12SINIF MATEMATİK. İntegral Çemberin Analitik İncelenmesi

12 ^SINIF

MATEMATİK

•İntegral

•Çemberin Analitik İncelenmesi

4

YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ

EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN

DİZGİ Muhammed KARATAŞ

SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ

1. BASKI Eylül 2018

İLETİŞİM

Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–D Ostim / Ankara

Tel: 0312 395 13 36 Fax: 0312 394 10 04

www.yaricap.com yaricapyayinlari@gmail.com twitter.com/yaricapp facebook.com/yaricapyayinlari instagram.com/yaricapyayinlari

Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası’na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin...

M. Kemal Atatürk

SUNU

Sevgili Gençler,

Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir.

Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz.

Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak amacıyla birbirini bütünleyen “BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ” olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır.

® “BİLGİ” bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir.

® “BİRLİKTE ÇÖZELİM” bölümleri “BİLGİ” ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır.

® “SIRA SİZDE” bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir.

® “ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM” bölümünde çoktan seçmeli sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır.

® “KONU TESTİ” bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir.

“Başlamak, başarmanın yarısıdır.” sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz.

Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Seçkin KARAASLAN

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM 1: İntegral ... 5

Belirsiz İntegral ... 6

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1 ... 8

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2 ... 12

Değişken Değiştirme Tekniği ... 14

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3 ... 18

Belirli İntegral ... 20

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4 ... 25

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 5 ... 30

Net Alan ... 35

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 6 ... 36

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 7 ... 44

Konu Testi 1, 2, 3, 4, 5 ... 46

BÖLÜM 2: Çemberin Analitik İncelenmesi ... 57

Çemberin Standart Denklemi ... 59

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1 ... 62

Çemberin Grafiği ... 64

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2 ... 68

Çemberin Genel Denklemi ... 70

Çember İle Doğrunun Birbirine Göre Durumları ... 73

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3 ... 74

Konu Testi 1 ... 76

Cevap Anahtarı ... 78

1

BÖLÜM

İntegral

YARIÇAP YAYINLARI

6

İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 1

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

1. !

1903dx

2. !

mdx

3. !

x dx⁴

4. !

x dx⁷

Belirsiz İntegral

a b

f(x)

F(x)

0 x

y

[a, b] aralığında sürekli ve pozitif bir y = f(x) fonksi- yonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı veren fonksiyon f(x) olmak üzere,

F'(x) = f(x) veya (F(x) + c)^ı = f(x) tir.

Buradan,

Belirsiz integral İntegral Sabiti



f(x) dx = F(x) + c

⌠⌡

İntegrali

Türevi

 

 

f(x) dx = F(x) + c

⌠⌡

Belirsiz İntegral Alma Kuralları

1.

x dx nⁿ =x^{n 1}1 c n( ≠ –1)

+ +

"

+

2. !

dx x c= +

3. !

adx ax c= +

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.

a)

!

3dx ^b)

!

^{x dx2 c)}

!

^{x dx3}

a)

!

3dx=3x c+ ^b)

"

^{x dx x2 = 33+c}

c) x dx x³ 4 c

4

= +

#

İNTEGRAL

YARIÇAP YAYINLARI

7

^İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 2

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

1. !

x dx^–2

2. "

dx dxx₅

3. !

³ x dx

4.

1xdx

#

Belirsiz integrallerde x in üssü negatif veya rasyonel olduğunda da aynı kural geçerlidir.

Eğer x li ifade paydada ise x'in üssü (–) kullanılarak paya alınır ve integral alma kuralı uygulanır.

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. !

x dx^–3 integralinin eşitini bulunuz.

x dx x c x c

x c

3 1 2 2

– – –1

3 3 1 2

2

– –

= + + = + = +

- +

"

2.

x

dx

"

4 integralinin eşitini bulunuz.

x

dx x dx x c x c

x c

4 1 3 3

– – –1

4 4 4 1 3

– – – 3

= =

+ + = + = +

" !

+

3. !

x dx integralinin eşitini bulunuz.

x dx x dx x c

21 1

21 21 1

= =

+ +

% !

+

x c x c 2323 233

= + = +

YARIÇAP YAYINLARI

8

İNTEGRAL

YARIÇAP YAYINLARI

8

ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM

İNTEGRAL

1 ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM

Aşağıdaki integrallerin eşitlerini bulunuz.

1. !

11dx

A) 11 B) 11x C) 11x + c

D) 11x² E) 11x² + c

2. !

bdx

A) b B) bx C) b2²

D) bx + c D) b2 c

2

+

3. !

bjdk

A) bjk + c B) bjk² + c

C) bjx + c D) bjx² + c

E) bj + c

4. !

x dx¹¹

A) x¹² B) x2 c

12

+

C) x12¹² D) x12 c

12

+

E) x11 c

11

+

5. !

x dx^–7

A) x– 6^–6+c B) x6 c

6 –

+ C) x6 c

7 –

+

D) x– 6^–7+c E) x– 7⁷+c

-

6.

x1dx

"

9

A) x8 c

8

+ B) 8x⁸ + c C) –8x⁸ + c

D) x c

8 1

8+ E)

x c

8 – 1₈+

7. !

⁴ x dx A) x4554 c

+ B) x5454 c

+ C) x45⁴⁵ c +

D) x5445 c

+ E) x5 c

45

+

8.

1xdx

#

3

A) x3232 c

+ B) x32 32

C) x23 23

D) x32 ²³

E) x23 31

YARIÇAP YAYINLARI

9

^İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 3

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

1. !

3xdx

2. !

(4x³–6x dx)

3. !

(6x²–2x+1)dx

4. !

(3x²–2x+ x dx)

Belirsiz İntegralin Özellikleri – 1 1.

k Œ R olmak üzere,

. ( ) ( )

k f x dx k f x dx=

! !

2. !

[ ( )f x +g x dx( )] =

!

f x dx( ) +

!

g x dx( )

3. !

[ ( )f x g x dx– ( )] =

!

f x dx( ) –

!

g x dx( )

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.

1. !

2xdx .

xdx x c x c

2 =2 2²+ = ²+

!

2. !

(3x²+5)dx

(3x²+5)dx= 3x dx² + 5dx

! ! !

. x x c x x c

3 3 5^{3 3} 5

= + + = + +

3. !

(4x³–1)dx

(4x³-1)dx=4 4x⁴- +x c

#

= x⁴ – x + c

YARIÇAP YAYINLARI

10

İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 4

Aşağıda verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz.

1.

^d(17^x2_dx–1923^x)dx

#

2.

d x

x – 1

#

^c3 ^m

3. !

d x( ⁵–3x²+x)

4.

dxd

!

(7x⁶–5x⁴+3x dx²)

Belirsiz İntegralin Özellikleri – 2 4.

^{( ( ))}dx ( )

d f x

dx f x= +c

"

5. !

d f x( ( ))=f x( )+c

6.

dxd^c

!

f x dx( ) ^m=f x( )

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

Aşağıdaki integrallerin eşitlerini bulunuz.

1.

dxd

!

(x³–5x+1)dx

( )

dxd

!

x³–5x+1dx x= ³–5x+1 ^dir.

2. !

d x( ⁷+4x)

( )

d x⁷+4x=x⁷+4x c+

!

3.

^d(15^x_dx³–4^x)dx

#

( )

dx

d x x

dx x x c

15 4

15 4

– –

3 = 3 +

"

YARIÇAP YAYINLARI

11

^İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 5 1. !

f x dx x( ) = ²+1

olduğuna göre, f(2) kaçtır?

2. !

x f x dx x. ( ) = ³+4x²–111 olduğuna göre, f(–1) kaçtır?

3.

f'(x) = 2x + 2 ve f(0) = 3 olduğuna göre, f(–1) kaçtır?

4.

f'(x) = 3x² + 4x ve f(1) = 2 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

İçinde türev veya integral bulunan eşitliklerde her iki tarafın türevi veya integralini almak gerekebilir.

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM 1. !

xf x dx x( ) = ³+5x²+1903

olduğuna göre, f(1) kaçtır?

Her iki tarafın türevi alınırsa,

. ( ) ( )

dxd

x f x dx dx= d x³+5x²+1903 x.f(x) = 3x

!

² + 10x ¡ f(x) = 3x + 10

¡ f(1) = 3.1 + 10 = 13 olur.

2.

f'(x) = 2x + 3 ve f(0) = 4 olduğuna göre, f(1) kaçtır?

Her iki tarafın integrali alınırsa,

( ) ( ) ( )

f x dx 2x 3dx f x 2x x c 2² 3

› = + & = + +

! !

f(0) = 4 ¡ c = 4 ve f(x) = x² + 3x + 4 f(1) = 1 + 3 + 4 = 8 bulunur.

YARIÇAP YAYINLARI

12

İNTEGRAL

YARIÇAP YAYINLARI

12

İNTEGRAL

2 ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM

5. !

(³ x– 2x dx) A) x34³ –x c

4

2+ B) x34⁴ –x c

3 2+

C) x43³ –x c

4

2+ D) x43⁴ –x c

3 2+

E) x34⁴ –2x c

3 2+

6. !

^{^3} x²–⁴ x dx^3h

A) x x

5 c

4 7 3 ⁵ –

3 4 7

+

B) x x

5 c 3

7 –4

5

3 4 7

+

C) 3 5x x c

7 –4

3

5 7 4

+

D) x x

5 c

4 7 3 ³ –

5 7 4

+

E) x x

7 c 3

7 –4

3 5 7 4

+

7.

dxd

!

(3x²–5x dx)

A) 3x² – 5x B) 3x² – 5x + c C) x³ – x25 ² D) x³ – x25 ² + c

E) x³ – x² + c 1. ve 9. sorulardaki verilenlerin eşitlerini bulunuz.

1. !

4xdx

A) x² + c B) x2 c

2

+ C) 2x² + c

D) x4 c

2

+ E) 4x² + c

2. !

(8x+1)dx

A) 4x² + x + c B) 4x² + 2x + c D) 2x² + x + c E) 2x² + 2x + c

E) x² + 2x + c

3. !

(3x²–6x–5)dx

A) 3x³ – 6x² – 5x + c B) 3x² – 3x – 5x + c C) x³ – 3x² – 5 + c D) x³ – 3x² – 5x + c

E) x³ – x² – 5x + c

4. !

(4x³–6x²+4x–1)dx A) 4x⁴ – 6x³ + 4x² – x + c B) x⁴ – x³ + x² – x + c C) x⁴ – 2x³ + x² – x + c D) x⁴ – x³ + 2x² – x + c E) x⁴ – 2x³ + 2x² – x + c

YARIÇAP YAYINLARI

13

^İNTEGRAL

8. !

d x( ²+4x)

A) x² + 4x B) x² + 4x + c C) x3³+2x² D) x3³+2x²+c

E) x3³+2x²+x

9.

^{d x( 2}_dx+6^x)dx

#

A) x² + 6x B) x² + 6x + c C) x3³+3x² D) x3³+3x²+c

E) x³ + 3x² + c

10. !

f x dx x( ) = ³–5x²+1 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) 0

11. !

x f x dx x² ( ) = ⁴–3x³+11 olduğuna göre, f(1) kaçtır?

A) –9 B) –7 C) –5 D) –3 E) –1

12.

f'(x) = 4x + 5 ve f(0) = 3 olduğuna göre, f(1) kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

13.

f'(x) = 6x² + 2x ve f(1) = –2 olduğuna göre, f(–1) kaçtır?

A) –2 B) –3 C) –4 D) –5 E) –6

YARIÇAP YAYINLARI

14

İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 6

Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.

1. !

(x²+3 2). xdx

2. !

(x²+3 2) .⁵ xdx

3. !

(x²+5x+7 2).( x+5)dx

4. !

(x²+4x–1 4)( x+8)dx

Değişken Değiştirme Tekniği

Bazı fonksiyonların belirsiz integrali, doğrudan temel integral alma formülleri ile bulunmaz. Bu fonksiyon- ların integrallerini bulmak için değişken değiştirme tekniği kullanılabilir.

f ve g fonksiyonları [a, b] aralığında türevlenebilir fonksiyonlar olsun.

( ( )). ( ) f g x g x dx^›

integralinde u = g(x) değişken değiştirmesi uygu-

!

landığında u = g(x) ¡ du = g'(x)dx olur.

( ( )). '( ) ( ) f g x g x dx= f u du

! !

şeklinde daha basit bir integral elde edilir.

( ) f u du

!

integrali hesaplandıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak çözüm tamamlanır.

Not: Değişken değiştirme yapabilmek için u ile ifade edilen değişkenin türevi çarpan olarak integralde bulunmalıdır.

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

1. !

(x²+3x+1) .(⁵ 2x+3)dx integralinin eşitini bulunuz.

x² + 3x + 1 = u ¡ (2x + 3)dx = du

( )

u du u c x x

6 6 c

3 1

5 6 2 6

= + = + +

"

+

YARIÇAP YAYINLARI

15

^İNTEGRAL

SIRA SİZDE - 7

Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.

1. !

(x+5)⁴dx

2. !

(2x–3)³dx

3.

( x )

dx 3 –1 ³

#

4.

( x)

dx 5 4- ²

#

(ax + b)ⁿ şeklinde verilen ifadelerin integralleri de değişken değiştirme tekniği ile bulunabilir.

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

Aşağıda verilen integrallerin eşitlerini bulunuz.

1. !

(x+2)³dx

x + 2 = u ¡ dx = du

( )

u du u c x

4 4 c

3 4 24

= + = +

"

+

2. !

(3x+2)⁴dx

3x + 2 = u 3dx = du ¡ dx = du3 ( x )

15 c 3 2⁵

= +

+

3.

( x ) dx

2 1

1 + 3

#

2x + 1 = u ¡ 2dx = du ¡ dx = du2 u .

du u du

1 2 21

3 = –3

" !

( )

u c

x c

14

4 2 1

– 2 –1

– 2

= + =

+ +