ÇÖZÜMÜNDE SINIR KOŞULLARI

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

NÜKLEER BİLİMLER ENSTİTÜSÜ

DİFÜZYON DENKLEMİ

ÇÖZÜMÜNDE SINIR KOŞULLARI

İLERİ NÖTRON VE REAKTÖR FİZİĞİ PROF. DR. HALUK YÜCEL

(2)

• Difüzyon denklemi, belirli sınır koşulları altında çözüldükten

sonra nötron akısı (∅) bulunur. Ancak, difüzyon denklemi kısmi diferansiyel denklemi özelliğinde olduğundan fiziksel sınırları gösteren sınır şartları olmalıdır. Örneğin negatif (-) veya hayali (imaginary) ∅’nun hiçbir anlamı yoktur. Nötron akısı gerçek bir büyüklük olmalıdır ve hiçbir zaman negatif formda bir fonksiyon olamaz.

(3)

Difüzyon Denklemi Çözümünde Sınır Koşulları:

 _{Fick kanunu, bir ortam ile atmosfer} arasındaki

yüzeyde geçerli değildir. Ancak nötronlar bir ortamdan dışarı atmosfere difüz edebilirler. Küçük bir d mesafesinin ötesinde yüzeyde kaybolan nötron akısı fiziksel olarak anlamsız olacağından bu mesafe uzatılarak “ekstrapolasyon uzunluğu” denilen d parametresi tanımlanır.

(4)

𝑑 = 0.71 𝜆_𝑡𝑟 𝜆_𝑡𝑟 = 3𝐷

𝑑 = 0.71 3𝐷 = 2.13𝐷 𝑜𝑙𝑢𝑟. Ekstrapolasyon uzunluğu,

(5)

𝐷𝛻2∅ − Σ_𝑎. ∅ + Σ_𝑎. ∅. 𝐾_∞ = 0 veya

𝛻2∅ − ∅

𝐿2 = 0

Çözümü için 2 sınır şartı gereklidir.

Sonlu sistemlerde ∅ ⟶ 0’ a gider.

(Bu gerçek fiziksel boyuttan daha küçük mesafeler) (1) nci sınır şartı: ∅ akısı her yerde sonlu ve simetriktir.

(2) nci sınır şartı: Sonsuz mesafelerde nötron akısı ∅ sıfıra gitmelidir.( 𝑥 ⟶ ∞′𝑎 𝑔𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑒 ∅ ⟶ 0′𝑎 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑙ı)

Bu durum geçerli olması için 𝑥 ⟶ ∞ giderken herhangi bir dış kaynak olmaması gerekir.

(6)

Sonlu sistemler için ∅ ⟶ 0

−𝑑∅

𝑑𝑥

=

∅

𝑑

(𝐴𝑘ı 𝑒ğ𝑟𝑖𝑠𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑒ğ𝑖𝑚𝑖)

𝐽

_−𝑥

=

∅

4 +

𝐷

2 𝑑∅

𝑑𝑥

= 0

veya

−𝑑∅

𝑑𝑥

=

∅

2𝐷

𝑜𝑙𝑢𝑟

Burada, 𝑑 = 2𝐷 = 2 𝜆𝑡𝑟 3 (d: uzatılmış mesafe-extrapolated distance)

Difüzyon katsayısının 2 katıdır. Teoriye göre 𝑑 = 0.71𝜆_𝑡𝑟

Örnek: 𝐷₂𝑂 moderatörlü reaktörde 𝐷(𝐷₂𝑂) = 0.767𝑐𝑚’dir.

Tanıma ve transport teorisine göre d –uzatılmış mesafe nedir?

Tanıma göre; 𝑑 = 2𝐷 = 2𝑥0.767 = 1.534𝑐𝑚

Transport teoriye göre; 𝑑 =

(7)

Pratikte, gaz formunda olmayan malzemeler için ölçülen difuzyon katsayıları, genellikle 1cm’den azdır (D<cm). Ekstrapolasyon uzunluğu d ise, reaktör boyutları ile kıyaslandığında çok küçüktür. Bu yüzden, reaktörde difüzleyici ortamın yüzeyine geldiğinde, difüzyon denklemiyle bulunan nötron akısı ∅ ortadan kaybolur, yani sıfır olur. Bu yüzden, reaktörün gerçek fiziksel boyutuna bu d (ekstrapolasyon mesafesi) ilave edilir. Buna “vakum sınır şartı” adı verilir.

(8)

Örneğin: Fiziksel boyut a ise; ෤

𝑎 = 𝑎 + 𝑑 İki bölge ara yüzeyinde:

• Akının sürekliliği şartı: ∅_𝐴 = ∅_𝐵

• Akımın sürekliliği şartı: 𝐽_{𝐴 𝑛} = 𝐽_{𝐵 𝑛}

• −𝐷_𝐴∅_𝐴= −𝐷_𝐵∅_𝐵 olmalıdır.

Burada A ve B bölgelerinin ara yüzeyinde nötron akımlarına ait vektörlerin dik bileşenleri 𝐽_{𝐴 𝑛} ve 𝐽_{𝐵 𝑛}’ dir.

Akı bu mesafede kaybolur

Ara yüzey sınır koşulları (Interface Boundary

(9)

𝜕2∅ 𝜕𝑥2 − 4 𝐿2 ∅ = 0 ⟶ 𝑥 ≠ 0 𝑖ç𝑖𝑛 ∅ 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑥 𝐿Τ + 𝐶𝑒𝑥 𝐿Τ A ve C sabittir.

C=0 olmalı (çünkü x arttıkça bu terim sonsuz büyür)

Difüzyon Denkleminin Çözümleri

(10)

∅ 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑥 𝐿Τ

Şekildeki net nötron akısı 2𝐽 𝑥 olacaktır. Simetri problemi olduğundan 𝑥 ⟶ 0’ a giderken, net akım S’ e yaklaşır yani

lim

𝑥⟶0 𝐽 𝑥 =

𝑆 2

(11)

Fick yasasından; Ԧ𝐽 = −𝐷 𝑑∅ 𝑑𝑥 = −𝐷 𝑑 𝑑𝑥 𝐴𝑒 Τ −𝑥 𝐿 _{= +} 𝐷𝐴 𝐿 𝑒 Τ −𝑥 𝐿 Limit durumunda; 𝑆 2 = 𝐷𝐴 𝐿 𝑒 Τ −𝑥 𝐿 _, _{𝐴 =} 𝑆.𝐿 2𝐷 olur. O halde akı; ∅ = 𝐴𝑒−𝑥 𝐿Τ = 𝑆.𝐿 2𝐷 𝑒 Τ −𝑥 𝐿

Yüzeyin her iki tarafında akı olacağından; ∅ = 𝑆.𝐿

2𝐷 𝑒

Τ − 𝑥 𝐿

(12)

∅ = 𝑆𝑜𝑛𝑙𝑢 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎𝑛 𝑟 ↑ , 𝐶 → 0 olmalı ∅ = 𝐴 𝑒 Τ −𝑟 𝐿 𝑟 𝐽 = −𝐷 𝑑∅ 𝑑𝑟 = 𝐷𝐴 1 𝑟𝐿 + 1 𝑟2 𝑒 Τ −𝑟 𝐿 ∅ = 𝑆 4𝜋𝐷 𝑒−𝑟 𝐿Τ 𝑟 𝑏𝑢𝑙𝑢𝑛𝑢𝑟. 1 𝑟2 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑑∅ 𝑑𝑟 − 1 𝐿2 ∅ = 0 • Kaynak şartı;lim 𝑟⟶ 𝐽 𝑟 𝑟 2 ₌ 𝑆 4𝜋 𝑤 = 𝑟: ∅ değişken değişimi yapıldığında, 𝜕2𝑤 𝜕𝑟2 − 1 𝐿2 𝑤 = 0 𝑤 = 𝐴𝑒−𝑟 𝐿Τ + 𝐶𝑒𝑟 𝐿Τ ∅ = 𝐴 𝑒 Τ −𝑟 𝐿 𝑟 + 𝐶 𝑒𝑟 𝐿Τ 𝑟 b) Nokta Kaynak

(13)

REFERANSLAR

[1] https://s4sscienceforstudents.files.wordpress.com/2014/07/beta-expr-rutherford.png

[2] M. Prelas, M.L. Watermann et al., (2014). A review of nuclear batteries [3] https://www.britannica.com/science/nuclear-fission

[4] https://www.nuclear-power.net/nuclear-power/fission/critical-energy-threshold-energy-for-fission/

[5] J. K. Dickens (13 May 2017). Fission Product Yields for Fast-Neutron Fission of 243,244,246,248_Cm

[6] http://www.plux.co.uk/very-heavy-atoms-fission/

[7] Urszula Woźnicka (14 August 2018). Review of Neutron Diagnostics Based on Fission Reactions Induced by Fusion Neutrons

[8] Fission process lecture notes. Michigan State University [9] J. O. Denschlag. Handbook of Nuclear Chemistry

[10] N.Nahavandi, A.Minuchehr, A.Zolfaghari, M.Abbasi (2015). Spatially adaptive hp refinement approach for PN neutron transport equation using spectral element method. Faculty of Engineering, Shahid Beheshti University, Tehran, Iran