ÇÖZÜMÜNDE SINIR KOŞULLARI

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

NÜKLEER BİLİMLER ENSTİTÜSÜ

DİFÜZYON DENKLEMİ

ÇÖZÜMÜNDE SINIR KOŞULLARI

İLERİ NÖTRON VE REAKTÖR FİZİĞİ PROF. DR. HALUK YÜCEL

(2)

Akı, yüzeylerden d kadar uzaklıkta (extrapolated distance) sıfıra yaklaşır. Simetri Koşulları 𝑥 ≠ 0 ve 𝑥 ≤ 𝑎 için 𝜕2∅ 𝜕𝑥2 − 1 𝐿2 ∅ = 0 , 𝑥 = 0 olur. (1)

Sonsuz Yansıtıcısız Levha (Bare Slab) için Difüzyon Denklemi

(3)

O halde ∅ 𝑎 + 𝑑 = ∅ −𝑎 − 𝑑 = 0

Yarım sağ düzlem için (1) difüzyon denkleminin çözümü;

∅ 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑥 𝐿Τ + 𝐶𝑒𝑥 𝐿Τ Genel çözüm

𝑥 = 𝑎 + 𝑑 sınır koşulunda ∅ 𝑎 + 𝑑 = 𝐴𝑒−(𝑎+𝑑) 𝐿Τ + 𝐶𝑒(𝑎+𝑑) 𝐿Τ = 0

Buradan 𝐶 = −𝐴𝑒−2 𝑎+𝑑 Τ𝐿 yerine konulursa;

(4)

Kaynak Şartı; lim 𝑥⟶0 𝐽 𝑥 = 𝑆 2 𝐽 = −𝐷 𝑑∅ 𝑑𝑟 = −𝐷𝐴 𝑑 𝑑𝑟 𝑒 Τ −𝑥 𝐿 _{− 𝑒}−𝑥 𝐿−Τ 2 𝑎+𝑑_𝐿 ₌ 𝑆 2 𝐴 = 𝑆𝐿 2𝐷 1 + 𝑒 −2(𝑎+𝑑)/𝐿 −1

(5)

Pozitif x değerleri için: ∅ 𝑥 = 𝑆𝐿 2𝐷 𝑒−𝑥 𝐿Τ − 𝑒−𝑥 𝐿−Τ 2 𝑎+𝑑𝐿 1 + 𝑒−2(𝑎+𝑑)/𝐿 çözümü bulunur.

Problem simetrik olduğundan tüm 𝑥’ler yerine 𝑥 konulur.

∅ 𝑥 = 𝑆𝐿

2𝐷

𝑒− 𝑥 𝐿Τ − 𝑒− 𝑥 𝐿−ൗ 2 𝑎+𝑑𝐿

(6)

Bu çözümü daha uygun bir gösterimle ifade etmek gerektiğinde pay ve paydası 𝑒(𝑎+𝑑)/𝐿 _{ile çarpılır ve düzenlenirse;}

∅ 𝑥 = 𝑆𝐿 2𝐷 𝑒(𝑎+𝑑− 𝑥 ) 𝐿Τ − 𝑒−(𝑎+𝑑− 𝑥 ) 𝐿Τ 𝑒(𝑎+𝑑)/𝐿 + 𝑒−(𝑎+𝑑)/𝐿 = 𝑆𝐿 2𝐷 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑎 + 𝑑 − 𝑥 /𝐿 𝐶𝑜𝑠ℎ (𝑎 + 𝑑)/𝐿 𝑆𝑖𝑛ℎ𝑥 = 𝑒 𝑥 _{− 𝑒}−𝑥 2 𝑣𝑒 𝐶𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 2

(7)

𝐷𝛻2∅ − Σ_𝑎. ∅ + 𝑆 = 1 𝑣

𝜕∅

𝜕𝑡 (1)

𝑆 = 𝜈Σ_𝑓. ∅

Fisyon kaynağı, soğurulan ve reaktörden kaçan nötronları

dengeleyemiyorsa, (1) denkleminin sağ tarafı sıfırdan farklı

olur. Ancak dengelemek için kaynak terimini bir k sabiti ile

böleriz. Kaynak gücü zayıf ise; 𝑘 < 1 , çok büyük ise; 𝑘 > 1 olur.

(8)

𝐷𝛻2∅ − Σ_𝑎. ∅ + 1

𝑘 𝜈Σ𝑓. ∅ = 0

Bu denklem 𝐵2 = 1

𝐷 1

𝑘 𝜈Σ𝑓 − Σ𝑎 bir öz değer tanımlanarak,

𝛻2∅ = −𝐵2∅ −𝐷𝐵2∅ − Σ_𝑎∅ + 1

𝑘 𝜈Σ𝑓. ∅ = 0 veya

𝛻2∅ + 𝐵2∅ = 0 Tek-Grup Reaktör Denklemi

(9)

𝛻2∅ + 𝐵2∅ = 0 Bunun çözümünde; 𝑘 = 𝜈Σ𝑓. ∅ 𝐷𝐵2∅ + Σ_𝑎∅ = 𝜈Σ_𝑓 𝐷𝐵2 + Σ_𝑎 Tek grup reaktör denklem çözümünde

𝐵2 = 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑚𝑖𝑦𝑜𝑟

Nükleer yakıt için kaynak terimi 𝑆 = 𝜂 Σ𝑎𝐹

Σ_𝑎 Σ𝑎∅ = 𝜂𝑓Σ𝑎∅ Burada yakıttan, 𝑓 = Σ𝑎𝐹 Σ_𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑦𝑎𝑟𝑎𝑟𝑙𝑎𝑛𝑚𝑎 Σ_𝑎 = 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑜𝑙𝑎𝑛𝑡 Sonsuz ortam; 𝑘_∞ = 𝜂𝑓Σ𝑎∅ Σ_𝑎∅ = 𝜂𝑓

(10)

𝜂 ve 𝑓 faktörleri reaktördeki malzemelerin özelliklerine bağlı

olduğu için çıplak (bare) reaktörlerde 𝑘_∞ değeri, aynı malzeme

bileşenine sahip sonsuz reaktörle aynı olacaktır. Yani kaynak terimi; 𝑆 = 𝜂 Σ𝑎𝐹

Σ_𝑎 Σ𝑎∅ = 𝜂𝑓Σ𝑎∅ terimi yerine, 𝑆 =

(11)

Bu Tek – gruplu reaktör denklemine 𝛻2_{∅ = −𝐵}2_{∅ ve 𝑆 = 𝑘} ∞Σ𝑎∅ ifadeleri konulursa, −𝐷𝐵2∅ − Σ_𝑎∅ + 𝑘∞ 𝑘 Σ𝑎∅ = − 1 𝑣 𝜕∅ 𝜕𝑡

Şayet reaktör kritik durumdaysa 𝑘 = 1 alınır ve sağ taraf sıfırdır. −𝐷𝐵2∅ − Σ_𝑎∅ + 𝑘∞

𝑘 Σ𝑎∅ = 0 −𝐷𝐵2∅ + (𝑘_∞ − 1)Σ_𝑎∅ = 0

(12)

−𝐷𝐵2∅ − Σ_𝑎∅ + 𝑘∞

𝑘 Σ𝑎∅ = 0 −𝐷𝐵2∅ + (𝑘_∞ − 1)Σ_𝑎∅ = 0 Her iki tarafı D ile bölersek,

−𝐵2∅ + (𝑘∞ − 1) 𝐿2 ∅ = 0 𝐵2 = (𝑘∞ − 1) 𝐿2 burada 𝐿2 = 𝐷 Σ_𝑎’dır.

(13)

Slab reaktör için Tek-grup difüzyon denklemi nedir? Reaktörün

kritik olacağı varsayılır. 𝑑2∅

𝑑𝑥2 + 𝐵 2_{∅ = 0} 𝑑 = Ekstrapolasyon mesafesi ∅ 𝑑 2 = ∅ − 𝑑 2 = 0 𝑑∅ 𝑑𝑥 = 0 𝑥 = 0 da ∅ −𝑥 = ∅ 𝑥 ∅ 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑥 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝑥 Soru:

(14)

𝑑∅ 𝑑𝑥 = − 𝑑 𝑑𝑥 𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑥 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝑥 = 0 • Türevi 𝑥 = 0’ da 𝐶 = 0 olmasını gerekir. • O halde, ∅ 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑥 ∅ 𝑑 2 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑑 2 = 0 Bu ancak ya 𝐴 = 0 veya 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑑 2 = 0 koşullarında geçerlidir.

• B’ nin herhangi bir değeri B_n; 𝐵_𝑛 = 𝜋𝑛 𝑑 olur. ∅ 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵₁𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑑 𝑥 𝐵₁2 = Buckling 𝑑2∅ 𝑑𝑥2 + 𝐵 2_{∅ = 0} 𝐵₁2 = − 1 ∅ 𝑑2∅ 𝑑𝑥2 𝐵₁2 = 𝜋 𝑑 2

(15)

𝑘_∞ = 𝜂𝑓𝜖𝑝

𝜂 = 𝜈𝜎𝑓

𝜎_𝑓 + 𝜎_𝛾 𝑝 =Rezonanstan kaçma olasılığı

𝜖 =Hızlı fisyon katsayısı

𝑓 =Termal yararlanma faktörü 𝑓 = 𝑁235𝜎𝐴235+𝑁238𝜎𝐴238

Σ𝑁_𝑖𝜎_𝐴𝑖 𝝈_𝒇(𝒃) 𝝈_𝜸(𝒃) 𝝂 𝜼 233_U ₅₂₇ ₆₉ _2.51 _2.29 235_U ₅₉₀ ₁₀₈ _2.47 _2.08 Nat. _U _- _- _2.47 _1.33 239_Pu ₇₂₉ ₃₀₀ _2.91 _2.08 Çoğaltma Faktörü

(16)

𝑘 = 𝜂𝑓𝜖𝑝(1 − 𝑙_𝑓)(1 − 𝑙_𝑠) 𝑘 = 𝑘_∞(1 − 𝑙_𝑓)(1 − 𝑙_𝑠) 𝑙_𝑓 = Hızlı nötronların sızması

𝑙_𝑠 = Yavaş nötronların sızmasını gösteren katsayılar

• Yakıt içerisinde ikinci nesil nötronların sayısı; 𝑘. 𝑁 = 𝑘_∞ 1 − 𝑙_𝑓 1 − 𝑙_𝑠 . 𝑁

(17)

𝑡₀ (~1 − 2𝑚𝑠): Bir nötronun üremesi ile soğurulması arasında geçen zaman

Nötronların her silsilesi için yani reaktördeki nötron yoğunluğu 𝜌, her 𝑡₀ zaman aralığında (𝑘 − 1)𝜌 kadar artırılır. Bu nedenle nötron yoğunluğunun zamanla değişim hızı;

𝑑𝜌

𝑑𝑡 =

(𝑘 − 1)𝜌 𝑡₀

(18)

𝑑𝜌 𝑑𝑡 = (𝑘 − 1)𝜌 𝑡₀ Çözümü; 𝑑𝜌 𝜌 = න₀ 𝑡 _{(𝑘 − 1)𝜌} 𝑡₀ 𝑑𝑡 𝜌 𝑡 = 𝑒 (𝑘−1) 𝑡₀ 𝑡 _{= 𝑒}_𝜏𝑡 𝜏 = 𝑡0 𝑘 − 1 𝜌(𝑡)~∅(𝑡)~𝑃(𝑡) Misal, 𝑘 = 1.01 için 𝜏(𝑍𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑡𝑖) = 𝑡0 𝑘 − 1 = 1𝑚𝑠 1.01 − 1 = 0.1𝑠 Nötron yoğunluğu Akı Güç yoğunluğu

(19)

REFERANSLAR

[1] https://s4sscienceforstudents.files.wordpress.com/2014/07/beta-expr-rutherford.png

[2] M. Prelas, M.L. Watermann et al., (2014). A review of nuclear batteries [3] https://www.britannica.com/science/nuclear-fission

[4] https://www.nuclear-power.net/nuclear-power/fission/critical-energy-threshold-energy-for-fission/

[5] J. K. Dickens (13 May 2017). Fission Product Yields for Fast-Neutron Fission of 243,244,246,248_Cm

[6] http://www.plux.co.uk/very-heavy-atoms-fission/

[7] Urszula Woźnicka (14 August 2018). Review of Neutron Diagnostics Based on Fission Reactions Induced by Fusion Neutrons

[8] Fission process lecture notes. Michigan State University [9] J. O. Denschlag. Handbook of Nuclear Chemistry

[10] N.Nahavandi, A.Minuchehr, A.Zolfaghari, M.Abbasi (2015). Spatially adaptive hp refinement approach for PN neutron transport equation using spectral element method. Faculty of Engineering,

Shahid Beheshti University, Tehran, Iran