ORTOGONAL POL· INOMLARIN ÖZELL· IKLER· I

BÖLÜM 2

ORTOGONAL POL· INOMLARIN ÖZELL· IKLER· I

2.1. Ortogonal Polinomlar · Için Rekürans Formülü

Teorem 2.1. (a; b) aral¬¼ g¬nda w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortonormal olan n: dereceden

n (x) polinom ailesi

n+1 (x) (xA _n + B _n ) _n (x) + C _{n n 1} (x) = 0 ; n = 0; 1; 2; ::: (2.1) üç terimli rekürans formülünü gerçekler. Burada

A n = k _n+1

k _n ; C n = A _n

A _{n 1} ; C 0 = 0 (2.2)

ile verilir ve _n (x) = k _n x ⁿ + ::: formundad¬r.

Ispat. · Uygun k ve _k lar için

n+1 (x) xA _{n n} (x) = X n k=0

k x ^k = X n k=0

k k (x)

e¸ sitli¼ gi sa¼ glan¬r. Ortonormallik özelli¼ gi kullan¬l¬rsa

A n x _n ; _j = _j ; j n (2.3)

elde edilir. (1.2) ortogonallik ba¼ g¬nt¬s¬ndan

x _n ; _j = Z b

a

w (x) x _n (x) _j (x) dx = _n ; x _j = 0 ; j n 2

gerçeklenir, çünkü x _j en fazla (n 1)-ci dereceden bir polinomdur. Bu da gösterir ki,

0 = ₁ = ::: = _{n 2} = 0

sa¼ glan¬r. _n = B n ve _{n 1} = C n olarak al¬n¬rsa (2:1) rekürans ba¼ g¬nt¬s¬n¬n gerçeklendi¼ gi

1

görülür. ¸ Simdi de C n nin de¼ gerini elde edelim. (2.3) den

C _n = A _n x _n ; _{n 1} = A _{n n} ; x _{n 1} (2.4)

sa¼ glan¬r.

x _{n 1} = k _{n 1} x ⁿ + ::: = k _{n 1}

k _n [k _n x ⁿ + :::]

olup kö¸ seli parantezin içindeki ifade

x _{n 1} = 1 A _{n 1}

"

n (x) + X n 1

j=0

j j (x)

#

formunda yaz¬labilir. Bu ifade (2.4) de dikkate al¬n¬rsa

C _n = A _n

A _{n 1} ⁿ ; _n + X n 1

j=0 j j

!

= A _n A _{n 1}

elde edilir.

Bilinen baz¬ortogonal polinom ailelerinin sa¼ glad¬¼ g¬üç terimli rekürans formülleri a¸ sa¼ g¬da veril- mektedir.

I) Jacobi Polinomlar¬: P n ^{( ; )} (x)

2(n + 1)(n + + + 1)(2n + + )P _n+1 ^{( ; )} (x) (2n + + + 1)( ^{2 2} )(2n + + )

x P n ^{( ; )} (x)

+2(n + )(n + )(2n + + + 2)P _{n 1} ^{( ; )} (x) = 0

Not: z 2 C olmak üzere (z) ⁰ = 1 ve (z) r = z(z + 1):::(z + r 1) ; r = 1; 2; ::: Pochhammer sembolünü gösterir.

II) I. Tür Tchebyche¤ Polinomlar¬: T _n (x)

T _n+1 (x) 2xT _n (x) + T _{n 1} (x) = 0

2

III) Legendre Polinomlar¬: P _n ^{(0 ;0)} (x) = P _n (x)

(n + 1)P _n+1 (x) (2n + 1)xP _n (x) + nP _{n 1} (x) = 0

IV) Genelle¸ stirilmi¸ s Laguerre Polinomlar¬: L ^{( )} n (x)

(n + 1)L ^{( )} _n+1 (x) + (x 2n 1 )L ^{( )} _n (x) + (n + )L ^{( )} _{n 1} (x) = 0

V) Hermite Polinomlar¬: H _n (x)

H n+1 (x) 2xH n (x) + 2nH n 1 (x) = 0

VI) Hermite Polinomlar¬: He _n (x)

He _n+1 (x) xHe _n (x) + nHe _{n 1} (x) = 0

3