1.1 Gamma Fonksiyonu

1 KES· IRL· I ANAL· IZDE BAZI ÖZEL FONKS· IYONLAR

Bu bölümde di¼ ger bölümlerde kullan¬lacak baz¬özel fonksiyonlar verile- cektir.

1.1 Gamma Fonksiyonu

Kesirli analizin temel fonksiyonlar¬ndan biridir.

Gamma fonksiyonu Re(z) > 0 olmak üzere

(z) = Z

0

e

t

dt; z 2 R

ile tan¬mlan¬r.

1.1.1 Gamma Fonksiyonunun Baz¬Özellikleri Gamma fonksiyonunun en temel özelliklerinden birisi

(z + 1) = z (z)

dir.8 z 6= 0; 1; 2; ::: kompleks say¬lar¬için tan¬ml¬d¬r. Bu ifade k¬smi integrasyon yöntemi ile kolayca ispatlanabilir:

(z + 1) = Z

0

e

t

dt = e

t

+ z Z

0

e

t

dt = z (z)

Buradan görülmektedir ki; (1) = 1 ve z = 1; 2; 3; ::: için (2) = 1: (1) = 1 = 1!

(3) = 2: (2) = 2:1! = 2!

(4) = 3: (3) = 3:2! = 3!

:::

(n + 1) = n (n) = n (n 1)! = n!

dir.

Gamma Fonksiyonunun bir di¼ ger özelli¼ gi de z = n (n = 0; 1; 2; :::) noktalar¬nda basit kutup noktalar¬na sahip olmas¬d¬r.

1.1.2 Gamma Fonksiyonunun Limit Gösterimi

Gamma fonksiyonu ayr¬ca limit ile de gösterilebilir. Re(z) > 0 olmak üzere

(z) = lim

n!1

n!:n

z (z + 1) ::: (z + n) dir.

2

1.2 Beta Fonksiyonu

Beta fonksiyonu

(z; w) = Z

0

z 1

(1 )

d ; Re (z) > 0; Re (w) > 0

¸ seklinde tan¬mlan¬r.

(z; w) = (z) (w) (z + w) (z; w) = (w; z) dir.

0 < Re(z) < 1; ve z 6= 0; 1; 2; :::olmak üzere (z) (1 z) =

sin z dir. Buradan

(z) (1 z) = (z; 1 z) = Z

0

t 1 t

z 1

dt 1 t elde edilir. Bu integral 0 < Re(z) < 1 de yak¬nsakt¬r.

Ödev

1) (z) (1 z) =

; 0 < Re(z) < 1 oldu¼ gunu gösteriniz.

2) (z) (z +

) = p

2

(2z); (2z 6= 0; 1; 2; :::) oldu¼ gunu gös- teriniz.

3