2.2. Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşüm Modelleri

2.2. Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşüm Modelleri

Koordinat dönüşümleri jeodezide sıkça karşılaşılan bir uygulamadır. Çeşitli koordinat sistemlerinde üretilmiş nokta koordinatları arasındaki ilişkiyi tam olarak kurabilmek ve datum birliği sağlamak için koordinat dönüşümü yapılır.

Bir koordinat sistemini tanımlamak için gerekli elemanlara datum parametresi denir. Üç boyutlu koordinat sistemi, 3 öteleme, 3 dönüklük ve 1 ölçek parametresi ile tanımlanır.

Koordinat sisteminin tanımlanmasında kullanılan elipsoidin konumu, büyüklüğü ve dönüklüğüne ilişkin bilgiler datum parametreleri ile tanımlanır. Bu nedenle koordinat dönüşümü bir anlamda datum dönüşümü olur [9].

Koordinat sistemleri arasındaki nokta koordinatları dönüşümde benzerlik dönüşümü kullanılır. Bu dönüşüm için tanımlanmış birçok yöntem vardır. Bu dönüşümde kullanılan parametreler datumu tanımlamakta kullanılan parametrelerle aynıdır [10].

3-boyutlu koordinat çiftleri arasındaki fonksiyonel ilişkiler tarif edilerek dönüşüm yapan birçok yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin hepsinde noktalarının koordinatları gözlem olarak kullanılır ve yönteminin sonuçları olarak düzeltme değerleri alınır. Örnek olarak Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas, Veis, Hotine, Krakiwsky-Thompson ve Vanicek-Wells modelleri verilebilir. Bu yöntemler arasında en çok uygulama imkanı bulan ve anlamlı sonuç verenler Bursa-Wolf, Molodensky-Badekas ve Veis modelleridir.

2.2.1. Bursa-Wolf Modeli

Bursa-Wolf modeli, iki koordinat sistemi arasındaki ilişkiyi benzerlik dönüşümü ile tanımlar. Bu ilişkinin tanımlanması için üç üç dönüklük (x,y,z) ve ölçek faktörü () parametreleri gereklidir.

O C

ri

i

r0

x

U

Y Z

X

y V W

z i (yersel nokta)

Şekil 14. Bursa-Wolf modeli

İki sistem arasındaki dönüşüm eşitliğinin fonksiyonel modeli,

   

ρi  r⁰ (1κ)R

 

rⁱ (20)

olarak yazılabilir. Bu eşitlikte

 

ρi ^[X,Y,Z],

 

^{ri }[U,V,W] kartezyen koordinat sistemleri, R = R1(x), R2(y), R3(z) dönüklükler ve

 

^{r0 [X0,Y0,Z0}] öteleme parametreleri olarak gösterilmiştir. R1(x), R2(y), R3(z) dönüklük matrisleri,

 



















x x

x x

x 1

Cosε Sinε

- 0

Sinε Cosε

0

0 0

1 ε

R

 















 



y y

y y

y 2

Cosε 0

Sinε

0 1 0

Sinε 0

Cosε ε

R

 





















1 0 0

0 Cosε Sinε

0 Sinε Cosε

ε

R _{z z}

z z

z 3

şeklinde yazılırsa çarpımları sonucu oluşan R dönüklük matrisi,





































y x

z y x

y x

z y x z

y

z x z

x z

y x

z y x

y x

z y x

z y

Cosε Cosε +

Sinε Sinε Sinε Cosε

Sinε -

Sinε Sinε Cosε Cosε

Sinε

Cosε Sinε Cosε

Cosε Sinε

-

Sinε Cosε -

Sinε Cosε Sinε Sinε

Sinε

Sinε Cosε Cosε Cosε

Cosε

R (21)

olarak elde edilir. Jeodezik çalışmalarda kullanılan koordinat sistemleri yaklaşık olarak paralel olan sistemler oldukları için dönüklük açıları çok küçük açılardır. Bu nedenle Cos=1, Sin= ve kabulleri yapılırsa (21) eşitliği

 

⁰

Z Y X

W V U

ε 1 ε

ε ε 1

ε ε

1 κ 1 Z Y X

F F F

x y

x z

y z

0 0 0

z y x

































































































(22)

şeklinde basit bir ifade haline gelir.

Koordinat sistemleri arasında dönüşüm için kullanılan yöntemlerde ölçü sayısı bilinmeyen sayısından fazla olduğu durumlarda dönüşüm parametrelerinin çözümü En Küçük kareler yöntemine göre yapılabilir [26], [27].

 Bursa-Wolf Modeli

(22) eşitliklerine göre yazılan fonksiyonel modelin genel gösterimi,

  ⁰

F_{x,ˆ }  (38)

şeklindedir. Burada ^Xbilinmeyen parametrelerini (ölçek ve yöneltme), ^L gözlemleri (ortak noktaların koordinatlarını) gösterir. Doğrusal olmayan (22) eşitliği doğrusallaştırılırsa matris gösterimi ile şu şekle gelir.

0 W BV

AX  ^o  (39)

Bu eşitlikte A ve B tasarım matrisleri Xˆ bilinmeyen parametrelerinin tahmin değerlerini, V gözlemlerin düzeltmelerini ve W^oise kapanma artıkları şu şekilde hesaplanır.

     

     

     

^













































 

 

i 0 x i 0 y i i

0 i i

0 i

i 0 z i 0 x i i 0 i i

0 i

i 0 y i 0 z i i

0 i i

0 i

x, i i

ε V ε U

Z 0

κ U U κ V

V 1 0 0

ε U ε W

Y κ U

U 0

κ W W 0 1 0

ε W ε V

X κ V

V κ W

W 0

0 0 1 X

A F



Benzer şekilde B tasarım matrisinin elemanları da şu şekilde verilir.

     

     

     

^













































 

 

1 0 κ 0

ε 1 κ ε ε κ ε

0 1 ε 0

κ ε κ

ε 1 κ ε

0 0 ε 1

κ ε ε κ ε κ

1 L

B F

0 0

x 0 0 x 0 y 0 0 y

0 x 0 0 x 0

0 z 0 0 z

0 y 0 0 y 0

z 0 0 z 0

x, i i



Çözüm için

  

^{X x ,y ,z ,ε ,ε ,ε0}z^,κ0



⁰

0 y 0 x 0 0 0 0 0 0

0 T   kabulü yapılırsa A ve B matrisi şu şekle gelir.

























i i

i

i i i

i i i

i

W 0 U

V 1 0 0

V U 0

W 0 1 0

U V W 0

0 0 1

A (40)

























1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

B_i (41)

Kapanma hataları vektörü ^Wi⁰ ^F



^X0,L



eşitliğinden,

























i i

i i

i i 0 i

Z W

Y V

X U

W (42)

olarak elde edilir.

Bu çözümde her iki sistemdeki koordinatlar gözlem olarak alınır. Fonksiyonel modelin çözümü,

 



^{AT BQ BT 1A}



¹

^

^{BQ BT}

^

^1Wo

-

X _ ^{ } _ ^

k B Q

V _ ^T (43)

 



^{T T 1}



¹

xx A BQ B A

Q  _ ^{ }





 



  



  ^



^



B BQ B BQ B AA BQ B A A BQ B BQ

Q

Q ^{T T 1}

1 -1 T 1 T

1 T T T

vv   ^  ^{  } 

         





 



   

 _{  } ^ _ ^ _ ^ _ ^ _



 Q -Q B BQ B BQ B AA BQ B A A BQ B BQ

Q ^{T T 1}

1 -1 T 1 T

1 T T T

ˆ ˆ

şeklinde yapılır.