Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı Matematik Eğitimi Programı
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İKİ KATLI İNTEGRALE YÖNELİK KAVRAM İMAJLARI
Mustafa ÖZBEY
Doktora Tezi
Ankara, 2022
Liderlik, araştırma, inovasyon, kaliteli eğitim ve değişim ile
Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı Matematik Eğitimi Programı
MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İKİ KATLI İNTEGRALE YÖNELİK KAVRAM İMAJLARI
CONCEPT IMAGES OF PROSPECTIVE MATHEMATICS TEACHERS FOR THE DOUBLE INTEGRAL
Mustafa ÖZBEY
Doktora Tezi
Ankara, 2022
Kabul ve Onay Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne,
Mustafa ÖZBEY’in hazırladığı “Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegrale Yönelik Kavram İmajları” başlıklı bu çalışma jürimiz tarafından Matematik ve Fen Bilimleri Ana Bilim Dalı, Matematik Eğitimi Bilim Dalında Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir.
Jüri Başkanı Prof. Dr. Ahmet ARIKAN İmza
Jüri Üyesi (Danışman) Prof. Dr. Şenol DOST İmza
Jüri Üyesi Prof. Dr. Memet KULE İmza
Jüri Üyesi
Doç. Dr. Nazan SEZEN
YÜKSEL İmza
Jüri Üyesi Doç. Dr. Elif SAYGI İmza
Enstitü Yönetim Kurulunun
…./…/…. Tarihli ve ……
sayılı kararı.
Bu tez Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim, Öğretim ve Sınav Yönetmeliği’nin ilgili maddeleri uyarınca yukarıdaki jüri üyeleri tarafından 05 / 09/ 2022 tarihinde uygun görülmüş ve Enstitü Yönetim Kurulunca ... / ... / ... tarihi itibarıyla kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Selahattin GELBAL Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürü
Öz
Bu çalışmada matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik kavram imajları araştırılmıştır. Bu araştırmada temel nitel araştırma deseni kullanılmıştır. Çalışmanın katılımcılarını Ankara’daki bir devlet üniversitesindeki matematik öğretmenliği lisans programında öğrenim gören altı matematik öğretmen adayı oluşturmaktadır. Araştırmanın verilerini yarı yapılandırılmış görüşmeler, 3B KİT şeklinde isimlendirilen somut materyal ile yapılan etkinlik ve yarı yapılandırılmış görüşmeler sırasında katılımcıların uygulama sorularına verdikleri yazılı cevaplar oluşturmaktadır. Elde edilen verilere; gömülü teoride kullanılan açık kodlama, eksensel kodlama ve seçici kodlama tekniklerinden yararlanılarak, içerik analizi yapılmıştır. Bu araştırmanın sonucunda katılımcıların iki katlı integral kavramına yönelik kavram imajlarının iki katlı integralin geometrik yapısı ve hesaplanması üzerinde toplandığı görülmüştür. Katılımcıların kavram tanımı ile kavram imajı arasında ilişki kuramadıkları, iki katlı integrale yönelik kavram imajlarında tek katlı integrale ait kavramların etkin olduğu ve işlemsel bilgi ile hareket ettikleri belirlenmiştir. Ayrıca 3B KİT somut materyalinin iki katlı integrale yönelik kavram imajlarına olumlu etkisi görülmüştür.
Anahtar sözcükler: iki katlı integral, kavram imajı, kavram tanımı, işlemsel bilgi, kavramsal bilgi, matematik öğretmen adayı, matematik eğitimi, somut materyal
Abstract
The purpose of this study is to investigate the concept images of the prospective mathematics teachers for the double integral. The basic qualitative research pattern was used in this study. The participants consisted of six prospective mathematics teachers who studied in Mathematics Teaching Department in undergraduate level of a state University, Ankara. The data of research were collected via semi-structured interviews, the activities with concrete materials named 3B KIT, the written responses of the participants to practice questions during semi-structured interviews. The obtained data from the instruments were analyzed through content analysis with the help of the open coding used in grounded theory, axial and selective coding. The results of the study showed that the concept images of the participants for the double integral generally focused on the geometric structure and calculation of the double integral. The finding also indicated that participants could not make any relation between concept definition and concept image, the concept of one-variable (single) integral within the concept images for the double integral were active and acted with procedural knowledge. Moreover, the results also displayed that 3D KIT concrete material had positive effects on concept images for the double integral.
Keywords: the double integral, concept image, concept definition, procedural knowledge, conceptual knowledge, prospective mathematics teachers, mathematics education, concrete material
Teşekkür
Araştırmanın her aşamasında ve tezimin her satırında bana yardımcı olan, benden bilgi, birikim yardımlarını esirgemeyen, umutsuzluğa düştüğümde her konuda nisan yağmurları gibi benim ümitlerimi yeşerten, pratik zekâsına hayran olduğum, değerli katkıları ve yorumlarıyla beni destekleyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Şenol DOST’a teşekkürlerimi sunarım.
Bilgisini, deneyimini ve katkıları esirgemeyen, emekli olsa da bu uzun tez yolcuğunda her an bana destek olmak için yanımda hissettiğim, değerli yorumları ile beni yönlendiren Sayın Prof. Dr. Ali BÜLBÜL’e teşekkür ederim.
Bilgisini, deneyimini ve katkılarını esirgemeyen, emekli olsa da her an katkı sağlamaya hazır, bilimsel araştırmalar dersleriyle bende ufuklar açan, her zaman destek olan Sayın Dr. Öğrt. Üyesi Canan YANIK’a teşekkür ederim.
Tez izleme komitelerinde yer alan öneri ve eleştirileriyle farklı bakış açılarıyla bana yol gösteren ve yeni ufuklar açan Sayın Prof. Dr. Ahmet ARIKAN’a ve Doç. Dr. Nazan SEZEN YÜKSEL’e teşekkür ederim. Tez savunma jürisinde bulunan öneri ve farklı bakış açıları ile yol gösteren Sayın Prof. Dr. Memet KULELİ ve Doç. Dr. Elif SAYGI’ya teşekkür ederim. Ders döneminde ufkumu açan Sayın Prof. Dr. Necla TURANLI ve Prof. Dr. Nilgün SEÇKEN’e teşekkür ederim.
Tez yeterlilik sınavı jürisinde yer alan, güler yüzlülüğü ve moral vermesiyle her zaman bana destek olan Doç. Dr. Yasemin SAĞLAM KAYA’ a teşekkür ederim.
Tez savunma aşamasında her konuda bana yardımcı olan doktora arkadaşım Sema İPEK ER ve Cafer Can KARTAL’a teşekkür ederim.
Beni bu günlere getiren, her zaman bana destek olan annem ve babama teşekkür ederim. Tezin bir an önce bitmesi için her zaman bana moral veren, beni destekleyen eşim ve ikiz kızlarıma sonsuz teşekkür ediyorum.
İçindekiler
Kabul ve Onay ... ii
Öz ... iii
Abstract ... iv
Teşekkür... v
Tablolar Dizini ... ix
Şekiller Dizini ... x
Simgeler ve Kısaltmalar Dizini ... xv
Bölüm 1 Giriş ... 1
Problem Durumu ... 1
Araştırmanın Amacı ve Önemi ... 6
Araştırma Problemi ... 8
Sayıltılar ... 9
Sınırlılıklar ... 9
Tanımlar ... 10
Bölüm 2 Araştırmanın Kuramsal Temeli ve İlgili Araştırmalar... 11
Kalkülüs Dersi ... 11
İntegral Kavramı ... 15
İki Katlı İntegral ... 19
İki Katlı İntegral Kavramının Özellikleri ... 23
İki Katlı İntegral Kavramı İle İlgili Yapılan Çalışmalar ... 27
Çalışmanın Teorik Çerçevesi ve Tanımlar ... 37
Bölüm 3 Yöntem ... 51
Araştırmanın Dayandığı Temel Paradigma ... 52
Araştırmanın Deseni ... 55
Araştırmacının Rolü ... 57
Araştırmanın Katılımcıları ... 58
Veri Toplama Araçları ... 61
Veri Toplama Süreci ... 68
Fenomenin Keşfedildiği Veri Analiz Süreci ... 76
Araştırmada Geçerlik ve Güvenirlik Perspektiflikleri ... 85
Araştırmanın Etik Perspektifi ... 88
Bölüm 4 Bulgular ve Yorumlar ... 91
4.1. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Kavramına Yönelik Kavram İmajlarının “Alan” ile İlişkisi ... 91
4.2. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Kavramına Yönelik Kavram İmajlarının “Hacim” ile İlişkisi ... 113
4.3. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine Yönelik Kavram İmajları ... 132
4.4. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Hesaplanmasına Yönelik Kavram İmajları ... 189
4.5. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Formal Tanıma Yönelik Anlayışları ... 230
4.6. Somut Materyalin Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Kavramına Yönelik Kavram İmajlarına Etkisi ... 245
Bölüm 5 Sonuç, Tartışma ve Öneriler ... 258
Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Geometrik Yapısına Yönelik Kavram İmajlarına Ait Sonuçlar ... 258
Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine Yönelik Kavram İmajlarına Ait Sonuçlar ... 267
Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Hesaplanmasına Yönelik Kavram İmajlarına Ait Sonuçlar ... 273
Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Formal Tanımına Yönelik Sonuçlar ve Değerlendirmeler ... 278
İki Katlı İntegral Kavramının Öğrenilmesinde Somut Materyalin Kavram İmajlarına
Etkisine Yönelik Sonuçlar ve Değerlendirmeler ... 280
Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegrale Yönelik Kavram İmajlarının
Özeti ve Kavram İmajı-Kavram Tanımı İlişkisi ... 282
Öneriler ... 288
Kaynaklar ... 292
EK-A: 1. Yarı Yapılandırılmış Görüşme Soruları ... cccxxii
EK-B: 2. Yarı Yapılandırılmış Görüşme Soruları ... cccxxiv
EK-C: 3. Yarı Yapılandırılmış Görüşme Soruları ... cccxxvii
EK-D: 4. Yarı Yapılandırılmış Görüşme Soruları ... cccxxxi
EK-E: 3B KİT ile Yapılan Etkinlik Formu ... cccxxxiii
EK-F: 3B KİT ile Yapılan Etkinlik Sonrası Yarı Yapılandırılmış Görüşme Soruları
... cccxxxvii
EK-G: Etik Komisyonu Onay Bildirimi ... cccxxxix
EK-H: Etik Beyanı ...cccxl
EK-I: Yüksek Lisans/Doktora Tez Çalışması Orijinallik Raporu ... cccxli
EK-J: Thesis/Dissertation Originality Report... cccxlii
EK-K: Yayımlama ve Fikrî Mülkiyet Hakları Beyanı ... cccxliii
Tablolar Dizini
Tablo 1
Bir Eğrinin Altında Kalan Alan Temsilinin Riemann Tanımına GöreKatmanları ... 17
Tablo 2 Riemann İntegrali Tanımını Anlamanın Çerçevesi ... 22
Tablo 3 Nicel ve Nitel Araştırıma Arasındaki Farklar ... 54
Tablo 4 Bu Çalışmasının Perspektifi ... 56
Tablo 5 Pilot Uygulamasının Katılımcılarının Özellikleri ... 59
Tablo 6 Asıl Uygulama Katılımcılarının Özellikleri ... 61
Tablo 7
Analiz 4 Dersinde İki Katlı İntegral Konusunda Çözülen Soru Çeşitleri ve Adetleri ... 70Tablo 8
Boeije (2002) Sürekli Karşılaştırma Analizi İçin Geliştirdiği Bazı Farklı Adımlar ... 80Tablo 9 Alan Kategorisin Alt Kategorilerinin Özeti ... 83
Tablo 10 İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesini Alan Olarak Gören Katılımcıların Kod
Frekansı ... 133Tablo 11 İntegrandı Tek Değişkenli Bir Fonksiyon Olarak İfade Eden Katılımcıların
Kod Frekansı ... 149Tablo 12
İntegralin Sembolik İfadesinin Sayısını İntegralin Geometrik Temsilinin Boyutu ile Bağlantı Kuran Katılımcıların Kod Frekansı ... 185Tablo 13 Ö1’in 3B KİT ile Yapılan Etkinlik Öncesi ve Sonrası İki katlı İntegrale İlişkin
Kavramlardaki Değişimleri ... 281Şekiller Dizini
Şekil 1 Matematikte Farklı Kavram ve Süreçlerin Gelişim Hiyerarşisi ... 13
Şekil 2 Öğrencilerin İntegrasyona Yönelik Kavram İmajı ... 31
Şekil 3 Matematik Eğitimin Bileşenleri (Argün ve ark., 2014) ... 39
Şekil 4 Matematiksel Kavramların Zihinsel Görüntüsü ... 41
Şekil 5 P Noktasında Teğet Doğrusu Çizilmesi İstenen Grafikler ... 43
Şekil 6 Kavram İmajı ve Kavram Tanımı Özeti ... 45
Şekil 7 Bir Formal Kavramın Bilişsel Gelişimi ... 46
Şekil 8 Tanım ve İmaj Arasındaki Etkileşim ... 46
Şekil 9 Sezgisel Düşünceyi İzleyen Sonuç Çıkarma ... 47
Şekil 10 Formal Yapıya Yönelik Sonuç Çıkarma ... 47
Şekil 11 İmaj Oluşumunu Etkileyen Uygun Olmayan Kavram İmajı ... 49
Şekil 12 Paradigmanın İki Farklı Düzeyde Sınıflandırılması ... 53
Şekil 13 Etkinlik İçin Kullanılan 3B Kit ... 65
Şekil 14 Etkinlik İçin Kullanılan 3B Kitte 𝑥 ve 𝑦-Eksenlerine Karşılık Gelen Küçük Delikli Tahta ... 66
Şekil 15 Etkinlik İçin Kullanılan 3B Kitte 𝑧-Eksenine Karşılık Gelen Cetvel ... 66
Şekil 16 Etkinlik İçin Kullanılan 3B Kitte Noktaları (Yükseklik) Temsil Eden Çubuklar ... 67
Şekil 17 Etkinlik İçin Kullanılan 3B Kitte Prizmaların Üst Tabanını Temsil Eden Levhalar ... 67
Şekil 18 Analiz 4 Dersinde Alınan Not Örneği... 69
Şekil 19 Pilot Uygulamada Alan Kodunun Sınıflandırılması ... 72
Şekil 20 Ö1 ile Yapılan 3B Etkinliği ... 75
Şekil 21 Araştırmanın Veri Toplama ve Veri Analiz Süreci Özeti ... 85
Şekil 22 Katılımcıların İki katlı İntegral ile “Neyin Alanını Buldukları” İfadelerinin Sınıflandırılması ... 92
Şekil 23 Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 94
Şekil 24 Ö3’ün İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 95
Şekil 25 Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 97
Şekil 26 Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 98
Şekil 27 Ö5’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 99
Şekil 28 Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumları ... 99
Şekil 29 Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 100
Şekil 30 Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 101
Şekil 31 Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu ... 102
Şekil 32 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına İlişkin Yorumlarının
Sınıflandırılması ... 103
Şekil 33 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına Arasındaki Bağıntıya Ait
Yorumlarının Sınıflandırılması ... 107
Şekil 34 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına İlişkin Yorumlarının
Sınıflandırılması ... 110
Şekil 35 Ö1’nin EK-A Problem (3)’e İlişkin Yorumu ... 111
Şekil 36 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile “Neyin Hacmini Buldukları” İfadelerinin
Sınıflandırılması ... 114
Şekil 37 Ö2’nin İki Katlı İntegrali Geometrik Olarak Gösterirken Çizdiği Şekil ... 115
Şekil 38 Ö2’nin İki Katlı İntegral Problemi Çözerken Çizdiği Şekil ... 116
Şekil 39 Ö2’nin İki Katlı İntegrale Örnek Verirken Çözerken Çizdiği Şekiller ... 117
Şekil 40 Ö4’ün İki Katlı İntegralin Geometrik Temsiline Yönelik Çizimi ... 119
Şekil 41 Katılımcıların İki Katlı İntegralde Hacim Hesaplanabilmesi İlişkin
Yorumlarının Sınıflandırılması ... 120
Şekil 42 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Hacim Arasındaki İlişkiye Ait Yorumlarının
Sınıflandırılması ... 124
Şekil 43 Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Hacim Problemi Çözerken Yaptıkları
Yorumlarının Sınıflandırılması ... 130
Şekil 44 Katılımcıların İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine Yönelik Çağrışımlarının
Sınıflandırılması ... 132
Şekil 45 Ö1’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik
Yapısına Yönelik Çizdiği Şekiller ... 135
Şekil 46 Ö1’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik
Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil ... 136
Şekil 47 Ö2’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik
Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil ... 137
Şekil 48 Ö5’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik
Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil ... 142
Şekil 49 Ö2’nin İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesinin Temsil Ettiği Geometrik
Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil ... 145
Şekil 50 Katılımcıların İntegrand Hakkındaki Anlayışlarının Sınıflandırılması .... 149
Şekil 51 Ö1’in İntegrallenemeyen İki Değişkenli Fonksiyona Ait Yorumu ... 150
Şekil 52 Ö2’in İntegranda Ait Yorumları ve Çizdiği Grafikler ... 151
Şekil 53 Ö4’ün İntegrand Fonksiyona Ait Çizdiği Grafik ... 152
Şekil 54 Ö6’nın İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 152
Şekil 55 Ö1’in İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 155
Şekil 56 Ö6’nın İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 156
Şekil 57 Ö2’nin İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 159
Şekil 58 Ö4’ün İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 160
Şekil 59 Ö6’nı İntegranda Ait Çizdiği Grafik ... 161
Şekil 60 Katılımcıların İntegrali Alınmayan Fonksiyonlar Hakkındaki Anlayışlarının Sınıflandırılması ... 166
Şekil 61 Katılımcıların İntegrandın Özel Durumları Hakkındaki Anlayışlarının Sınıflandırılması ... 170
Şekil 62 Katılımcıların İntegrasyon Bölgesi Hakkındaki Anlayışlarının Sınıflandırılması ... 174
Şekil 63 Ö1’in İntegrasyon Bölgesi Olarak Çizdiği Şekiller ... 176
Şekil 64 Ö1 ve Ö3’ün İntegrasyon Bölgesi Olarak Çizdiği Şekiller ... 177
Şekil 65 Ö5’in İntegrasyon Bölgesi Olarak Çizdiği Şekiller ... 178
Şekil 66 Katılımcıların 𝑑𝑥𝑑𝑦 Operatörü Hakkındaki Anlayışları... 179
Şekil 67 Ö4’in İntegrasyon Değişkenlerine Yönelik Yorumları ... 181
Şekil 68 Katılımcıların 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Hakkındaki Anlayışları ... 182
Şekil 69 Katılımcıların İki Katlı İntegral Sembolü Hakkındaki Anlayışları ... 185
Şekil 70 Ö3’in İntegral İşaretine Yönelik Yorumları ... 187
Şekil 71 Katılımcıların İki Katlı İntegralin Sonucunu Sıfır Bulduklarındaki Görüşlerinin Sınıflandırılması ... 190
Şekil 72 Ö2’nin Katlı İntegralin Sıfır Çıkmasına Yönelik Geometrik Yorumu ... 195
Şekil 73 Katılımcıların İki Katlı İntegralin Sonucunu Negatif Değer Bulduklarındaki Görüşlerinin Sınıflandırılması ... 196
Şekil 74 Ö2’in İki Katlı İntegralde Sonucun Negatif Çıkması Durumundaki İntegral Hakkındaki Geometrik Yorumu ... 199
Şekil 75 Katılımcıların Fubini Teoremi’ne Yönelik Görüşlerinin Sınıflandırılması 202
Şekil 76 Katılımcıların İntegral Sırası Değiştirme Stratejilerinin Sınıflandırılması
... 205
Şekil 77 Katılımcıların İntegral Sırası Değiştirme Stratejilerinin Sınıflandırılması
... 207
Şekil 78 Ö1’in İki Katlı İntegralde İntegral Sırası Değiştirirken Yaptığı İşlemler . 213 Şekil 79 Katılımcıların Kutupsal Koordinatlara Yönelik Anlayışlarının Sınıflandırılması ... 214
Şekil 80 Ö2’in İki Katlı İntegralde Kartezyen Koordinatlarda Kutupsal Koordinatlara Geçmeye Yönelik Yorumu ... 218
Şekil 81 Katılımcıların Küresel Koordinatlar Hakkındaki Kavram İmajlarının Sınıflandırılması ... 219
Şekil 82 Katılımcıların Jakobiyen Hakkındaki Kavram İmajlarının Sınıflandırılması ... 222
Şekil 83 Katılımcıların Değişken Değiştirme Gereksinimlerinin Sınıflandırılması 224 Şekil 84 İki Katlı İntegrali Tek Katlı İntegralin Bilgi Olarak Genişlemesi Olarak Gören Katılımcıların Kavram İmajlarının Sınıflandırılması ... 225
Şekil 85 Ö1’in İki Katlı İntegrale Bakış Açısı ... 226
Şekil 86 İki Katlı İntegrali Deyince Has Olmayan İntegral Kavramını Hatırlayan Katılımcıların Kavram İmajlarının Sınıflandırılması ... 227
Şekil 87 İki Katlı İntegralin Formal Tanıma Yönelik Bazı Bileşenlerinin Sınıflandırılması ... 231
Şekil 88 Ö1’in Formal Tanıma Ait Çizdiği Şekiller ... 233
Şekil 89 Ö1’in EK-C Soru (1) ve (2)’de Çizilen Şekiller ve İşlemler ... 237
Şekil 90 Ö2’in EK-C Soru (1) ve (2)’de Çizilen Şekiller ve İşlemler ... 238
Şekil 91 Ö2’in EK-C Soru (4)’de Yaptığı İşlemler ... 240
Şekil 92 Ö3’in EK-C Soru (4)’de Yaptığı İşlemler ... 243
Şekil 93 Ö5’in EK-C Soru (5)’de Yaptığı Eşlemeleri ... 244
Şekil 94 Ö1’in Birinci Uygulama Etkinliğine İlişkin İşlemleri ... 246
Şekil 95 Ö1’in İkinci Uygulama Etkinliğine İlişkin İşlemleri ... 248
Şekil 96 Ö1’in Üçüncü Uygulama Etkinliğine İlişkin İşlemleri ... 249
Şekil 97 Ö1’in İki Katlı integralin Formal tanıma İlişkin Yazdığı İfadeler ... 251
Şekil 98 Ö1’in İki Katlı İntegralin İntegrasyon Bölgesine Ait Örneği ... 252
Şekil 99 Ö1’in İntegranda İlişkin Geometrik Gösterimi ... 253
Şekil 100 Ö1’in Dördüncü Soruya Yönelik Çözümü ... 254
Şekil 101 Ö1’in Beşinci Soruya Yönelik Çözümü ... 255
Şekil 102 Ö1’in İki Katlı İntegralin Geometrik Temsiline İlişkin Şekli ... 255
Şekil 103 Ö1’in Yarı Yapılandırılmış Görüşmenin Dokuzuncu Sorusuna İlişkin
İşlemleri ... 256
Şekil 104 Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Geometrik Yapısına
Yönelik Kavram İmajları ... 259
Şekil 105 Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine
Yönelik Kavram İmajları ... 268
Şekil 106 Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Hesaplanmasına
Yönelik Kavram İmajları ... 274
Şekil 107 İki Katlı İntegralin Formal Tanıma Yönelik Bileşenlerinin Sınıflandırılması
... 278
Şekil 108 İki Katlı İntegrale Yönelik Kavram İmajlarının İki Merkezi Kategorisi .. 283
Şekil 109 Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Yönelik Kavram Tanım
ve Kavram İmajı İlişkisi ... 286
Şekil 110 İleri Matematik Kavramlarında Kavram Tanımı ve Kavram İmajı ... 287
Simgeler ve Kısaltmalar Dizini MEB: Milli Eğitim Bakanlığı
NCTM: National Council of Teachers of Mathematics NRC: National Research Council
STEM: Science, Technology, Engineering, Mathematics
Bölüm 1 Giriş
İleri matematik kavramları daha soyut ve çoğu öğrenci için anlaşılması zor kabul edilir. Bu çalışma Analiz (kalkülüs) 4 çerçevesinde, matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral kavramına yönelik nasıl bir anlayış geliştirdiklerine odaklanmaktadır. Çalışma kapsamında iki katlı integral kavramı, kavram imajı teorik çerçevesi bakış açısı ile incelenecektir. Matematik eğitim araştırmaları içinde kavram imajı teorisine ilişkin geniş bir alanyazın yer almaktadır. Kavram imajının matematik eğitiminde geçmişinin çok eskiye dayanması, matematiksel kavramların farklı bakış açısıyla incelenmesini sağlamıştır.
Problem durumu, araştırmanın amacı ve önemi, araştırma problemi, sayıltılar, sınırlılıklar ve tanımlar bu bölümde ele alınmıştır.
Problem Durumu
Matematik, 21. yüzyılda teknolojinin olağanüstü gelişmesi ile birlikte hiçbir yüzyılda olmadığı kadar hayatın içine girmeye başlamıştır (Matematik Öğretmeleri Ulusal Konseyi [NCTM], 2000). Bu yüzyılda; nüfus tahminlerinden deprem tahminlerine, savaş teknolojisinden film sektörüne, yazılımlardan ev teknolojisine kadar her alanda matematiğe daha fazla ihtiyaç duyulmuştur. Dolayısıyla matematik eğitimi daha önem kazanmıştır.
Öğretmen, öğrenci ve müfredat bu eğitimin temel taşları olup öğrenci ve müfredatı şekillendirecek öğretmendir (Cohen & Ball, 2000; Jaworski, 1999). Öğrencilerin matematiksel düşüncesinin ve yeterliklerinin gelişmesi matematik öğretmenlerinin yeteneklerine bağlıdır (Mapolelo & Akinsola, 2015; Pino-Fan ve ark., 2018).
1980 yılına kadar öğretmen kolejlerinde yapılan öğretmen eğitimi, üniversitelerde yapılmaya başlanması ile akademik çalışmalarının odak noktası olmaya başlamıştır (Musset, 2010; NCTM, 1980). Öğretmen yetiştirme programları ülkeden ülkeye farklılık göstermekte olup genel olarak disiplin çalışmaları, eğitim çalışmaları ve öğretim uygulamalarından oluşmaktadır (Comiti & Ball, 1996). Yani matematik eğitimi programı;
öğretmen adaylarının derin alan bilgisi, alana yönelik pedogojik bilgisi ve öğrencilerin bilişsel gelişimini sağlayacak bilgiye sahip olunması çerçevesinde şekillenmektedir (Loewenberg Ball ve ark., 2008; Shulman, 1987). Alan bilgisi matematiğin doğası ve öğretmen bilgisinin zihinsel organizasyonu kapsamaktadır (Fennema & Franke, 1992). Öğretmen yetiştirme programları matematik biliminin doğasını, öğretmen adaylarına iyi yansıtabilmeli ki öğrencilerin matematik düşüncesinin gelişmesini sağlanabilsin (Dossey, 1992; Loucks- Horsley ve ark., 2010). Öğretmenlerin düşünme yapıları, zihinsel şemaları ve inançları, sınıf ortamındaki öğretmenlik uygulamalarını ve öğrencilerin öğrenmesini etkilemektedir (Ernest, 1988; Heid ve ark., 1998). Dolayısıyla matematik öğretmenlerinin ileri düzey matematik düşüncesine sahip olması gerekmektedir. Ama okul matematiği ile ilgili kalkülüs kavramları, geometri, olasılık, cebir, kümeler, problem çözme gibi konularda öğretmenlerin ciddi sorunları bulunmaktadır (Ponte & Chapman, 2015). İleri matematik bilgisi ve düşüncesi öğretmen yetiştirme programlarında matematik dersleri ile verilmektedir. Doğal olarak matematik öğretecek matematik öğretmenlerinin matematiksel düşüncesinin gelişmiş olması beklenmektedir. Bu nedenle öğretmen yetiştirme programları matematik disiplininin doğasını öğretmen adaylarını yansıtabilmelidir (Loucks-Horsley ve ark., 2010). Üniversitede matematik derslerinin standartını düşürmek, matematik öğretmenlerinin kalitesinin düşmesine neden olabilir (Maltas & Prescott, 2014).
Matematik öğretiminin en önemli amaçlarından biri, bireyin anlayarak matematik öğrenmesidir (Skemp, 1976). Matematiksel işlemlerin neden yapıldığı ve kavramların arasındaki ilişkilerin fark edilmesi önem arz etmektedir. Çünkü makineleşen dünyada çoğu işlemi makineler yapabilmektedir ama muhakeme etme ve problem çözmenin merkezinde değişmeyen figür insandır. Bu nedenledir ki problem çözme müfredatların ve matematik öğretiminin ayrılmaz parçasıdır (Foshay & Kirkley, 2003). Matematik eğitimi literatürünü incelediğimiz zaman ve problem çözme sürecinde bilgi kaynağı olarak işlemsel ve kavramsal bilgi ön plana çıkmaktadır (Hiebert & Carpenter, 1992; Skemp, 1976). Problem çözme sürecinin hedefe ulaşabilmesi için bu iki bilgi türünün dengelenmesi gereklidir
(Hiebert & Carpenter, 1992; Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Matematik öğretmen adaylarının daha çok işlemsel bilgi ile hareket ettikleri tespit edilmiştir (Watson & Mason, 2007). Ayrıca Mewborn (2003) çalışmasında matematik öğretmenleri için etkili mesleki gelişim araştırmaları çalışmasında, matematiksel bilgi açısından da çoğu öğretmenin zengin ve derin bilgiye sahip olmadıkları görülmüştür.
Teknolojinin gelişmesine katkı sağlayan ve matematik öğretmen adaylarının gördüğü lisans derslerinde birisi de kalkülüstür (Fothergill, 2011; Stewart, 2009). Kalkülüs, matematiğin temel alanlarından biridir ve bilim, mühendislik ve istatistik dahil olmak üzere birçok disiplinde ders olarak verilmektedir. 1980'den beri öğrencilerin kalkülüsü daha iyi anlamaları için yoğun çalışmalar yapılmıştır (Douglas, 1987). Kalkülüs dersinin öğrenciler tarafından anlaşılmasında zorluklar yaşanmaktadır (Anderson & Loftsgaarden, 1987). Tall (1993), kalkülüs dersinde öğrencilerin zorluk yaşamasının nedenlerinden bazılarını;
fonksiyonların kısıtlı zihinsel imajı, gerçek hayat problemlerinin kalkülüs dersine aktarım zorluğu, öğrencilerin kavramsal anlamadan daha çok işlemsel anlama becerilerinin ağırlık basması, uygun temsil seçmekteki zorluklar diye sıralamıştır. Gleason ve Hughes Hallet (1992) ise öğrencilerin kalkülüs dersine ait kavramların ne anlama geldiğini bilmeden cebirsel işlemler yaptıklarını ifade etmiştir. Bu nedenle öğrencilerin kalkülüs kavramlarına yönelik zihinlerinde oluşan resimler, öğrencilerin ne ölçüde o kavramı anlayarak öğrendiklerini ortaya çıkaracaktır.
Kalkülüs kavramlarını tam kavramamış öğretmenler bu dijital çağda bilim, teknoloji, mühendislik ve matematik (STEM) alanında kariyer yapma becerisine sahip öğrencileri yetiştirmede de yetersiz kalacaktır (Maltas & Prescott, 2014). Böylece 21. Yüzyılda, çağı ile hesaplaşamayan, ekonomisi zayıf ve diğer ülkelere bağımlı topluluklar meydana getirilmiş olacaktır. Bu nedenle kalkülüs eğitimi hem ortaöğretimde hem de yükseköğretimde kavramsal olarak öğretilmesi zorunluluk haline gelmiştir (Sofronas & DeFranco, 2010).
Kalkülüs dersi ilgili bölümün ihtiyacına göre değişmekle beraber, genel olarak iki sene boyunca okutulmaktadır (Dwyer ve ark., 2018; Keynes ve ark., 2000). Bu derslerin içeriği
fonksiyon kavramına göre şekillenmektedir. Kalkülüs dersinin ana iskeletini limit, türev ve integral kavramları oluşturmaktadır. Bu kavramlar birinci sene bir değişkenli fonksiyona göre verildikten sonra ikinci sene çok değişkenli fonksiyona göre sunulmaktadır. Fothergill (2011) çalışmasında kalkülüsü dersini almış öğretmen adayları ile o dersi veren öğretim üyelerinin görüşlerini anketle karşılaştırmıştır. İki grupta da bakış açılarının farklılığı, problem çözme ve fonksiyonların görselleştirilmesi konularında ön plana çıkmıştır. Ayrıca öğretmen adayları kalkülüs dersinde ortaöğretim müfredatı ve teknoloji konusunun daha çok vurgu yapılması gerektiğini ifade etmişlerdir.
Kalkülüsün günlük hayat problemlerinde uygulaması olan temel kavramlarından biri integraldir (Jones & Dorko, 2015). Matematik eğitimi literatüründe tek katlı integral hakkında birçok çalışma yapılmış olup bu çalışmaların bazılarında; öğrencilerin integral hesabı ile alan hesabını aynı gördüklerini için integral hesabının sonucunun negatif olamayacağını (Rösken & Rolka, 2007), integralin sembolik biçimini 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 gibi özel bir fonksiyon şeklinde algıladıkları (Rösken & Rolka, 2007; Serhan, 2015), temsil oluşturmada sıkıntılar yaşadıkları (Huang, 2015; Serhan, 2015), işlemsel bilginin baskın olduğu (Grundmeier ve ark., 2006), prototip örneklerle hareket ettikleri (Jones, 2018) ve imaj ve tanım arasında ilişki kurmakta zorlandıkları (Grundmeier ve ark., 2006; Habineza, 2013; Rasslan & Tall, 2002;
Rösken & Rolka, 2007; Serhan, 2015) tespit edilmiştir. Çok katlı integral hakkında ise çok çalışma bulunmamaktadır ve matematik eğitimcilerinin son beş senedir çok katlı integral kavramına yoğunlaşmaya başladıkları görülmektedir (Gaisman & Martinez-Planell, 2018).
Bu bağlamda; tek katlı integralin çok katlı integrale genelleştirilmesi (Jones & Dorko, 2015), iki ve üç katlı integral tanımlarının geometrik, nümerik ve sembolik temsil katmanlarına ayrılarak öğretilmesinin pedogojik açıdan incelenmesi (McGee & Martinez-Planell, 2014) ve öğrencilerin iki katlı integral ile Riemann toplamı arasındaki ilişkiyi nasıl kurdukları (Martínez-Planell & Trigueros, 2020) araştırılmıştır.
21. yüzyılda kullanım alanı artan, gerçek hayat problemlerinde uygulaması olan kalkülüsün temel kavramlarından birisi de iki katlı integraldir (Stewart, 2009). İki katlı
integral, sürekli iki değişkenli bir fonksiyonun düzlemde sınırlı bir bölgedeki integralidir.
Daha açık bir şekilde; kapalı bir dikdörtgensel bölge üzerinde tanımlı 𝑓(𝑥, 𝑦)’i göz önüne alalım ve önce 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 kabul edelim.
𝐵 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) grafiği bir yüzeydir. 𝑓′nin grafiğinin altında ve 𝐵 dikdörtgesel bölgenin üstünde kalan katı cisminin hacmini bulacağız. İlk olarak 𝐵 bölgesini dikdörtgenlere böleceğiz. Sonra her bir dikdörtgenin alanı (∆𝐴 = ∆𝑥∆𝑦) ve dikdörtgenin içindeki bir noktanın 𝑓 değeri (𝑓(𝑥𝑖𝑗∗, 𝑦𝑖𝑗∗)) ile çarpılır. Yani oluşan prizmaların hacimleri bulunmuş olmaktadır. Sonra bütün hacimleri toplarsak, 𝑆’nin hacmine 𝑉 ≅
∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1𝑓(𝑥𝑖𝑗∗, 𝑦𝑖𝑗∗)∆𝐴 yaklaştırımını elde etmiş oluruz. Her dikdörtgenin eni ve boyu küçültülürken (m ve n artıkca) prizmaların hacim toplamları bir tek sayıya yakınsar. 𝑉 =
𝑚,𝑛→∞lim ∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1𝑓(𝑥𝑖𝑗∗, 𝑦𝑖𝑗∗)∆𝐴 ifadesi 𝑓 nin grafiği altında ve 𝐵 dikdörtgenin üstünde kalan katı cisminin hacmini tanımlamaktadır. Bu limit 𝑓’nin pozitif olmadığı durumlarda da ortaya çıkmaktadır ve eğer
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
𝑚,𝑛→∞∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗∗, 𝑦𝑖𝑗∗)∆𝐴
𝑛
𝑗=1 𝑚
𝐵 𝑖=1
limiti var ise 𝑓 in, 𝐵 üzerindeki iki katlı integrali denir (Stewart, 2009). Dolayısıyla iki katlı integral kavramının merkezinde hacim anlayışı yatmaktadır. Bu nedenle öğrencilerin iki katlı integral kavramı öğrenirken daha derin öğrenmesi için bu örtük ilişkiyi görmesi beklenmektedir. Aksi takdirde öğrencilerin iki katlı integral kavram anlayışı, bir hesap makinesinin yaptığı işlemin ötesine geçemeyecektir. Örneğin, fonksiyonun negatif olduğu durumları yorumlamakta öğrenciler sıkıntı yaşayacaktır. Oysa ki öğretim programları öğrencilerin işlem ötesine geçerek bu örtük ilişkiler görmesini beklemektedir (Radzimski, 2020).
Üst düzey bilişsel yeterlilik gerektiren, iki katlı integral kavramının anlaşılmasında zorluklar ve sıkıntılar yaşanmaktadır (Dorko & Weber, 2014; McGee & Martinez-Planell,
2014). İki katlı integral kavramı; iki değişkenli fonksiyonları anlama, üç boyutlu geometri bilgisi ve görselleştirme becerisi gerektirdiğinden, öğrenciler tarafından zor anlaşılmasına neden olmaktadır. Öğrenciler tek katlı integrali öğrendikten sonra tümevarımsal muhakemenin ilk basamağı olarak tek katlı integral kavramını hem kavramsal hem de işlemsel olarak iki katlı integrale genelleyebilmelidir. İki katlı integral kavramındaki zihinsel yapılandırmadaki sıkıntılar daha çok katlı integral kavramının da sorun olmasına neden olacaktır. Bu nedenle öğrencilerin iki katlı integral kavramına yönelik zihinsel yapılarına ait teşhis ve tedavi yöntemleri, aslında daha çok değişkenli integral kavramlarına ait zihinsel yapılandırma çalışmalarına da katkı sağlayacaktır.
Kavram ile geometrik temsili arasındaki ilişkinin niteliği, anlamanın niteliğini de ortaya çıkarmaktadır (Fischbein, 1993). Öğrencilerin iki katlı integral ile geometrik temsili arasındaki ilişkiyi görmekte zorlandıkları tespit edilmiştir (Gaisman & Martinez-Planell, 2018; McGee & Martinez-Planell, 2014; Şefik & Dost, 2019). Bu nedenle iki katlı integral kavramının geometrik temsiline yönelik anlayışları da önem arz etmektedir. Matematiksel düşüncenin modelleme, ispat, genelleme, sentez ve soyutlama gibi bileşenleri bulunmaktadır. Tek katlı integral kavramı derinlemesine öğrenildikten sonra o ilk bilgiler iki katlı integral kavramına genişletilebilmelidir. Dolayısıyla matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral kavramına ait bilgilerinin incelenmesi, öğretmen adaylarının matematik düşüncesini gelişimi hakkında da fikir verecektir.
Literatürde iki katlı integral kavramını bireylerin nasıl anladığını inceleyen sınırlı sayıda çalışma olduğu görülmektedir (Gaisman & Martinez-Planell, 2018). Bu nedenle bu çalışmada matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik kavram imajları incelenmiştir.
Araştırmanın Amacı ve Önemi
Bu nitel çalışmasının amacı matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik kavram imajlarını ortaya çıkarmak için tasarlanmıştır. Yorumlamacı bir perspektif
kullanılarak, Analiz 4 dersini alarak başarılı olmuş ve iki katlı integral kavramı konusunda tecrübesi bulunan matematik öğretmen adaylarının deneyimlerine odaklanılmıştır. Bu bakış açısı, matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik kavram imajlarına daha ayrıntılı ulaşılmasını sağladı.
Matematiksel kavram, araştırmacının amaçladığı söylem ve özel matematiksel ilişkilerden mantıksal çıkarımları ifade etmektedir (Simon, 2017). Matematiksel eğitimin temel taşlarından biri olan kavramların, kalıcı olarak öğrenilmesi matematik eğitiminin temel hedeflerinden biridir (Argün ve ark., 2014). Öğrencilerin bir matematiksel kavrama yönelik nasıl düşündükleri, o kavrama yönelik imajlarında yatmaktadır (Tall & Vinner, 1981; Vinner, 2002). Bu bilişsel yapının öğrenilmesi, öğrencilerin matematiksel düşünceleri hakkında önemli fikirler sunabilecek potansiyele sahiptir. Kavram imajı, öğrencilerin matematiksel kavramları nasıl kavradıkları hakkında genel bilgi veren bir çerçevededir. Bu nedenle öğrencilerin kavramı nasıl gördükleri hakkında bilgi verdiği için hem bir teşhis hem de bir tedavi yöntemi olarak kullanılabilir. Örneğin, öğrencilerin bir kavrama yönelik imajları ortaya çıkarılabilir. Buna dayalı olarak kavram imajlarının zenginleştirilmesi, kavram ile bağının güçlendirilmesi ve kavram imajlarından kaynaklanacak tuzaklara düşmemek için çok katmanlı ve çok yönlü bir öğretim icra edilebilir (Bingolbali, 2016). Kalkülüs, lineer cebir ve üniversite öncesi matematiksel kavramlara yönelik kavram imajı konusunda 40 yıl içinde çok araştırma yapılmıştır ama ileri matematiksel kavramların imajı hakkında çok az şey bilinmektedir (Hamza, 2012). Ayrıca ileri matematik kavramları üst düzey bir düşünme gerektirdiğinden dolayı uygun kavram imajı oluşumu da zordur (Tall & Vinner, 1981). Bu tez ileri matematik kavramlarının imajlarının tespiti hakkında ışık tutmayı amaçlamaktadır.
Buu dijital çağda bilim, teknoloji, mühendislik ve matematik (STEM) alanında kariyer yapma becerisine sahip öğrencileri yetiştirilmesi, kalkülüs kavramlarını tam kavramış matematik öğretmenlerden beklenmektedir (Maltas & Prescott, 2014). İki katlı integralin fizik, matematik, istatistik, mühendislik, ekonomi vb. alanlarda uygulaması vardır. Örneğin bu pandemi döneminde bir bireyin hastalık kapma riski ile şehrin neresinde yaşamanın daha
az riskli olacağı iki katlı integral ile hesaplanabilmektedir (Stewart, 2009). Hem iki katlı integral kavramı hakkında az araştırma yapılması (Gaisman & Martinez-Planell, 2018) ve STEM gibi programlara yetiştirilen öğretmenlerin donanımlı olması için bu çalışma bir perspektif kazandıracaktır. Örneğin matematik öğretmen adaylarının anlayışlarının veya deneyimlerinin, iki katlı integral kavramının doğasına ne kadar uygun olduğu ve hangi bağlamda sıkıntılar yaşandığını ortaya çıkarma, kavramın daha iyi öğretilmesine katkı sağlayacaktır.
İki katlı integral kavramı doğası gereği iki değişkenli fonksiyon, üç boyutlu uzay, koordinat dönüşümleri gibi bilgilerle ilişkilidir. Bu kavramının incelenmesi sayesinde matematik öğretmen adaylarının tek değişkenli fonksiyon bilgilerini iki değişkenli fonksiyon bilgisine genişletip genişletemedikleri, üç boyutlu uzayda ne tür sıkıntılar yaşadıkları vb.
problemlerde görülmüş olacaktır. Ayrıca problem çözme, kavramsal anlama, işlemsel akıcılık, mantıksal düşünme kapasitesi, matematiği yararlı ve değerli görme alışkanlığı gibi matematiksel yeterliliklere matematik öğretmen adaylarının ne ölçüde sahip olduğu veya eksiklikleri görülmüş olunacaktır (National Research Council [NRC] & Mathematics Learning Study Committee, 2001). Dolayısıyla matematik öğretim programlarına, kalkülüs ders içeriklerine bir perspektif kazandırılacağı düşünülmektedir. .
Araştırma Problemi
Bu çalışmanın amacı, Analiz 4 dersini alıp başarılı olan matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik deneyimlerini ve anlamalarını ayrıntılı bir biçimde ortaya çıkarmak ve kavrama ilişkin zihinlerinde oluşan resimleri betimlemektir. Bu hedeflere dayanarak araştırmamıza aşağıdaki soru rehberlik etmiştir.
“Matematik öğretmen adaylarının iki katlı integrale yönelik kavram imajları nelerdir?”
Alt Problemler
Aşağıda araştırmaya yönelik alt problemler sıralanmıştır.
1. Matematik öğretmen adaylarının iki katlı integralin geometrik yapısına yönelik kavram imajları nelerdir?
2. Matematik öğretmen adaylarının iki katlı integralin sembolik ifadesine yönelik kavram imajları nelerdir?
3. Matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral hesaplanmasına yönelik kavram imajları nelerdir?
4. Matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral formal yapısına yönelik anlayışları nelerdir?
5. İki katlı integral kavramının öğrenilmesinde somut materyalin kavram imajlarına etkisi nelerdir?
6. Vinner’ ın (1983) modeline göre matematik öğretmen adaylarında iki katlı integrale yönelik kavram tanımı ve kavram imajı arasında ilişkiler nasıldır?
Sayıltılar
Katılımcıların birbiri ile etkileşim içerisinde olmadıkları varsayılmaktadır.
Katılımcıların görüşmelerde kendi fikirlerini samimiyetle cevaplandırdıkları varsayılmaktadır.
Araştırmanın her aşamasında görüşü alınan uzmanların objektif ve samimi oldukları varsayılmaktadır.
Sınırlılıklar
Bu araştırmanın ilk aşaması 2017-2018; ikinci aşaması 2018-2019 eğitim- öğretim dönemleri ile sınırlıdır.
Bu araştırma altı matematik öğretmen adayı ile yapılan görüşmeler ve altı matematik öğretmen adayı arasından seçilen bir katılımcı ile yapılan etkinlik ile sınırlıdır.
Bu araştırma katılımcıların iki katlı integrale yönelik kavram imajlarını ortaya çıkarmak için kullanılan yarı yapılandırılmış görüşme soruları, etkinlik soruları ile katılımcıların vermiş oldukları yanıtlarla sınırlıdır.
Bu araştırma, araştırmanın gerçekleştiği süreçte ulaşılabilen uluslararası ve ulusal alanyazın ile sınırlıdır.
Tanımlar
Kavram: Kavram, benzer nesneleri ortak ad altında sınıflandırmada kullanılan terminolojik araçlara denilmektedir. (Senemoglu, 2013).
Matematiksel kavram: Matematik araştırmacısının amaçladığı söylem ve özel matematiksel ilişkilerden meydana gelen mantıksal çıkarımları ifade eden olgulara denilmektedir. (Simon, 2017).
Kavram imajı: Bireyin bir kavrama yönelik belleğinde oluşan bütün bilişsel yapıya denilmektedir (Tall & Vinner, 1981; Vinner, 1983)
Kavram tanımı: Bir kavramı tam olarak açıklayan kelimeler bütünüdür (Vinner, 1983). Buradan hareketle, kavram tanımı ders kitapları veya ilgili uzmanlar tarafından kullanılan kelime ve/veya sembollerden oluşan bir yapı olarak ifade edilebilir.
Bölüm 2
Araştırmanın Kuramsal Temeli ve İlgili Araştırmalar
Kalkülüs Dersi
Matematik, 21. yüzyılda teknolojinin olağanüstü gelişmesi ile birlikte hiçbir yüzyılda olmadığı kadar hayatın içine girmeye başlamıştır (NCTM, 2000, s. 366; Steen, 1988). Bu yüzyılda; nüfus tahminlerinden deprem tahminlerine, savaş teknolojisinden film sektörüne, yazılımlardan ev teknolojisine kadar her alanda matematiğe daha fazla ihtiyaç duyulmuştur.
Bu teknolojinin gelişmesine katkı sağlayan alanlardan biriside kalkülüstür (Stewart, 2009).
Kalkülüs, matematiğin temel alanlarından biri olup; fen, mühendislik ve istatistik gibi birçok bilim dalında okutulmaktadır. 1980’lerden beri kalkülüs dersinin öğrenciler tarafından daha iyi anlaşılması için yoğun çalışmalar yapılmaktadır (Douglas, 1987).
Kalkülüs dersi ilk çağlardan beri hayatın içinde olup hesap yapabilmek için kullanılan çakıl taşlarına verilen ad olarak bilinmektedir (Sertöz, 1996). Bununla birlikte Kalkülüs tarihi Newton ve Leibniz’in çalışmaları ile başladığı kabul edilir (Katz, 2004, 2014; Stillwell, 2002;
Stillwell, 2010). 17. yy’dan itibaren örgün eğitimin içine girmeye başlamıştır. 19. yy da ise teknolojinin gelişmesi ile “matematik öğrenmenin bir parçası” (Steen, 1988) haline gelen kalkülüsün, günümüzde iki farklı bakış açısı vardı (Tall & Katz, 2014).
1. Leibniz’in sembolik iddiasına ve Cauchy’nin sonsuz küçükler hesabına dayanan teorik kalkülüs,
2. Weierstrass’ın kümeler teorisine dayanan formal matematiksel analiz.
Kalkülüs aslında temel olarak bir değişim matematiği olup karmaşık görülen problemleri basitleştirme potansiyeline sahiptir (Aspinwall & Miller, 2001; Larson &
Edwards, 2010). Bununla birlikte matematik eğitimcileri tarafından heyecan verici bir ders olarak düşünülse de, ders sunumu açısından sıkıntılar vardır (Anderson & Loftsgaarden, 1987; White, 1987). Öğrenciler açısından korku ve zorluklar oluşmasına neden olmaktadır
(Meel, 1998). Kalkülüs ile ilgili zorluklar aşağıda sıralanmıştır (Cornu, 1981; Davis & Vinner, 1986; Orton, 1983; Tall, 1993).
Kavramı somutlaştırmak için kullanılan dilsel problemler,
Öğrenme sırasında bazı örneklerin baskın olması,
Fonksiyonlar hakkında kısıtlı imajlar olması,
Gerçek hayat problemlerinin kalkülüs dersine aktarım zorluğu,
Kavram için uygun temsil seçmekteki zorluklar,
Cebirsel işlemler,
Karmaşık olan yeni kavramların sınırlı bir sürede öğrenilmeye çalışılması,
Çok değişkenli kavramların (fonksiyon, limit vb) anlaşılmasındaki zorluklar,
Öğrencilerin kavramsal anlamadan daha çok işlemsel anlama becerilerinin ağırlık basması.
Kalkülüs dersi ile ulaşılmak istenen yapı, aksiyomatik yapıya ait donanımları oluşturmaktır. Bu amacı Tall ve ark. (2001) aşağıdaki şekilde göstermiştir.
Şekil 1
Matematikte Farklı Kavram ve Süreçlerin Gelişim Hiyerarşisi
Kalkülüs dersinin matematikçiler açısından bu kadar önemli olmasına rağmen öğrencilerin başarı oranları düşüktür. Örneğin; 1987 yılında Amerika’da öğrencilerin % 46’sı kalkülüs dersinden başarısız olmuştur (Anderson & Loftsgaarden, 1987). Başarı oranlarının düşük olması, hem Amerika’da hem de farklı yerlerde kalkülüs reform hareketlerinin doğmasına neden olmuştur. Dolayısıyla yeni oluşturulacak öğretim programlarında;
kavramsal anlama, gerçek hayat durumları ve teknolojinin kullanılması istenmektedir (McCallum, 2000). Aslında bu öneriler, kalkülüs dersinin kavramlarını anlayarak yapmak gerektiğini vurgulamaktadır. Gleason ve Hallet (1992) çalışmasında, öğrencilerin kalkülüs dersine ait kavramların ne anlama geldiğini bilmeden cebirsel işlemler yaptıklarını ifade etmiştir. Gerçek hayat durumları ve teknoloji, kişilerin kavramları sezgisel olarak anlamasına yardımcı olmaktadır. Kişiler soyut kavramları belirli nesnelere bakarak somutlaştırma ihtiyacı hissederler (Scheiner & Pinto, 2014). Yani kullanılan modeller
Formal tanım ve ispat
Kalkülüs
Dinamik limit kavramı
cebir
aritmetik
tanımlanmış özellikler, mantıksal süreçer, formal olarak oluşturulmuş kavramlar
hesaplama süreçleri(kurallar), manipüle kavramlar (formüller)
potansiyel sonsuzluk süreçleri,
keyfi küçük, yakın ve büyük kavramlar (değişken nicelikler)
potansiyel süreçler (ifade hesaplama), manipüle kavramlar (ifadeler)
hesaplama süreçleri, hesaplanabilen kavramlar (sayılar)
(fiziksel modeller, teknoloji vb. ) soyutlama sürecinde kullanılan araçlardır. Bu nedenle Tall (2003b) de çalışmasında kalkülüsün üç farklı dünyasından bahsetmektedir:
cisimlenmiş/somutlamış (embodied), işlemsel (proceptual) ve aksiyomatik (axiomatic) dünya. Kullanılan modeller/manipülatifler, kavramları algısal olarak anlamamıza yardımcı olmaktadır. Bu araçlar hem kavramsal hem de işlemsel anlamamıza katkı sağlamaktadır (Brijlall & Niranjan, 2015; Fernandes ve ark., 2008; Salingay & Tan, 2018; Thompson ve ark., 2013). Bu şekilde kavramlar sadece işlemsel olarak değil kavramsal olarak da öğrenilmiş olduğu görülecektir.
Kalkülüs reform hareketlerinden sonra geleneksel ve yeni sisteme uyarlanmış, iki türlü müfredat ortaya çıkmıştır. Yeni sisteme uyarlanmış kalkülüs müfredatı, pragmatik bir bakış açısı ile hazırlanmaktadır. Dolayısıyla iş dünyası, endüstri, ekonomi ve akademilerin ihtiyaçlarını karşılamak perspektifi ağır basmaktadır (Steen, 1988). Ayrıca % 90 kalkülüs alan öğrencilerin matematik içeren bir işte çalışmadığı düşünüldüğü zaman; problem çözme, modelleme ve analiz etme yeteneklerine sahip olan bireylerin yetiştirilmesi öğretim programından beklenmektedir (Davis, 2000). 1960 ve 2000 yıllarının kalkülüs müfredatlarının faklı bir bakış açısı vardır ama 2000 yılında öğretim programlarında;
gerçekçi problemler, istatistik ve ayrık/sonlu matematik gibi konular vurgulansa da içerik olarak birbirinden farklı değildir (Gordon, 2000). Son 20 yılda yapılan araştırmalarda, öğrencilerin kalkülüs dersini anlamadığı ve gerekli matematiksel yeteneklere sahip olmadıkları tespit edilmiştir (Rasmussen & Wawro, 2017; Stylianides ve ark., 2017).
Bununla birlikte kalkülüs sınavları da yeni müfredatı yansıtmamaktadır. Örneğin, Tallman vd. (2016) çalışmasında 150 tane kalkülüs 1 final sınavlarını incelemiştir. Sınav sorularının;
% 90 hatırlama ve işlemsel bilgiye ve %2,7 sinin sadece kavramsal bilgiye dayandığı görülmüştür. Dolayısıyla kalkülüs reform hareketlerinin yeni yöntemler geliştirmesine rağmen kavramsal anlama problemleri devam etmektedir. Kalkülüs dersinin daha başarılı olması için hem reform prensipleri hem de geleneksel müfredatın sahip olmasını istediği yetenekler birlikte verilmelidir (Meel, 1998).
Kalkülüs dersi ilgili bölümün ihtiyacına göre değişmekle beraber, iki sene verilmesi planlanmaktadır (Dwyer ve ark., 2018; Keynes ve ark., 2000). Bu derslerin içeriği fonksiyon kavramına göre şekillenmektedir. Birinci sene bir değişkenli fonksiyon kavramına göre verilen konular, ikinci sene çok değişkenli fonksiyon kavramına göre öğretilmektedir.
Kalkülüs dersinin ana iskeletini limit, türev ve integral kavramları oluşturmaktadır. Bu kavramlar birinci sene bir değişkenli fonksiyona göre verildikten sonra ikinci sene çok değişkenli fonksiyona göre sunulmaktadır. Bu çalışmada integral kavramı üzerine odaklanılacaktır. Bu nedenle gelecek bölümde integral kavramından bahsedilecektir.
İntegral Kavramı
Kalkülüsün günlük hayat problemlerinde uygulaması olan temel kavramlarından biri integraldir (Jones & Dorko, 2015). İntegral kavramı; fen, mühendislik, istatistik vb.
bölümlerin en çok ihtiyaç duyduğu matematik konuları arasındadır. İntegral kavramının doğası; bir büyüklüğü küçük parçalara ayrılarak ve her parçanın ölçüsünü toplanarak o büyüklüğün gerçek ölçüsüne ulaşabilme mantığına dayanmaktadır. Yani integral işlemi yapılırken, bir büyüklüğü sonsuz küçük alanlara böldükten sonra, bu alanları toplama işlemidir. Bu nedenle integral sembolü, toplam anlamına gelen “sum” ve ya “somme” gibi kelimelerin baş harfi ile Leibniz tarafından sembolize edilmiştir (Stewart, 2009; Yavuz, 2013). Lise seviyesinde öğretilmeye başlanan integral kavramı lise kitaplarında; günlük hayatta karşılaşılan ama alan formülleri ile hesaplanamayan sınırlı ve kapalı bölgeleri alanlarının, uygun alanlara bölünerek toplamlarının limiti olarak ifade edilmektedir (MEB, 2018). Kalkülüs kitaplarında tanımlanan belirli integral kavramı ise, 24 yaşında doktorasını tamamlamış, Einstein görecelik kuramına zemin hazırlayan ve 39 yaşında veremden vefat eden Berhard Riemann’ a aittir (Brumbaugh & Rock, 2010; Stewart, 2009). Riemann, bir eğrininin altındaki alanı hesaplamak için Yunanlıların kullandıkları çok sayıda ince dikdörtgenlere bölme metodunu kullandı. Kalkülüs kitaplarında belirli integralin tanımının farklı versiyonları olmakla beraber, “Calculus: Concepts and Contexts” kitabında belirli integral aşağıdaki gibi yapılmaktadır.
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 aralığında sürekli bir fonksiyon tanımlansın. [𝑎, 𝑏] aralığını ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎) 𝑛⁄ olacak şekilde eşit uzunlukta n tane alt aralığa bölelim. Alt aralıkların uç noktaları 𝑥0 (= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 (= 𝑏) olsun ve her bir alt aralıktan, 𝑥𝑖∗ noktası [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] de olacak şekilde 𝑥1∗, 𝑥2∗, . . . , 𝑥𝑛∗, örnek noktalarını belirleyelim. Bu durumda 𝑎 dan 𝑏 ye 𝑓 nin belirli integrali için
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞∑ 𝑓(𝑥𝑖∗
𝑛
𝑖=1 𝑎
𝑏
)∆𝑥
bu limit sağlansın. Eğer bu limit mevcutsa; 𝑓, [𝑎, 𝑏] aralığında integrallenebilirdir (Stewart, 2009).
Yukarıda tanımda, cebirsel gösterimi ile nümerik gösterimi ilişkilendirilmiştir.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 cebirsel ifadesinde; 𝑎 ve 𝑏 integral sınırlarını, 𝑓(𝑥)’i ve 𝑑𝑥 ise integrasyon değişkenini göstermektedir. Literatürde belirli integralin cebirsel gösterimini üniversite öğrencilerinin; hesaplama, alan, birikimli toplam, 𝑥 = 𝑎 ve 𝑥 = 𝑏 arasında toplam değişim, bir fonksiyon ve bir soyut nesne şeklinde anlamlandırdığı tespit edilmiştir (Oberg, 2000). Bu bakış açıları aslında belirli integrali Riemann tanımından kaynaklandığı görülmektedir.
Belirli integral tanımı incelendiğinde; Riemann tanımının kavramsal olarak öğrenilmesi için öğrencilerin fonksiyon, limit ve geometrik bilgilerinde eksiklik olmaması gerekmektedir.
Rösken ve Rolka (2007) çalışmasında integral kavramına yönelik imajları bulurken integral, türev ve fonksiyon kavramlarına yönelik imajların birbiri ile bağlantılı olduğunu ifade etmektedir. McGee ve Martinez-Planell (2014) ise Riemann tanımını geometrik, nümerik ve sembolik katmanlara ayırarak etkinlikler hazırlamıştır. Bu çalışmada öğrencilerin bu etkinlikler ile integrali daha iyi kavramsal anladıkları tespit edilmiş olup bu katmanlara ait örneği aşağıdaki tablodaki gibi verilmiştir.
Tablo 1
Bir Eğrinin Altında Kalan Alan Temsilinin Riemann Tanımına Göre Katmanları
𝑥 = 1 ve 𝑥 = 5 noktalarını arasında dört dikdörtgeni kullanarak ve yükseklik için her dikdörtgenin orta noktaları alınarak, 𝑦 = 𝑥2 eğrisinin altında yaklaşık alanı hesaplama işleminin geometrik katmandaki temsili
Yaklaşık alan hesabı için nümerik
katmandaki temsili (1,5)2 . 1 + (2,5)2 . 1+(3,5)2 . 1 + (4,5)2. 1 Yaklaşık alan hesabı için sembolik
katmanda genişletilmiş toplam temsili 𝑥12∆𝑥 + 𝑥22∆𝑥 + 𝑥32∆𝑥 + 𝑥42∆𝑥 Yaklaşık alan hesabı için sembolik
katmanda sigma ile toplam temsili ∑ 𝑥𝑖2
4
𝑖=1
∆𝑥 Tam (kesin) alan hesabı için sembolik
katmanda sigma ile toplam temsili lim
𝑛→∞∑ 𝑥𝑖2∆𝑥
𝑛
𝑖=1
Tam (kesin) alan hesabı için sembolik
katmanda belirli integralin temsili ∫ 𝑥2𝑑𝑥
5
1
Bütün integral problemlerini Riemann toplamların limiti şeklinde hesaplama zor hem de uzun işlemler gerekmektedir. Diferansiyel kalkülüsü ile integral kalkülüsü arasındaki ilişkiyi keşfeden Isaac Barrow’dan sonra bu ilişkiyi geliştirerek matematiksel bir yöntem olmasını Newton ve Leibniz sağlamıştır (Stewart, 2009). Böylece integral ve türev arasında bir ters ilişki olduğundan, uzun işlemler yapmadan integral hesaplamaları kolaylaşmıştır. Bu bağıntı Kalkülüsün Temel Teoremi olarak adlandırılmakta ve Balcı (2016a) bu teoremi aşağıdaki şekilde ifade etmektedir.
f, [a, b] aralığında tanımlı bir fonksiyon ve Riemann anlamında integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer her x ∈ (a, b) için F′(x) = f(x) olacak biçimde sürekli bir F: [a, b] → ℝ fonksiyonu varsa ∫ f(x)dx = F(b) − F(a)ab ’dır.
Literatür incelendiğinde integralin cebirsel, nümerik ve geometrik (grafiksel) yorumu ile karşılaşılmaktadır (Habineza, 2010; McGee & Martinez-Planell, 2014; Ostebee & Zorn, 1997; Sevimli, 2013). İntegralin cebirsel yorumu, integral alma kuralları, has olmayan integral (aralığın sonsuz olduğu ve kapalı aralığın sonsuz sürekliliği olduğu durumlarda integrale verilen tanımlama), ters türev, kısmi integrasyon formülü gibi integralin işlemsel yönü ile ilgilidir (Habineza, 2010; Oberg, 2000). İntegralin nümerik yorumu, integralin tanımında verilen, birikimli toplam yani ( ∑𝑛𝑖=1𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥) Riemann toplamı ile ilgilidir (Jones ve ark., 2017; Sealey, 2014; Thompson & Silverman, 2008). İntegralin geometrik yorumu ise alan, yay uzunluğu ve hacim gibi integralin grafiksel yönünü ele almaktadır (Delice &
Ergene, 2015; Sağlam & Bülbül, 2012; Stewart, 2009). İntegralin grafiksel yönü fizik ve mühendislikte çok geniş uygulamaları vardır (Balcı, 2016a). Belirli integralde alan hesabı yapılırken bir eğrinin altındaki alan veya eğriler arasındaki alanlar hesaplanmaktadır. Belirli integralde hacim hesabı yapılırken üç farklı yöntem kullanılmaktadır (Balcı, 2016a; Sevimli, 2013). Bu yöntemler kesit yöntemi, disk yöntemi ve kabuk (silindirik tabakalar) yöntemidir.
Kesit yöntemi, katı cismin bir bölgesinin (kesiti) alanın integrali alınarak hesaplanmaktadır.
Disk yöntemi ile kapalı bir aralıkta tanımlanan bir 𝑓 fonksiyonun 𝑥-ekseni veya 𝑦-ekseni döndürülmesiyle oluşan katı cisimlerin hacimleri bulunmaktadır. Kapalı aralıktaki fonksiyonun integrali alındıktan sonra 𝜋 ile çarpılarak, katı cismin hacmi hesaplanmaktadır.
Hacim işleminde fonksiyonun karesinin alınması ve 𝜋 ile çarpılması nedeni, oluşan diskin (silindirin) hacminden kaynaklanmaktadır. Hacim ile ilgili bu yöntemleri kavramsal olarak iyi öğrenilmez ve çok alıştırma yapılmazsa, bu metotları zamanla unutma veya karıştırma problemleri ortaya çıkmaktadır (Delice & Ergene, 2015).
Yukarıda kısaca integral kavramı tanıtılmaktadır. Tek değişkenli fonksiyonların integrali, lise ve üniversite birinci sınıfta öğretilmektedir. Bu çalışmada iki katlı integral kavramına odaklanılacaktır.
İki Katlı İntegral
Üniversite matematiğinde, disiplinler arası geniş bir şekilde öğretilen çok değişkenli kalkülüs kavramları hakkında çok fazla araştırma yapılmamıştır (Dorko & Weber, 2014;
Jones & Dorko, 2015). Örneğin tek katlı integral hakkında oldukça geniş bir araştırma yapıldığı halde (Balimuttajjo, 2010; Delice & Sevimli, 2011; Habineza, 2010; Jones, 2013, 2018; Orton, 1983; Rasslan & Tall, 2002; Rösken & Rolka, 2007; Sağlam & Bülbül, 2012;
Sevimli, 2013), çok katlı integral hakkında eğitim literatüründe çok az bir çalışma bulunmaktadır (Dorko & Weber, 2014; McGee ve ark., 2015). Bununla birlikte çok değişkenli kalkülüs kavramları iyi anlaşılmamaktadır (Cline ve ark., 2012; Dorko & Weber, 2014;
Kashefia ve ark., 2012). Üniversite öğrencileri, çok değişkenli kalkülüste; üç boyutta iki değişkenli fonksiyonları çizmekte ve anlamakta, iki değişkenli fonksiyonların sembolik ifadesinin anlamını yorumlamakta, önceki matematik bilgileri ile doğru ilişki kurmakta, kavramlar için uygun temsil seçmekte, gerçek hayat problemlerini çözmekte ve cebirsel manipülasyonlarda sıkıntılar yaşamaktadır (Cline ve ark., 2012; Kashefi ve ark., 2011;
Muzangwa & Chifamba, 2012).
Mühendislik, fen ve istatistik gibi disiplinlerde gerçek hayat problemlerinde uygulaması olan; genel bölgelerin hacimleri, yüzey alanları, kütleleri, ağırlık merkezleri ve olasılık hesaplamalarda kullanılan çok değişkenli kalkülüs kavramlarından bir tanesi de iki katlı integraldir. Eğitim literatüründe iki katlı integral ile ilgili çok az çalışma bulunmaktadır (Martínez-Planell & Trigueros, 2017). Üst düzey bilişsel yeterlilik gerektiren, iki katlı integral kavramının anlaşılmasında zorluklar ve sıkıntılar yaşanmaktadır (McGee & Martinez- Planell, 2014; Şimşek & Doğan, 2015). İki katlı integral kavramı; iki değişkenli fonksiyonları anlama, fonksiyonları başka koordinat sistemlerine dönüştürebilme, üç boyutlu geometri bilgisi ve görselleştirme becerisi gerektirdiğinden, öğrenciler tarafından zor anlaşılmasına neden olmaktadır. Kavram ile geometrik temsili arasındaki ilişkinin niteliği, anlamanın niteliğini de ortaya çıkarmaktadır (Fischbein, 1993). Oberg (2000) çalışmasında, öğrencilerin integral sonucunun negatif çıkması sonucunda yaşadıkları işaret problemini,
integral ile geometrik temsili arasında ilişki kuramadıkları için yaşadıklarını ifade etmiştir.
İleri seviye matematik kavramlarının nasıl öğrenildiğinin inceleyen APOS teorisine göre ise çok değişkenli fonksiyonlar ile geometrik temsili arasındaki ilişki ancak üst düzey bilişsel bir aşamada gerçekleşmektedir (Martínez-Planell & Gaisman, 2012; Şefik & Dost, 2019).
Öğrencilerin iki katlı integral ile geometrik temsili arasındaki ilişkiyi görmekte zorlandıkları tespit edilmiştir (Martínez-Planell & Trigueros, 2017; McGee & Martinez-Planell, 2014).
Öğrenciler tek katlı integrali öğrendikten sonra tümevarımsal muhakemenin ilk basamağı olarak tek katlı integral kavramını hem kavramsal hem de işlemsel olarak iki katlı integrale genelleyebilmelidir. İki katlı integral kavramındaki zihinsel yapılandırmadaki sıkıntılar, daha çok katlı integral kavramının da sorun olmasına neden olacaktır. Bu nedenle öğrencilerin iki katlı integral kavramına yönelik zihinsel yapılarına ait teşhis ve tedavi yöntemleri, aslında daha çok değişkenli integral kavramlarına ait zihinsel yapılandırma çalışmalarına da katkı sağlayacaktır.
Tek katlı integral kavramının tanımı alan problemini çözme mantığından ortaya çıktığı gibi iki katlı integral kavramının tanımı bir katı cismin hacmini hesaplama çabasından ortaya çıkmaktadır. Yani iki katlı integralin temel problemi hacim anlayışına dayanmaktadır.
Alan problemini çözmek için kullanılan temel disiplinleri tam olarak kavramış bir bireyin aynı disiplinleri hacim problemine taşıyabilirse, bundan sonraki katlı integral problemlerinde sorun yaşamaması beklenebilir. İki katlı integral kavramı; bir katı cismi sonsuz küçük hacimlere bölünerek, her cismin hacmini toplanarak o katı cismin gerçek ölçüsüne ulaşabilme mantığına dayanmaktadır.
Üniversite matematiğinde ve bazı ders kitaplarında çok katlı integraller kavramı iki katlı integral tanımı ile başlamaktadır (Balcı, 2016b; Haas ve ark., 2018). Kalkülüs kitaplarında iki katlı integral tanımının farklı versiyonları olmakla beraber, “Calculus:
Concepts and Contexts” kitabında iki katlı integralin tanımı aşağıdaki gibi yapılmaktadır. Bu tanım tek katlı integral kavramında ki Riemann toplamının iki değişkenli fonksiyon kavramına genişletilmiş halidir.
