SÜREKLİLİK 02

 _{BİR NOKTADA SÜREKLİLİK}

 _{SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK}

 _{KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİLİK}

 _{TANIM KÜMESİNDEKİ SÜREKLİLİK}

 _{TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ}

 _{SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ}

 _{KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ BİR FONKSİYONUN}

BİR NOKTADA SÜREKLİLİK

Tanım:AR,aA olmak üzere f:AR ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a

noktasında süreklidir,denir.

Bu tanıma göre,f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:

1.f fonksiyonu,x=a da tanımlı olmalıdır.

2.f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır. 3.f fonksiyonunun a noktasındaki limiti,fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.

Bu üç koşuldan biri gerçeklenmezse,f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir,denir.

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK

Tanım:AR,aA olmak üzere f:AR fonksiyonunda: 1.lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a noktasında soldan süreklidir,denir.

2.lim f(x)=f(a) ise,f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir,fenir.

ÖRNEK:f:RR,f(x)= x2+1,x<1 ise

2x-1,x1 ise

fonksiyonun x=1 de soldan sağdan sürekliliğini inceleyelim. ÇÖZÜM: lim f(x)=lim (x 2+1)=2 x1- x1 -lim f(x)=-lim(2x-1)=1 x1 x 1 f(1)=2.1-1=1 + +

KAPALI BİR ARALIKTA

SÜREKLİLİK

Tanım: f:[a,b]  R fonksiyonu sürekli ise ;

f: fonksiyonunun bu aralıkta minimum ve maximum değeri vardır.

Örnek: f:R R , f(x) = 2 cosx +3 fonksiyonu sınırlımıdır?

Çözüm: f: R R f(x) = 2 cos x +3

fonksiyonu sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur.

Diziler Yardımı ile Limit

Tanım: f:A R fonksiyonu verilmiş olsun terimleri A kümesinin elemanı olan bir X_n dizisi için X_n

dizisinin f fonksiyonuna görüntü dizisi denir. (X_n) = (X₁ , X₂...) dizisi için f(X_n) görüntü dizisidir.

BİR FONKSİYONUN LİMİTİ

Tanım:f:A R ya da f: A-{a} R fonksiyonu verilmiş olsun.Terimleri A-{a} kümesinde

bulunan ve a ya yakınsayan her (X_n) dizisi için (f(X_n))dizileri bir L sayısına yakınsıyorsa ;x,a ya giderken f(x) in limiti L dir,denir ve aşağıdaki biçimde gösterilir.

LİMİTİN OLMAMASI

Terimleri A-{a} kümesine ait ve a ya

yakınsayan en az 2 (x_n) ve (x_n1) dizileri

için ,

Lim f(x_n)=lim f (x_n1) ise,x a için,f

SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT

TANIM 1:x değerleri a dan küçük değerlerle artarak a ya yaklaşırken

,f(x) ler de bir L₁ reel sayısına

yaklaşıyorsa L₁ reel sayısına f

fonksiyonunun a noktasındaki

TANIM 2: x değerleri a dan büyük değerlerle azalarak a ya yaklaşırken

f(x) ler de L₂ reel sayısına

yaklaşıyorsa ; L₂ reel sayısına ,f

fonksiyonunun a noktasındaki sağdan

limiti denir ve limf(x)=L₂ biçiminde

ARALIĞIN UÇ NOKTALARINDAKİ LİMİTİ

A.f:[a,b] R , y=f(x) fonksiyonunun tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken

i. a noktasındaki limit ,sadece sağdan limitle belirlenir.

ii. b noktasındaki limit ,sadece soldan limitle belirlenir .

B.F:(a,b) R, y=f(x) fonksiyonun

tanım aralığının uç noktalarındaki limiti araştırılırken :

i.a noktasındaki limit sadece sağdan limitle belirlenir.