Bölüm 2: Boşlukta Elektromanyetik Dalga (Işık) Alıştırmalar
2.1 Herhangi bir f(x-vt) ve g(x+vt) gibi sürekli fonksiyonların dalga denklemini sağladığını gösteriniz.
Çözüm:
f f (x vt)
x (x vt). x
∂ ∂ ∂ −
∂ =∂ − ∂ => f '
x f .1
∂ =
∂ ==>
2 '' 2
f f .1 x
∂ =
∂
f f (x vt) f
. .( v)
t (x vt) t (x vt)
∂ ∂ ∂ − ∂
= = −
∂ ∂ − ∂ ∂ − ==> f '
( v).f t
∂ = −
∂ ==>
2
'' 2
2
f f .(v ) t
∂ =
∂
'' '' 2 '' ''
2
1 .
= ⇒ =
f f v f f
v
g g (x vt)
x (x vt). x
∂ ∂ ∂ +
∂ =∂ + ∂ => g '
x g .1
∂ =
∂ ==>
2 '' 2
g g .1 x
∂ =
∂
g g (x vt) g
. .(v)
t (x vt) t (xgvt)
∂ ∂ ∂ + ∂
= =
∂ ∂ + ∂ ∂ ==> g '
(v).g t
∂ =
∂ ==>
2
2 '' 2
g v .g t
∂ =
∂
'' '' 2 '' ''
2
1 .
= ⇒ =
g g v g g
v
2.2 Maxwell denklemlerini sağlayan manyetik alanın da dalga denklemini sağladığını ve dalganın ilerleme hızının ışık hızında olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
4. Maxwell denkleminin o
ε
∂t∇ × =
∂
r r Er
H dönüsü alınırsa
( ε ∂ (
∇ × ∇ × = ∇ ×
∂
r r r r r
) o )
H t E
elde edilir. Bu ifadedeki elektrik alanın dönüsü yerine 3. Maxwell denklemi
o t
µ ∂
∇ × = −
∂
r r Hr
E kullanılırsa
2
( ε µ ∂ 2
∇ × ∇ × = −
∂ r r r r
o o
) t
H H
sadece manyetik alanı içeren ifade elde edilir. Yukarıdaki ifadenin sol tarafı vektörel eşitlik ∇ × ∇ ×( )= −∇2 + ∇ ∇.( . )
r r r r r r r
H H H kullanılarak yeniden yazılırsa
2 2
.( . ) ε µ ∂ 2
−∇ + ∇ ∇ = −
∂ r r r r r
o o
t
H H H
Maxwell’in 2. eşitliğinden ∇r r. =0
H olduğundan
Dalga denklemini sağlayan manyetik alan
2 2
ε µ ∂ 2
∇ =
∂ r r
o o
t H H
elde edilir. Dalganın hızı c2 =1ε µo o dir.
2.3 MKS birim sisteminde verilen
( , ) 0, ( , ) 2cos 2 10 (
14/ ) , ( , ) 0
x y z
E x t = E x t = π × t − x c E x t =
ışık dalgasını düşünelim.a) Bu dalganın, frekansı, dalgaboyu, yayılma doğrultusu, genliği ve elektrik alanın uzaysal yönelimi (kutupluluğu) nedir?
b) Bu dalganın manyetik alan bileşeni için bir ifade türetin.
Çözüm:
a) Bu dalganın, frekansı, dalgaboyu, yayılma doğrultusu, genliği ve elektrik alanın uzaysal yönelimi (kutupluluğu) nedir?
14
ˆ
2 cos 2 π 10 ( / )
= × −
r
E t x c j
Alanın en genell ifadesi
cos( ω φ ) ˆ
= − +
r
E E
okx t j
Soruda verilen ifade genel dalga formatında yeniden yazılırsa
[ ]
14
2 10 14 ˆ ˆ
2cos (
π
) (2 10 ) cosπ φ ω φ
×
= − × + = − +
r
E x t j Eo kx t j
c Yayılma doğrultusu (+x) Frekans:
2 10
14/ ω = π × rad s
Dalga vektörü14 14
6 8
2 10 ( / ) 2 10 ( / )
2 10 / ( / ) 3 10 ( / )
π × π ×
= = ≅ ×
×
rad s rad s
k rad m
c m s m s
Dalgaboyu
8
6
14 14
2 ( / ) 3 10 ( / )
3, 0 10 3, 0 10 (1/ ) 10 (1/ )
π λ µ
λ
×
−= ⇒ = c m s = m s = × =
k m m
s s
Hız
14
8 14
2 10 /
3, 0 10 / 2 10
/
ω π
π
= = × = ×
×
rad s
c m s
k rad m
c
Genlik2 /
o
=
E V m
Kutuplanma doğrultusu
= ˆ r
E E j
o y-doğrultusunda b)( )
ˆ ˆ ˆ
( ) ˆ ( )
ˆ 0 ˆ 0 0 0
0 0
ω ω
µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ −
− = ∇ × = = − − − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r r r
y y
o
y
i j k
E x t E x t
H E i j k
t x y z z x
E
14
2
π
10 2 sin 2 10 (14 / ) ˆµ
∂ × π
− = × −
∂
r
o
H t x c k
t c
( )
14
1 2
π
10 2 sin 2 10 (14 / ) ˆµ π
×
= − × −
∫
r
o
H t x c k dt
c
2 cos 2π 10 (14 / ) ˆ
µ
= − × −
r
o
H t x c k
c
Manyetik alan -z doğrultusunda, yayılma doğrultusu +x
2.4 (a) Şekilde gösterilen elektromanyetik dalganın yayılma doğrultusunu ve yönünü bulunuz.
(b) Elektrik alanı genliği r = ˆ
o ox
E E i manyetik alan genliği (ˆ ˆ)
= 2 +
r ox
o
H H j k olarak verilen elektromanyetik alanın yayılma doğrultusunu ve yönünü (dalga vektörünü) bulunuz.
Çözüm:
(a)Yayılma doğrultusu k, Poynting vektöre paraleldir.
= ×
r r r
S E H
Poynting vektörün yönü bulunursa dalganın yayılma doğrultusu da bulunmuş olur.
ˆ ( ˆ ) . (ˆ ˆ) ( . )( ˆ)
= × − = − × = −
r
S iE jH E H i j E H k
Görüldüğü gibi dalga -z yönünde ilerlemektedir.
(b) Benzer şekilde Poynting vektör
z x
y E
B
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
0 0 0. ( 0) ( 0)
2 2
0
2 2
∝ = × = = − − + −
r r r r
ox ox
o o o ox ox ox
ox ox
i j k
H H
k S E H E i j E E k
H H
ˆ ˆ
( )( )
∝ = × = 2 − +
r r r r
ox ox
o o o
k S E H E H j k
2.5 Genlikleri, frekans ve dalga vektörleri aynı, x doğrultusunda kutuplanmış, +z ve –z doğrultusunda ilerleyen ve aralarında 180o faz farkı olan iki elektromanyetik dalganın duran dalga oluşturduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(a)
[ ]
1x o
E (z,t)=E sin kz−
ω
t E (z,t)2x =E sin kzo +ωt +180o[ ] [ ]
1
x x 2x o o
E (z,t)=E + E = E sin kz−
ω
t + E sin kz+ω
t1 1
sin 2 sin ( ) cos ( )
2 2
sinα± β = α +β α β− olduğu hatırlanırsa
Bu dalga ilerleyen dalga (x-vt) formunda değildir, duran dalga formundadır.
2.6 Duran dalgaların enerji iletiminin sıfır olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Duran dalgaları E(z,t)= E (z,t)i = 2Er x ˆ
[
osin( )kz cos( t) iω]
ˆ şeklinde ifade edebiliriz.Enerji akısı
( o) Sr=Er× Br
µ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ( , ) ˆ
0 0
∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ × = ∂ ∂ ∂ = − −∂ = ∂ = − ∂ r r r
x x
x
i j k
E B
j E z t j
x y z z z t
E E
ˆ (2 cos cos )ˆ
∂
−∂ = = ω
∂ ∂
r
x
o
B E
j k E kz t j
t z
(2 ocos sin )ˆ B= −k E kz ωt j
ω r
sin( ) cos
x o
E (z,t)= 2E kz ( t)ω
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0 ( ) (2 sin cos )(2 cos sin )
0 0
o
x x y o
y
i j k
S E E B k E kz t E kz t k
B c
= = =
r
ω ω
4 2 ˆ
( Eo )(sin cos )(sin cos )
S kz kz t t k
= c
r ω ω
sinαcosα =0 olduğundan
4 2 ˆ
( Eo )(sin cos )(sin cos ) 0
S kz kz t t k
= c =
r
ω ω
2.7 Enerji, elektron volt (eV) olarak ifade edilirse, dalgaboyu ve enerji arasındaki ilişkiyi veren ifadenin
1, 245
( )
( )
=λ µ
E eV m
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
ν
λ λ
= = ⇒ =
o o
hc h
E h E
c
ν λ
= =hc E h
(
6.64 1034)(
3 108 /)
( ) λ( )
× − − ×
= J s m s
E J m
( )( ) ( )
( )
34 8 19
6
6.64 10 3 10 / 1/1.6 10 ( /( ) 1, 245
( )
( ) 1 10 ( / ( )
λ µ λ µ
− −
−
× − × × −
= =
×
o
J s m s eV J s
E eV m m m m
2.8 Kırmızı ışığın (λ=7000 A) sahip fotonun enerji ve momentumunu hesaplayınız.
Cevap:
34
28 10
6, 626 10 2
( )( ) 9, 5 10 ( / )
2 7000 10
p k Js kg m s
m π π
−
−
−
= = × = ×
h ×
8
34 19
10
3 10 /
(6, 626 10 )( ) 2,84 10 1, 77
7000 10
o
c m s
E h h Js J eV
ν m λ
− −
−
= = = × × = × =
×
