• Sonuç bulunamadı

YAPAY ZEKA MODELİYLE GENİŞLETİLMİŞ HİBRİT BLACK-LİTTERMAN MODEL ÖNERİSİ, BORSA İSTANBUL BIST-30 ENDEKS VERİLERİ İLE TEST EDİLMESİ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "YAPAY ZEKA MODELİYLE GENİŞLETİLMİŞ HİBRİT BLACK-LİTTERMAN MODEL ÖNERİSİ, BORSA İSTANBUL BIST-30 ENDEKS VERİLERİ İLE TEST EDİLMESİ"

Copied!
190
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Hacettepe Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı

Muhasebe Finansman Bilim Dalı

YAPAY ZEKA MODELİYLE GENİŞLETİLMİŞ HİBRİT BLACK- LİTTERMAN MODEL ÖNERİSİ, BORSA İSTANBUL BIST-30

ENDEKS VERİLERİ İLE TEST EDİLMESİ

Mahmut KARA

Doktora Tezi

Ankara, 2017

(2)
(3)

ENDEKS VERİLERİ İLE TEST EDİLMESİ

Mahmut KARA

Hacettepe Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı

Muhasebe Finansman Bilim Dalı

Doktora Tezi

Ankara, 2017

(4)

Litterman Model Önerisi, Borsa İstanbul BIST-30 Endeks Verileri İle Test Edilmesi”

başlıklı bu çalışma, 11 Aralık 2017 tarihinde yapılan savunma sınavı sonucunda başarılı bulunarak jürimiz tarafından Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Mehmet Baha KARAN (Başkan)

Prof. Dr. Aydın ULUCAN (Danışman)

Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Doç. Dr. Kazım Barış ATICI

Yukarıdaki imzaların adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Musa Yaşar SAĞLAM Enstitü Müdürü

(5)

Hazırladığım tezin tamamen kendi çalışmam olduğunu ve her alıntıya kaynak gösterdiğimi taahhüt eder, tezimin kağıt ve elektronik kopyalarının Hacettepe Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü arşivlerinde aşağıda belirttiğim koşullarda saklanmasına izin verdiğimi onaylarım:

Tezimin/Raporumun tamamı her yerden erişime açılabilir.

Tezim/Raporum sadece Hacettepe Üniversitesi yerleşkelerinden erişime açılabilir.

Tezimin/Raporumun 2 yıl süreyle erişime açılmasını istemiyorum. Bu sürenin sonunda uzatma için başvuruda bulunmadığım takdirde, tezimin tamamı her yerden erişime açılabilir.

11/12/2017

Mahmut KARA

(6)

Enstitü tarafından onaylanan lisansüstü tezimin/raporumun tamamını veya herhangi bir kısmını, basılı (kâğıt) ve elektronik formatta arşivleme ve aşağıda verilen koşullarla kullanıma açma iznini Hacettepe Üniversitesine verdiğimi bildiririm. Bu izinle Üniversiteye verilen kullanım hakları dışındaki tüm fikri mülkiyet haklarım bende kalacak, tezimin tamamının ya da bir bölümünün gelecekteki çalışmalarda (makale, kitap, lisans ve patent vb.) kullanım hakları bana ait olacaktır.

Tezin kendi orijinal çalışmam olduğunu, başkalarının haklarını ihlal etmediğimi ve tezimin tek yetkili sahibi olduğumu beyan ve taahhüt ederim. Tezimde yer alan telif hakkı bulunan ve sahiplerinden yazılı izin alınarak kullanılması zorunlu metinlerin yazılı izin alınarak kullandığımı ve istenildiğinde suretlerini Üniversiteye teslim etmeyi taahhüt ederim.

oTezimin/Raporumun 31/12/2019 tarihine kadar erişime açılmasını ve fotokopi alınmasını (İç Kapak, Özet, İçindekiler ve Kaynakça hariç) istemiyorum.

(Bu sürenin sonunda uzatma için başvuruda bulunmadığım takdirde, tezimin/raporumun tamamı her yerden erişime açılabilir, kaynak gösterilmek şartıyla bir kısmı veya tamamının fotokopisi alınabilir)

11/12/2017

Mahmut KARA

(7)

Bu çalışmadaki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, kullandığım verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, yararlandığım kaynaklara bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, tezimin kaynak gösterilen durumlar dışında özgün olduğunu, Prof. Dr. Aydın ULUCAN danışmanlığında tarafımdan üretildiğini ve Hacettepe Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Tez Yazım Yönergesine göre yazıldığını beyan ederim.

Mahmut KARA

(8)

TEŞEKKÜR

Başta çalışmamın başlangıcından sonuna kadar desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Aydın ULUCAN hocama, değerli katkılarıyla tezimi zenginleştiren değerli jüri üyeleri hocalarıma, doktora eğitimim süresince maddi desteklerinden dolayı TÜBİTAK’a ve çalışmalarım sırasında gösterdikleri destek ve sabırlarından dolayı eşim Duygu COŞKUN KARA’ya ve oğullarım Eymen Hakan ve Egemen Kaan’a teşekkür ederim.

(9)

ÖZET

KARA, Mahmut. Yapay Zeka Modeliyle Genişletilmiş Hibrit Black-Litterman Model Önerisi, Borsa İstanbul Bıst-30 Endeks Verileri İle Test Edilmesi, Doktora Tezi, Ankara, 2017.

Bu çalışmada yapay zeka algoritmaları ile GARCH ekonometrik modeli birlikte kullanılarak hibrit bir model geliştirilmiştir ve bu modelle Black-Litterman optimizasyon modeline girdi olmak üzere nesnel, matematiksel hesaplamalara dayalı ve sistematik olarak günlük bazda yatırımcı görüşleri elde edilmektedir. Elde edilen yatırımcı görüşleri kullanılarak Black-Litterman modeliyle Borsa İstanbul sermaye piyasasındaki BİST 30’da yer alan hisse senetleri üzerinde uygulanarak yatırımcı görüşleri oluşturulan hibrit modelin geçerliği ve güvenirliği test edilmiştir. Söz konusu hibrit model iki aşamalı olarak tasarlanmıştır. İlk aşamada GARCH modeliyle hisse senetlerine ait teknik göstergelerin geçmiş verileri kullanılarak günlük bazda kayan periyotlarda tahminler yapılmıştır. İkinci aşamada ise, yapay zeka algoritmalarından destek vektör makineleri ile teknik göstergeler girdi ve hisse senedi getirileri çıktı olacak şekilde modelleme yapılmıştır.

GARCH modeliyle elde edilen teknik gösterge tahminleri yapay zeka modelinde girdi olarak kullanılarak hisse senedi getirileri tahmini elde edilmiştir. Bu tahminler ise Black- Litterman modeli için mutlak yatırımcı görüşleri olarak değerlendirilerek optimizasyon yapılmıştır. Sonuç olarak, BİST 30 endeksine, eşit ağırlıklı yatırım portföyüne ve rassal ağırlıklarla oluşturulan portföylere göre daha yüksek düzeyde getiri elde edilebildiği gösterilmiştir. Ayrıca, elde tutma süresiyle ilgili yapılan analizlerde model sonuçlarına göre oluşturulan portföylerin 20 işgünü elde tutmanın en yüksek düzeyde getiri sağladığı tespit edilmiştir.

Anahtar Sözcükler

Destek vektör Makineleri, Yapay zeka, Portföy Optimizasyonu, Black-Litterman Modeli, GARCH modeli, Hibrit Model.

(10)

ABSTRACT

KARA, Mahmut. Extension with Artificial Intelligence Model for Hybrid Black-Litterman Model Proposal and Testing on Istanbul Stock Exchange Bist-30 Index Data, PhD Thesis, Ankara, 2017.

In this study a new hybrid model developed using both artificial intelligence algorithms and GARCH econometric model. This hybrid model is used to produce daily basis investor views these are rational, systematic and based on mathematical calculations, for Black-Litterman portfolio optimization model. These investor views used at Black- Litterman model and applied to common stocks that are in BIST 30 index of Borsa Istanbul market to test the validity and reliability of the hybrid model. The hybrid model is composed of two stages. At the first stage, technical indicators of common stocks were forecasted on a rolling daily basis using its historical data. At the second stage, a support vector machine model was built based on technical indicators as input and common stocks’ returns as output. The technical indicator forecasts made by GARCH model were used as input at artificial intelligence model and common stocks’ returns forecast were produced. These forecasts were used as absolute investor views at Black-Litterman optimization model. As a result, higher return values achieved by this hybrid model compared to BIST 30 index returns, equally weighted portfolio returns or random weighted simulation based portfolio returns. In addition, it is found that the best holding period for the investors is 20 business days according to the calculations made through hybrid model results.

Keywords

Support Vector Machine, Artificial Intelligence, Portfolio Optimization, Black-Litterman Model, GARCH model, Hybrid Model.

(11)

İÇİNDEKİLER

KABUL VE ONAY ... İ BİLDİRİM ... İİ YAYIMLAMA VE FİKRİ MÜLKİYET HAKLARI BEYANI ... İİİ ETİK BEYAN ... İV TEŞEKKÜR ... V ÖZET ... Vİ ABSTRACT ... Vİİ İÇİNDEKİLER ... Vİİİ GRAFİK DİZİNİ ... Xİ ŞEKİLLER DİZİNİ ... Xİİ

1. BÖLÜM: GİRİŞ ... 1

2. BÖLÜM: PORTFÖY OPTİMİZASYONUNUN TEORİK ÇERÇEVESİ ... 10

2.1. ORTALAMA–VARYANSMODELİ ... 10

2.1.1. Etkin Sınır Hipotezi ... 14

2.1.2. Portföy Seçimi ve Farksızlık Eğrileri ... 15

2.2. SERMAYEVARLIKLARIFİYATLANDIRMAMODELİ(SVFM) ... 16

2.3. ENDEKSMODELLER ... 20

2.3.1. Tek Endeksli Modeller ... 21

2.3.2. Çok Endeksli Modeller ... 22

2.3.3. Arbitraj Fiyatlandırma Modeli ... 22

2.3.4. Fama – French Üç Faktörlü Varlık Fiyatlama Modeli... 24

2.4. PORTFÖYPERFORMANSININÖLÇÜLMESİ ... 25

2.5. PERFORMANSÖLÇÜTLERİ ... 26

2.5.1. Sharpe Oranı ... 26

2.5.2. 𝐌𝟐 Performans Ölçütü ... 27

2.5.3. Sortino Performans Ölçütü ... 27

2.5.4. Treynor Endeksi ... 28

2.5.5. Jensen Alfa Performans Ölçütü ... 29

3. BÖLÜM: OPTİMAL PORTFÖY SEÇİMİNDE BLACK-LİTTERMAN MODELİ ... 31

3.1. BLACK-LİTTERMANMODELİNİNGELİŞİMİ ... 31

3.2. BAYESTEORİSİ ... 33

3.3. SVFMDENGEGETİRİLERİNİNHESAPLANMASI ... 36

3.4. YATIRIMCIGÖRÜŞLERİNİNOLUŞTURULMASI ... 39

(12)

3.5. BAYESTEOREMİNİNBLACK–LİTTERMANMODELİNE

UYGULANMASI ... 42

3.6. BLACK-LITTERMANMODELİNİNGELİŞTİRİLMESİVEHİBRİT MODELÖNERİLERİ ... 44

4. BÖLÜM: FİNANSAL TEKNİK GÖSTERGELER ... 51

4.1. TRENDLERİNTANIMI ... 55

4.1.1. Yükselen Trend ... 56

4.1.2. Alçalan Trend ... 57

4.2. TRENDLERİNANALİZYÖNTEMLERİ ... 58

4.2.1. Bağıl Güç Endeksi ... 58

4.2.2. Ortalama Yönlendirici Hareket Göstergesi ... 59

4.2.3. Hareketli Ortalama, Yakınsama, Iraksama (MACD; Moving Average, Convergence-Divergence) ... 60

4.2.4. MACD Sinyal ... 61

4.2.5. Korku ve Hırs (Fear and Greed) Endeksi ... 61

4.2.6. Hurst (Tepe) Endeksi ... 62

4.2.7. Basit Hareketli Ortalama ... 64

4.2.8. Üssel Hareketli Ortalama ... 64

4.2.9. Ortalama Gerçek Aralık (Average True Range-ATR) ... 65

5. BÖLÜM: YAPAY ZEKÂ VE DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ ... 67

5.1. YAPAY ZEKÂ ... 67

5.2. DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ ... 69

5.3. YAPAY ZEKÂ İLE FİNANSAL PORTFÖY OPTİMİZASYONU AKADEMİK ÇALIŞMALARI ... 73

6. BÖLÜM: VERİ SETİ VE YÖNTEM ... 77

6.1. VERİ SETİ ... 77

6.2. YÖNTEM ... 79

7. BÖLÜM: MODEL ANALİZİ VE BULGULARI ... 85

7.1. GÖSTERGELERİN TREND TAKİP EDEN VE MOMENTUM GÖSTERGE OLMALARI BAKIMINDAN SINIFLANDIRILARAK DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİYLE HİSSE SENEDİ GETİRİSİ TAHMİNİ ... 105

7.2. TREND GÖSTEREN PİYASALARDA BLACK-LİTTERMAN MODELİ YATIRIMCI GÖRÜŞÜ VE PORTFÖY OPTİMİZASYON SONUÇLARI ... 106

7.3. YATAY PİYASALARDA BLACK-LİTTERMAN MODELİ YATIRIMCI GÖRÜŞÜ VE PORTFÖY OPTİMİZASYON SONUÇLARI ... 107

7.4. TEST DÖNEMİNDE BIST30ENDEKSİ FİYAT HAREKETLERİ İLE TREND VE MOMENTUM TEKNİK GÖSTERGELERİ PERFORMANS DEĞERLENDİRİLMESİ... 108

7.5. MODELİN GEÇERLİLİĞİN SINANMASI ... 110

8. BÖLÜM: ÇALIŞMANIN KISIT VE VARSAYIMLARI ... 112

(13)

9. BÖLÜM: SONUÇ VE DEĞERLENDİRME ... 117

KAYNAKÇA ... 120

EKLER ... 127

EK1:SEÇİLMİŞ LİTERATÜR ÇALIŞMALARI ÖZET TABLOSU ... 127

EK 2:HİSSE SENEDİ TEKNİK GÖSTERGELERİ GERÇEKLEŞME VE TAHMİNLERİ GRAFİKLERİ ... 129

EK 3:HİSSE SENEDİ GETİRİLERİ GERÇEKLEŞME VE YAPAY ZEKA MODELİ TAHMİNLERİ GRAFİKLERİ ... 159

EK 4:ORİJİNALLİK RAPORU ... 174

EK 5:ETİK KURUL MUAFİYET İZNİ ... 175

(14)

GRAFİK DİZİNİ

Grafik 1 : Yükselen Trend Örneği ... 56

Grafik 2: Akbank, Hurst (Tepe) Göstergesi ... 63

Grafik 3: Teknik Göstergelerin Test Dönemi için Tahmin ve Gerçekleşmeleri .. 87

Grafik 4: Seçilmiş Hisse Senetleri Getirileri Tahmin ve Gerçekleşmeleri ... 90

Grafik 5: 10 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 95

Grafik 6: 10 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 95

Grafik 7: 20 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 96

Grafik 8: 20 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 96

Grafik 9: 30 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 97

Grafik 10: 30 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 98

Grafik 11: 40 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 98

Grafik 12: 40 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 99

Grafik 13: 60 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 99

Grafik 14: 60 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 100

Grafik 15: 80 Günlük Kayan Periyotlar Getiri Kıyaslaması ... 100

Grafik 16: 80 Günlük Kayan Periyotlar Ortalama Getiri Kıyaslaması ... 101

Grafik 17: Kayan Periyotlar Bazında 250 Günlük Test Dönemi Getiri Kıyaslaması ... 102

Grafik 18: Kayan Periyotlar Bazında 250 Günlük Test Dönemi Getiri Kıyaslaması (İşlem Maliyeti Netleştirilmiş) ... 103

Grafik 19: Hipotetik Portföy Kümülatif Getiri Oranı ... 104

Grafik 20: Dikey Piyasalarda Test Dönemi Black-Litterman Modeli Getiri Sonuçları Kıyaslaması ... 106

Grafik 21: Yatay Piyasalarda Test Dönemi Black-Litterman Modeli Getiri Sonuçları Kıyaslaması ... 108

Grafik 22: Trend ve Momentum Göstergelerin Getiri Tahmini Performansları 110 Grafik 23: Rassal Ağırlıklara göre Elde Edilen Portföy Kümülatif Getirilerin Histogramı... 111

(15)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1: Etkin sınır temsili grafiği ... 15

Şekil 2: Yatırımcının risk iştahına göre farksızlık eğrileri ... 16

Şekil 3: Sermaye piyasası doğrusu ... 20

Şekil 4: Sharpe performans Endeksi portföy karşılaştırması ... 26

Şekil 5: Jensen portföy performansı ölçütü ... 30

Şekil 6: Destek Vektör Makinelerinde Çeşitli Hiperdüzlemler ... 72

Şekil 7: Modelleme Kurgusu ve Modellerin Birbiriyle İlişkisi ... 81

(16)

1. BÖLÜM: GİRİŞ

Finansal piyasalar karmaşık, evrimsel ve doğrusal olmayan dinamik bir yapıdadır.

Ayrıca finansal piyasalardaki veriler genel olarak, gürültülü ölçüm değerlerine sahip, durağan olmayan, yüksek düzeyde güvenilir olmayan ve diğer verilerle gizli ve ortaya konmamış ilişkilere sahip özellikler barındırmaktadır (Bonanno vd., 2001). Ayrıca, finansal piyasalardaki veri akışlarını ve dengelerini özellikle gelişmekte olan ülkelerde olmak üzere politik olaylar, genel ekonomik gelişmeler ve yatırımcıların beklentileri gibi birçok şey aynı anda etkileyebilmektedir (Martinez ve Santino, 2003). Hal böyle olunca, finansal piyasalarda tahmin yapmak ve bu tahminler üzerinde finansal pozisyon alabilmek oldukça güçtür.

Son zamanlarda özellikle hisse senedi piyasalarında yapılan tahmin çalışmalarına göre piyasaların hareketleri rassal değildir. Fakat aynı zamanda finansal piyasalar doğrusal olmayan ve yüksek düzeyde dinamik hareket göstermektedirler.

Finans ve ekonomi literatüründe portföy yönetimi konusu oldukça uzun süredir ve fazlaca araştırılmış bir konudur. Sadece son 10 yılda ve “sciencedirect” web sayfasındaki aramada 18 binden fazla orijinal araştırma makalesi sonucu çıkmaktadır. Bununla birlikte, bu konuda yıllar itibarıyla değerlendirildiğinde gerek akademik çevrede gerek piyasalarda tarihsel olarak temel birkaç modelin öne çıktığı görülmektedir. Geleneksel portföy yönetiminde yatırım araçlarının portföy içerisinde niteliksel olarak sayılarının artırılması suretiyle portföyün çeşitliliğinin artırılması ve riskin azaltılması amaçlanmaktaydı. Markovitz (1952)’in ortalama- varyans modeli modern finansın temel taşı sayılmaktadır. Bu modelle birlikte portföy optimizasyonu problemi, yatırım araçları arasındaki ilişkiler, portföyün toplam riski ile birlikte toplam beklenen getirisi birlikte değerlendirilmeye başlanmıştır. Buna göre, yatırım araçlarının genel olarak getiri oranları arttıkça risk düzeyleri de artmaktadır. Bu kapsamda, söz konusu model, belli bir risk düzeyi altında, yatırımcının hangi yatırım aracına ne düzeyde yatırım kararı alması durumda getirisini en yüksek düzeye çıkarabileceği sorusuna yanıt vermektedir. Bir başka ifadeyle, belli bir beklenen getiri düzeyi için bu model, söz konusu portföye ait riskin en aza indirilmesini sağlayacak yatırım araçlarının

(17)

seçilmesini ve bu araçlara yapılacak yatırım miktarının belirlenmesini sağlamaktadır. Bunu yaparken ise, yatırım araçlarının birbirleriyle arasındaki ilişkiler ile yatırım sepetinin toplam riskini belirleyen kovaryans matrisi de dikkate alınmaktadır.

Modern portföy teorisi olarak da ifade edilen Markovitz’in ortalama-varyans modelinden sonra finansal yönetim alanındaki en önemli gelişme Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli’dir (SVFM). Bu modelle, finansal varlıkların getirilerini etkileyen risklerden bazılarının elimine edilebileceği gösterilmiştir.

(SVFM) 1964 yılında William Sharpe, 1962’de Jack Treynor ve 1965 John Lintler ile 1966’da John Mossin tarafından ortaya konulmuştur. SVFM’e göre bütün riskler finansal aracın getirisini etkilemesi gerekmemektedir. Diğer bir ifadeyle, bazı risklerin portföy oluşturmak suretiyle yok edilerek etkisiz hale getirilebileceği ortaya atılmıştır. Ayrıca bu model bir finansal varlığın ortalama getirisinin ne olması gerektiği ile ilgili yatırımcıya bilgi vermekte ve yatırımcının iyi ayarlanmış bir finansal portföyü oluşturmasına destek olmaktadır. Bu çerçevede, SVFM finansal araçların hangi tür risklerden etkilendiğini, hangilerinden etkilenmediğini belirleyebilmektedir. Bu model bir denge modeli olup finansal varlığın getirisi ile risksiz faiz oranı, finansal varlıkların sistematik riskleri ve piyasanın beklenen ortalama getirisi arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktadır. Bu model, tezin ileri bölümünde ayrıntılarına değineceğimiz gibi her ne kadar oldukça fazla sayıda varsayım içeriyor olsa da piyasa oyuncuları tarafından kullanım kolaylığı ve anlaşılabilirliği açısından oldukça sıkça kullanılmaktadır.

Markovitz etkin sınırı hesaplanabileceğini göstermiştir. Buna göre, herhangi bir yatırımcı en yüksek beklenen getiri ile en düşük risk düzeyini gösteren etkin sınır üzerinde kendi risk düzeyine göre bir portföy tercihinde bulunabilmektedir. Bunu yapabilmesi için ise temel olarak yatırım araçlarından birbirleriyle yüksek korelasyona sahip olan yatırım araçlarının aynı portföye alınmaması gerekmektedir. Sonuç olarak, teorik olarak son derece anlamlı ve anlaşılabilir olan bu teorinin maalesef pratik uygulamalarında sorunlar ortaya çıkmıştır. Bunun sebebi ise temelde ortalama-varyans modeline baz teşkil edecek girdilerin tahmininin zor olmasıdır (Michaud, 1989). Örneğin, modelin girdileri arasında

(18)

gelecek dönem beklenen getiriler ile beklenen kovaryansların bilinmesi gerekmektedir. Bu ise pek kolay bir şey değildir. Diğer taraftan, araştırmacılar söz konusu teoriyi birçok piyasada test etmişler ve teorinin birçok eksik tarafını ortaya koymuşlardır. Michaud (1989), geleneksel olarak araştırmacıların geçmiş dönem verilerini kullanarak örneklem ortalamalarının beklenen ortalama getirisine eşit olacağını varsayarak kullanageldiklerini ifade etmiştir. Bu da tahmin hatalarını artıran bir etken olmaktadır. Ayrıca, Markovitz modeli yatırım araçlarının piyasadaki toplam varlık büyüklüklerini dikkate almamaktadır. Bu yüzden de Markovitz optimizasyonunda kısa pozisyon almaya zorlayan sonuçlar ortaya çıkabilmektedir. Modelin optimizasyon sonucunda sadece piyasadaki birkaç tane yatırım aracına ağırlık verdiğini ve bunun da söz konusu yatırım araçlarına olan risk hassasiyetini artırdığını vurgulamışlardır (Green ve Hollifield, 1992). Ayrıca, elde edilen sonuçların girdilerin değişkenliklerine olan hassasiyetleri de yüksektir (Bessler vd., 2017). Hâlbuki finansın temel kurallarından biri olarak, sistemik riski çeşitlendirme yöntemi ile en az düzeye indirgemek mümkündür. Bununla ilgili (Evans ve Archer, 1968) portföyde rastgele ortalama 10 ve üzeri hisse senedi olması durumunda çeşitlendirmeden elde edilebilecek faydayı en yüksek düzeye çıkarılabileceği ifade edilirken, aynı husus için (Statman, 1967) hisse senedi sayısının 30 civarında olması gerektiğini ifade etmiştir. Ayrıca, modelin çözümünde belli bazı kısıtların olmamasından dolayı model sonuç olarak genelde yüksek ve negatif oranlar önerebilmektedir. Bu yüzden modele ek olarak ağırlıkların sıfırdan büyük olma kısıtı eklenmektedir. Elde edilen ağırlıklarda da birçok varlığa ağırlık olarak sıfır değeri atanmaktadır. Ayrıca ve çok önemli olarak beklenen getirilerdeki varsayımların çok düşük düzeyde dahi değişmesi modelin üreteceği sonuçlara ciddi ölçüde etki etmektedir (Grauer ve Shen, 2000). Bu tür sorunların temel sebebi olarak model girdilerinin tahmin hatası olduğu ifade edilmektedir (Kolm vd., 2014). Buna bağlı olarak, Markovitz modelinden sonra literatürde söz konusu modeli geliştirecek veya değiştirecek yeni modeller geliştirilmiştir. Örneğin, Markovitz modelinde ortalama ve kovaryans değerlerinin bilindiği varsayılırken, Lai vd. (2009) çalışmalarında, ortalama-varyans modelinin ortalama ve kovaryans değeri bilinmediği varsayımı ile nasıl çözüleceği alternatif bir modelle gösterilmeye çalışılmıştır. Benzer bir şekilde Konno ve Yamazaki

(19)

(1991) çalışmalarında getiriden mutlak değer sapmayı risk olarak tanımlayarak mutlak ortalama-varyans modelini geliştirmişlerdir. İlaveten, belirsizlik teorisi çerçevesinde de portföy optimizasyonu konusunda çalışmalar geliştirilmiştir.

Örneğin, Huang (2012) risk endeksi modeli geliştirirken, Ying (2013) çalışmasında portföy düzeltmesi için ayrıca kriter uygulayan model geliştirmişlerdir. Adı geçen tek dönemli optimizasyonlarına ek olarak çok dönemli modeller üzerine de çalışmalar yapılmıştır. Bunlara örnek olarak ise, Huang ve Qiao (2012) ile Zhu (2010) çalışmaları gösterilebilir. Geliştirilen modellerin de tahmin hataları içerdiği ve hatasız bir tahmin modellemesi yapılmasının olanaksız olmasından dolayı yapılacak herhangi daha iyi bir tahmin modellemesinin görece kötü bir modellemeden daha iyi sonuçlar üretebileceği açıktır. Ortalama-varyans modelinden sonra bu modeli geliştiren veya yeni bir model olarak ortaya atılan modellerden özellikle piyasa oyuncuları tarafından en çok kullanılanlardan birisi de yine piyasadaki araştırmacılar tarafından geliştirilmiş olan Black-Litterman Modelidir (BL Model).

Finans teorisinde, BL Modeli portföy optimizasyonu amacıyla 1990 yılında Goldman Sachs şirketinde çalışan Fisher Black ve Robert Litterman tarafından geliştirilen ve 1992 yılında yazdıkları makale ile yayımlanan matematiksel bir modeldir. Bu model, yatırımcının portföyünün ön varsayım olarak piyasada var olan yatırım araçlarının piyasa değerleri nispetinde bir denge portföyüyle aynı şekilde başladığı varsayılmaktadır. Diğer bir ifadeyle, küresel finansal varlık fiyatlandırma modeli dengesini referans noktası olarak alınarak ortalama-varyans modelindekinden farklı olarak istenmeyen optimizasyon sonuçlarının önüne geçmek amaçlanmıştır. Daha sonra yatırımcı kendi özel bilgi ve görüşleri çerçevesinde portföyündeki bazı yatırım araçlarının ağırlıklarını düşürerek ve bazılarının ağırlıklarını artırarak yatırımcının beklentilerine özel bir portföy geliştirmesi mümkün olabilmektedir. Optimal portföy ise, yaklaşık olarak, küresel finansal varlık fiyatlandırma modelinin dengesi ile yatırımcı görüşlerinin ağırlıklı ortalamasından oluşmaktadır. Bu model sayesinde piyasa oyuncuları Markovitz modeline göre anlamlı portföy optimizasyon sonuçları elde edebilmişlerdir.

(20)

BL Modelinin inceliği beklenen getiri vektörünün ilgili kısımlarını otomatik olarak yatırımcı görüşleri vektörüne göre ayarlayabilmesi ve ortalama-varyans modelinde var olan bir çok problemin üstesinden gelmesidir. Bu sebeple de piyasada da en çok kullanılan bir model haline gelebilmiştir (Bertsimas vd., 2012;

Bevan ve Winklemann, 1998). Araştırmacılar da, küresel finansal varlık fiyatlama modeli genel dengesini başlangıç referans noktası olarak alınması ve bu denge yatırımcı görüşlerine göre yeniden ayarlanması sonrasında ortalama-varyans modeline göre aşırı olmayan portföy ağırlıkları edilebildiğini ifade etmişlerdir (Bkz.

Cheung, 2010; Martellini ve Ziemann, 2007). Ayrıca BL Model ile elde edilen portföylerin yatırımcı görüşlerini de içeriyor olması bakımından ortalama-varyans modeline göre daha verimli sonuçlar üreteceği beklentisi bulunmaktadır. İlaveten, ortalama-varyans modeline göre bu modelde genel olarak tahminleme hatası azalmaktadır. Bu modelde yatırımcıların görüşleri de modele dahil edildiğinden dolayı elde edilecek portföy sonuçlarının da yatırımcının getiri beklentisi ve risk algısına daha uyumlu olacağı söylenebilir. Fakat diğer taraftan, sermaye piyasası beklentileri ile sektör ve şirket analizleri birlikte değerlendirilmesi ile elde edilen beklenti ile yatırımcının beklentisinin örtüşmemesi durumunda yasal risk adı verilen risk ortaya çıkmaktadır. Formüle edilmiş bir yöntemle elde edilmiş güvenilir yatırımcı görüşlerinin olmaması durumunda yatırımcılar portföy yatırım şirketlerinden “ihtiyatlı yatırımcı” şartını öne sürebilmektedirler (Nikbakht, 2009).

Sonuç olarak, yatırımcı görüşleri nesnel olarak tanımlanabilir ve mantıksal çerçeveye uygun hale getirilebilirse sözü edilen yasal risk yok olmasa bile ihmal edilebilecek düzeylere gerileyebilecektir. Bu çerçevede, bu çalışmada önerilen yatırımcı görüşlerinin yapay zeka yöntemleri ile sistematik ve rasyonel bir sava dayalı olarak üretilmesi ve BL Model’de girdi olarak kullanılmasının “yasal riski”

düşük düzeylere indirebilecektir.

BL Modeli her ne kadar başlangıç olarak tüm yatırım araçlarının piyasa değerlerine göre portföyde yer alması ve denge başlangıç portföyü ile optimizasyona başlaması neticesinde Markovitz’in sistemik olarak riskli portföy optimizasyon problemini çözse de, BL Modelinin de bazı farklı problemleri söz konusudur. Örneğin, bu modelin çözümünde yer alan yatırımcı görüşlerinin oluşturulması hususu araştırmacıların üzerinde tartıştığı hususlardan biridir.

(21)

Çünkü, yatırımcıların piyasadaki getirilerin üzerinden daha yüksek bir getiri elde edebilmeleri için bazı yatırım araçları ile ilgili olarak özel bilgilerinin olması gerekmektedir ve böylece bu yatırım araçlarına görece daha yüksek oranda yatırım yaparak piyasanın ortalama getirisinin üzerinde bir getiri elde etme olanağı olabilmektedir. Diğer taraftan, söz konusu özel bilgileri bilmek ve bunun üzerine yatırımcı görüşleri oluşturmak piyasalarındaki yüksek hacimli bilgi akışı göz önüne alındığında bir hayli zordur. Bu sebeplerden dolayı, araştırmacılar BL Modeline veri olabilecek yatırımcı görüşlerini doğru ve yansız ve kolay bir şekilde üretebilmenin yollarını aramışlardır. Örneğin, Steven ve Orlov (2007) EGARCH- M modelini kullanarak BL Modeline veri olabilecek ölçüde yatırımcı görüşleri üretmişlerdir. Bu çalışmalarında 20 gelişmiş ülkeye ait aylık bazda 15 yıllık süreyi kapsayan verileri kullanmışlardır. Bu çalışmanın sonuçlarına göre oluşturulan yatırımcı görüşleri ile elde edilen portföy getirilerinin piyasanın ortalama getirisinin üzerinde bir getiriye sahip olduğu ortaya konulmuştur. Böylece BL Modelinin global portföy optimizasyonunda kullanılarak başarılı sonuçlar elde edilebileceği sonucuna varmışlardır. Benzer şekilde, Duqi vd., (2014) GARCH metodunu kullanarak BL Modeli’ne veri teşkil edecek yatırımcı görüşlerini oluşturmuşlardır.

Bunlar da benzer şekilde bu model aracılığıyla potansiyel olarak iyi sayılabilecek yatırımcı görüşleri oluşturduklarını ifade etmişlerdir. Black-Litterman modelini geliştirerek yeni bir model ortaya çıkaran Meucci’nin çalışmasındaki yatırımcı görüşlerini Didenko ve Demicheva (2013) çalışmalarında bir yapay zeka algoritması olan “random forest” algoritması ile oluşturmuşlar ve elde ettikleri sonuçları test etmişlerdir.

BL modelinde yatırımcılar, hakkında bilgileri oldukları yatırım araçları konusunda risk almaktadırlar (Bevan and Winkelmann, 1998). Dolayısıyla BL Modelinin sonuçları denge portföyü ve yatırımcı görüşlerinin karışımı bir getiriden ibarettir.

Bu çalışmanın sonucuna göre BL modelinin global portföy optimizasyonu ile risk bazlı karar almayı ve beklenen getiriyi bu yatırımcının yatırım araçları ile ilgili bilgileri çerçevesinde güncelleştirdiği ortaya konulmuştur.

Diğer taraftan, Varian (2013), ekonomi ve finans alanındaki akademik çalışmalarda veri analizi ve tahminlemesi yapmak için genelde standart

(22)

ekonometrik testleri kullanıldığını ifade etmiştir. Halbuki, aslında standart ekonometrik yöntemlerin dışında bir çok farklı yol ve yöntem bulunduğunu ve veriler arasında karmaşık ilişkiler olduğunu ve bunun yapay zeka yöntemleri kullanmadan ortaya çıkarmanın kolay olmadığını vurgulamıştır. Bu yapay zeka yöntemlerine örnek olarak ise karar ağaçları, karar destek sistemleri, sinir ağları ve derin öğrenme gibi yöntemlerin verilebileceğini belirtmiştir. Dolayısıyla, yapay zekanın ekonomi ve finans araştırmalarında da diğer bir çok alanda olduğu gibi daha etkin kullanılabileceği vurgulanmaktadır.

BL Modeli 1991 ve 1992 yıllarında finans literatüründe yer almaya başladıktan sonra bu model yatırım yönetimi endüstrisinden oldukça yüksek düzeyde ilgi toplamayı başarmıştır (Silva vd., 2009). Fakat, diğer birçok araştırmacının da dikkatini çektiği gibi bu modelin en önemli zayıflıklarından birisi yatırımcı görüşlerinin etkin ve kolay bir şekilde üretilmesinin oldukça güç olmasıdır ve bu yüzden literatürde de konuyla ilgili alternatif çözüm arayışına girilmiştir (Silva vd., 2017; Duqi vd., 2014; Didenko ve Demicheva, 2013; Chiarawongse vd., 2012 vb.). Bununla birlikte bazı diğer araştırmacının ise GARCH modellerini kullanarak yatırımcı görüşlerini oluşturmuşlar ve bu görüşleri doğrudan Black-Litterman modelinde uygulamışlardır (Beach ve Orlov, 2007; Palomba, 2008). Finans literatüründe, bilebildiğim kadarıyla, şimdiye kadar yapay zeka yöntemleri ve GARCH modellerini kullanılarak hibrit bir modelle BL Modele veri oluşturacak yatırımcı görüşü oluşturan bir çalışma bulunmamaktadır. Dolayısıyla, bu tezin amacı yapay zeka yöntemlerinden finans uygulamalarına sıklıkla rastlanan (Huang vd., 2005; Gotoh ve Takeda, 2012; Das ve Padhy, 2012 vb.) ve iyi sonuçlar üreten destek vektör makineleri yöntemi ile GARCH ekonometrik yöntemini birlikte kullanarak BL Modelinde girdi olarak kullanılan yatırımcı görüşlerini oluşturmak ve bu model sonuçları ile BL modelini birleştirilerek hibrit bir portföy optimizasyonu modeli geliştirmektir. Ayrıca, oluşturulan modeli Borsa İstanbul verileri kullanılarak test etmektir. Özetlemek gerekirse, bu çalışmayla temel olarak aşağıdaki hipotezlerin test edilmesi amaçlanmaktadır.

 Önerilen hibrit model kullanılarak BIST 30 endeksinde yer alan hisse senetleri ile ilgili elde edilen yatırımcı görüşleri BL Modelinde kullanılarak

(23)

elde edilen getiri sonuçları BIST 30 endeksi getirilerine göre ortalama ve istatistiki olarak daha yüksektir.

 Önerilen hibrit model kullanılarak BIST 30 endeksinde yer alan hisse senetleri ile ilgili elde edilen yatırımcı görüşleri BL Modelinde kullanılarak elde edilen getiri sonuçları BIST 30 endeksindeki hisse senetlerine eşit oranlı yatırımla elde edilen portföyün getirilerine göre ortalama ve istatistiki olarak daha yüksektir.

 Önerilen hibrit model kullanılarak BIST 30 endeksinde yer alan hisse senetleri ile ilgili elde edilen yatırımcı görüşleri BL Modelinde kullanılarak elde edilen kümülatif getiri sonuçları hisse senetlerine rassal oranlarda yapılan yatırımla elde edilen portföyün kümülatif getirilerine göre daha yüksek düzeydedir.

 Hibrit modelle elde edilen yatırımcı görüşleri değerlendirilerek yapılan portföylerin kayan periyotlarla yapılan elde tutma süreleri ile ilgili analiz sonucunda kısa, orta ve uzun vade için aynı şekilde BIST 30 endeksi getirilerine göre daha yüksek getiri elde edilmektedir.

 Hisse senetlerine ait teknik göstergelerin %100 oranında örneklem dışı bilinmesi durumunda kullanılan destek vektör makineleri ile elde edilecek yatırımcı görüşlerinin sonucu portföyün piyasa ortalama getirisine göre çok yüksek oranda, astronomik sayılabilecek düzeyde getiri sağlayabilecektir.

 GARCH ekonometrik modeliyle her bir hisse senedine ait bu çalışmada kullanılan teknik göstergelerin günlük bazda yapılan tahminleri ile elde edilen hisse senedi getiri tahminlerinin oluşturulan portföyün getirisine ekonomik katma değeri vardır.

Yukarıda yer alan hipotezler genel olarak değerlendirildiğinde, BL modeli için yatırımcı görüşleri, GARCH ekonometrik modeliyle hisse senetlerine ait teknik göstergelerin tahmin edilmesi ve ardından bu tahminler girdi olarak kullanılarak destek vektör makineleri ile hisse senedi getiri tahmini yapılmasıyla kullanılarak elde edilmek suretiyle yapılacak Black-Litterman portföy optimizasyon modeli

(24)

sonuçlarına göre elde edilen ortalama portföy getirisinin BIST 30 endeksi, eşit oranlı yatırım portföyü getirisi, rassal oranlarla elde edilen portföy getirilerine göre makul risk düzeyinde daha yüksek düzeyde olacağı tezi savunulmaktadır.

Bu çalışmanın izleyen bölümünde portföy optimizasyonunun genel teorik çerçevesi ve portföy performansının ölçülmesi konuları ele alınmaktadır. Üçüncü bölümde ise, BL Modelinin teorik çerçevesi, modelin güçlü ve zayıf yanları ile bu modelle ilgili olarak yapılan akademik çalışmalara yer verilmektedir. Dördüncü bölümde ise bu çalışmada kullanılan finansal teknik göstergeler ile ilgili açıklamalara yer verilmektedir. Beşinci bölümde ise, yapay zekanın tanımı, önemi, kullanım alanları hakkında bilgi verilmekte ve finans bilimindeki kullanımı ile yapay zeka modeli olan destek vektör makineleri tartışılmaktadır. Altıncı bölümde, bu çalışmadaki analizlerde kullanılan veri seti ve yöntemin detaylarına yer verilmektedir. Yedinci bölümde ise bu çalışmada önerilen yeni modelin sonuçları ve bulguları sunulmaktadır. Sekizinci bölümde ise, araştırmanın sınırlılıkları ve varsayımlarına değinilmektedir. Son bölüm olan dokuzuncu bölümde ise, sonuç ve genel değerlendirme yer almaktadır.

(25)

2. BÖLÜM: PORTFÖY OPTİMİZASYONUNUN TEORİK ÇERÇEVESİ

(Mehra vd., 2014) çalışmalarında portföy yönetimini, karlı portföyler oluşturmak ve risk ve getiri arasında bir denge sağlayarak en iyi tahminlemeyi yapmak şeklinde tanımlamışlardır. Şimdiye kadar bu konuyla ilgili temel teşkil eden modeller; Ortalama-Varyans Modeli, Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli, Arbitraj Fiyatlama Modeli ile Black-Litterman Modeli olarak sıralanabilir. Başta ortalama- varyans modeli olmak üzere anılan tüm modellerle ilgili elbette bir çok araştırma yapılmıştır. Fakat bu bölümde portföy optimizasyonu konusunda temel sayılan modeller ile ilgili bilgi verilecek ve bu bölümü takip eden bölümde Black- Litterman modeliyle ilgili ayrıca detaylı açıklamalar yapılacaktır.

2.1. ORTALAMA – VARYANS MODELİ

1952 yılında “Harry Markowitz” tarafından yazılan ve “Journal of Finance”

dergisinde yayımlanan makalede portföy yönetiminin çeşitlendirme konusu ortaya atılmıştır. Markovitz’e göre yatırımcılar finansal varlıkların ilk iki momentleri olan beklenen getiri ve bu getirilerin oynaklığı ile ilgilenmektedirler. Buna göre portföy seçiminde, yatırımcıların amacı standart sapma ile ölçülmekte olan portföyün riskini en aza indirmek veya benzer şekilde belli bir risk düzeyinde portföyün beklenen getirisini ençoklaştırmaktır. Bu çerçevede, farklı senetlerin fiyatları arasındaki korelasyonları ile bu senetlerin kombine edilerek bir portföy oluşturulduğunda tek bir senedin getirisine göre daha yüksek getiri elde edilebildiğini göstermiştir. Bu durumun sadece birbirleriyle negatif korelasyona sahip varlıkların getirilerinde değil aynı zamanda aralarında pozitif ve tam (1) korelasyon olmayan tüm varlık getirileri için geçerli olduğu gösterilmiştir (Markovitz, 1952). Dolayısıyla, bir finansal portföy yöneticisinin temel amacı yatırım araçları arasından mümkün olan en iyi kombinasyonu seçerek riski ayarlanmış beklenen en yüksek getiriyi elde edecek tercihi yapmaktır (Bodie, Kane ve Marcus, 2011). Diğer taraftan Markovitz (1952), bunun yapılabilmesi için bir takım istatistiksel yöntemler olabileceğini ve ayrıca konunun uzmanları tarafından beklenen getiri ve kovaryansın tahmin edilebileceğini ifade etmiştir.

Ayrıca, portföy optimizasyonunda olasılık teorisi kullanılarak daha verimli

(26)

sonuçlar elde edilebileceğinin ipuçlarını da vermiştir. Markovitz’in ortalama- varyans yaklaşımının işlem maliyetinin olmaması, senetlerin likidite farklılıklarının olmaması gibi güçlü varsayımları bulunmaktadır. Sonuçta teorik olarak, bir yatırımcı Markovitz’in ortalama-varyans modelini kullanarak, belli bir risk düzeyinde portföyünün getirisini ençoklaştırabilmektedir. Her ne kadar teorik olarak finans alanında çok önemli bir gelişme olsa da, son yıllarda piyasa oyuncuları söz konusu modelin pratikte çok da kullanışlı olmadığı görüşünü savunmuşlardır. Nitekim bu model, belli yatırım varlıklarına çok yüksek ağırlık atamak gibi finansın riskin dağıtılması temel prensibine aykırı olarak makul olmayan sonuçlar üretmektedir. Bu ise portföy teorisinin pratikte kullanımının kısıtlayan ve aynı zamanda araştırmacıların pratik olarak piyasada kullanılabilecek bir model ortaya koymaları hususunda önemli bir motivasyon olmuştur.

Markovitz (1991) portföy yatırımlarının şekillendirilmesinde temel iki bilgi kaynağı olduğunu ve bunlardan ilkinin geçmiş dönem verileri iken diğerinin yatırım uzmanlarının varlıkların gelecek dönem getirileri ile ilgili beklentileri olduğunu ifade etmiştir. Buna rağmen, aynı çalışmada portföy seçiminin geçmiş veriler yerine gelecek dönem getirileri hakkındaki beklentilere dayandırılması gerektiği ifade edilmektedir. Geçmiş dönem getirileri baz alınarak oluşturulan portföyler açısından geçmiş dönem ortalama getirilerinin gelecek dönem getirilerini, yine geçmiş dönem varyansının da gelecek dönem varyansını yansıttığı varsayılmaktadır.

Markovitz (1952), piyasanın tam etkin olduğu varsayımı geçerli iken, çeşitlendirilmiş portföyün diğer tüm çeşitlendirilmemiş portföylere göre üstün olduğu kuralının geçerliğini yitireceğini ifade etmiştir. Aynı çalışmada, çeşitlendirmenin gözlemlenebilir ve makul olduğunu ve kural olarak çeşitlendirmenin her zaman en iyi olduğu hipotezinin reddedilmesi gerekmediği;

diğer bir ifadeyle çeşitlendirmenin her zaman en iyi yöntem olduğu vurgulanmıştır. Çalışmadaki hipoteze göre, yatırımcılar yatırımlarının tamamını indirgenmiş tutarı en yüksek olan yatırım aracını tercih edeceklerdir. Eğer iki veya

(27)

daha fazla yatırım aracının değeri aynı ise, bunların herhangi kombinasyonu en iyi portföy getirisini oluşturabilecektir.

Markovitz’in ortalama-varyans modeline göre beklenen getiri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

𝑅 = ∑ ∑ 𝑑𝑖𝑡𝑟𝑖𝑡𝑋

𝑁

𝑖=1

𝑡=1

(1)

= ∑ 𝑋𝑖(∑ 𝑑𝑖𝑡𝑟𝑖𝑡

𝑡=1

)

𝑁

𝑖=1

(2)

𝑅𝑖 = ∑ 𝑑𝑖𝑡𝑟𝑖𝑡

𝑡=1

(3)

Burada 𝑅 değeri 𝑅𝑖 değerinin ağırlıklı ortalamasıdır.

Portföyün riski ise aşağıdaki gibi hesaplanabilmektedir:

𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = ∑(𝑟𝐴İ− 𝑟𝐴)(𝑟𝐵İ− 𝑟𝐵)𝑃𝑖

𝑛

𝑖=1

(4)

Bu denklemde yer alan;

𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵), A ve B finansal varlıkları arasındaki kovaryansı, 𝑟𝐴İ, A finansal varlığının i dönemdeki olası getirisini, 𝑟𝐴, A finansal varlığının beklenen getirisini,

𝑟𝐵İ, B finansal varlığının i dönemdeki olası getirisini, 𝑟𝐵, B finansal varlığının beklenen getirisini,

𝑃İ, olasılığı,

(28)

İfade etmektedir.

Kovaryans olarak hesaplanan değer ile A ve B finansal varlıkları arasındaki pozitif veya negatif ilişkiyi göstermektedir. Ancak söz konusu değerin büyüklüğü iki finansal varlık arasındaki ilişkinin büyüklüğünü göstermemekte olup bunun yerine finansal varlıklar arasındaki korelasyona bakılması gerekmektedir. Markovitz’in portföy çeşitlendirmesi ise tam da finansal varlıkların arasındaki korelasyonlar dikkate alınarak yapılmaktadır. Bu çerçevede, aralarında tam ve pozitif korelasyon olmayan finansal varlıklar portföye alınarak çeşitlendirme yapmak mümkün olabilmektedir. Böylece portföyün getirisi düşmeden riski düşürülebilmektedir. Finansal varlıklar arasındaki korelasyon azaldıkça portföy riski de azalabilecektir. Kovaryans ile korelasyon arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz:

𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎,𝑏 (5)

𝜎𝑎, A finansal varlığının standart sapmasını, 𝜎𝑏, B finansal varlığının standart sapmasını, 𝜌𝑎,𝑏 ise a ve b finansal varlıkları arasındaki korelasyon katsayısını ifade etmektedir. Diğer bir gösterimle;

𝜌𝑎,𝑏 =𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)

𝜎𝑎𝜎𝑏 (6)

Korelasyon katsayısı -1 ile +1 arasında değerler alabilmektedir. –1 değeri finansal varlıklar arasında tam ve negatif bir ilişkiyi gösterirken, +1 ise tam ve pozitif bir ilişkiyi göstermektedir. Markovitz’in portföy yaklaşımındaki portföyün varyansı ise bu çerçevede aşağıdaki gibi hesaplanabilmektedir:

(29)

𝜎𝑝2 = ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑜𝑣(𝑖, 𝑗)

𝑛

𝑗=1 𝑛

𝑖=1

(7)

Portföy çeşitlendirmesinin portföy riskini azalttığı gözlemlenmiştir. Portföyün varyansı portföyün riskini ifade ettiği düşünülürse ve varsayım olarak her bir finansal varlığın portföye eşit oranda dahil edilmesi durumunda portföyün varyansı;

𝜎𝑝2 = 1

𝑛∑ [𝜎𝑖2 𝑛]

𝑛

𝑖=1

(8)

olacaktır. Yukarıdaki eşitlikte portföy varyansı “n” arttıkça, veya finansal varlık sayısı arttıkça azalacaktır.

2.1.1. Etkin Sınır Hipotezi

Belirli bir risk düzeyinde en yüksek getiriye sahip veya belli bir getiri düzeyinde en düşük risk düzeyine sahip portföylerin her birine etkin portföy denilmekte ve bu portföylerin tamamı ise etkin sınırı oluşturmaktadır. Markovitz çalışmasında farklı risk ve getiri düzeylerindeki etkin portföyleri birleştiren eğriyi “Etkin Sınır”

olarak tanımlamıştır (Bkz. Şekil 1). Bu sınırın dışındaki diğer tüm portföyler ise etkin olmayan bir portföyü ifade etmektedir.

(30)

Şekil 1: Etkin sınır temsili grafiği

Kaynak:https://www.mathworks.com

Para ve sermaye piyasalarında binlerce varlık ve bu varlıkların farklı kombinasyonlarından oluşturulabilecek milyonlarca portföy vardır. Şekilde gösterilen kırmızı noktaların her biri bir portföyü temsil etmektedir. Bu portföylerin tamamı “olası portföyler seti”ni ifade etmektedir. Fakat, yatırımcıların hedefi bu portföylerden etkin sınır üzerindekileri tespit etmek ve yatırım yapmaktır.

2.1.2. Portföy Seçimi ve Farksızlık Eğrileri

Markovitz’in ortalama-varyans modeline göre yatırımcıların amacı etkin sınırdaki portföyleri tespit etmek ve yatırımlarını bu sınır üzerindeki portföylere yönlendirmektir. Fakat bu portföyün seçiminde de yatırımcıların risk iştah seviyeleri belirleyici olmaktadır. Yatırımcıların risk iştahları ve portföy tercihlerini ise yatırımcıların fayda eğrileri ile ifade etmek mümkündür. Bir fayda eğrisi üzerindeki noktalarda yatırımcıların faydaları eş düzeydedir. Aşağıdaki şekilde de görülebileceği üzere yatırımcıların fayda eğrileri onların risk iştahlarına göre şekillenmektedir. Riski iştahı yüksek olan veya riskli yatırımları tercih eden yatırımcıların varyans-getiri grafiğinde daha yatay düzeyde profilleri varken, riskten kaçan yatırımcıların daha dik bir farksızlık eğrisi grafiğine sahip oldukları görülmektedir.

Beklenen Getiri

Risk

(31)

Şekil 2: Yatırımcının risk iştahına göre farksızlık eğrileri

Kaynak: Usta, Ö. (2005).

Temel olarak bütün yatırımcıların riskten kaçtığı varsayılır fakat hepsinin aynı ölçüde riskten kaçmamaktadır. Bu sebeple her yatırımcının yukarıdaki şekilde de görüleceği gibi farksızlık eğrileri farklılaşmaktadır. Yatırımcılar kendi risk tercihlerine göre en iyi portföyü seçerken etkin sınır ile farksızlık eğrilerinin kesiştiği portföyleri tercih edeceklerdir. Fakat ne var ki yatırımcılar pratikte ne etkin sınırı ne de farksızlık eğrilerini bilebilmektedirler. Bu durum ise Markovitz modelinin pratikte tam anlamıyla çok uygulanabilir olmadığını ortaya koymaktadır.

2.2. SERMAYE VARLIKLARI FİYATLANDIRMA MODELİ (SVFM)

SVFM bir piyasa denge modelidir ve ortalama-varyans modelinin geliştirilmesi ile ortaya konmuştur. SVFM bir finansal varlığın teorik beklenen getirisini piyasa portföyünün bir fonksiyonu olarak modellemektedir. Ayrıca, portföyün varyans ve beklenen getirisini de hesaplamaktadır. Aslında model başlangıçta sadece finansal varlıkları değil, aynı zamanda finansal olmayan varlıkları da içermektedir fakat pratikte böyle bir piyasa portföyü gözlenemez olduğundan dolayı söz konusu model işlem gören finansal araçlar sınır kabul edilerek finansal piyasalarda kullanılmıştır. SVFM’nin son versiyonu ise Bodie, Kane ve Marcus (2011) çalışması ile ortaya çıkmış olup, önemli varsayımlar içermektedir.

(32)

𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓+ 𝛽𝑖𝐸(𝑅𝑚− 𝑅𝑓) (9)

Burada 𝐸(𝑅𝑖), i finansal varlığının beklenen getirisini, 𝑅𝑓 ise risksiz faiz oranını,

𝛽𝑖 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖,𝑅𝑚)

𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑚) ise, “i” finansal varlığının beklenen getirisinin piyasa getirisine göre hassasiyetini göstermektedir.

Yukarıdaki denklemlerden de görülebileceği üzere, finansal varlığın halihazırda çeşitlendirilmiş piyasa portföyü ile arasındaki kovaryansın artması ile yatırımcının ilgili finansal varlığı satın almak için söz konusu varlığın beklenen getirisinin de yükselmesi beklenmektedir. Böylelikle finansal varlığın beta değeri yatırımcının portföyünü çeşitlendirerek yok edemeyeceği tek risk kaynağıdır. Basitleştirilmiş yatırım dünyasında piyasa kapitalizasyonuna göre ağırlıklandırılmış indeks içerisinde yer alan tüm senetler ortalama-varyans modeline göre daha etkin olacaktır. Diğer bir ifadeyle, ortalama riskten kaçan bir yatırımcının piyasa riskinden ötürü elde edeceği fazla getiri piyasa portföyünün oynaklığı tarafından belirlenecektir. Buna göre;

𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓 = 𝛿𝜎𝑚2 (10)

Burada yer alan 𝛿 ise ortalama bir yatırımcının riskten kaçınma derecesini göstermektedir.

Bir finansal varlığın beklenen getirisi beklenen piyasa risk primi ile Beta’nın çarpımı ile ifade edilmektedir. Bu model çerçevesine göre, sonuç olarak bütün piyasadaki bütün finansal varlıklar yatırımcılar tarafından tutulmaktadır. Eğer finansal varlıklardan biri yatırımcı için daha az cazip hale gelirse söz konusu senedin fiyatı diğer senetler kadar cazip hale gelinceye kadar (beklenen getiri ile sistematik risk arasındaki orana göre) düşecektir. Diğer taraftan yatırımcıların

(33)

riskten kaçınma derecelerinin farklı olması varlıklarının piyasa portföyüne yatırdıkları oranın farklılaşmasına sebep olmaktadır. Yatırımcılar piyasa portföyü dışında kalan varlıklarını ise risksiz getiri sağlayan yatırımlara yönlendirmektedirler. Sonuç olarak, SVFM modelinde, finansal varlıkların etkin bir piyasada sistematik riskiyle beklenen getirisi arasında doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.

Diğer taraftan, hemen her modelde olduğu gibi sermaye varlıkları fiyatlama modelinde de önemli varsayımlar bulunmaktadır. Bunlar kısaca şöyle özetlenebilir:

 Yatırımcılar yatırım yaparken sadece portföyün getiri ve standart sapmasını dikkate almaktadırlar.

 Bütün yatırımcıların beklenen getiri ve standart sapma hakkındaki beklentileri homojendir.

 Piyasada tam rekabet vardır.

 Piyasada risksiz menkul kıymetler de vardır ve bu oran üzerinden istenilen miktarda borç alıp vermek mümkündür.

 Yatırımcı istediği kadar menkul kıymet alıp satabilmektedir.

 Kısa vadeli ödünç ve satış işlemi yapılabilmekte ve vergi, alım-satım komisyonu yoktur. Ayrıca, piyasa işlem maliyeti de sıfırdır.

 Bilgiye erişim kolaydır ve bilgi asimetrisi yoktur.

 Sermaye piyasası dengededir.

Bütün bu varsayımlar çerçevesinde; denge piyasasında fiyatlar olması gerektiği kadardır ve aşırı değerli ya da aşırı ucuz bir varlık bulunmamaktadır. O halde, yatırımcılar herhangi bir ek maliyete katlanmadan piyasadaki varlıklara eşit oranda yatırım yapabilmektedirler. Bütün varlıkların yer aldığı bu portföye “pazar portföyü” denilmektedir. Yatırımcılar ise bu bağlamda yatırımlarını ne oranda pazar portföyüne ne kadarını ise risksiz getiri sağlayan varlıklara

(34)

yönlendireceklerine risk iştahları ölçüsünde karar vereceklerdir. Bu modeli;

modelin denge modeli olması ve risksiz yatırım araçlarını da dikkate alıyor olması Markovitz’in ortalama-varyans modelinden ayırmaktadır. Sermaye varlıkları fiyatlama modeline göre riskli ve risksiz varlıkların ortalama beklenen getirisi aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

𝑟𝑝 = 𝑤𝑟𝑓𝑟𝑓+ (1 − 𝑤𝑟𝑓)𝑟𝑡 (11)

Diğer taraftan risksiz faiz oranının varyansı ve diğer varlıklar ile arasındaki kovaryans sıfır olacağından dolayı portföyün riski:

𝜎𝑝2 = (1 − 𝑤𝑟𝑓)2𝜎𝑡2 (12)

𝜎𝑝 = √(1 − 𝑤𝑟𝑓)2𝜎𝑡2 = (1 − 𝑤𝑟𝑓)𝜎𝑡 (13)

olarak hesaplanabilmektedir.

Bu modelin en önemli varsayımlarından birisi de “sermaye piyasası doğrusu”dur.

Buna göre tamamen çeşitlendirilmiş portföyler için beklenen getiri ve toplam risk arasındaki ilişkiyi göstermektedir (Şekil 3). Söz konusu doğru risksiz faiz oranından başlayarak piyasa portföyüne doğru uzanır ve en iyi sermaye dağılım doğrusudur. Risksiz faiz oranı ile riskli varlıkların ortalama getiri oranları arasındaki fark piyasa risk primini ifade etmektedir. Diğer bir ifadeyle, risk arttıkça getiri de artmaktadır. Her bir riskli menkul değerin getirisi, pazar portföyünün getirisi ile bir ilişki içerisindedir ve bu ilişki de tek değişkenli bir model olarak aşağıdaki şekilde ortaya konmaktadır:

(35)

𝐸(𝑟𝑖) = 𝑟𝑓+ 𝛽𝑖[𝐸(𝑟𝑚) − 𝑟𝑓] (14)

Şekil 3: Sermaye piyasası doğrusu

Kaynak: Altay, E. (2004).

2.3. ENDEKS MODELLER

Markovitz modelinin en önemli zorluklarından birisi de yapılacak analizler için çok sayıda parametrenin tahmininin ve hesaplamalarının yapılması zorunluluğu ve zorluğudur. Her bir senet için beklenen getiri değerleri ve standart sapması ve ayrıca senetlerin birbirleriyle korelasyonlarını gösteren kovaryans matrisinin hesaplanması gerekmektedir. Bu ise ciddi anlamda hem yatırımcılar hem de yatırım uzmanları açısından zor bir süreçtir. Bu sebepten dolayı söz konusu zorlukları ortadan kaldırmak üzere endeks modeller geliştirilmiştir. Endeks modellerde en önemli kolaylaştırıcı unsur hisse senetlerinin birbirleriyle olan kovaryanslarına bakmak yerine, piyasa ortalama getirisi ile her bir hisse senedinin ilişkisine bakılmaktadır. Bunun için ise örneğin tek endeksli modellerde her bir hisse senedi için beta katsayısı hesaplanmaktadır. Bu katsayıya göre ilgili hisse senedinin piyasa ortalama getirisi ve riskine göre riski ölçülebilmektedir.

(36)

Piyasa denge getirisinin beta değeri 1 olarak varsayılmakta ve 1’den büyük beta değerlerine sahip senetler piyasada ortalama 1 birimlik getiri değişimine beta değerleri kadar yani piyasadaki değişimden daha yüksek düzeyde tepki vermektedirler. Benzer şekilde beta değeri 1’den düşük senetler de piyasa denge getirilerindeki ortalama 1 birimlik değişime daha düşük düzeyde tepki geliştirmektedirler.

2.3.1. Tek Endeksli Modeller

Sharpe tarafından geliştirilen tek endeksli modeller Markovitz modeline alternatif olarak geliştirmişlerdir. Bu modelde kullanılan parametre sayısı Markovitz modelinde kullanılan parametre sayısına göre oldukça düşük düzeyde kalmaktadır. Bu model ile elde edilen portföy optimizasyon sonuçları da Markovitz modelinde elde edilen sonuçlara benzerlik göstermektedir. Böylece Markovitz ile benzer sonuçlar üretebilirken, bu model ile Markovitz’deki çok sayıda parametre ve işlemden yatırımcılar kurtulmuşlardır. Hisse senetlerinin getirilerinin ortak ilişkili bir faktöre bağlama varsayımından hareketle hisse senetlerinin birbirleri arasındaki korelasyon ilişkisi yerine getirilerin piyasa getiri indeksi arasında ilişki kurulmuştur (Birgili ve Tuna, 2010). Buna göre,

𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑅𝑚+ 𝜀𝑖 (15)

𝑅𝑖, i hisse senedinin getirisi, 𝑅𝑚, piyasa denge getirisi,

𝛼𝑖, piyasanın durgun olduğu durumlarda i hisse senedinin getirisi, 𝛽𝑖, i hisse senedi ile piyasa arasındaki ilişki katsayısı,

𝜀𝑖, hata terimi

olarak tanımlanmaktadır.

Bu modelde bir portföyün getirisi bu portföyü oluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır.

(37)

𝑅𝑝 = 𝑋𝑖𝑅𝑖 (16)

𝑋𝑖 hisse senedinin portföy içindeki payını, 𝑅𝑝, portföyün getirisi olarak ifade edilmektedir.

Nitekim Sermaye Varlıklarını Fiyatlandırma Modeli de tek endeksli modellere bir örnektir ve piyasada bu konuda en çok kullanılan modeldir.

2.3.2. Çok Endeksli Modeller

Çok endeksli modellerde piyasa denge getirisi ile hisse senetleri getirileri arasındaki ilişkiden yararlanmanın yanı sıra, faiz ya da enflasyon gibi makroekonomik değişkenler de modele dahil edilerek finansal varlıkların beklenen getirileri hesaplanabilmektedir. Çok endeksli modeller, tek endeksli modellere göre finansal varlık fiyatlarını etkileyebilecek makroekonomik değişkenleri de dikkate alarak bir model oluşturduğundan daha doğru sonuçlar verebileceği varsayılmaktadır. Bu modellere örnek olarak aşağıda daha detaylı olarak özelliklerine yer verilecek olan arbitraj fiyatlandırma modeli gösterilebilir.

2.3.3. Arbitraj Fiyatlandırma Modeli

Arbitraj; eş anlı olarak fiyat farklılıklarından faydalanılarak finansal veya finansal olmayan varlıkların aynı veya farklı piyasalarda alınıp satılması işlemidir. Temel olarak finans yönetimi açısından arbitraj, döviz veya menkul kıymetin ucuz olduğu bir finansal piyasadan satın alarak aynı varlığın pahalı olduğu başka bir piyasaya satılmasıdır. Eğer arbitraj iki farklı piyasada yapılacak olursa bu durumda buna faiz-kur arbitrajı da denilmektedir. Bu işlemi diğer bütün finansal işlemlerden ayıran en önemli özelliği herhangi bir finansal risk üstlenmeden işlem yapılmasıdır.

Arbitraj fiyatlandırma modelinde ise, yukarıda tarifi verilen arbitraj durumunun ilgili finansal piyasada olmadığı varsayımı bulunmaktadır. Bu model, tek fiyat yasası olarak da anılan kurala bağlanmakta ve bir malın tek bir fiyatı olduğu değerlendirilmektedir. Buna göre, bir varlığın iki farklı fiyatı olduğunda yatırımcılar

(38)

bu durumdan faydalanacak ve söz konusu fark kısa bir sürede giderilerek kısa zamanda denge fiyatı olan tek fiyata gelinecektir. Ayrıca bu modelde sermaye varlıklarını fiyatlandırma modelinden farklı olarak varlık fiyatlarını birden fazla faktörün etkileyebilmesi durumudur. Ek olarak bu modelde sermaye varlıklarını fiyatlandırma modeline göre daha basit ve az sayıda varsayımları bulunmaktadır.

Bunlar; sermaye piyasalarının tam rekabet altında olması, yatırımcıların aynı risk düzeyinde yüksek getiriyi düşük getiriye tercih etmeleri ve finansal varlıkların getirilerinin doğrusal ve çok faktörlü bir model ile gösterilebilmesi gibi varsayımları mevcuttur. Genel olarak sermaye varlıklarını fiyatlama modeline göre arbitraj fiyatlama modelinin daha iyi sonuçlar üretiyor olması ve daha az sayıda varsayımlara dayanıyor olsa da sermaye varlıklarını fiyatlandırma modelinin daha basit ve uygulanabilir bir model olmasından dolayı piyasada daha çok kullanılan bir model olduğu değerlendirilmektedir.

Arbitraj fiyatlama modeli ilk olarak Roll ve Ross (1980) çalışması ile test edilmiştir.

Bu modeli matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

𝑅𝑖 = 𝑅𝑓+ (𝑅𝑖 − 𝑅𝑓)𝑏𝑖1+ ⋯ (𝑅𝑗− 𝑅𝑓)𝑏𝑖𝑗 (17)

Burada 𝑅𝑖, i hisse senedinin beklenen getirisini, 𝑅𝑓, risksiz faiz oranını,

𝑏𝑖1, i hisse senedinin 1 inci faktör katsayısını,

𝑏𝑖𝑗, i hisse senedinin j inci faktör katsayısını ifade etmektedir.

Özetlemek gerekirse, arbitraj fiyatlama modeli finansal varlıkların beklenen getirilerini hesaplamak için oluşturulmuş bir denge modelidir. Diğer taraftan, bu model sermaye varlıklarını fiyatlama modeline göre daha çok sayıda faktör içerdiğinden dolayı bu modeli doğru bir şekilde uygulamak ve sonuç alabilmek için doğru faktörlerin seçimi önem arz etmektedir. Sermaye varlıklarını fiyatlama modeline göre daha az varsayım içermekle birlikte kullanım kolaylığı açısından sermaye varlıklarını fiyatlama modeline göre daha geridedir. Diğer taraftan sermaye varlıkları fiyatlandırma modeline göre daha çok faktör değerlendirilerek

(39)

oluşturduğundan dolayı bu modelle elde edilen sonuçların daha doğru ve tutarlı olduğu değerlendirilmektedir.

2.3.4. Fama – French Üç Faktörlü Varlık Fiyatlama Modeli

Fama ve French tarafından 1992 yılında geliştirilen bu modelde, finansal varlıkların beklenen getirileri, piyasa portföy getirisi haricinde ilgili portföyün büyüklüğü ve piyasa değeri/defter değeri oranının da etkili faktörler olarak değerlendirilmektedir. Dolayısıyla, sermaye varlıkları fiyatlandırma modeline yukarıda bahsi geçen iki faktör daha eklenerek aşağıda matematiksel ifadesi verilen üç faktörlü varlık fiyatlama modeli oluşturulmuştur.

𝑅𝑖 = 𝑅𝑓+ 𝛽𝑖𝑚(𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓) + 𝛽𝑖𝑠𝐸(𝑆𝑀𝐵) + 𝛽𝑖ℎ𝐸(𝐻𝑀𝐿) (18)

Burada 𝑅𝑖, i hisse senedinin beklenen getirisi, 𝑅𝑓, Risksiz faiz oranını,

SMB: Küçük ve büyük piyasa değerlerine sahip hisselerin getiri değerleri arasındaki fark,

HML: yüksek ve düşük piyasa değeri/defter değeri oranına sahip hisse senetlerinin getirileri arasındaki fark,

𝛽𝑖𝑚, portföyün fazla getirilerinin piyasanın fazla getirilerine karşı duyarlılığı 𝛽𝑖𝑠, Portföyün fazla getirilerinin, SMB getirilerine karşı duyarlılığı

𝛽𝑖ℎ, Portföyün fazla getirilerinin HML getirilerine karşı duyarlılığı olarak ifade edilmektedir.

Bu modelde hisse senetlerinin beklenen getirilerinin; piyasanın risksiz faiz oranı üzerindeki fazla getirisine, piyasanın kapitalizasyonu düşük olan hisse senetleri ile yüksek olan hisse senetleri getirileri arasındaki farka (SMB), piyasa değeri/defter değeri oranının düşük yüksek olan hisselerden oluşan portföyün getirisi ile düşük oranlı hisselerin oluşturduğu portföyün getirisi arasındaki farktan (HML) etkilendiği ifade edilmiştir (Fama ve French, 1997).

Piyasada finansal varlıkların getirileri ile ilgili olarak ortaya atılan modellerden hangilerinin hangi piyasalarda geçerli olduğu konusunda tartışmalar vardır. Üç

Referanslar

Benzer Belgeler

 Two-step flow (iki aşamalı akış): ilk aşamada medyaya doğrudan açık oldukları için göreli olarak iyi haberdar olan kişiler; ikinci. aşamada medyayı daha az izleyen

Dünya nüfusunun hızla artması, tüketim maddelerinin çeĢitliliği ve tüketim alıĢkanlıklarının değiĢmesi ciddi bir atık sorunuyla karĢı karĢıya kalmamıza

Yücelen, 1951’deki Bakanlar Kurulu kararı nüfus kütüğüne yansımadığı için vatandaşlığı tam 51 yıl sonra, geçen hafta düşürüldüğü açıklanan Nâzım

證券櫃檯買賣中心善盡社會責任,捐資北醫附醫購置救護車乙輛 財團法人中華民國證券櫃檯買賣中心歲末感恩,捐贈臺北醫學大學附設醫院救護車

69 yaşındaki deneyimli politikacının, sağ eğilim li seçmenlerden büyük kısmıyla birlikte bazı tarafsız seçmen gruplarının oylarını topla­

In This Paper, We Introduce The Concept Of At Most Twin Outer Perfect Domination Number Of A Graph And Investigate This Number For Some Standard Classes Of

Elde edilen sonuçlara göre; vücut kitle indeksi, vücut yağ oranı ve kütlesi, relatif bacak kuvveti ve dikey sıçrama açısından gruplar arası fark olmadığı, yaş,

BIST-30 Endeksi portföy seçim probleminde, Polinomsal Hedef Programlama modeli ve önerilen Kısmi Hedef Programlama yaklaşımı, ortalama varyans çarpıklık