Bölüm 4 Bulgular ve Yorumlar
4.1. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Kavramına Yönelik Kavram
Bu kesimde, katılımcı matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral kavramına yönelik anlamalarının “alan” ile ilgili ilişkilendirmelerine yönelik imajları sunulmuştur. Buna
göre, analizlere bağlı olarak, “alan” kategorisi “dilsel olarak alanı ifade etme durumu, alan olma durumu, integral ve alan bağlantısı, alan hesaplama stratejisi “olmak üzere dört alt kategori başlığında incelenmiştir.
“Dilsel olarak alanı ifade etme durumu” alt kategorisi, katılımcıların “iki katlı integral kavramından ne anlıyorsunuz?” sorusuna verdikleri yanıtları ve bir problemi çözerken hesapladıkları geometrik yapıya ait yorumlarını temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ilişkin kodlar aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 22
Katılımcıların İki katlı İntegral ile “Neyin Alanını Buldukları” İfadelerinin Sınıflandırılması
Şekil 22’de yer alan her bir koda ilişkin katılımcıların ifadelerine yönelik doğrudan alıntılar aşağıda verilmiştir.
“Bölgenin alanı”; iki katlı integralde integrasyon bölgesinin alanını temsil etmektedir.
Örneğin Ö1, EK-C (1) numaralı etkinliğin (E) şıkında yarı yapılandırılmış görüşmede “taban alanı” diyerek bölgenin alanını kastetmektedir.
i=0 için 2 yi oluşturur. Bunu acaba şeyle çarpsak mı acaba şeyle. K dersek. 1 için 1 oldu. Toplamı çarparsak zaten taban alanı buluruz. (Ö1)
İntegrasyon sırasının değiştirilmesine yönelik uygulamanın yer aldığı EK-D’de Problem (1) de Ö2 isimli katılımcı “bölgenin alanını” bulduğunu ifade etmiştir.
İlk önce 𝑦’ e göre integral almış ya. O yüzden dedim 0’ a 4𝑥; 𝑦’lerin sınırları. Yani 𝑦 eşittir diye gittiği için önce 𝑦 = 4𝑥 çizeyim. Nereyi istediğini görmek istedim. 0’ dan 4x dediği için şu kısmın alanı istiyor. O yüzden buranın alanını yerlerini değiştirerek nasıl yazarım. Ona baktım. 𝑓(𝑥, 𝑦) ? Aslında f(𝑥, 𝑦)’ nin alanı değil de burası bölgenin alanı zaten. Bu bölge üzerinde çalışmışız o zaman. 0’ a 3, 0’ a 4. Şu an toparladım. Bu bölge üzerinde çalışmışız. (Ö2)
Ö3, Ö4 ve Ö5 isimli katılımcılar EK-D Problem 8’in şıklarını yorumlarken araştırmacının “nerenin alanını buluyorsunuz” sorusuna “ bölgenin alanı” biçiminde cevap vermişlerdir.
Ö3: Fonksiyonun altında kalan alanı buluyoruz.
A: Çizebilir misiniz?
Ö3: Mesela şöyle diyelim.
A: İki katlı integral.
Ö3: Bir dakika. İki katlı integral, tamam. Şöyle bir fonksiyonumuz olsun. Şöyle a’ dan b’ ye. Şöyle y=f(x). ∫ ∫𝑎𝑏 0𝑓(𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥. Şu alanı buluyoruz. Şu bölgenin alanını buluyoruz.
Ö4: Nasıl neyin alanı bulunuyor? Ortada bir şekil. Şeklin alanını oluyor.
A: Bazısı fonksiyonun alanı, bazısı bölgenin alanı diyor.
Ö4: Ben şekil derken bölgenin alanını söylemek istiyorum.
A: Bölgenin alanı oluyorsa integral ne işe yarıyor?
Ö4: Sınırlar.
Ö5: Neyin derken hocam?
A: Yani neyin alanı?
Ö5: Eğriii, bölge, kapalı bir bölge, eğri.
“Bir eğrinin altında kalan alan”; bir eğrinin grafiği altında, sınırlı bölgedeki alanı temsil etmektedir. Ö1 ve Ö3 isimli katılımcılarla yapılan görüşmelerden alıntılar ve düşünceleri ifade eden şekiller şöyledir:
A: İki katlı integralle alan bulurken neyin alanını buluyoruz?
Ö3: Fonksiyonun altında kalan alanı buluyoruz.
Şekil 23
Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
A: İki katlı integralle ilgili hatırladığınız neler var? Neler aklınızda canlanıyor?
Ö4: Şey hocam, iki boyutlu bir şey, koordinat sistemi… Orada bir fonksiyon. Onun altında kalan alan. Yani toplamı. Öyle demiştik.
Şekil 24
Ö3’ün İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
Ö4 isimli katılımcı, araştırmacının “İki katlı integral kavramından ne anlıyorsunuz?”
sorusuna yönelik olarak “𝑓(𝑥, 𝑦)” iki değişkenli fonksiyon gösterimine rağmen, eğri altında kalan alanı tek değişkenli fonksiyonları kullanarak ifade etmiştir:
Ö4: Şey hocam, iki boyutlu bir şey, koordinat sistemi… Orada bir fonksiyon. Onun altında kalan alan. Yani toplamı. Öyle demiştik.
A: Aklınıza gelen şeyi nasıl çizerdiniz?
Ö4: aklıma gelen şey. Şöyle bir 𝑦 ve 𝑥. Bir fonksiyon var. Fonksiyon şu aralıkta mesela. Alanı istiyor.
“Fonksiyonun alanı”; integrandın alanını temsil etmektedir. Yani integral alma işlemi sırasında fonksiyona uygulan işlemler gibi iki katlı integralde tanımlı olduğu bölge kavramını düşünmeden, işlemsel anlamda integrandın alanın bulunduğunu ifade eden katılımcıların kavram imajını yansıtmaktadır. Ö1, görüşmelerde bölge kavramını ifade etmeden integrandın alanını bulunduğunu söylemiştir. Örneğin Ö1, EK-A Problem (11) ve (13)’ de
sembolik ifade verilen bölge kavramını söylemeden 𝑥𝑦 ve sinüs fonksiyonun alanı bulunduğu ifade ederek Şekil 23’de ki gibi 𝑥𝑦-düzleminde bir geometrik şekil çizerek o ifadenin alanı bulduğunu açıklamıştır.
A: İki katlı integralde neyin alanı buluyoruz demiştiniz?
Ö1: İki katlı integralde Sinüs fonksiyonun alanı.
A: Fonksiyonun alanı ile ne demek istiyorsun.
Ö1: Fonksiyonun eksen ile arasında kaldığı alan.
Ö3 ise EK-A’da dördüncü sorudaki sembolik ifadenin geometrik olarak fonksiyonun alanı ifade ettiğini söylemiştir.
A: ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴𝐵 ifadesinden ne anlıyorsunuz?
Ö3: Burada 𝑓(𝑥, 𝑦)’nin alanını veriyor.
Düzgün olmayan şekillerin alanı; kare, dikdörtgen gibi belli formülle hesaplanamayan geometrik şekilleri ifade etmektedir. EK-C’de birinci sorudaki formal tanımla ilgili etkinlikte bölge olarak düzgün bir dörtgen verilince Ö1, “Çünkü şöyle bir şey var: bir şeyin, alanı düzgün bulabilmek için olabildiğince parçalara ayırıp teker teker parçaları toplar, bir alana şey yaparsın, ulaşırsın. Şimdi burada şey olayı mesela sen düz bir şekil verdin ama.” söyleyerek şaşırdığını ifade etmiştir.
Araştırmacı tarafından EK-A’da üçüncü soruda “Siz öğretmen olsaydınız, öğrencilerinize iki katlı integral kavramını nasıl anlatırdınız?” diye Ö2’ ye sorunca aşağıdaki şekilde iki katlı integrali ifade etmiş ve Şekil 25’deki gibi düzgün olmayan şekillerin alanı bulunduğunu göstermiştir.
İşte önce integral, hani neleri integralle bulabileceğimi gösterirdim. Mesela atıyorum şu ilgimi çekiyordu benim. Biz atıyorum. Karenin, dikdörtgenin işte çokgenlerin falan alanı bulmayı biliyoruz ama mesela benim karşıma işte şöyle bir şekil geldiği zaman ben bunun alanını nasıl bulacağım. Hani şu an bilemiyorken yani bu dersin sonunda
siz bunu bileceksiniz demek hani biraz daha ilgi çekici olabilir en azından diye düşünerek böyle hani ilk önce neler yapabileceğimizi göstermek isterdim. (Ö2) Şekil 25
Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
“Eğriler arası alan”; iki eğri arasındaki alanı temsil etmektedir. Burada katılımcılar iki katlı integrali, tek katlı integraldeki iki eğri arasındaki olarak anlamaktadır. Eğriler arası alan kodlamasının “yaklaştırım dikdörtgenleri” isminde bir alt boyutu da bulunmaktadır.
Yaklaştırım dikdörtgenleri, tek katlı integralde eğriler arası alan hesap yapılırken hangi eğriden hangi eğriyi çıkarılacağını gösteren metodu temsil etmektedir.
Araştırmacı tarafından üçüncü yarı yapılandırılmış görüşmenin başında diğer görüşmelerin iki katlı integrale yönelik kavram imajına etkisi olup olmadığını kontrol etmek için Ö2’ye tekrar iki katlı alan deyince zihninde neler canlandığı sorulunca “alan” cevabı verilince, araştırmacı tarafından aşağıdaki soru sorulmuş ve aşağıdaki şekli Ö2 çizmiştir.
A: Peki neyin alanı?
Ö2: Düzlemde verilen herhangi bir fonksiyonun işte altında kalan, üstünde kalan alan ya da iki eğri arasında ki alan. Şöyle bir şey yapmıştık. Şöyle şöyle. Bu şekil
benim çok ilgimi çekmişti. Hani biz lisede şey diye ezberlemiştik hep. İntegralde alan bulurken üste eğriden alttaki eğriyi çıkar ama hangisi üst hangisi alt? Mesela 𝑓(𝑥) ve 𝑔(𝑥), sanki direk şey gibi düşünüyorduk. Sadece 𝑓(𝑥) den 𝑔(𝑥) çıkarabilirim.
Şekil 26
Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
Ö5, EK-A’ da üçüncü soruda eğriler arası alanı bulduğunu ifade ederek aşağıdaki şekilleri çizmiştir.
Yani şöyle düşünebiliriz. İntegralde hani ee eğriler için alan hesaplama. Hani küçük dikdörtgenler altında ayrılarak toplamları hesaplandığı için iki katlı integralde de mesela iki eğrinin arasında kalan bölge, dışında kalan bölge bunları hesaplayabiliriz.
O yüzdende alan hesabı için integral daha doğru bir yol oluyor. Çünkü başka türlü hesaplanamıyor. (Ö5)
Şekil 27
Ö5’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
Ö2’ye araştırmacı tarafından EK-A’da; iki katlı integral ifadesinde neler hatırlattığı, iki katlı integralle örnekler vermesini ve “ ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴𝐵 ifadesinden ne anlıyorsunuz?”
soruları sorulunca sözel olarak ifade etmese de sırasıyla aşağıdaki çizimleri yaparak
“yaklaştırım dikdörtgenleri” metodunu göstermiştir.
Şekil 28
Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumları
“Bir eğrinin gölgesi”, bir eğriyi 𝑥𝑦𝑧- düzlemine taşıyarak bu eğri ile düzlem arasındaki yerin alanını bulmayı temsil etmektedir. Ö1 hem EK-A’nın Problem (10) da iki katlı integral
ile neyin alanı bulduğunu aşağıdaki gibi ifade etmiş ve düşüncelerini aşağıdaki gibi bir şekil çizerek göstermiştir.
İntegralde fonksiyonun gösterdiği alanı buluyoruz. Üç boyutta.(Ö1) Şekil 29
Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
“Üç boyutluda alan”; 𝑥𝑦𝑧-düzlemine bir eğri çizip, onu gölgesini iki boyutlu gösterip;
o gölgenin alanını ifade eden katılımcıları fikirlerini temsil etmektedir. EK-A’nın birinci sorusunda iki katlı integrale yönelik düşüncelerini, Ö1 aşağıdaki gibi anlatmış ve bir şekil çizerek ne anlatmak istediğini göstermiştir.
İki katlıda falan üç boyut aklıma geliyor. Üç boyutluda iki katlı alan geliyor. Çünkü aklıma 𝑑𝐴 geliyor. 𝑑𝐴 nın üç boyutta alanı verdiğini biliyorum, grafiğin. (Ö1)
Şekil 30
Ö1’in İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
“Yüzey alanı”, iki katlı integralle bir yüzeyin alanını bulmayı ifade etmektedir.
Araştırmacı ikinci görüşmenin başında yeniden katılımcılara “İki katlı integral deyince aklınıza ne geliyor?” sorusunu yöneltince, Ö2 kendi düşüncelerini aşağıdaki gibi ifade etmiştir.
Analiz 4 de şey yaptık. Bir bölge veriyor. Onun üzerinde fonksiyon veriyor. Onları çizip hani bizden mesela T bölgesi üzerinde ki alanını istiyor o fonksiyonun 𝑇 bölgesi üzerinde ki alanı ya da hacmini. (….) Şöyle bir şekil var elimizde. Şurayı 𝑇 bölgesi olarak. 𝑇 bölgesi deyince damdan düşer gibi oldu. İşte integralin altına yazıyoruz genelde hangi bölgede çalışıyorsak. Bu 𝑇 bölgesinin. Hani bunları sınırları olarak çözdüm. Mesela daha da devam ediyorsa. 𝑇 bölgesi. Onun iz düşümü olacak şekilde.
Şekil 31
Ö2’nin İki Katlı İntegral Kavramına İlişkin Yorumu
Yukarıda ki kodlar incelendiğinde; yüzey alanı kodu hariç, tüm kodlar iki katlı integral kavramından daha çok tek katlı integral kavramı ile ilgilidir. Ayrıca bu kodların ortak noktası;
integrandı, tek değişkenli fonksiyon olarak düşündükleri görülmektedir.
“Alan olma durumu” alt kategorisi, iki katlı integral ile alan hesaplanırken;
katılımcıların integrandı nasıl oluşturduğu, hangi durumlarda iki katlı integral ile alan hesaplandığı ve integrandın geometrik olarak ne anlama geldiğini açıklayan ifadelerini temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ilişkin kodlamalar aşağıda gösterilmiş olup devamında da her kodun ifade ettiği anlam açıklanmıştır. Bu alt kategoriye ilişkin kodlar aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 32
Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına İlişkin Yorumlarının Sınıflandırılması
Yukarıda verilen şekilde ki her kodun yansıttığı düşünce aşağıda açıklanmıştır. Bu doğrultuda katılımcıların görüşlerine ilişkin ifadeler, doğrudan alıntılar yapılarak yansıtılmıştır.
“Fonksiyonun 1 olması”, integrandın 1 olmasını kural olarak gören katılımcı ifadelerini temsil etmektedir. Bu kodun ayrıca fonksiyonu 1 olmasının nedeni diye bir alt boyutu da bulunmaktadır. Ö3, EK-A’da ki Problem (11) de 1 çarpı fonksiyon diyerek kural olarak gördüğü anlatmaya çalışmıştır.
Ö3: Şimdi ilk önce bu eğrileri çizip aralarında kalan ıı alanı bulmamam gerekiyor.
Şimdi 𝑥’ den ben başlayacağım. 𝑥2= 𝑥, 𝑥 = 1 yani 𝑥’lerim 0 ile 1, 𝑦’lerim de bu iki fonksiyon arasında değişiyor. Yani nereden nereye gidiyor, 𝑦’ler 𝑥2’ den 𝑥’e doğru gidiyor. Alan olduğu için 1. 𝑑𝑦 kullanacağım. 1/6.
A: Fonksiyon yerine ne yazmıştınız?
Ö3: Şuraya mı? 𝑓(𝑥, 𝑦) mi? 1 yazdım.
A: Niye 1 yazdınız?
Ö3: Çünkü bu iki eğriyi çizdiğiniz zaman iki eğri arasında kalan bana bir alan veriyor.
Dediğim gibi bir yüksekliği olmayacak. 1 çarpı fonksiyon işte alanı verdiği için.
Ö4 ise EK-A’nın ikinci sorusunda iki katlı integral ile tek katlı integral arasındaki farkı açıklarken iki katlı integralde alan bulmayı aşağıdaki gibi yorumlamıştır.
Tek katlıyı değil de, iki katlıyı mesela şuradaki şeyi bulabilir misiniz dese hani bunu kutupsaldan çok rahat bulabilirim. Şurada bir a değeri olsa. Bir fonksiyon olacak. R gibi bir fonksiyonu olacak. Alanı deyince 1 yapıyorduk galiba. Hacmi deyince fonksiyonu yazıp mesela 𝑑𝑥𝑑𝑦 yazıyoruz. (Ö4)
Araştırmacı EK-A’da “Siz öğretmen olsaydınız, öğrencilerinize iki katlı integral kavramını nasıl anlatırdınız?” sorusunu Ö6’ ya yöneltince aşağıdaki “hep” sözcüğünü kullanarak kural olarak gördüğünü ifade etmiştir.
İki katlı integral daha çok alanla alakalı. Önce bir alan hatırlatması yapardım. Bir de iki katlı integralde alanı 1 olarak alıyoruz hep.(Ö6)
“Fonksiyonun 1 olması nedeni” kodunun; “üst eğri-alt eğri” ve “kodlama” diye iki özelliği vardır. “Üst eğri-alt eğri”, tek katlı integralde iki eğri arasındaki alan hesaplanırken kullanılan metodu temsil etmektedir. Ö2, EK-B de Problem (4)’te alan hesaplarken 1 almasını aşağıdaki gibi ifade etmiştir.
Şey alanı 1 alıyorum, diyorum aman alanı diyorum, fonksiyonu 1 alıyorum, diyorum ama siz neden diye sorduğunuz zaman cevap veremiyorum. Şöyle yapıyorum.
Bunların fonksiyonlarından bir tanesine x=0 ve x=a alıyorum. Eğer buradan yapacaksam. Üstekinden alttakini ya da burada çok fark etmeyeceğini düşünüyorum ama şöyle bakmam gerekiyor. Üsteki eğriden alttaki eğriyi yani a dan 0 çıkaracağım.
(Ö2)
Ö5, EK-A’ da Problem (11) de “fonksiyonun 1 olmasının nedeni”, öğretim elemanının derste bu durumu bir kural olarak verdiği için zihninde öyle kodlama yaptığını ifade etmiştir.
Bölgeler arasında kalan değer dediği için böyle yazıyoruz, arkadaşlar” dendiği için.
Hoca güzel söylemişti ama hani aklımda kalan bu. Yani kodlama. (Ö5)
“Fonksiyonun olmaması” kodu, integrandın bir olmasını, fonksiyonun olmaması olarak belirten katılımcı ifadelerini temsil etmektedir. Ö5’in EK-A’nın Soru (3) de iki katlı integrallerle ilgili verdiği örnekler üzerine, araştırmacı ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦01 01 ve ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦01 01 integralleri ile ne tür bir hesap yapıldığını sormuştur ve aşağıdaki cevabı vermiştir.
Buna “∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦01 01 ” kesin alan derim. Çünkü fonksiyon yok. (Ö5)
Yine EK-B Problem (4) de integrand tanımlanmadığı için bir şey yazmadığını söylemiştir.
Şimdi dikdörtgenler bölgenin alanı dediği için. Mesela burası dikdörtgensel bölgeyi veriyor sanırım. O yüzden herhangi bir şüphem yok. Fonksiyon olmadığı için 𝑑𝑦𝑑𝑥 yazdım. Alanını istiyor ya.(Ö5)
“Hacim hesaplarken yüksekliğin 1 olduğunda alan verme durumu” kodu fonksiyonun geometrik olarak yükseklik olması ve yüksekliğin 1 olarak görülebilmesini ifade etmektedir.
Ö3, EK-B Problem (4) de integrandı yükseklik olarak görse de, problemin devamında
∫ ∫ 1𝑑𝑥𝑑𝑦01 01 iki katlı integralini geometrik temsilini iki boyutlu olduğunu söylemiştir.
Ö3: Hıım. İşte bu kolay. Direk 𝑥’ler nereden nereye? 0’dan 𝑎’ ya. 𝑦’ler nereden nereye? 0’ dan 𝑏 doğrusuna. ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦0𝑎 0𝑏
A: Fonksiyon hangisi?
Ö3: 1.
A: Niye?
Ö3: Çünkü şeyde demiştim ya. Alan hesaplıyoruz.
A: Niye 1?
Ö3: Sıfırla çarpsak, olanı yok ediyoruz. Hani bu bizim işimize yaramıyor ve biz ne yapıyorduk? Eee. Mesela bunu da hacim gibi düşünebiliriz aslında. Alan çarpı yükseklik yapıyorduk ya. Mesela sıfır alsak, onun hiç yüksekliği yok. Sıfır desek, elimizde hiçbir şey kalmıyor. Sıfıra eşit oluyor ve bu sıfır bize eşittir sıfır ama gözle görülen bir şey var. Hani bir taranmış, bir kısım var ve biz bunu sıfır olarak kabul edemeyiz. O yüzden hani 1’ le çarpalım ki, hani kendisine eşit olsun. Hani neydi? 1 etkisiz elemandı. 1’le çarpıyoruz ki, kendisine eşit olsun. Zaten kendisine eşitse, o alan kendisini verecektir.
A: Şöyle diyeyim. Birisi size şunu çizin dese. ∫ ∫ 1. 𝑑𝑥𝑑𝑦01 01
Ö3: Bu bana direk kareyi hatırlatır. Bu bir direk karedir, derim.
“Alan olma durumu” alt kategorisi incelendiğinde, katılımcılar iki katlı integral ile alan hesaplanması için integralin içine 1 yazılması ya da fonksiyonun olmaması gerektiği şeklinde düşüncelerini paylaşmış oldukları görülmektedir. Katılımcılar, integrandı 1 olmasını kural/işlem olarak düşünmektedirler. Dolayısıyla integrandın 1 olmasının, yükseklikle olan ilişkisini fark edememektedirler. Bu bağlamda katılımcılar kavramsal bilgiden daha çok işlemsel bilgileri kullandıkları açıkça görülmektedir. Ayrıca katılımcılar “1” ifadesini fonksiyon olarak görmemektedirler.
“İntegral ve alan bağlantısı” alt kategorisi, bu iki kavram arasında bağlantıyı katılımcıların nasıl değerlendirdiklerini temsil etmektedir. Bu alt kategori iki katlı integralin sonucu pozitif çıkmadığı durumlarda ortaya çıkan yorumlara dayanmaktadır. Bu alt kategoriye ilişkin kodlamalar aşağıda gösterilmiş olup devamında da her kodun ifade ettiği anlam açıklanmıştır.
Şekil 33
Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına Arasındaki Bağıntıya Ait Yorumlarının Sınıflandırılması
Yukarıdaki şekilde ki her kodun yansıttığı düşünce aşağıda açıklanmıştır. Bu doğrultuda katılımcıların görüşlerine ilişkin ifadeler, doğrudan alıntılar yapılarak yansıtılmıştır.
“Alan ile integralin özdeş olma durumu”, iki katlı integralin sonucunun negatif ve sıfır olmayacağını ifade eden katılımcı yorumlarını temsil etmektedir. “Alan ile integralin özdeş olma durumu”, iki farklı boyuttan oluşmaktadır. “Negatif bölgeden olma ihtimali”, integral hesabının sonucunun negatif çıkmasının nedeni olarak negatif bölgede olma ihtimali ifade edilmiştir. “İntegral değerinin mutlak değerini alma” ise integral hesabının sonucu negatif çıktığı zaman mutlak değerini alınarak negatiflikten kurtulabileceği anlamına gelmektedir.
EK-A’ da Soru (8) de Ö2’ ye, “İki katlı integral konusunda hangi tür zorluklar yaşadığınızı hatırlıyorsunuz?” sorulunca, aşağıdaki şekilde düşüncelerini ifade etmiştir.
Tek bildiğim şey atıyorum. Alan bulacaksam, negatif bulduysam yanlış. Pozitif bulmuşsam kesinlikle doğrudur diyemiyorum. Böyle işte öyle muallakta kalmak beni çok şey yapıyor. Doğru yapıp yapmadığını bilmemek. (Ö2)
EK-A’da ki Problem (9) da Ö3 iki katlı integralin sonucunun negatif çıkmasını integral ile alan ve hacim hesabı yapıldığı için bir çelişki olarak gördüğünü ifade etmiştir.
Ö3: -1/4 geldi. Bizim hiçbir zaman negatif bulmamız gerekiyor.
A: Neden?
Ö3: Çünkü alanda negatif olmaz. Acaba şu bölge de mi sıkıntı var? Ya da yanlış mı çözdüm? (Tekrar kontrol ediyor)
A: Sizce bir hata var mı?
Ö3: Evet. Sonucun negatif olması beni biraz.
A: Nasıl yorumlarsınız?
Ö3: Ben şey olarak düşünüyorum. Bölgemiz burası. Acaba bu fonksiyonumuz bu bölgeye uygun değil mi? Onu düşündün. Mesela nedir? -1/4 çıktı ama alan ve hacimde bahsediyoruz. Bu fonksiyon bu bölge de sürekli değil mi? Ama negatif çıktı.
Burada bir çelişki var.
İntegral hesabının sonucunu negatif çıkmasını “negatif bölgeden olma ihtimali” ifade eden katılımcılara sadece bir varsayımda bulunmakta aslında integral hesabı ile alan hesabı arasındaki farkı tam olarak görememektedir. Örneğin EK-D’ de Soru (8) de Ö1 ve Ö3 katılımcıları fonksiyonun negatif bölgede olmasından dolayı olabileceği yorumunu yapmıştırlar.
İki katlı integral negatif çıkar mı? Alan? Alan negatif çıkmaz ya. Bence yanlış. (doğru anlamında) Sadece eksili yönünden belli olabilir belki bölgesinden belli olabilir. (Ö1)
Yanlış yapmamışızdır. Bölgesi negatif bölgededir. Mesela lisede hatırlıyorum.
Lisede şey yapıyorduk. Negatif çıkmışsa hoca siz onu pozitif alın diyordu. (Gülüyor) Yönünden dolayı şeyi yanlış almışsınızdır falan diyordu, genelde. (Ö3)
Ö4 ise EK-A Problem (9) da integral sonucunun negatif çıkmasını aşağıdaki gibi yorumlamıştır.
Ha. Eksi çıktı. -1/4 ama bu yanlış. Alan buluyoruz. Çünkü eksili çıkması… Aslında ilk başta düşündürdü ama bilemiyorum. Alan olduğu için eksili çıkması çok tuhaf.
Şey ters taraftan mı oldu. Şekil ters mi? Şunu eksi almam mı çok yanlıştı? Galiba sınırlarda… Sınırı eksi olduğu için mi? Sınırları artı mı almam gerekiyor. Karıştı. (Ö4) Katılımcılar “İntegral değerini mutlak alma” ifadesini iki katlı integral değerinin negatif çıkmasını mümkün görmediği için kullanmışlardır. Tek katlı integralde gibi negatif bölgedeki fonksiyonu değerinden dolayı sonucun mutlak değerinin alınması anlamını ifade etmektedirler. EK-A Problem (9) da integral sonucunun negatif çıkınca, Ö6 mutlak değerinin alınması gerektiğini ifade etmiştir.
Ö6: Hayır, o 𝑓(𝑥, 𝑦). Fonksiyon dediği için onu yerleştirdim. Sınırlarıma şimdi her hangi bir şekilde yazdım. İhtiyaç duydukça belki değiştirebilirim. Sonra 𝐵 bölgesindekini soruyor. 𝑥 ve 𝑦’nin sınırlarını belirlemem, gerekiyor. Sonuç -1/4.
A: Sonuç hakkında ne düşünüyorsunuz? Ne bulmuş olduk?
Ö6: Alan.
A: -1/4 alan nasıl olur?
Ö6: Her zaman bulduğumuz sonucu mutlak düşünüyorduk. (….) Mutlağını alırım ben. Hep mutlak değer var mıydı? Ben mi hatırlamıyorum. Eksili bile çıksa mutlağını alırız. Şeyini hatırlıyorum.
“Alan ile integralin farklı olabilme durumu” kodu iki katlı integralin sonucunun negatif ve sıfır olabileceğini ifade eden katılımcı yorumlarını temsil etmektedir. EK-A Problem (9) da integral sonucu -1/4 çıkınca, Ö5 aşağıdaki yorumu yapmıştır.
Ö5: Fonksiyonun 𝐵 bölgesindeki değerini bulmuş oldum.
A: Eksi çıkması bir sorun mu?
Ö5: Hııım. Kendimi sağlayayım da. (Sağlama yapıyor) Alan sorulmuyorsa, çıkabilir.
Bu fonksiyonun bu bölge üzerindeki değerini bulmuş oldum.
Şekil 33 incelendiği zaman katılımcıların çoğu iki katlı integral işlemi ile alan hesabını özdeş olarak görmektedir. Katılımcılar, işlemsel bilgi ile hareket ettikleri için integral sonucunun negatif olamayacağını düşünmektedirler.
“Alan hesaplama stratejisi” alt kategorosi katılımcıların iki katlı integral ile alan hesaplarken ki yorumlarını temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ait kodlama aşağıdaki şekildedir.
Şekil 34
Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Alan Hesabına İlişkin Yorumlarının Sınıflandırılması
“Simetriden yararlanarak 4 ile çarpma durumu” kodu katılımcıların bölgesi kare veya daire olarak verilen iki katlı integral problemlerinde kolaylık sağlamasa bile iki katlı integral işlemini dört ile çarpma işlemlerini temsil etmektedir. EK-B Problem (3) te; Ö1, Ö3 ve Ö4 iki katlı integralin dört ile çarpılması gerektiğini ifade etmiştir. Sırasıyla katılımcılardan alıntılara yer verilecektir.
Çizerek daha şey olur. Göstermem daha rahat olur. Birim çember şöyle bir çember.
Bu, bunu gösteriyormuş. Bu, bunun iç bölgesi. Bunu şeyde alabiliriz, sıkıntı yok. 0 a, bir; (4’ü siliyor) yoo -1 den 1 e alayım. Hatta 2 ile çarpayım. Yukarıyı önce alayım.
-1 den 1’ e. Yok ya, 0 ile 1 alayım, 4 ile çarpayım, çünkü tek parçası 0 dan 1 e, 0 dan 1 e, 3 çarpı 𝑑𝑥𝑑𝑦 yazabiliriz. Ayrıca şunu da yazabiliriz, 𝑑𝑦𝑑𝑥 yazabiliriz, fark etmiyor. (Ö1)
Şekil 35
Ö1’nin EK-A Problem (3)’e İlişkin Yorumu
İlk önce ben 𝐵 bölgesini nasıl şey yaptığımı çizerdim. Sonra şu küçük parçanın şurayı bulduğum. Ne yapsam? Bir dakika. Tanımlı bölgem tamam. Şuralar 1. Şu neydi? 𝑥2+ 𝑦2 = 1, 𝑦 = ±√1 − 𝑥2 . Yani şurası 𝑦 = +√1 − 𝑥2, şurası da 𝑦 =
−√1 − 𝑥2. (….) Dört parçasından birini bulsam ve dört ile çarpsam, diye düşündüm.
Zaten öyle yapacağım. ∫ 𝑑𝑥 ∫01 0√1−𝑥23𝑑𝑦. (Ö3)
Bu da birim çember olduğundan, bölü 4 oluyordu galiba. Ne bölü 4 oluyordu? Şu sınırlar böyle olduğu zaman ve bu fonksiyonu böyle gördüğümüz zaman. Bölü 4 diyorduk. Bir şeye sanki. Bir şey hatırlıyorum. Evet. Öyle diyorduk. Diğer yöntemden bulmak istersek daha çok yorar diye hoca bir şey söylemişti. Bölü 2 miydi? Bölü 4 müydü? Zaten 6 sabit sayısı var. Sonuçta ya bölü 4, ya bölü 2 diye hatırlıyorum sanki 3. (Ö4)
EK-B Problem (8) de; Ö6 iki katlı integralin dört ile çarpılması gerektiğini ifade etmiştir.
E şıkkı da, şey yapıyorduk. Sadece bir bölgeyi hesaplayıp, eğer simetrik ise 4 ile çarpıyorduk, falan. Bu da öyle gibi geldi. Toplayıp ikiye mi bölüyoruz. Ama çarpıyorduk. Bölmüyorduk. (Ö6)
Katılımcılar, yukarıdaki alıntılarda iki katlı integral problemini çözerken; tek katlı integral alan problemlerinde simetrik şekillerin bir parçasının hesaplayıp diğer parçasını da bulma işlemini ifade etmektedirler. Katılımcılar bu yöntemi kullanmalarının nedeni olarak öğretim elemanının hatırlatmalarını söylemektedirler.
“Fonksiyon verilmemişse alan bulamama durumu”, geometrik bir şeklin alanın iki katlı integralle ifade edilmesi istendiğinde; katılımcının “fonksiyon verilmediği için çözemediğini” belirttiği durumları ifade etmektedir. Bu durum EK-B’deki (1) ve (4) numaralı problemlerim çözümünde görülmektedir. EK-B’ de (1) numaralı problemde dört farklı şık verilmiş olup bu şıklardan en uygun olanının seçilmesi istenmektedir. Ö4 ve Ö6 (1) numaralı problemde fonksiyon verilmediği için cevaplandırmanın mümkün olmadığını ifade etmişlerdir.
Fonksiyonu belli olmayan soruları cevaplandırmak mümkün değildir. Bende öyle düşünüyorum. Geçen yaptığımızda da aynı şey. Fonksiyonu belli olmayan diyor.
Fonksiyon alanları buluyoruz. Fonksiyonun 1 eşit olduğu zamanda buluyoruz. Ama belli olmayanları hiç bulmadığımıza göre hiç bulamıyoruz.” (Ö4)