Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine

Bölüm 4 Bulgular ve Yorumlar

4.3. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine

cebirsel forma çevirmekte ve grafiksel ifadeleri yorumlamakta katılımcıların zorlandığı görülmektedir. Dolayısıyla bu alıntılar, katılımcıların iki katlı integrali kavramsal anlamakta sıkıntılar yaşadığını göstermektedir.

4.3. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine Yönelik

etmektedir. Katılımcıların alan olarak yorumladıkları durumların sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tablo 10

İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesini Alan Olarak Gören Katılımcıların Kod Frekansı

Katılımcılar Frekans

Ö1 18

Ö2 4

Ö3 5

Ö4 4

Ö5 5

Ö6 6

Ö1 isimli katılımcı EK-A Soru (3)’ te iki katlı integral ile ilgili ∫ ∫ 𝑥₀² ₀² ²𝑑𝑥𝑑𝑦 örnek olarak vermiştir ve geometrik olarak da alan belirttiğini ifade etmiştir.

Alanı belirtir. Bu fonksiyon, “alanı” belirtir. Eğer ııı başka şeylerde isterse.

Önermeler veya ne bileyim, başka biiirrr şeylerde verirse, çok rahat alanını bulabiliriz ama şu an alanını bulamayız. Ne istediğini bilmiyoruz, çünkü. (Ö1)

EK-A Soru (4) de Ö1, Ö2 ve Ö5 isimli katılımcı iki katlı integralin sembolik ifadesi ile alan hesapladıklarını anlatmışlardır.

𝑓 fonksiyonu “ 𝑥 ve 𝑦” ler den oluşuyor. Bu 𝑥𝑦 fonksiyonun 𝑑𝐴 altındaki alanı, aklıma geliyor. (Ö1)

Sonsuz alanı bulmuş oluyoruz da. Sonsuz alan? Aslında onun yakınsa hani ııı limit gibi bir şey olabilir. Hani en son ulaşabileceği alan sonuçta limitte de sonsuza giderken bir şey sayı buluyoruz hani. Sonsuza gitmek bizi her zaman sonsuza götürmüyor. O yüzden orada da limit gibi düşünürsem, en son bir yakınsadığı yani bir yerden sonra mutlaka bir şeye yakınsar, diye düşünüyorum o alan. Onu buluruz.

Bütün ℝ veya ℝ² olursa işte. (Ö2)

Alan diyesim geliyor.Bölgenin (alanı). Kapalı bir bölgenin. (Ö5)

EK-D Problem (5) de kutupsal koordinatlar üzerinde bir iki katlı integral verilerek hesaplanması istenmiştir. Ö5 ve Ö6 isimli katılımcılar alan hesabı yaptıklarını ifade etmişlerdir.

∫_𝜋^2𝜋∫ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃₄⁷ integrali ile bir eğrinin alanı bulduk. Çünkü fonksiyon yok burada.

Sadece 𝑟𝑑𝑟𝑑Ɵ var.” (Ö5)

Ee… Soruda kutupsal bicinde vermiş ya. (….)Alan da bulmuş oldum, tabii ki. Çünkü iki katlı integral alan bulmayla alakalı bir şeydi. İki katlı integrali çözdüm. Sınırlarda belli. Belli bir alan. Alan buldum. Bir de sonucu 𝜋’li bulunca birazda daha alan bulmuşum gibi geliyor. Hani 𝜋𝑟². (Ö6)

Yukarıdaki katılımcılardan alıntılar incelendiği zaman iki katlı integralin sembolik ifadesi ile alan hesabı yaptıklarını ifade ettikleri görülmektedir.

“İki boyutlu geometrik yapı” kodu, katılımcılardan iki katlı integralin sembolünü gördükleri zaman veya integral alma işlemi sırasında iki katlı integralin geometrik yapısını iki boyutlu bir şekil olarak yorumladıkları durumları ifade etmektedir. EK-A Soru (1) de Ö1, iki katlı integralin temsil ettiği geometrik yapıyı integrasyon bölgesi olarak düşünmektedir.

Ö1: İki katlıda, alan. Yani birinci boyutta, tek katlı integralde genelde birinci boyut aklıma geliyor. İki katlıda falan üç boyut aklıma geliyor. Üç boyutluda iki katlı alan geliyor. Çünkü aklıma 𝑑𝐴 geliyor. 𝑑𝐴’nın üç boyutta alanı verdiğini biliyorum, grafiğin.

A: Peki çizebilir misiniz? Mesela nasıl alan geliyor?

Ö1: İki katlı integralde. (1 sn bekleme) şöyle üç boyutlu zeminde. (birkaç sn). Şöyle bir fonksiyonun alanı, şöyle bir alan oluşturuyor. (Şekil çiziyor)

A: Yani integralde nereye bulmuş oluyoruz.

Ö1: İntegralde fonksiyonun gösterdiği alanı buluyoruz. Üç boyutta

A: peki iki katlı integralde alan ile ilgili bir soru yazabilir misin?

Ö1: Sınırları belli olsun mu?

A: Olsun.

Ö1: ∫ ∫ 1. 𝑑𝐴₀¹ ₂³ mesela. 𝑑𝑥𝑑𝑦 veya 𝑑𝑦𝑑𝑥 diye ayırabiliriz

A: Bunu çizin desek mesela, hesaplayın.

Ö1: d Anın alanı birim olduğunu bildiğimiz için. Gösterdiği alanı çiziyorum. Üç boyutlu değil. O dan 1 ve 2 den üçe. Şöyle bir alan. (dikdörtgen alanı tarıyor) Şekil 45

Ö1’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik Yapısına Yönelik Çizdiği Şekiller

EK-A Soru (4) de Ö1 isimli katılımcı integrasyon bölgesini başta iki boyutlu çizdikten sonra iki katlı integralin temsil ettiği geometrik yapıyı da iki boyutlu göstermiştir.

A: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑎^𝑏 _𝑐^𝑑 ifadesi geometrik olarak ne ifade eder?

Ö1: Önce iki boyutta çizerim. Sonra üç boyuta geçerim. Çünkü 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 bir fonksiyon, 𝑥𝑦 de çizerim mesela. Mesela burası, önce 𝑑𝑥 dediği için c ile d, şurası da a ile b noktası

A: Şu fonksiyonun adını yazabilir misiniz?

Ö1: 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonu.(Şekilde 𝑓(𝑥) adını 𝑓(𝑥, 𝑦) diyor.) A: tamam. Üç boyuta geçseniz.

Ö1: bu sefer “𝑧” eklenecek. Yani bir fonksiyona boyut mu kazandırıyor bilmiyorum.

Nasıl bunu çizdik? 𝑦-ekseni şurası, 𝑥-ekseni burası. Bunun 𝑧-ekseninde uzatılmış hali, daha doğrusu şöyle bir fonksiyon.

A: Bu fonksiyon böyle gidiyor mu?

Ö1: Bu z fonksiyonu sonsuza kadar gidiyor.

Şekil 46

Ö1’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil

Yukarıda verilen soruyu Ö2 isimli katılımcı da iki katlı integrali geometrik yapısını iki boyutlu yorumlamıştır.

Şey olabilir hani. Şimdi 𝑑𝑥𝑑𝑦 yazıyorum ya. Be bu 𝑑𝑥𝑑𝑦 i şı sınırlara göre yazı yani bunlarla orantılı, bağlantılı olarak yazıyorum. Bu sınırları, sonuçta ben 𝐵 bölgesini çiziyorum bu integrali hesaplarken. Bir görmem gerekiyor. Direk şu an anlamıyorum.

B bölgesini çiziyorum. İşte 𝑓(𝑥, 𝑦) çiziyorum. Ondan sonra hani o 𝐵 bölgesi ve 𝑥 ile 𝑦 arasında sınırları belirlemem gerektiği için ben mesela düşey eksende alacaksam

sınırları ilk önce mesela 𝑑𝑥’i yazmam gerekir, sonra 𝑑𝑦’i. Çünkü buraya düşey eksenin sınırlarını yazdım yani 𝑦 nin sınırlarını yazdım. İç tarafa da 𝑥 in sınırlarını ya da işte o fonksiyon gelecekse o fonksiyonu yazdığımda şu iç kısma 𝑑𝑥 almam gerekiyor. Yani 𝑑𝑦 ve 𝑑𝑥’in yerlerini değiştirecek olmam, şunları bağlı. (Ö2)

Şekil 47

Ö2’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil

EK-B Problem (3) de Ö3, problemi çözdükten sonra iki katlı integralin temsil ettiği yapıyı iki boyutlu bir geometrik yapı olarak çizmiştir.

Ö3: O zaman∬ 3. 𝑑𝐴 = 3. ∬ 𝑑𝐴 = 3. 𝜋_𝐵 _𝐵

A: Peki bu integrali temsil eden şekil nasıldır?

Ö3: Hııım. Şekli mi?

A: Evet.

Ö3: Alan cinsinden dersem. Biz burada yaptığımızda normalde bir tane ve bunu deseydiniz ve 𝑑𝐴 soru işareti deseydiniz, ne diyecektik? 𝜋𝑟²’ de 𝜋 diyecektim. Yani bir tane birim çemberin alanını verecektim. 3 ile çarptığımız için 3𝜋 oluyor. Bu da 3 tane birim çemberin alanı. Bunları birleştirdiğimiz zaman ortaya çıkan çemberin alanıdır, diye düşünebilirdim. O da ne olurdu? Mesela 3𝜋 ya. Burada yarıçap belirlemek önemli. 3𝜋, o zaman yeni bir 𝑟₁ belirliyorum. 𝑟₁ = √3. O zaman ne derdim yarıçapı √3 olan dairenin alanı derdim. Şöyle bir şey olur. Bunu çizerdim.

A: Bu integralin anlattığı şekil bu şekil midir?

Ö3: Evet. Bana göre bu.

Ö5, EK-A Soru (3) de iki katlı integral ile ilgili örnek verdikten sonra araştırmacı bazı integrallerin ne anlama gediğini sormuştur. Ö5’in verdiği cevaplar ve çizdiği şekiller aşağıda gösterilmiştir.

A: Mesela ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥₀¹ ₀¹ integrali matematiksel olarak ne anlama gelmektedir?

Ö5: Buna alan derim.

A: ve ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥₀¹ ₀¹ ?

Ö5: Buna kesin alan derim. Çünkü fonksiyon yok.

A: Bu integralin ne anlama geldiğini çizin deseler, çizebilir misiniz?

Ö5: Çizeyim.

Yukarıdaki alıntılardan görüldüğü gibi katılımcılar iki katlı integralin temsil ettiği şekli iki boyutlu görüp aslında integrasyon bölgesinin grafiğini iki katlı integralin temsil ettiği geometrik yapı olarak göstermektedirler. Katılımcılar tek katlı integral kavramına yönelik kavram imajları ile hareket ettikleri görülmektedir.

“Hacim” kodu katılımcılardan iki katlı integralin sembolünü gördükleri zaman veya integral alma işlemi sırasında iki katlı integrali “hacim” olarak yorumladıkları durumları ifade etmektedir. Bu kod da neyin hacmini bulduklarını net ifade etmeyen katılımcıların anlayışları bulunmaktadır. Bu nedenle neyin hacmini bulduklarını tarif eden katılımcıların anlayışları alt boyutlarda verilmiştir. Hacim kodunun “𝐵 bölgesi ile 𝑓(𝑥, 𝑦)/𝑓(𝑥) arasında kalan yerin hacmi” ve “dönel cisim” olmak üzere iki farklı boyutu bulunmaktadır.

Ö1, iki katlı integralin sembolüne ait yerlerde ki yorumlarında genelde alan kavram imajına sahiptir. Ö1, EK-A Soru (2) de iki katlı integral ile tek katlı integralin sembolik işaretleri arasında ne tür benzerlikler ve farklılıklar sorulduğu zaman dilsel olarak hacim kavramından söz etmiştir.

A: Peki şu semboller, sizin için ne ifade ediyor?

Ö1: Matematikçi olduğumuz için direk alan ya da hacim geliyor.

A: Hacimde bulabilir miyiz?

Ö1: Bir fonksiyonda aklıma geliyor. Bir fonksiyonun gösterdiği alan ya da hacim.

A: Peki bu ikisinin ne farkı var? Bu işaret niye farklı?

Ö1: Bir S de birinci boyut aklıma geliyor. İkinci S de üçüncü boyut gibi geliyor. Üç katlılarda üç boyut gibi. İkinci boyut daha kapsamlı, daha geniş alan gibi geliyor. Birinci boyut çok şey gibi geliyor. Daha öğrencilere integrali tanıtmak.

İntegralde alanın nasıl olduğu, bulunduğu işte. E hacmin nasıl bulunduğu veya fonksiyonun nasıl değişim gösterdiği aklıma geliyor ama iki katlı integral gerçek integral gibi geliyor. Alanın bulunduğu, böyle. Bir de bilgisayar programları, bilgisayar çizimlerimde iki katlı integralin grafiklerle çizimi aklıma geliyor. Gözümde canlanıyor, yani.

Yukarıdaki alıntıda Ö1, ne kadar iki katlı integralin sembolik ifadesine yönelik hacim anlayışından bahsetse de bu anlayışı üç katlı integral için düşündüğü görülmektedir.

EK-A Soru (4) te Ö4 iki katlı integralin geometrik temsilini hacim olarak nitelendirmiştir.

A: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑎^𝑏 _𝑐^𝑑 ifadesi geometrik olarak ne ifade eder?

Ö4: Gitgide daha ayrıntıya gidiyoruz, herhalde. Mesela burası ilk içten alıyorum.

Burası 𝑥’lerin sınırları, 𝑎 ve 𝑏 𝑦’nin sınırları olarak görüyorum. Şu fonksiyon zaten bulmamız gerekiyor. Ona pek dokunmuyoruz. Sınırları bulup direk fonksiyonun integralini buluyoruz. Ondan sonra direk çıkan şeyinde, burada bir kez daha integralini alıyoruz.

A: Çizin deseler temsili olarak, nasıl çizersiniz?

Ö₄: Fonksiyonu bilmiyoruz ki…

A: Fonksiyonu kendiniz seçebilirsiniz. Üç boyutlu.

Ö4: Şimdi üç boyutlu mu?

A: Fark etmez. Siz bilirsiniz.

Ö4: Fonksiyonu üç boyutlu olsun. Şöyle. Bir sınırlarımız var. Pozitif olduğunu düşünüyorum. “𝑐” ile “𝑑” dersem. Şunları uzatmak istiyorum. Buradan buraya alsam.

Tamam, işte. Sınırları burası. Bir de 𝑓(𝑥) fonksiyonum var. Fonksiyonum şurada başlasa. Biraz önce ki şekle benziyor. Şöyle çizsem. Şunun üstü… Şunun orada olması düşünüyorum.

A: Peki, bu integrali hesapladığımız zaman neyi bulmuş oluyoruz?

Ö4: Hacmini bulmuş oluyoruz. 𝟏 olsaydı da alanını bulmuş oluyoruz.

Yukarıda verilen alıntılarda hacim olarak ne ifade edildiği belirtilmemiştir. Bu nedenle iki katlı integralin doğasına uygun bir hacim anlayışı olup olmadığı net değildir.

“𝐵 bölgesi ile f(𝑥, 𝑦)/𝑓(𝑥) arasında kalan yerin hacmi”, belli bir bölgede sınırlandırılmış katı cismin hacmini ifade etmektedir. Ö2 isimli katılımcı EK-A Soru (4) de iki katlı integrali fonksiyon ile bölge arasındaki hacim olarak ifade etmiştir.

Ö5: Şimdi bu ifadeden; 𝑓(𝑥, 𝑦) iki değişkene bağlı bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun B kapalı bölgesinde şey, sonucu istiyor. Bu 𝑑𝐴 dediğimiz zaten 𝑓(𝑥, 𝑦) değişkeni olduğu için ya 𝑑𝑥𝑑𝑦 ya da 𝑑𝑦𝑑𝑥’ dir. Bu işlem kolaylığına göre kendimizde belirleyebiliriz. Sınırları ve fonksiyonu bildiğimizde. (….) Bu kapalı fonksiyonu üzerinde bir 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonun üzerindeki değeri soruyor.

A: Tam üzerinde mi, neresinde?

Ö5: Altında ki kalan bölgede diyebilir miyiz, aslında? Ben öyle de düşünüyorum ama.

Hep aklımda öyle kalıyor.

A: Nasıl kalıyor?

Ö5: Altında kalan bir bölgeymiş gibi düşünüyorum ama burada 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonu bağlı olarak…

A: Böyle mi düşünüyorsunuz? Yukarıda ki?

Ö5: Eğri. Kapalı bölge evet.

A: Bunu integrali, peki sonucu bulunca neyi bulmuş oluyorsunuz? Kapalı bölge ve eğri dediniz. İntegralini bulunca neyi bulmuş oluyorsunuz?

Ö5: Nasıl yani?

A: Alan mı, hacim mi?

Ö5: Alan diyesim geliyor.

A: Alan daha mı baskın?

Ö5: Evet, alan. Tanımlarda çok iyi değilim.

Şekil 48

Ö5’in İki Katlı İntegralin Sembolik Yapısının Temsil Ettiği Geometrik Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil

Ö5 isimli katılımcıya EK-B’nin başında iki katlı integralin sembolik ifadesini hacim olarak gördüğünü söylemiştir.

A: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝐵 bir ifade görünce aklınıza ne geliyor?

Ö5: İntegralin içerde kalan kısmın 𝑥’e bağlı sınırlar arasında kaldığını, dışarıda kalan kısmın 𝑦’e bağlı kaldığı ve bu 𝒇(𝒙) fonksiyonun bu bölge üzerindeki integralini soruyor. Hacim aklıma geliyor.

Ö5 isimli katılımcı yukarıda verilen iki farklı görüşmede iki katlı integralin sembolik ifadesini, fonksiyon ile bölge arasındaki katı cisim olarak ifade etmiştir. İlk görüşmede, iki katlı integrali sembolik halini hacim olarak ifade etse de alan duygusunun daha baskın olduğunu söylemiştir ama ikinci görüşmede direk hacim demiştir. Görüşme sorularından etkilenmiş olabilir.

EK-D Problem (5) de Ö2 ve Ö3 isimli katılımcılar ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃_𝜋^2𝜋 ₄⁷ integrali ile bir silindirin hacmini hesapladıklarını ifade etmişlerdir. Aşağıda sırası ile alıntılara yer verilecektir.

Çünkü 𝑟. 𝑑𝑟 var. İşte burada ki 𝑟 işte Jakobiyeni. Bu Jakobiyen dediğimiz şey ya.

Kendini eklediğimiz şey ve hani integralde benim için şöyle bir şey var. Eğer 1 alıyorsam, alanı buluyorumdur ama gerçi burada iki katlı integral olduğu için fonksiyonu 1 aldığımda o zaman bu bir silindir. Silindiri mi bulmuş oldum? Öyle hacmini bulmuş oldum. Bu içi boş silindirin aşağıya doğru gidiyor. Ben şu an 𝑥𝑦 üzerinde çizdim ya. Bunun bir de yüksekliği var. (Ö2)

A: İki katlı integralde kutupsal bir ifade gördüğün zaman alan veya hacim olduğuna nasıl karar verirsiniz?

Ö3: Şeklini çizip bakarım.

A: Mesela ∫_𝜋^2𝜋∫ 𝑟₄⁷ ³𝑑𝑟𝑑𝜃?

Ö3: Şimdi bu ne olacak? Iıı r si Jakobiyen, 𝑟²… Hıımm. Şimdi bunu biz ne yapıyorduk? Iıı 𝑟². Hıım 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠Ɵ, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛Ɵ alsak, 𝑟² = 𝑥²+ 𝑦² şeklinde yazabilirim. Fonksiyonum bu oluyor. Bu da eee silindir oluyor galiba. Çünkü 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦² oluyordu. Hani biz öyle yazıyorduk ya, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 şeklinde alıyorduk. Çizmeye çalışayım. Şöyle bir şey.

A: Yoo, çizmesiniz de olur? Sonuçta geometrik olarak ne buluyoruz?

Ö3: Hacim.

“Dönel cisim” kodu tek katlı integrallerdeki bir eğrinin bir yönde döndürülmesi ile elde edilen katı cisimlerin hacmini ifade etmektedir. Ö2, EK-A Soru (4) ve Problem (10) da iki katlı integralin sembolik ifadesini dönel cisimlerdeki hacim anlayışı olarak yorumlamıştır.

Sırasıyla aşağıda alıntılara yer verilecektir.

A: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑎^𝑏 _𝑐^𝑑 ifadesi nasıl hacim oluyor?

Ö2: İşte bunu döndürdüğümüz zaman hacim olur. Döndürdüğümüz zaman şu kısmın hacmini bulmuş olurum. İşte küçük kısmı da sorarsa içeri ki kısmın hacmini bulmuş olurum.

A: ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥₋₁⁰ ₀¹ integralini bulunuz.

Ö2: Az önceki bu. Tamam. Hemen yapalım. -1/4 buldum. Bu şimdi ney?

A: Niye şaşırdınız?

Ö2: Negatif olmasına şaşırdım.

A: Negatif olunca ne oluyor? Yani İki katlı integral negatif çıkamaz mı?

Ö2: Ya Şimdi iki katlı integralde ben şöyle, içerdeki fonksiyon. Hani içerde bir fonksiyon olması, 𝒙𝒚 li değişken bir şeyin olması, o şeyin hacmini verir. İşte döndürdüğüm zaman. Onun hacmini verir diye düşündüğüm için. Hacmi -1/4 bulmak? Aslında ben şeyleri doğru çözdüğümü düşünüyorum, soruyu. Bir yerde bir yanlış yapmadıysam. İlk önce 𝑦’e göre integralini aldım. Sınırlarını yerleştirdim…

Doğru yaptım.

A: İki katlı integralde her zaman alan veya hacim mi buluruz?

Ö2: İşte fonksiyonu 1 aldığımız zaman alan, içerde bir fonksiyon olduğu zaman hacim diye ben böyle. Kalıplaşmış, kafamda. Yani o öyle bilemedim ama her zaman alan ve hacim bulmayız ya. Çünkü eksi de çıkıyor çünkü sonuç çoğu zaman.

A: Varsa ekleyeceğiniz?

Ö2: Her zaman alan ya da hacim bulduğumuzu düşünmüyorum şu an.

Şekil 49

Ö2’nin İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesinin Temsil Ettiği Geometrik Yapısına Yönelik Çizdiği Şekil

Yukarıda ki alıntılarda katılımcıların iki katlı integralin sembolik ifadesine yönelik hacim imajı, alan imajına göre daha zayıf kalmaktadır. Katılımcılar integrandı 1 değilse hacim deseler de, iki katlı integralin temsil ettiği geometrik yapıyı kavramın doğasına uygun yorumlayamadıkları görülmektedir.

“İntegrasyon sırası değiştirme” kodu, katılımcılardan iki katlı integral kavramını

“integrasyon sırası değiştirme” olarak gören veya hatırlayan matematik öğretmen adaylarının kavram imajını ifade etmektedir. Bu kavram imajına sahip katılımcılar iki katlı integralde uygulanan integral alma metotlarını hatırlamaktadırlar. Katılımcılar, EK-A Soru (4) da iki katlı integralin sembolünü “integrasyon sırası değiştirme” olarak yorumlamışlardır.

Aşağıda katılımcılara ait alıntılara yer verilecektir.

Şey geliyor 𝑑𝑦 ve 𝑑𝑥 yer değiştirdiği. Şeyin bir gölgesi olduğu fonksiyon. Onun tabanda bir alan oluşturduğu. (Ö1)

𝑥’li ve 𝑦’li ifade kesin olması gerekir. Ya da kesin demeyeyim de. Şöylede olabilir mesela. Iıı 𝑥’li ve 𝑦’li ifade olması kesin olması lazım ama yanında başka şeylerde olur. Yani şey değil. Burada da ilk önce dx alıyorsam, ilk önce 𝑥’ e göre integralini

alıyorum. Burada 𝑦’i sabit tutup, 𝑥’e göre integral alıyorum. 𝑦’i sabit bir sayıymış gibi tuttuk. (Ö2)

Şimdi bu ifadeden; 𝑓(𝑥, 𝑦) iki değişkene bağlı bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun 𝐵 kapalı bölgesinde şey, sonucu istiyor. Bu 𝑑𝐴 dediğimiz zaten 𝑓(𝑥, 𝑦) değişkeni olduğu için ya 𝑑𝑥𝑑𝑦 ya da 𝑑𝑦𝑑𝑥’ dir. Bu işlem kolaylığına göre kendimizde belirleyebiliriz. Sınırları ve fonksiyonu bildiğimizde. (Ö5)

Ayrıca Ö4 isimli katılımcıya iki katlı integralin sembolik ifadesinin geometrik yorumu sorulduğunda integral sırası değiştirme işleminden söz etmiştir.

A: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑎^𝑏 _𝑐^𝑑 ifadesi geometrik olarak ne ifade eder?

Ö4: Gitgide daha ayrıntıya gidiyoruz, herhalde. Mesela burası ilk içten alıyorum.

Yukarıdaki alıntılar incelendiğinde katılımcıların iki katlı integrale yönelik kavram imajlarını işlemlere kısıtladıkları görülmektedir.

“İki katlı integral hesabı” kodu; katılımcılardan iki katlı integral kavramını, integral alma işlemi olarak gören veya hatırlayan matematik öğretmen adaylarının kavram imajını ifade etmektedir. EK-A Soru (4) de iki katlı integralin sembolik hali gösterildiğinde sadece iki kez integral alma işlemi olduğunu söylemiştir.

Bu da integralin iki katlısı. Çok katlısı. Üç katlı nasıl oluyordu? (….)Tek bildiğim şey.

İki tane şey oluyor. Sınırlarını yapacağız. Genel olarak anlatılan şeyler kaldı. (Ö4) Ö6 isimli katılımcı da tek katlı integral ile iki katlı integralin farkını iki kez integral alma işlemi olarak ifade etmiştir.

A: “∫ ∫ " sembolü sizin için ne ifade etmektedir? Sizce “∫ " ile "∫ ∫ " sembollerinin sahip olduğu anlamlar arasında ne tür farklılıklar vardır?

Ö6: İki katlı integrali. Iıı birincisinde bir kere integral alıyoruz. İkincisinde de aynı sıra ile önce içten başlayarak, bunun integralini alıyoruz. Bulduğumuz ifadenin de bir daha integral alıyoruz. Yani iki kere integral aldık.

Yukarıdaki alıntılarda katılımcılar iki kez integral alma işleminin ötesine geçememişlerdir. Ayrıca katılımcıların integrandın iki değişkenli fonksiyon olduğunun farkında olmadıkları görülmektedir.

İki değişkenli fonksiyonların integrali” kodu, integral işlemi yapılırken iki değişkenli fonksiyonun integrali alındığına yönelik kavram imajına sahip katılımcıları ifade etmektedir.

EK-A Soru (2) de Ö3 ve Ö5 isimli katılımcılar ise tek katlı integral ile iki katlı integral arasındaki fark olarak, değişken vurgusu yapmışlardır.

Şimdi iki katlı integralde ııı artık fonksiyonlarımız iki değişkenli oluyor. Önceden mesela normal bir integral dediğimizde tek katlı integralde 𝑓(𝑥) fonksiyonumuz vardı. Burada da 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonlarımız var. O fonksiyonumuz 𝑥 ve 𝑦 gibi değişkenlerden oluşacak. İki katlı integral deyince bu aklıma geliyor ve bu 𝑓(𝑥) fonksiyona uygun bir bölge belirliyoruz. Bu bölgede onu integrasyonunu aldığımız da bu işte iki katlı integral oluyor. (Ö3)

“Yani tek katlı integralde tek değişkene bağlı olarak çözüleceğini, iki katlı integralde iki farlı değişkene göre çözüleceğini anlıyorum. Düşünüyorum. Değişken 𝑥 gibi 𝑦 gibi diyeceğim şimdi. Yani hani 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunda x değişken oluyor. Yani y değeri 𝑥 hangi değeri alırsa ona göre değiştiği için 𝑥’ e değişken diyoruz. Öyle. (Ö5) Yukarıdaki alıntılarda da katılımcılar, iki değişkenli fonksiyonun hakkında bilgilerinde sıkıntılar olduğunu göstermektedir.

Fonksiyon, iki katlı integral kavramını içeren fonksiyonları temsil edilmektedir. EK-D Soru (8) de ki şıkları Ö5 yorumlarken, fonksiyon kavramından söz etmiştir.

A: O zaman iki katlı integral ne belirtebilir?

Ö5: Alan, hacim, fonksiyon.

A: Fonksiyon belirtebilir mi?

Ö5: Fonksiyon belirtebilir. Çünkü sonuçta sınırlar mesela 𝑥²’den 𝑥³’e gider mesela.

Fonksiyon çıkar.

Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesinin Bileşenlerine Yönelik Kavram İmajları

Matematik öğretmen adaylarından iki katlı integralin ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴_𝐵 sembolik ifadesindeki bileşenlere yönelik kavram imajlarını temsil etmektedir. Bu kısım problem çözerken bileşenlere ait yaptıkları yorumlar veya direk bileşenin anlamına ait sorularda ortaya çıkmıştır. İki katlı integralin bileşenleri; fonksiyon, bölge, 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ve integral işareti şeklinde incelenmiştir.

Fonksiyon. İki katlı integralin sembolik ifadesindeki fonksiyon hakkındaki katılımcıların yorumlarını temsil etmektedir. İki katlı integralde integrali alınan fonksiyonun;

integrand hakkında anlayışlar, integrallenemeyen fonksiyonlar ve fonksiyonun durumu olmak üzere üç alt boyutu bulunmaktadır.

İntegrand Hakkındaki Anlayışlar. İki katlı integralde integrali alınan fonksiyon hakkındaki katılımcıların yorumlarını temsil etmektedir. Bu boyutun alt durumları aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Şekil 50

Katılımcıların İntegrand Hakkındaki Anlayışlarının Sınıflandırılması

“Tek değişkenli fonksiyonlar” kodu; integrandı, tek değişkenli fonksiyon olarak gören veya ifade eden katılımcıların kavram imajını temsil etmektedir. Katılımcılar problem çözerken veya bir grafiğin çizilmesi istendiğinde integrandı ya 𝑓(𝑥) olarak ya da bir eğri çizerek göstermişlerdir. Katılımcılara ait ifadeler ve grafikler sırası ile gösterilecektir.

Tablo 11

İntegrandı Tek Değişkenli Bir Fonksiyon Olarak İfade Eden Katılımcıların Kod Frekansı

Katılımcılar Frekans

Ö1 12

Ö2 10

Ö3 1

Ö4 2

Ö5 6

Ö6 5

EK-A Soru (15) de “İntegrallenemeyen bir 𝑓(𝑥, 𝑦)’e örnek veriniz” denilerek iki değişkenli fonksiyon vurgusu yapıldığı halde Ö1 isimli katılımcı tek değişkenli fonksiyonlardan örnekler vermiştir.

Benim aklıma direk şey geliyor? Sürekli olmayan fonksiyonlar geliyor. Çünkü sürekli olmazsa, türevi olmaz; türevi olmazsa integrali olmaz veya kırıklı bir fonksiyonda olabilir. Mutlak değer fonksiyonu. Fonksiyonu parçalarsak, alanı bulabiliriz belki ama direk fonksiyonun alanı bulamıyoruz. Şeyde olabilir. Fonksiyon süreksizde olabilir.

Fonksiyon parçalanır. (Ö1) Şekil 51

Ö1’in İntegrallenemeyen İki Değişkenli Fonksiyona Ait Yorumu

EK-A Soru (3) de İki katlı integrale örnek istendiği zaman, Ö2 isimli katılımcı integrandı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade ediyor.

Örnekler hep üzerinde (…) 𝑇 bölgesi. Hani integralde şu şekilde falan yazıyorduk:

∬ 𝑓(𝑥)_𝑇 bulmaya çalışıyoruz, alan diye. (Ö2)

Ö2 isimli katılımcı EK-A (1), (2),(3) ve (8)’nci sorularda iki değişkenli fonksiyonları tek değişkenli fonksiyon olarak göstermiş olup aşağıda katılımcının çizdiği şekil ve ifadelere yer verilmiştir.

Şekil 52

Ö2’in İntegranda Ait Yorumları ve Çizdiği Grafikler

Ö4 ise ikinci yarı yapılandırılmış görüşmenin başında, 𝑓(𝑥, 𝑦)’i tek değişkenli bir eğri şeklinde çizmiştir.

Şekil 53

Ö4’ün İntegrand Fonksiyona Ait Çizdiği Grafik

EK-A Soru (1) de, Ö6 integrandı 𝑓(𝑥) olarak ifade etmiş ve 𝑥𝑦-düzleminde göstermiştir.

Tabii. Herhangi bir fonksiyon olabilir. 𝑓(𝑥) = 𝑥² fonksiyonu olabilir. Mesela herhangi bir sınır belirleyebiliriz. Sonuçta bir alan bahsediyoruz. Bir başlangıç ve bitim noktası olması lazım. Mesela 𝑓(𝑥) = 𝑥² parabolünde, bu cismin bu fonksiyonun altında kalan alan. İntegral yardımı ile buluruz. (Ö6)

Şekil 54

Ö6’nın İntegranda Ait Çizdiği Grafik

Yukarıdaki katılımcılara ait alıntılar incelendiğinde iki katlı integrale yönelik tek değişkenli fonksiyona ait kavramlar zihinlerinde canlanmaktadır.

“𝑓(𝑥, 𝑦) ile 𝑧'nin farklı olma durumu” kodu, iki katlı integralin integrandını olan 𝑧 ile 𝑓(𝑥, 𝑦) birbirinden farklı gören veya ifade eden katılımcıların kavram imajını temsil etmektedir.

EK-B Problem (5) de 𝑥𝑦𝑧-düzlemi ifadesi kullanılınca, Ö1 çözümünde bir süre tereddüt yaşamıştır. Problemde iki katlı integral ile küpün hacmi ifade edildiği halde, üç katlı integral ile ifade etme ihtiyacı duymuştur ve 𝑓(𝑥, 𝑦)‘i, 𝑥𝑦-düzleminde gösterdiği için (Örneğin Şekil 51) 𝑧 fonksiyonu nasıl yazacağını söyleyememiştir.

Ö1: 𝑧’ye eşitir? Hacim olarak. “𝑧” yi nasıl yazıyorduk. “𝑧” cinsinden. Üç katlıyı.

A: Şüpheye düştüğün yer neresi?

Ö1: Şüpheye düştüğüm yer, iki katlı integralde hep alan diyorum ya mesela ben.

Orada hacim hesaplayabiliyoruz ama hacmi, fonksiyon cinsinden verdiği zaman mı hesaplayabiliyorduk. “𝑧” şu gibi bir fonksiyon olsun. Bunun hacmini hesaplayanız dediği zaman biz sınırları belirleyip, öyle alana geçiyorduk. Mesela burada, tamam bu bir birim, bunu şey fonksiyonunu bilemiyorum, “a” da. “a” da bilemediğim için ııı “𝑧” li fonksiyon tanımlayamıyorum, tanımlayamadığım için integralin hacmini bulamıyorum.

EK-A Soru (2) de Ö5 isimli katılımcı “𝑧” değişkenine bağlı ifadeler varsa hacim, 𝑓(𝑥, 𝑦) bağlı ifadeler (𝑥 ve 𝑦’li ifadeler) var ise alan olduğunu söylemiştir. Ayrıca Ö5 EK-A Soru (4) de “𝑓(𝑥, 𝑦)” ve “𝑧” ifadelerinin ayrı kavramlar olduğunu tekrardan ifade etmiştir.

Aşağıda Ö5 ait alıntılar sırası ile verilecektir.

(2. soru hakkında) Hııım. Soruda eğer 𝑧 değişkenine bağlı 𝑧 = 𝑥²+ 𝑦² gibi değerler varsa, zaten sorunun kökünde hacmini hesaplayınız der. Eee. Aklıma öyle geliyor.

Eğer soruda 𝒛 diyorsa hacim, 𝒇(𝒙, 𝒚)’e bağlı değişken olduğunda alan diye düşünüyorum. 𝑓(𝑥, 𝑦)’ e bağlı sadece alan gelmiyor. Mesela işte değerler nelerdir?

Aradaki alan nedir aslında. Alan deyince aklıma 𝑑𝑥𝑑𝑦 veya 𝑑𝑦𝑑𝑥 yazdığımızda, fonksiyonu yazmıyoruz. Fonksiyonlar arasındaki bölgeyi yazıyoruz. Oradaki alanı.

(Ö5)

A: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝑎^𝑏 _𝑐^𝑑 ifadesi geometrik olarak ne ifade eder?

Ö5: Şimdi bu ifadeyi gördüğümde “𝑥” değişkenini c ile d arasında, “𝑦” değişkenini de a ile b arasında sabit değerler arasında sabit kaldığını düşünürüm. Bunun sonucu büyük ihtimalle sabit bir sonuç gelecek. 𝑓(𝑥, 𝑦)’i nasıl çizerim? Koordinat düzleminde çizerin. Şu 𝑓(𝑥, 𝑦) olsun. Şurası c, şurası d, şurası a, şurası b’dir.

A: Peki bu integralle neyi bulmuş oluyoruz?

Ö5: Alan mı, hacim mi, diye yine soruyorsunuz. Değeri alan diyemem, şu an hocam.

Değeri söyleye bilirim. Alan diyemiyorum.

A: Böyle ifadeler iki boyutta mı çizilir?

Ö5: İki değişkenli ya. Ama mesela 𝒛 = 𝟏 − 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐 ve hani 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐 = 𝟏 gibi sorularda. Mesela bunda öyle değil. Bu x ve y değişkenlerine bağlı olduğu için öyle düşünüyorum.

“Bölge içinde bulunma durumu” kodu; integrandı, integrasyon bölgesi içinde olduğunu ifade eden katılımcıların kavram imajını temsil etmektedir. Genellikle tek değişkenli bir fonksiyon grafiğinin verilen bölgenin içinde olduğunu ifade eden katılımcıların yorumlarını yansıtmaktadır. Aşağıda Ö1 ve Ö6 isimli katılımcıların sözel ve grafiksel alıntılarına yer verilecektir.

EK-A Soru (4) de Ö1 iki değişkenli fonksiyonu çemberin içi olduğunu söyleyerek grafiksel temsilini çizmiştir.

A: Bu fonksiyon nerededir? Mesela?

Ö1: 𝑥𝑦-ekseninin de olabilir mesela, yani.

A: Fark etmez diyorsun yani.

Belgede Ankara, 2022 Doktora Tezi Mustafa ÖZBEY MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İKİ KATLI İNTEGRAL E YÖNELİK KAVRAM İMAJLARI Matematik Eğitimi Programı Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı (sayfa 149-200)