Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegral Kavramına Yönelik Kavram

Bu kesimde, katılımcı matematik öğretmen adaylarının iki katlı integral kavramına yönelik anlamalarının “hacim” ile ilgili ilişkilendirmelerine yönelik imajları sunulmuştur. Buna göre, analizlere bağlı olarak, “hacim” kategorisi; “dilsel olarak hacmi ifade etme durumu, hacim olma durumu, integral ve hacim bağlantısı, hacim hesaplama stratejisi “olmak üzere dört alt kategori başlığında incelenmiştir.

“Dilsel olarak hacmi ifade etme durumu” alt kategorisi, katılımcıların “iki katlı integral kavramından ne anlıyorsunuz?” sorusuna verdikleri yanıtları ve bir problemi çözerken hesapladıkları geometrik yapıya ait yorumlarını temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ilişkin kodlar aşağıda gösterilmiştir.

Şekil 36

Katılımcıların İki Katlı İntegral ile “Neyin Hacmini Buldukları” İfadelerinin Sınıflandırılması

Yukarıdaki şekilde her kodun yansıttığı düşünce aşağıda açıklanmıştır. Bu doğrultuda katılımcıların görüşlerine ilişkin ifadeler, doğrudan alıntılar yapılarak yansıtılmıştır.

“Dönel cisim” kodu tek katlı integral ile hacim hesabı yapılırken bir bölgenin bir doğru çevresinde döndürülmesiyle elde edilen cisimleri ifade etmektedir. Dönel cisim kodlamasının “yaklaştırım dikdörtgenleri” isminde bir alt boyutu da bulunmaktadır.

Araştırmacı tarafından EK-A’da (4) numaralı soruda iki katlı integralin sembolik ifadesinin geometrik olarak ne ifade ettiği sorulunca, Ö2 𝑥𝑦-düzleminde bir parabol çizip onun döndürülmesiyle oluşan şekil olduğunu ifade etmiştir.

Şekil 37

Ö2’nin İki Katlı İntegrali Geometrik Olarak Gösterirken Çizdiği Şekil

İşte bunu döndürdüğümüz zaman hacim olur. Döndürdüğümüz zaman şu kısmın hacmini bulmuş olurum. İşte küçük kısmı da sorarsa içeri ki kısmın hacmini bulmuş olurum. (Ö2)

Ayrıca EK-A’da Problem (9) da geometrik şekil çizmekte sıkıntısı olduğunu söyleyerek, problemde temsil edilen integralin geometrik temsilini ilk önce tanımlandığı bölgeye çizdikten sonra bir dönel cisim çizmeye çalışmıştır.

Önce şeklini çizmem gerekiyor. Ne bulacağımı göreceğim çünkü. Düşünüyorum. O zaman ben bunu iki de çizmemeliydim. Üç de çizeyim. Hoşlanmıyorum. Çizmeden çözemiyorum. Şöyle bir şey oluşuyor, kafamda. Nedeni bilmiyorum ama ben şu bölge üzerinde çalıştığım için şurayı bulacağım. Bir de şey yapacağım. Şundan vaz geçiyorum, ben 𝑦’li yazacağım. 𝑦’ler 0 dan 1’e kadar değişiyor. Şunlarda şöyle gittiği için, şu neydi? 𝑧 = 𝑦 idi. 0 dan 𝑦’e, diyorum. İçerdeki de 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦. Çok kötü çizdim.

Şunun araya girmesi çok kötü oldu. Şu fonksiyon 𝑧 = 𝑦 olduğu için hani. Bununda işte 0’ a 𝑦, yani şuradan şuna gidiyor. Bu eğriye doğru gidiyor. (Ö2)

Şekil 38

Ö2’nin İki Katlı İntegral Problemi Çözerken Çizdiği Şekil

EK-B Problem (2) de belli bir bölgede tanımlanan katı cismin hacmini, Ö2 iki katlı integrale gösterileceğini ifade edince araştırmacı tarafından aşağıdaki sorular sorulmuştur.

A: Niye iki katlı integral?

Ö6: Hacim bulmada iki katlı integrali kullanıyoruz.

A: Tek katlı integralde hacim bulunur mu?

Ö6: Hacim bulunmaz. Şey gibi düşünebilirim mesela. Hacim yeryüzünde kapladığı alan ile yüksekliği üst üste koymaktır, benim fikrim öyle. Herhangi bir cismin hacmi.

Ama hep mesela üst üste koydum, koydum. Yükseklik kadar hacmi elde ettim.

Bunda da tek katlı da eğer alan buluyorsam, şey için hacim için bir şeyler daha gerekiyor, demek ki. O yüksekliği iki katlı integral oluşturuyor, diyebilirim.

“Yaklaştırım dikdörtgenleri”, tek katlı integralde dönel cisimlerde hacim hesabı yapılırken cismin genişliğini veya hangi halkadan hangi halkanın çıkacağını gösteren metodu temsil etmektedir. Ö2, iki katlı integral kavramından ne anlıyorsunuz sorusuna cevaplarından bir tanesi de dönel cisimlerdir. EK-A (3) Soruda iki katlı integrallerle ilgili örnekler istendiğinde, Ö2, tek katlı integrallerde hacim hesabı problemlerindeki silindirik kabuklar yönteminde kullanılan ve genişliği ∆𝑥 olan tipik bir yaklaşım dikdörtgeni de göstermiştir.

İşte bunu döndürürken kullanmıştık. İşlemi nasıldı? Hıııım. Burası ∆𝑥’di. (Ö2)

Şekil 39

Ö2’nin İki Katlı İntegrale Örnek Verirken Çözerken Çizdiği Şekiller

Yukarıda Ö2 ve Ö6’den alınan alıntılarda görüldüğü gibi katılımcılarda tek katlı integraldeki hacim işlemleri zihinlerinde imaj olarak yerleşmiştir.

“Katı cismin hacmi” kodu ise prizma, silindir gibi katı cisimlerin hacmini anlamına gelmektedir. İki katlı integral deyince Ö4 ve Ö5 zihinlerinde şekillenen geometrik şekilleri aşağıdaki şekilde anlatmışlardır.

Şurada ki şey doldurulmuş olan. Su gibi hacmi. Şu bardağın yukarısı, içi. (Ö4)

Değişik yine eğrilerin veyahut eğride olmayabilir. Mesela üçgen prizma, onlarda hesaplanabilir. Onların hacimlerin hesaplanması içinde iki katlı integrallerde yardımcı oluyor. (.…)Yani kapalı bir cisim. O kapalı cismin hacmi veyahut mesela alanda kapalı bir cismin altında kalan bir bölge. (Ö5)

“Bölge ile 𝑓(𝑥, 𝑦) arasında kalan yerin hacmi” kodu iki katlı integral hesaplanırken yüzey ile belirli bölge arasındaki kalan kısmın (katı cismin) hacminin bulunduğu ifade

etmektedir. Üçüncü yarı yapılandırılmış görüşmenin başında ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦_𝐵 ifadesinin geometrik olarak ne anlama geldiği tekrar sorulduğunda, Ö2 aşağıdaki şekilde cevap vermiştir.

Şu B bölgesi ile şu 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonu arasındaki hacmi buluyor, olabilirim. Ya da çok farklı bir şeyde buluyor olabilirim ama ben öyle düşünüyorum. (Ö2)

Ö3 ise EK-A’daki (1) numaralı soruda iki katlı integral kavramına ait düşüncelerini kavramın doğasına uygun bir şekilde anlatmıştır ama diğer sorularda iki katlı integralin geometrik temsilini iki boyutlu çizmiştir.

Alan dediğimizde yine o belli bir bölgesi var, onun ve bu bölge fonksiyonla belirleniyor ama şimdi onu integral olarak nasıl düşünmüşlerdir? Onu bilemeyeceğim. Mesela hacmi düşünsek, o 𝑓(𝑥, 𝑦) bir yüksekliğimiz oluyor. Alanımız var zaten. Bir yükseklik aldığımda hani hacme dökülebiliyor da. (Ö3)

Ö4, EK-B de Problem (3) çözerken bölge ile fonksiyon arasındaki kısmın hacmini bulduğunu söyleyerek aşağıdaki şekli çizmiştir.

Ha. 𝐵 birim çember. Sınırları var. -1’ e1. Şurada da fonksiyon şeylerim var. Hıım.

Düşüneyim. Şey olarak bu 3 yerine verilen şey neydi? 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) idi. Bize 𝑧’nin 3 olduğunu söylüyor. (….). Öyle düşünüyorum, ben. Şekli çizeyim mi ben? O zaman 3 boyutlara giriyor. Şöyle çizeyim. Şurası birim çember. Ama birim çember 𝑥 ve 𝑦 ile mi sınırlı? Öyle. Şurada 3. Şurası 3 olacak. Şurayı istiyor galiba. (Ö4)

Şekil 40

Ö4’ün İki Katlı İntegralin Geometrik Temsiline Yönelik Çizimi

“Düzgün olmayan şekillerin hacmi”; prizma, silindir gibi formülle direk hesaplanamayan cisimlerin hacmini ifade etmektedir. EK-A (1) ve (5) numaralı sorularda, Ö3 aşağıdaki şekilde sırasıyla düşüncesini yansıtmıştır.

Alan, hacim ister. Bir şeklin görüntüsü tam olarak belli olmayan, tam formülüze edemediğimiz, cisimlerin hacimlerin ve alanlarını bulmakta kullanmaktayız? (Ö3)

E bunu ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴_𝑅 çözdüğümüzde şey olacak. Belli bir şekli olmayan cisimlerin alan ve hacimleri bulmuş olacağız. (Ö3)

“f(𝑥) hacmi” kodu tek katlı integralde kullanılan hacim hesaplarını temsil etmektedir.

EK-A’nın (3) ve (4) numaralı sorularında Ö2, 𝑓(𝑥) sözcüğünü kullanarak, iki boyutlu şekiller (Örneğin Şekil 38) çizmiştir.

Hacim bulmam gerekiyorsa burada ki 𝑓(𝑥) fonksiyonunu alıyorum. 𝑓(𝑥)’in hacmini bulmuş oluyorum. (Ö2)

Şey oluyor. Mesela işte. Iıı. 𝑥’ li 𝑦’ li ne olabilir? Şöyle bir şey. Bu seferde böyle olsun.

Hani bu bölge üzerinde bu fonksiyonla uğraşacağım.( Parabol çiziyor) Ben hep böyle şey yapıyorum. Çünkü böyle bir şeyin integralini alırken şuralarla hiç uğraşmadık.

(…) Büyük kısmı sorarsa şuranın hacmini hesaplayacağım ben. (Ö2)

Yukarıda ki kodlar ve alıntılar incelendiğinde katılımcıların genellikle iki katlı integral kavramının doğasından kaynaklanan hacim anlayışından daha çok, tek katlı integral kavramında ki hacim anlayışına yönelik zihinsel resimlere sahip oldukları görülmektedir.

Dolayısıyla katılımcılar iki katlı integral kavramında işlemsel bilgiyi kullandıkları anlaşılmaktadır.

“Hacim olma durumu” alt kategorisi iki katlı integral ile alan hesaplanırken katılımcıların integrandı nasıl oluşturduğu, hangi durumlarda iki katlı integral ile hacim hesaplandığı ve integrandın geometrik olarak ne anlama geldiğini açıklayan ve yarı yapılandırılmış görüşmelerde ki hacim kavramı ile ilgili durumları temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ilişkin kodlamalar aşağıda gösterilmiş olup devamında da her kodun ifade ettiği anlam açıklanmıştır. Bu alt kategoriye ilişkin kodlar aşağıda gösterilmiştir.

Şekil 41

Katılımcıların İki Katlı İntegralde Hacim Hesaplanabilmesi İlişkin Yorumlarının Sınıflandırılması

“Üç katlı integral olma durumu” kodu, hacim kavramının üç katlı integral kavramı ile ilgili olduğunu ifade etmektedir. Katılımcılarda “hacim” deyince üç katlı integral kavramı ağır basmaktadır. EK-A (1) numaralı soruda, Ö1 iki katlı integral kavramını alan ve hacim hesabı olarak gördüğünü başta söyleyip, sorunun devamında hacim konusundan bahsetmeyince;

araştırmacı iki katlıda hacim hesabını nasıl olduğunu sormuştur. Ö1, üç katlı integral konusu işlenirken hacim kavramını öğretim elamanının anlattığını söylemiştir.

Ö1: Hacme giremedi, çünkü üç katlı integral, hacim olan integral, iki katlıyı kapsadığı için, ona giremedi ama şeye girdi, eee bir katlı integralde alan hacim nasıl bulunur.

İşte bir fonksiyonun “𝑥” ve “𝑦” üzerindeki, arada kalan, belirli şeyde, aralıkta kalan alanı.

A: Yani sen şunu mu demek istiyorsun, yanlış mı anlıyorum: iki katlı integralde hep alan bulunur?

Ö1: Hep alan bulunur.

EK-B Problem (6)’da Ö5 ve Ö6 isimli katılımcılar, üç katlı integralde üç bağımsız değişken ve bir katı cisimde üç boyut olduğundan dolayı hacim hesabının üç katlı integral ile yapıldığını söylemişlerdir.

Çünkü üç farklı değişken var. Üç katlı integral hacim hesabı diye biliyorum. O yüzden A kesin yapar. (Ö5)

Hacim. A ve D şıkları hacim hesabı yapar. Üç boyutlu olması. Üç katlıyı görünce hacim aklıma geliyor. (Ö6)

Yukarıda katılımcıların alıntıları incelendiğinde hacim üç boyutlu olduğu için üç katlı integralle hacim kavramını özdeşleştirdikleri görülmektedir.

“İntegralin içinde fonksiyon olma durumu” kodu, integrandın 1 olmadığı durumları temsil etmektedir. EK-B’nin başında araştırmacı “İki katlı integral deyince aklınıza neler gelir?” diye sorunca Ö3 aşağıdaki cevabı vermiştir.

Burada ∫ ∫₀¹ _𝑥^𝑥2𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, mesela bir fonksiyon almasaydım, alanı bulacaktım ama böyle yaptığım için hani bir ona ne diyorum. Hani bir yükselti bir hani bir boyut kazandırmış oluyorum. Öyle olunca da bu hacim oluyor. (Ö3)

Ö4 isimli katılımcı aşağıda verilen alıntılarda sırası ile EK-A Soru (2) ve EK-D Soru (8) de integrandın 1 olmadığı durumlarda hacim hesabı yapıldığını ifade etmiştir.

Alanı deyince 1 yapıyorduk galiba. Hacmi deyince fonksiyonu yazıp mesela 𝑑𝑥𝑑𝑦 yazıyoruz. (….) Alanı niye 1 alıyoruz? Aslında hoca bunu açıklamıştı ama hatırlamıyorum. (….) Nedeni yok yani. İki fonksiyon… Fonksiyon yazdığımız zaman düzlem oluyor, üç boyutlu giriyor. Böyle iken direk alanı geliyor. Sanki. (Ö4)

Tek katlıda bir fonksiyon veriyor mesela. Fonksiyon vermesi bir aralık, bir uzunluk oluyor. Verir ise alana doğru geçiyoruz ama iki katlıda daha mesela 1 olsa alan oluyor, bir olmazsa fonksiyon olsa hacim oluyor. Daha üst bir şeymiş gibi geliyor bana. (Ö4)

“Mutlak değerini alma durumu” kodu hacim hesabı yapılırken fonksiyonun negatif değer almasından dolayı kaynaklanan durumları ortadan kaldırmak için yapılan işlemleri temsil etmektedir. EK-B’de Problem (8) de iki katlı integralin sonucunun negatif çıkması durumunda, Ö3 isimli katılımcı mutlak değerinin alınması gerektiğini söylemiştir.

Negatif bir bölgede ise – 𝑎 oluyor. O yüzden de böyle negatif bir sonuç elde ediyoruz.

(….) O yüzden çıkarır ve mutlak değerini alırsak ııı hangisi eksi hangisinin negatif olduğuna. 𝑉₁, burası ise direk ben şunu da derim, yani C’ i de diyebilirim. (….) Hangisinin negatif, hangisinin pozitif tarafta olduğunu bilmediğim için mutlak değere yazardım. (Ö3)

Yine EK-D’nin Soru (8) de iki katlı integral hesabının sonucu negatif olduğu zaman Ö6 isimli katılımcı mutlak değerinin alınması gerektiğini ifade etmiştir.

Ö6: Hep mutlak olarak düşündüğümüz için, sıfır çıkmadığı sürece bir alandan bahsedebiliriz.

A: Negatif çıkarsa ne yaparsınız?

Ö6: Mutlağını alırım. Alan ve hacimde negatiflik söz konusu değildir.

Katılımcıların yukarıda verilen alıntılarda iki katlı integrale yönelik kavram imajlarını alan ve hacme kısıtladıkları görülmektedir.

“𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 olduğunda hacim olma durumu” kodu, iki katlı integralde fonksiyonunun pozitif olduğu durumlarda, iki katlı integral ile hacim hesabı yapıldığını temsil etmektedir.

EK-A Soru (3)’de katılımcılardan iki katlı integrale örnek verilmesi istendiğinde Ö3 isimli katılımcı integrandın sıfırdan büyük olması gerektiğini söylemiştir.

Mesela. Bir fonksiyon tanımlayayım. ∫ ∫ (𝑥₁² ₃^{4 2}+ 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 böyle bir soru yazılabilirdi.

(….) Şimdi alan olması için. Pardon. Hacim olması için bu büyük sıfır kabul edersek.

Bu içindeki fonksiyon: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥²+ 𝑦 ≥ 0 kabul edersek ve 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) kabul ettiğimizde bu bize 𝑧’ de yükselen hacmi verir. (Ö3)

“Ek şartlar koyma durumu” kodu tek katlı integralde hacim hesaplanırken yapılan işlemleri anlatmaktadır. EK-A Soru (1)’de iki katlı integralde hacim işlemlerini anlatırken tek katlı integraldeki hacim işlemlerini anlatmıştır.

f(𝑥) = 𝑥² fonksiyonu olabilir. Mesela herhangi bir sınır belirleyebiliriz. (….) Şöyle düşünüyorum. Hani iki katlıda alan buluyorsak eğer, yine ona bir şeyler ekleyerek hacim de bulabiliriz. Buradaki bir şeylerde hani 𝜋𝑟²’ leri ℎ kere üst üste koymak.

Hani onun gibi düşünüyorum. (Ö6)

Yukarıdaki alt kategorinin boyutları incelendiğinde; katılımcıların genellikle integrandın içinde 𝑥 ve 𝑦’li terimler varsa hacim hesaplanır düşüncesi, integralin sonucu negatif çıkmışsa mutlak değer alma ve üç katlı integral ile hacim hesaplandığını anlayışları ağır basmaktadır. Dolayısıyla katılımcılarda iki katlı integral kavramına yönelik kavramsal bilgilerinde sıkıntılar olduğu göstermektedir. Ayrıca katılımcılar tarafından integrandın 1 olması durumunu fonksiyon olmaması olarak nitelendirilmektedir.

“İntegral ve alan bağlantısı” alt kategorisi, bu iki kavram arasında bağlantıyı katılımcıların nasıl değerlendirdiklerini temsil etmektedir. Bu alt kategori iki katlı integralin sonucu pozitif çıkmadığı durumlarda ortaya çıkan yorumlara dayanmaktadır. Bu alt kategoriye ilişkin kodlamalar aşağıda gösterilmiş olup devamında da her kodun ifade ettiği anlam açıklanmıştır.

Şekil 42

Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Hacim Arasındaki İlişkiye Ait Yorumlarının Sınıflandırılması

“Hacim ile integralin özdeş olma durumu” kodu, iki katlı integral işlemi ile hacim hesabının özdeş olduğunu ve iki katlı integralin sonucunun negatif ve sıfır olamayacağını ifade etmektedir. EK-B Problem (8) de iki katlı integral işlemi 𝑧-eksenin altında ve üstünde bulunan katı cisimlerin hacmi ile ifade edilmesi istenmektedir. Ö1, Ö5 ve Ö6 isimli katılımcılar, bu soruda hacimler toplamını işaretleyerek integral hesabının hacimler toplamı olduğunu anlatmak istemişlerdir.

Bu integralle toplam hacmimi bulmuş oluyoruz. (Ö1)

O zaman 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 fonksiyonu. Saçma. Birazcık düşüneyim. O zaman şey yazmaz mıyım? 0’dan 2’ye kadar 𝑑𝑥’ler, 0’dan 1’e kadar 𝑑𝑧 desem, şimdi 𝑧’ye bağlı bir şey çıkar, şu arası. Orada sınırlar sayı olduğu için değişken bir şey göstermez, diye

düşünüyorum. Neyse, öyle yazayım ama bence doğru değil.∬ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝐴 =_𝐵 2. (∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥₀² ₀¹ ) = 𝑉₁+ 𝑉₂. (Ö5)

A ve E arasındayım.( A) 𝑉₁+ 𝑉₂, E)¹

2(𝑉₁+ 𝑉₂)). Bu B bölgesi tamamıysa, demek ki bir toplamdan bahsediyoruz. (Ö6)

Ö5 ve Ö6 isimli katılımcılar iki şık arasında kalınca ve tereddüt yaşayınca, araştırmacı tarafından 𝑥𝑦-düzleminde 𝑦-eksenin altında ve üstünde bir fonksiyon çizerek

“∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =?₀⁶ ” işleminin sonucunun bu alanlarla ifade edilmesi istenmiştir. Katılımcılar integral işleminin sonucunun alanlar toplamı olduğunu söylemişlerdir.

Parçalı parçalı yazarım. Burası dediğiniz 𝑅₁+ 𝑅₂+ 𝑅₃ eşit, öncelikle. Alan hiçbir zaman negatif olmaz. Şuraya a diyeyim. Şuraya b diyeyim, x eksenini kestiği yerlere.

Mesela bu fonksiyonu parçalarım. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀^𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑏^𝑐 .” (Ö5)

Bu fonksiyonun tamamının alanı istiyor. 𝑅’ler cinsinden hepsini toplayarak ifade edebilirim. (Ö6)

Ö5 ve Ö6’nın cevaplarından sonra araştırmacı tarafından iki katlı integralin negatif çıkıp çıkmayacağı sorulmuştur.

İşte iki katlı integralde alan sorduğumuzdan negatif çıkmayacağını biliyoruz. Negatif çıkmayacağını biliyoruz. (….) Alannn. Alan yani negatif olmaz. İki uzunluğun çarpımı olarak düşündüğümüzde. (Ö5)

Hep mutlak olarak düşündüğümüz için, sıfır çıkmadığı sürece bir alandan bahsedebiliriz. Mutlağını alırım. Alan ve hacimde negatiflik söz konusu değildir. (Ö6)

EK-B Problem (8) de Ö4 isimli katılımcı hacimler farkını işaretlese de, 𝑉₂ olarak isimlendirilen katı cismi negatiflikten kurtarmak için bu işlemi için yaptığını ifade etmiştir.

A: Niye C şıkkı?

Ö4: Şu aşağıda olduğu için eksi ile şey yapıyorsun.

A: Niye eksi ile şey yapıyoruz?

Ö4: 𝑧 sınırı eksi.

A: Yani bu integralin cevabı 𝑉₁- 𝑉₂ mi?

Ö4: 𝑉₁ hiçbir şey yapmıyoruz. 𝑉₂ hacmi toplam bir hacim ama bizim sınırlarımız eksi olduğu için, bunu çıkaracağız. Eksi ile eksi artı olacak.

EK-A Problem (9) da iki katlı integral işlemi sonucu negatif çıkınca Ö3 isimli katılımcı yaptığı integral işlemlerinden şüpheye düşmüştür.

Ö3: Bir saattir alan ve hacim diyoruz ama burada eksi gelecek. O da negatif bir şey olacak. O da alan hiçbir zaman negatif olamaz. O da beni çelişkiye düşürdü biraz.

A: Sonucu bulun bakalım.

Ö3: -1/4 geldi. Bizim hiçbir zaman negatif bulmamız gerekiyor.

A: Neden?

Ö3: Çünkü alanda negatif olmaz. Acaba şu bölge de mi sıkıntı var? Ya da yanlış mı çözdüm? (Tekrar kontrol ediyor)

A: Siz ce bir hata var mı?

Ö3: Sonucun negatif olması beni biraz.

A: Nasıl yorumlarsınız? Veya geometrik olarak yorumlayın veya soru mu yanlış?

Ö3: Ben şey olarak düşünüyorum. Bölgemiz burası. Acaba bu fonksiyonumuz bu bölgeye uygun değil mi? Onu düşündün. Mesela nedir? -1/4 çıktı ama alan ve hacimde bahsediyoruz. Bu fonksiyon bu bölge de sürekli değil mi?

A: Bir fonksiyon bir bölge de negatif çıkar mı diye bir iddianız mı var?

Ö3: Aynen öyle.

A: Başka ne olabilir?

Ö3: Yani sürekli. Sürekli değilse biz zaten bunu çözemeyiz ama…

A: Çözdük diyorsunuz.

Ö3: Ama negatif çıktı. Burada bir çelişki var.

Yukarıdaki alıntılar incelendiği zaman katılımcıların çoğu iki katlı integral işlemi ile hacim hesabını özdeş olarak görmektedir. Bu nedenle; katılımcılar integral sonucunun negatif veya sıfır olamayacağını düşünmektedirler. Aşağıdaki alıntılarda görüldüğü gibi katılımcılardan bir kısmı iki katlı integral hesabı ile hacim hesabının farklı olabileceğini sonradan fark edebilmişlerdir. Katılımcıların hacim hesabı ile integral hesabını özdeş görmeleri, işlemsel bilgiyi ağırlıklı kullandıklarını göstermektedir.

“Hacim ile integralin farklı olabilme durumu” kodu iki katlı integral işleminin sonucunun negatif ve sıfır olabileceğini temsil etmektedir. Yukarıda alıntıları verilen katılımcılar Ö1 ve Ö2; sonradan iki katlı integralin negatif değer alabileceğini sonradan fark etmişlerdir. Negatif olmasının nedeni olarak da bu katılımcılar negatif bölgeden kaynaklanan durumlar olabileceğini ifade etmişlerdir.

Ö1 isimli katılımcı EK-B Problem (8) de iki katlı integralin negatif olabileceğini ancak tek katlı integral sorusunda sonra fark edebilmiştir.

A: Size şunu sorayım: Tek katlı integral sıfır çıkar mı?

Ö1: Tek katlı integral sıfır çıkar mı? Iııı bir nokta olarak verse yok bir fonksiyon olarak verse ıııı. Sıfır çıkar ya.

A: Nasıl yani?

Ö1: Nasıl çıkar? Iııı mesela şey bir önce ki sorunun cevabını anladım. Bir önceki soruyu değiştirebilir miyim?

A: Değiştirebilirsin.

Ö1: Şimdi şu var. Alan istediği için pozitif bir şey çıkacak bize. İkisinin toplamı ama alan ııı. Sıfır şöyle çıkar, alanın aldığı bölgelere göre sıfır çıkar. Zıddıysa ıı yani

ıı 𝑉₁ ve 𝑉₂ eşitse birbirine sıfır çıkar. 𝑽_𝟏 pozitif bölgede alırsak, 𝑽_𝟐 negatif bölgede alırsak.

Ö2, EK-B Problem (3) de iki katlı integralin sonucunun negatif çıkabileceğini fark etmiş ve negatif bölgeden kaynaklanabileceğini ifade etmiştir.

A: Şöyle diyelim. Şurası koordinat düzlemi. Şurası ve integralini buluyorsun. (Aynı soruyu bir kağıdın altında göstererek araştırmacı soruyor) İntegral ile hacim aynı şey mi?

Ö2: Her zaman aynı değil aslında. İntegral hani hacim, integralini alıp mutlak değer içine aldığımız zaman aslında şey oluyor. Mesela ee 𝑧 nin negatif kısmında ve altta kalıyorsa eğer biz onu mutlak değer içine alıyoruz ama işte eğer bu aşağıdaysa, o zaman benim şey yapmam gerekiyor. 2’ ye bölüp şekli o şekli, o 2 birimlik kısmın hacmini bir hesaplayıp yani integrali, aşağıda ki kısmında mutlak değerini alıp toplamam gerektiği düşünüyorum. Çünkü alt tarafta -1’ e 0 olacak sınırları. İşte 0’ a -1 olacak. O zaman da o sınırları yerine koyduğum zaman, negatif bir şey çıkarsa o hacim olmayacak. İkisini toplayacağım çünkü aşağıdaki hacim ile yukardaki hacmi.

O zaman şey yapmış olacağım. Hani 2 ile -1 toplamış olacağım aslında. Yani buna 2V hacmindeyse, burası V hacminde çıkacak ama eksi çıkacak.

A:Niye eksi çıkar?

Ö2: Aşağıda olduğu için. Negatif bölge olduğu için.

EK-B Soru (6) da hangi integrallerin hacim yaptığı sorulunca, Ö2 isimli katılımcı iki katlı integralin sonucunun negatif olabileceğini ve bölgeden kaynaklandığını ifade etmiştir.

Ö2, bu durumu da yarı yapılandırılmış görüşme sorularından sonra fark etmeye başladığı itiraf etmiştir.

Ö2: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴_𝐵 , 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 0 𝐵’de ee 𝑓(𝑥, 𝑦) nin negatif olduğunu söylüyor, şu içerdeki fonksiyonun. Yani sürekli negatif olması bir şey ifade etmez. Eğrinin altında kaldığını söyler bana. Şöyle hani şöyle bir şey düşünebileceksem eğer.

Bundan bulduğum sonucu eğer mutlak. Gerçi burada yapmadığı için öyle bir şey düşünemem herhalde. Bunun şey olduğunu düşünüyorum. 𝑓(𝑥, 𝑦) negatif dediği için sürekli aşağıda dolanan bir eğri işte bir düzlemsel düzlem olduğunu varsayarak.

Onun işte o, 0 ile arasında hacmin negatifini vereceğini düşünüyorum. Direk hacim değil de hacmin negatifini vereceğini düşünüyorum.

A: O zaman iki katlı integral her zaman hacim vermiyor mu?

Ö2: İki katlı integral her zaman hacim vermez. Direk hacim vermez hani. Yani bir iki katlı integral gördüğüm zaman direk o içerdekinin hacmidir, diyemiyorum.

A: Ne zaman hacmi dersiniz?

Ö2: Ne zaman derim? Eee mesela o içerde yazdığı o 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonu şeyin eğrinin üzerinde ise kesinlikle o bulduğum şey. O düzlemin altında kalan bölgenin hacmidir, derim.

A: Belki bu sorudan dolayı böyle yorumluyorsun belki. Bir gün önce sorsaydık yine öyle der midiniz yoksa sorudan mı çıkarıyorsunuz?

Ö2: Sorudan. Şu an sorudan.

A: Normalde sorsaydı?

Ö2: Normalde mesela bana deseniz ki içerde fonksiyon var iki katlı integral. Derim ki içerdekinin hacmini hesaplıyorum, derim. Düz mantıkta ama şu anda burada ona dikkat etmem gerektiğini düşünüyorum. “Kesinlikle” ifadesi beni birazcık şey yapıyor.

Bütün görüşmeler bittikten belli bir süre sonra araştırmacı yukarıdaki ifadelerin kalıcı olup-olmadığını kontrol etmek için telefonla Ö2’yi aramış ve aşağıdaki soruyu sormuştur.

A: İki katlı integralin sonucu negatif çıktığı zaman iki katlı integralin temsil ettiği geometrik yapı hakkında ne düşünürsünüz?

Ö2: Yine alan alt tarafta.

A: Ya hacim?

Ö2: Hacim şey. 𝑥𝑦 düzlemi altındaki cisimle eşit. Pozitif ise 𝑥𝑦 üzerinde. Negatif ise 𝑥𝑦 altında.

“Hacim hesaplama stratejisi” alt kategorisi katılımcıların iki katlı integral ile hacim problemlerini çözerken katılımcıların yorumlarını temsil etmektedir. Bu alt kategoriye ait kodlama aşağıdaki şekildedir.

Şekil 43

Katılımcıların İki Katlı İntegral ile Hacim Problemi Çözerken Yaptıkları Yorumlarının Sınıflandırılması

“Yükseklik (z) verilmemişse hacim bulamama durumu”; bir katı cismin geometrik temsili verilip iki katlı integralle hesaplanması istendiğinde, integrand verilmediği için hacim hesabının yapılmayacağını ifade etmektedir. Ö1 isimli katılımcı EK-B Problem (2) ve (5) de integrand direk verilmediği için çözülemeyeceğini söylemiştir. Bu sorulara ait alıntılar sırası ile aşağıda verilecektir.

(Problem (2) için) “𝑧’nin bir elemanı olarak aldım. Bir yükseklik cinsinden. Hani a-b ile nerede şey yapıyor diye. Ama iki katlı integral soruyorsanız, matematiksel ifadesini yazamam. Çünkü şey yok. (Fonksiyon yok demek istedi). (Ö1)

(Problem (5) için) Şüpheye düştüğüm yer, iki katlı integralde hep alan diyorum ya mesela ben. Orada hacim hesaplayabiliyoruz ama hacmi, fonksiyon cinsinden verdiği zaman mı hesaplayabiliyorduk. “𝑧” şu gibi bir fonksiyon olsun. Bunun hacmini hesaplayanız dediği zaman biz sınırları belirleyip, öyle alana geçiyorduk. Mesela burada, tamam bu bir birim, bunu şey fonksiyonunu bilemiyorum, “a” da. “a” da bilemediğim için ııı “𝑧” li fonksiyon tanımlayamıyorum, tanımlayamadığım için integralin hacmini bulamıyorum ama şurada (rakamlı verilen b ve c de) mesela tanımlayabilir. Çünkü ben tanımlayabilirim. (Ö1)

EK-A Soru (14) de şekli verilen tanımlı bir bölgedeki bir fonksiyonun iki katlı integral sonucunun ne olduğu sorulmaktadır. Katılımcıdan fonksiyon simetrik olduğu için integral sonucunun sıfır olduğunu söylenmesi beklenmektedir. Ö3, Ö4 ve Ö5 integrand tanımlanmadığı için çözülemeyeceğini ifade etmişlerdir. Aşağıda alıntılara sırasıyla yer verilecektir.

𝑥 ve 𝑦’den taban olarak 𝑧’yi de bu eksende yükseklik olarak aldığımızda belli bir hacim var. Ee bunu direk şey yazacağız. Sınırlarını yazacağız. Mesela ve bir 𝑧 üzerinde yükseliyor. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)’i bildiğimiz sürece çözülebilir. ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦₋₂² ₋₂² . Fonksiyonu bilmiyorsak, tam bir şey elde edemeyiz ama 𝑓(𝑥, 𝑦) cinsinden bulunabilir. Mesela 𝑓(𝑥, 𝑦)’nin bu neyin türeviydi. (Ö3)

Sınırlarla ilgili bir şeyler var herhalde. Fonksiyon verse? (….) Ben çözemem. Üst tarafı sınırlı olmayacak o zaman, nasıl çözeceğiz. (….) Niye hesaplayamıyoruz?

Fonksiyonları bilmiyoruzdur. (Ö4)

Bu zaten trigonometrik fonksiyon çok belli. Böylede devam ediyordur. Evet, 𝑓(𝑥, 𝑦) fonksiyonunu soruyor. Evet. Fonksiyon olmadan bu grafik üzerinden çıkar mı?

Çıkmaz. Çünkü fonksiyon gerekli. (Ö5)

Yukarıdaki alıntılardan, sorularda integrandın verilmesi, katılımcılar tarafından bir zorunluluk olduğu algısı yerleştirdiği görülmektedir. Grafiksel olarak verilen fonksiyonları

cebirsel forma çevirmekte ve grafiksel ifadeleri yorumlamakta katılımcıların zorlandığı görülmektedir. Dolayısıyla bu alıntılar, katılımcıların iki katlı integrali kavramsal anlamakta sıkıntılar yaşadığını göstermektedir.

4.3. Matematik Öğretmen Adaylarının İki Katlı İntegralin Sembolik İfadesine Yönelik

Belgede Ankara, 2022 Doktora Tezi Mustafa ÖZBEY MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İKİ KATLI İNTEGRAL E YÖNELİK KAVRAM İMAJLARI Matematik Eğitimi Programı Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı (sayfa 130-149)