2.5. Ortogonal Polinomlar · Için Rodrigues Formülü

2.5. Ortogonal Polinomlar · Için Rodrigues Formülü

Ortogonal polinom aileleri

n (x) = A _n 1 w(x)

d ⁿ

dx ⁿ [w(x) u ⁿ (x)] (2.9)

formunda Rodrigues formülü ile ifade edilebilmektedirler. Burada A n sabit bir çarpan ve w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonudur. u(x) ise [a; b] aral¬¼ g¬n¬n uç noktalar¬nda s¬f¬r de¼ gerini alan ve bu polinomlar¬n sa¼ glad¬¼ g¬ikinci mertebeden lineer diferensiyel denklemlerdeki y ⁰⁰ nün katsay¬s¬na kar¸ s¬l¬k gelen fonksiyondur.

Klasik ortogonal polinomlardan Jacobi polinomlar¬, Tchebychef polinomlar¬, Laguerre poli- nomlar¬ve Hermite polinomlar¬için Rodrigues formülleri s¬ras¬yla a¸ sa¼ g¬daki gibidir.

P _n ^{( ; )} (x) = ( 1) ⁿ 2 ⁿ n!(1 x) (1 + x)

d ⁿ

dx ⁿ (1 x) (1 + x) 1 x ^{2 n}

T n (x) = ( 1) ⁿ 2 ⁿ n!

p 1 x ² d ⁿ dx ⁿ

h

1 x ^{2 n}

1 2

i

L ^{( )} _n (x) = e ^x x n!

d ⁿ

dx ⁿ e ^x x ⁿ⁺

H _n (x) = ( 1) ⁿ e ^x

d ⁿ

dx ⁿ e ^x

He _n (x) = ( 1) ⁿ e ^x

2

2 d ⁿ dx ⁿ e ^x

2

2

Teorem 2.6. _n (x) = A _n 1 w(x)

d ⁿ

dx ⁿ [w(x) u ⁿ (x)] ; n = 0; 1; 2; ::: polinom ailesi [a; b] ara- l¬¼ g¬nda w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonaldir.

Ispat. · Teorem 1.1 gere¼ gince _n (x) lerin [a; b] aral¬¼ g¬nda w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortog- onal olmas¬için i = 0; 1; 2; :::; n 1 için

Z b a

w(x) _n (x) x ⁱ dx = 0 (2.10)

1

sa¼ glanmal¬d¬r. _n (x) in aç¬l¬m¬(2:10) da yerine yaz¬l¬rsa

Z b a

w(x) _n (x) x ⁱ dx = A _n Z b

a

x ⁱ d ⁿ

dx ⁿ [w(x) u ⁿ (x)] dx

elde edilir. Bu integralde

x ⁱ = u ; d ⁿ

dx ⁿ [w(x) u ⁿ (x)] dx = dv

denilip n kez k¬smi integrasyon uygulan¬rsa ve u(a) = 0 ; u(b) = 0 olduklar¬gözönünde tutu- lursa

Z b a

w(x) _n (x) x ⁱ dx = A _n ( 1) ⁿ Z b

a

w(x) u ⁿ (x) d ⁿ

dx ⁿ x ⁱ dx (2.11)

bulunur. i = 1; 2; :::; n 1 için d ⁿ

dx ⁿ (x ⁱ ) = 0 oldu¼ gundan (2:11) in sa¼ g yan¬ndaki integral i = 1; 2; :::; n 1 için s¬f¬r olur. Bu da teoremi ispatlar.

Örnek 1. L _n (x) Laguerre polinomlar¬için Rodrigues formülünden yararlanarak L 0 (x); L ₁ (x) ve L 2 (x) polinomlar¬n¬n aç¬k ifadelerini yaz¬n¬z ve bu polinomlar¬n

(n + 1)L _n+1 (x) + (x 2n 1)L _n (x) + nL _{n 1} (x) = 0

rekürans formülünü gerçekledi¼ gini gösteriniz.

Çözüm: L _n (x) = e ^x n!

d ⁿ

dx ⁿ (e ^x x ⁿ ) Rodrigues formülünde n = 0; 1; 2 alal¬m.

L ₀ (x) = e ^x 0!

d ⁰

dx ⁰ e ^x x ⁰ = e ^x e ^x = 1

L ₁ (x) = e ^x 1!

d ¹

dx ¹ e ^x x = e ^x e ^x xe ^x = 1 x

L ₂ (x) = e ^x 2!

d ²

dx ² e ^x x ² = e ^x 2

d

dx 2xe ^x x ² e ^x = e ^x

2 2e ^x 2xe ^x 2xe ^x + x ² e ^x

= x ²

2 2x + 1

2

elde edilirler. Bu polinomlar¬Laguerre polinomlar¬n¬n sa¼ glad¬¼ g¬üç-terimli rekürans formülünde yerine yazarsak

2L ₂ (x) + (x 3)L ₁ (x) + L ₀ (x) = x ² 4x + 2 + (x 3)(1 x) + 1 = 0

e¸ sitli¼ ginin sa¼ gland¬¼ g¬görülür.

3