )

dx du e e dx d u = u⋅ olduğu görülür. Örnek 1.

(

ln

(

2 −4 +3

)

)

= x x dx d ? 3 4 2_{− +} = x x

u alınarak yukarıdaki formül uygulanırsa,

(

)

(

)

( )

3 4 4 2 ) 4 2 ( 3 4 1 1 ln 3 4 ln 2 _{2 2} + − − = − ⋅ + − = ⋅ = = + − x x x x dx du u u dx d x x dx d elde edilir. Örnek 2.

(

2 4 3

)

? = + − x x e dx d 3 4 2_{− +} = x x

u alınarak yukarıdaki formül uygulanırsa,

(

2 4 3

)

( )

2 4 3 2 4 3 ) 4 2 ( ) 4 2 ( − + + − + − x ₌ u ₌ u _{⋅ =} x x _{⋅ − = −} x x x e x x e dx du e e dx d e dx d elde edilir.

Örnek 3. Aşağıdaki hesaplamaları dikkatle izleyiniz.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

. 3 4 ) 3 4 ln( ) 4 2 ( 3 3 4 4 2 ) 3 4 ln( 3 ) 3 4 ln( ) 3 4 ln( 3 ) 3 4 ln( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 + − + − − = + − − ⋅ + − = + − ⋅ + − = + − x x x x x x x x x x x x dx d x x x x dx d

( )

2 2 (2 ) 2 ( 2)( 2 2 ) 2 2(1 2). x xe x e x e x e x dx d x = x + x ⋅ = x +

(

)

. 1 2 )) 1 )(ln( 2 ( ) 2 1 1 )( ( )) 1 )(ln( 2 ( ) 1 ln( ₂ 3 2 2 2 2 2 2 + + + = ⋅ + + + = + x x x x x x x x x x x dx d

Şimdi herhangi bir tabanda üstel ve logaritmik fonksiyonların türevlerini görelim.

( )

( )

(

ln

)

ln ln . ln ln ln ln ln ln ln ln ln b b b e b x dx d e e dx d b dx d e b e y b x y b y b y x b x b x b x x b x x b x x x = ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Böylece,

( )

b b b dx d x = x_{ln .}

Yukarıda elde edilen x x b e

b = ln eşitliğinde b tabanında bir üstel ifade e tabanında bir üstel ifadeye dönüşmüştür. Üstel ifadelerdeki bu taban değiştirme formülünden yararlanarak logaritmik fonksiyonlarda da taban değiştirme formülü elde edebiliriz:

. ln ln log ln ln ln ln ) ln( ln log ln ln b x x b x y b y x e x e b x x y b b y b y y b = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = Son ifadeden x b x b dx d b x dx d x dx d b 1 ln 1 ln ln 1 ln ln ) (log ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ve böylece

(

)

b x x dx d b ln 1 log ⋅ = elde edilir.

Elde edilen formüller zincir kuralı ile birleştirilirse, u= g(x) olmak üzere

( )

(

)

dx du b u u dx d dx du b b b dx d b u u ln 1 log , ln = =

formülleri elde edilir.

Örnek 4.

(

log

(

2 4 3

)

)

? 3 x − x+ = dx d 3 4 2 _{− +} = x u alınarak

(

)

(

)

. 3 ln ) 3 4 ( 4 2 ) 4 2 ( 3 ln ) 3 4 ( 1 3 ln 1 log ) 3 4 ( log 2 2 3 2 3 + − − = − + − = = = + − x x x x x x dx du u u dx d x x dx d

Örnek 5.

( )

3 3 5 ? = + x x dx d x x u = 3 +5 alınarak,

( )

3 3 5

( )

3 3 ln3 3 3 5 ln3

(

3 2 5

)

+ ⋅ ⋅ = = = + + x dx du dx d dx d x x u u x x . Örnek 6.

(

(

)

)

(

)

(

) (

)

(

)

. 5 ln log 3 5 ln 1 log 3 log log 3 log 2 5 2 5 5 2 5 3 5 x x x x x dx d x x dx d _{= ⋅ = =} Örnek 7.

(

2 2x

)

2 2xln2 x x dx d + = + .

Örnek 8. Bir istatistikçi yaşadığı kentte yapılan nüfus sayımı verilerini kullanarak t yılında kablolu televizyon abonesi olan vatandaşların sayısı S(t) ile gösterilmek üzere

) 2 ln 21 ( 10 ) ( ₌ 4 ₊ t t S

modelini oluşturuyor. Burada, 2000 yılında t =0 kabul ediliyor. Bu modele göre, o kentte

2010 yılında kaç adet kablolu televizyon abonesi bulunacağını tahmin ediniz. Ayrıca 2010 yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranını bulunuz.

Çözüm. 2010 yılında t =10 olacaktır. Dolayısıyla, 2010 yılında kablolu televizyon abonesi

sayısı 000 500 10 50 ) 2 10 ln 21 ( 10 ) 10 ( ₌ 4 _{+ ≈ ⋅} 4 ₌ S

olarak tahmin edilir. t yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranı ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = t t S'( ) 104 21

dir. Dolayısıyla, 2010 yılında kablolu televizyon abonelerinin sayısının zamana göre değişim oranı 000 21 ) 10 21 ( 10 ) 10 ( ' ₌ 4 ₌ S olur.

Örnek 9. İyi kalite Kayseri pastırması satan bir süpermarket, kilogramı p YTL den x kilogram pastırma satması durumunda fiyat talep denkleminin

x p =35(0.999)

olacağını tespit ediyor. Talep 800 kg olduğu anda fiyatın talebe göre değişim oranını bulunuz.

Çözüm. Fiyatın talebe göre değişim oranı

) 999 . 0 ln( ) 999 . 0 ( 35 x dx dp = dur. Dolayısıyla, talep 800 kg olunca,

016 . 0 ... 0157 . 0 ) 999 . 0 ln( ) 999 . 0 ( 35 ) 800 ( ' ₌ 800 _{=− ≈−} p

olur. Talep 800 kg olunca, fiyat kilogram başına 0.016 YTL düşüyor.

7.3. Ortalama Değerler ve Marjinal Ortalama Değerler. Bir işletmede x adet ürün üretmek için toplam gider Gi(x) ise, bu durumda bir ürün üretmek için ortalama gider

x x Gi x Gi( )= ( ) olarak tanımlanır.

Bu noktada, ortalama gider ile marjinal gideri bir arada düşünmekte yarar vardır. x ürün

üretmek için toplam gider Gi(x) ise, marjinal gider Gi' x( ), bir sonraki ürünün yaklaşık maliyetini, Gi(x) ise üretilen x üründe ürün başına ortalama gideri verir. Dolayısıyla,

) ( ' x

Gi ileriye doğru bakarak bir sonraki ürün için yapılacak gideri tahmin etme olanağı verirken Gi(x) geriye doğru bakılarak o ana kadar yapılan üretimde ürün başına ortalama gideri verir.

Eğer Gi'(x)<Gi(x) ise, bir sonraki ürünü üretmek ortalama gideri düşürür. Eğer )

( ) (

' x Gi x

Bu bağlamda en önemli sorulardan biri, ortalama giderin hangi üretim seviyelerinde minimum olduğudur. Türev üzerinde ileride yapacağımız tartışmalar sonucu daha iyi anlaşılacaktır ki, ortalama giderin minimum olduğu üretim seviyeleri Gi'(x)=0 olan x değerlei arasında

bulunur ve kolayca görülebileceği üzere bunlar Gi'(x)=Gi(x) olan, yani marjinal gider ile ortalama giderin çakıştığı üretim seviyeleridir:

). ( ) ( ' 0 ) ( ' , ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ₂ Gi x Gi x Gi x x x Gi x xGi x Gi x x Gi x Gi = ⇒ = − = ⇒ =

Ortalama giderin minimal olduğu üretim seviyesinin belirlenmesinde önem kazanan

(

( )

)

) ( ' Gi x dx d x Gi =

türevi ile tanımlanan fonksiyona marjinal ortalama gider fonksiyonu denir. Marjinal ortalama gider Gi' x( ) bir sonraki ürünün üretilmesinin ortalama gideri yaklaşık olarak ne kadar değiştireceğini gösterir.

Ortalama gelir, ortalama kâr, marjinal ortalama gelir ve marjinal ortalama kâr da benzer biçimde tanımlanır.

Ortalama gelir :

x x Ge x

Ge( )= ( ) , Marjinal ortalama gelir : '( )

(

Ge(x)

)

dx d x Ge = Ortalama kâr : x x K x K( )= ( ) , Marjinal ortalama kâr : '( )

( )

K(x) dx d x K =

Örnek 1. Petrol endüstrisinde kullanılan sondaj parçaları üreten bir firmanın günde x parça üretmesi durumunda günlük toplam gideri

YTL olarak veriliyor.

a) Gi(x) ve Gi' x( ) i bulunuız. b) Gi(10) ve Gi'(10) u bulunuız.

c) 11 inci parçayı üretmek ortalama gideri düşürür mü, yoksa yükseltir mi? Önceki şıkta bulduğunuz değerleri kullanarak günde 11 parça üretilmesi durumunda parça başına ortalama gideri yaklaşık olarak belirleyiniz.

ç) Ortalama gider hangi üretim seviyesinde minimum olur?

Çözüm. a) ( )=1000+25+

( )

01 , '( )= −1000₂ +0.1YTL x x Gi x . x x Gi .

( )

_0.1 2 25 1000 ) (x x x Gi = + +

b)

( )( )

0.1 9.9YTL 100 1000 ) 10 ( ' , 126 10 1 0 25 10 1000 ) 10 ( = + + . = Gi = − + =− Gi .

c) Gi'(10)=−9.9 negatif olduğundan 11 inci parçanın üretilmesi, ortalama gideri düşürür. Bu sonuca, Gi'(10)=25+(0.2)10=27<Gi(10) =126 olduğu gözlemlenerek de ulaşılabilir. 11 parça üretilmesi durumunda parça başına ortalama giderin yaklaşık değeri YTL 1 . 116 9 . 9 126 ) 10 ( ' ) 10 ( ) 11 ( ≈Gi +Gi = − = Gi .

olarak elde edilir.

ç) Ortalama giderin minimum olduğu x değerleri Gi'(x)=Gi(x) denklemini sağlamalıdır.

( )

0.1 1000

( )

0.1 100 25 1000 ) 2 . 0 ( 25 ) ( ) ( ' = ⇒ + = + + ⇒ = x ⇒ x = x x x x x Gi x Gi .

100 parça üretilince ortalama gider

( )( )

01 100 45 25 100 1000 ) 100 ( = + + . = Gi

YTL olur ki bu ortalama giderin minimum değeridir.

7.4. L’Hospital Kuralı. Limit hesaplarken, belirsiz haller dediğimiz

durumları ile karşılaşıldığı çok olur. Belirsiz hallerden ilk ikisi ile

) ( ) ( x g x

f _{gibi bir kesrin,}

üçüncüsü ile f(x)⋅g(x) gibi bir çarpımın ve son halle de f(x)−g(x) gibi bir farkın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. ∞ − ∞ ∞ ⋅ ∞ ∞ , 0 , , 0 0

Eğer lim ( )=0 →c f x x ve limx→cg(x)=0 ise, ( ) ) ( x g x f _kesri c x→ için 0 0 belirsiz halindedir denir. Benzer şekilde, eğer =∞

→ ( ) lim f x c x ve limx→cg(x)=∞ ise, ( ) ) ( x g x f _kesri c x→ için ∞ ∞

belirsiz halindedir denir.

Yukarıdaki tanımda, x→c yerine x→ c− , x→ c+ , x→∞ veya x→−∞ alınarak

bir kesrin bu durumlarda da belirsiz halde olmasının tanımlanabileceği açıktır.

İlk iki belirsiz durum için L’hospital Kuralı’nı bir teorem olarak ifade edelim:

Teorem(L’Hospital Kuralı). f ve g türevli fonksiyonları verilmiş olsun. Eğer

) ( ) ( x g x f kes-ri x→c için 0 0 veya ∞ ∞

belirsiz halinde ise ve

) ( ' ) ( ' lim x g x f c x→ mevcut ise, ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f c x c x→ = → dir.

Sözel ifade ile, eğer x→c için bir kesrin hem payının hem de paydasının limiti sıfır ise,

payın türevi pay ve paydanın türevi payda olarak yazılınca elde edilen kesrin limitine bakılır. Bu limit mevcut ise, başlangıçtaki kesrin limitine eşittir. Benzer şekilde, eğer x→c için bir

kesrin hem payının hem de paydasının limiti sonsuz ise, payın türevi pay ve paydanın türevi payda olarak yazılınca elde edilen kesrin limitine bakılır. Bu limit mevcut ise, başlangıçtaki kesrin limitine eşittir.

Ayrıca, L’Hospital Kuralı’nın ifadesinde x→c yerine x→ c− , x→ c+ , x→∞ veya −∞

→

x dan herhangi biri alınsa da kural geçerlidir.

Örnek 1. ? 6 8 2 lim 2₂ 2 + − = − + → _{x x} x x x Burada, pay ( ) 2 8 2 _{+ −} =x x x f , payda g(x)= x2+x−6 dır ve 2 →

x için hem payın hem de paydanın limiti sıfırdır. Dolayısıyla

) ( ) ( x g x f kesri x→2 için 0 0

belirsiz halindedir. Limiti bulmak için L’Hospital Kuralı uygunabilir. Payın türevi

2 2 ) (

' x = x+

f , paydanın türevi g'(x)= x2 +1 dir ve

5 6 1 2 2 2 lim 2 + = + → _x x x dir. O halde, . 5 6 1 2 2 2 lim 6 8 2 lim 2 2 2 2 + = + = − + − + → → _x x x x x x x x

Örnek 2. ? 1 ln lim 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → x x x

Burada, pay f(x)=lnx, payda

x x g( )=1 tir. ) ( ) ( x g x f _{kesri → 0}+ x için ∞ ∞

belirsiz halinde olduğundan, , L’Hospital Kuralı uygulanabilir. Payın türevi

x x f'( )=1, paydanın türevi '( ) ₂1 x x g =− dir ve lim( ) 0 ) / 1 ( ) / 1 ( lim 0 2 0+ − = → + − = → _x x x x x dır. O halde, . 0 ) ( lim ) / 1 ( / 1 lim 1 ln lim 0 2 0 0 = − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + _{→ →} → _x x x x x x x x Örnek 3. lim 1 ? 0 = − → _x ex

x Burada, verilen kesir x→0 için 0

0

belirsiz halinde olduğundan, L’Hospital Kuralı uygulanabilir:

. 1 1 lim 1 lim 2 2 = = − → → x x x x e x e Örnek 4. lim ln =? ∞ → _x x

x Burada da verilen kesir x→∞ için ∞

∞

belirsiz halindedir ve L’Hospital Kuralı uygulanabilir:

. 0 2 1 lim 2 / 1 / 1 lim ln lim = = = ∞ → ∞ → ∞ → _{x x} x x x x x x

L’Hospital Kuralı uygulanırken bir bölümün limiti söz konusudur, ancak bu kural uygulanırken limiti bulunmak istenen bölümün payının ve paydasının ayrı ayrı türevleri alınınca elde edilen kesrin limitine bakılır; limiti bulunmak istenen bölümün türevi hesaplanmaz.

Daha önce başka bir yöntemle hesapladığımız bir limiti L’Hospital Kuralı yardımıyla hesaplayalım: Örnek 5. 4. 1 2 lim 2 4 lim 2 2 2 − = = − → → x x x x x Burada x→2 için 2 4 2 − − x x nin 0 0 belirsiz halinde olduğuna dikkat ediniz.

∞ ⋅

0 belirsiz hali ile f(x)⋅g(x) gibi bir çarpımın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Eğer

0 ) (

lim =

→c f x

x ve limx→cg(x)=∞ ise, bu takdirde,

) ( 1 ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f ⋅ = (veya ) ( 1 ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f ⋅ = )

yazılarak 0⋅∞ belirsiz hali ,

∞ ∞

belirsiz haline (veya

0 0

belirsiz haline) dönüştürülerek yine L’Hospital Kuralı uygulanır.

Örnek 6. lim ln ? 0+ = → x x x Burada x lnx in + → 0

x için 0⋅∞ belirsiz halinde olduğu

açıktır. Yukarıdaki dönüşüm uygulanarak, 0⋅∞ belirsiz halinden

∞ ∞

belirsiz haline geçilerek L’Hospital Kuralı uygulanır:

( )

0 lim ) / 1 ( ) / 1 ( lim ) / 1 ( ln lim ln lim 0 2 0 0 0+ = → + = → + − = → + − = → _x x x x x x x x x x x . ∞ −

∞ belirsiz hali ile f(x)−g(x) gibi bir farkın limiti hesaplanırken karşılaşılabilir. Bu

durumda da verilen ifade

0 0

veya

∞ ∞

belirsiz hallerinden birine dönüştürülerek sonuca gidilir. Örnek 7. 2. 2 4 lim 1 2 lim ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( lim 1 1 lim ₂ 2 2 2 2 2 = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − →∞ →∞ →∞ ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x Verilen 1 1 2 2 + − − x x x x

ifadesinin eşiti olan

1 2 2 2 − x x kesri x→∞ için ∞ ∞

belirsiz halindedir ve bu kesir için L’Hospital Kuralı uygulanmıştır.

Bazen bir limit hesaplanırken L’Hospital Kuralı’nın art arda uygulanması gerekebilir.

Örnek 8. 2 1 2 lim 2 1 lim 1 lim 0 0 2 0 = = − = − − → → → x x x x x x e x e x x e

. Bu örnekte, verilen kesir

0 0

belirsiz halinde olup L’Hospital Kuralının uygulanmasından sonra elde edilen kesir de

0 0

belirsiz halindedir. Dolayısıyla, L’Hospital Kuralı bir kez daha uygulanarak sonuç bulunmuştur.

Örnek 9.

(

)

(

)

2 12. 6 30 lim 1 2 6 6 lim 1 2 3 lim 4 1 5 1 2 2 6 1 = − = − − = − + − → → → x x x x x x x x x x

Bir kesrin limitinin hesabında L’Hospital Kuralı uygulanırken kesrin belirsiz halde olduğundan emin olunmalıdır. Bazı sınavlarda, öğrenciyi şaşırtmak veya dikkatini ölçmek için belirsiz halde olmayan kesirlerin limiti sorulur. Belirsiz halde olmayan bir kesir için L’Hospital Kuralı’nın uygulanması çoğu zaman yanlış sonuçlara götürür.

Örnek 10. _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + → ₁ 1 lim 2 1 _x x

x limiti hesaplanırken payın limiti lim( 1) 2

2 1 + = → x x ve paydanın limiti lim( 1) 2 1 + = → x

x olduğundan, bölümün limiti için bilinen özellikten 1 2 2 1 1 lim 2 1 ⎟⎟_⎠= = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + → _x x x

elde edilir. Eğer bu limit hesaplanırken, kesrin x→1 için belirsiz halde olup olmadığına

bakmadan L’Hospital kuralı uygulansaydı

2 1 2 1 2 lim 1 1 lim 1 2 1 ⎟⎠= = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + → → x x x x x

yanlış sonucu elde edilirdi.

Örnerk 11. lim ₂ ? 0 = + − → _x e ex x

x Belirsiz hal olup olmadığına dikkât edilmeden art arda L’Hospital Kuralı uygulanırsa

1 2 lim 2 lim lim 0 0 2 0 = + = − = + − → − → − → x x x x x x x x x e e x e e x e e

elde edilir. Oysa burada belirsiz hal bulunmayıp

+ = − = − = ⋅∞=∞ → − → − → − → ) 2 1 ( lim ) ( lim )] 1 )( [( lim lim ₂ 0 0 2 0 2 0 _x e e _x e e _x e e x x x x x x x x x x olduğu görülür.

Problemler 7

1. Zincir Kuralı kullanarak f´(x) i hesaplayınız.

a) f(x)= x(2 +5)3 b) f(x)= x(3 2+5)5

c) f(x)= x(2 +5)−3 ç) f(x)=33x+4

2. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız

a) (( 2 ₋1)12(2 ₊3)21) x x dx d b) ) 7 2 ) 2 ( ( 4 3 + + x x dx d 3. f´(x) i hesaplayınız. a) f(x) = 4ex + 5 ln x b) f(x) = 4xe +x ln 5 c) f(x) = ln x5 ç) f(x) = (ln x)5 d) f(x) = (x+2)3 ln x e) f(x) = x2 ex – 2x ex + 2 f) f(x) = ln (3x2 – 1) g) x x f( )=ln1

4. Aşağıdaki türevleri bulunuz.

a) (ln( 2 _{− x}3 ₊4)) x dx d b) ( 3x2 2x) e dx d ₋ c) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 x e dx d x ç) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −4 3) ln( 2 x x x dx d

5. Aşağıdaki türevleri bulunuz.

a) (log ( 2 3 4)) 5 x − x+ dx d b) (53_x2 2_x) dx d − _c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 10 2 2 x dx d x ç) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −4 3) ( log 2 5 x x x dx d 6. x e x x x

f( )=( 2 + +1) olduğuna göre f fonksiyonunun grafiğine (0,1) noktasında teğet olan

doğrunun denklemini yazınız.

7. Bir şirket t ayda S(t)=20 t+10 adet otomobil satıyor.

a) '( ) t

S yi hesaplayınız.

b) S(15) ve '(15)

8. Bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane ürün satılabileceğini varsayarak üretim

yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu p=1000−5x , 0<x<200 ve x tane ürünün üretimi için toplam gider Gi(x)=30000+50x YTL olarak veriliyor.

a) Ge(x), Ge' x( ),K(x) ve K' x( ) i bulunuz.

b) K(50) ve K'(50) yi bulunuız. 51 inci ürünün üretilmesi ortalama kârı yükseltir mi, yoksa düşürür mü?

c) K(100) ve K'(100) yi bulunuız. 101 inci ürünün üretilmesi ortalama kârı yükseltir

mi, yoksa düşürür mü?

ç) 101 ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama kârı yaklaşık olarak belirleyiniz.

9. x adet üretilmesi için yapılması gereken toplam gider _{( ) 2500 5 0.01} 2

x x

x

Gi = + + YTL olarak

veriliyor.

a) 250 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına ortalama gideri belirleyiniz.

b) 250 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına marjinal ortalama gideri belirleyiniz. c) 251 inci ürün üretilirse, ortalama gider yükselir mi yoksa düşer mi?

ç) Bulduğunuz değerler yardımıyla 251 adet ürün üretilmesi durumunda ürün başına

ortala-ma gideri tahmin ediniz.

d) Kaç adet ürün üretilmesi durumunda ortalama gider minimum olur?

10. x tane çim biçme makinesi satılınca elde edilen kâr K(x) = 30x – 0.03x2

–750 YTL olarak veriliyor.

a) Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz.

b) 50 makine satılması durumunda marjinal kâr ne olur?

c) 50 makine satılması durumunda makine başına ortalama kâr nedir? Ortalama kâr ile

marjinal kârı karşılaştırınız. Bu karşılaştırmadan ne sonuç çıkardınız?

ç) 50 makinelik bir satış seviyesi için marjinal ortalama kârı belirleyiniz ve bunu

yorumlayı-nız. 51 inci makine satılınca ortalama kâr yükselir mi, yoksa düşer mi?

d) 51 makine satılması durumunda ortalama kârın ne olacağını tahmin ediniz. 11. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız(L’Hospital Kuralı).

a) 4 16 2 lim ₂ 3 2 − − → _x x x b) 1 1 lim 1 − − + → x x x c) 8 32 lim ₃ 5 2 + + − → _x x x ç) ₁ 1 lim 15 1 − − → x x x d) 2 ln 1 2 lim 0 _x x x − → e) 2 2 0 1 2 lim x x e x x − − → f) ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − + → ex x x 1 1 1 lim 0 g)_xlim x lnx 2 0+ →

12. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

a) 4 16 2 lim ₂3 2 + − → _x x x b) 8 32 lim ₃ 5 2 + + → _x x x c) ₁ ln lim 1 − → _x x x ç) ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − → _ex _x x 1 1 1 lim 1