Bessel Diferensiyel Denklemi

Bessel Diferensiyel Denklemi

x ² y ⁰⁰ + xy ⁰ + x ² k ² y = 0

denklemine k-y¬nc¬basamaktan Bessel diferensiyel denklemi denir.

A ve B key… sabitler olmak üzere, k = 2 Z için Bessel diferensiyel denkleminin genel çözümü

y = AJ _k (x) + BJ _k (x)

olacakt¬r.

J _k (x) = X 1 p=k

( 1) ^p p!(p k)!

x 2

2p k

= X 1 p=0

( 1) ^p+k (p + k)!p!

x 2

2p+k

= ( 1) ^k J _k (x)

dir. k n¬n bir tamsay¬olmas¬halinde J k (x) ve J k (x) fonksiyonlar¬e¸ sitlikten de görüldü¼ gü gibi lineer ba¼ g¬ms¬z olmay¬p aralar¬nda

J _k (x) = ( 1) ^k J _k (x) ; k 2 Z

ba¼ g¬nt¬s¬ vard¬r. O halde k 2 Z için ikinci bir lçözüm tan¬mlanmal¬d¬r. k 2 Z için Bessel diferensiyel denkleminin genel çözümü

y = AJ _k (x) + BY _k (x)

dir.

1

Örnek 1. x ² y ⁰⁰ + xy ⁰ + ² x ² n ² y = 0 denkleminin genel çözümünün y(x) = AJ n ( x) + BJ _n ( x) oldu¼ gunu gösteriniz.

Çözüm: Verilen diferensiyel denklemde t = x ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸ sken dönü¸ sümünü uygulayal¬m.

dy

dx = dy dt

dt

dx = dy dt d ² y

dx ² = d dx

dy

dt = ² d ² y dt ²

olup, diferensiyel denklemde yerine yaz¬l¬rsa,

t ² d ² y dt ² + t dy

dt + t ² n ² y = 0 (1)

diferensiyel denklemi elde edilir. (1) denklemi n inci basamaktan Bessel diferensiyel denklemi olup n = 2 Z için (2) nin genel çözümü,

y(t) = AJ _n (t) + BJ _n (t)

bulunur. t = x oldu¼ gundan, verilen diferensiyel denklemin genel çözümü,

y(x) = AJ _n ( x) + BJ _n ( x)

olarak elde edilir.

Örnek 2. y ⁰⁰ + _x ¹ y ⁰ + ² _(x ^k

₎

y = 0 denkleminin genel çözümünü Bessel fonksiyonlar¬

cinsinden yaz¬n¬z.

Çözüm: Soruda verilen denklemin her iki taraf¬n¬(x ) ² ile çarpal¬m.

(x ) ² y ⁰⁰ + (x )y ⁰ + ² (x ) ² k ² y = 0 (*)

denkleminde (x ) = t dönü¸ sümü yap¬l¬rsa

dy

dx = dy dt

dt

dx = dy dt d ² y

dx ² = d dx

dy

dt = ² d ² y dt ²

2

olup (*) da yerine yaz¬l¬rsa

t ² d ² y dt ² + t dy

dt + t ² k ² y = 0 (1)

k y¬nc¬basamaktan Bessel diferensiyel denklemi elde edilir. k = 2 Z olmak üzere (1) in genel çözümü

y(t) = AJ _k (t) + BJ _k (t)

d¬r. (x ) = t olmak üzere soruda verilen denklemin genel çözümü

y(x) = AJ _k ( (x )) + BJ _k ( (x )); k = 2 Z

olarak bulunur.

3