Toplam sürecinin korovkin teorisi üzerindeki etkileri

TOPLAM SÜRECNN KOROVKN TEORS ÜZERNDEK ETKLER

NSA KÜÇÜK

YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2014 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Osman ERO‡UL Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR Anabilim Dal Ba³kan

NSA KÜÇÜK tarafndan hazrlanan TOPLAM SÜRECNN KOROVKN TEORS ÜZERNDEK ETKLER adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Prof. Dr. Oktay DUMAN Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR

Üye : Prof. Dr. Oktay DUMAN

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Matematik

Tez Dan³man : Prof. Dr. Oktay DUMAN

Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A§ustos 2014

Nisa KÜÇÜK

TOPLAM SÜRECNN KOROVKN TEORS ÜZERNDEK ETKLER

ÖZET

Bu tezde, belirli bir snfa ait lineer operatörler yardmyla toplanabilme metodu kullanlarak a§rlkl uzaylar üzerinde tanml bir fonksiyona ve onun türevlerine yakla³mlar elde edilmi³tir. Buldu§umuz sonuçlar, ayn zamanda Efendiev [9] tarafndan elde edilen yakla³m teoremlerini de genelle³tirmektedir. Kullanm³ oldu§umuz toplanabilme metodu, klasik yaknsakl§n yeterli olmad§ durum-larda da yakla³m yapabilmemize imkan sa§lamaktadr. Tezin son ksmnda, bu durumu bir örnekle açklayp verilen bir pozitif lineer operatörler dizisinin fonksiyon ve türevlerine aritmetik ortalama yaknsad§, ancak klasik anlamda yaknsamad§ grakler üzerinde gösterilecektir.

Bu tez be³ bölümden olu³maktadr. lk bölüm giri³ ksmna ayrlm³tr. kinci bölümde, istatistiksel yaknsaklk, A-istatistiksel yaknsaklk, toplana-bilme metodu gibi baz temel tanm ve teoremlere yer verilmi³tir. Üçüncü bölümde a§rlkl uzaylar üzerinde fonksiyon ve türevlerine lineer operatörler dizisi yardmyla yaplan A-istatistiksel yakla³m teoremlerinden bahsedilmi³tir. Oriji-nal sonuçlarmzn yer ald§ dördüncü bölümde toplanabilme metodu kullanlarak fonksiyon ve türevlerine ait a§rlkl yakla³m sonuçlar elde edilmi³tir. Son olarak be³inci bölümde elde etti§imiz sonuçlarn baz özel hallerine yer verilmi³ ve özel bir lineer operatörler dizisi tanmlanarak onun yakla³m özellikleri graksel gösterimlerle irdelenmi³tir.

Anahtar Kelimeler: A§rlkl Yakla³m, A§rlkl Uzaylar, Toplam Süreci, Hemen Hemen Yaknsaklk, Aritmetik Ortalama Yaknsaklk.

University : TOBB University of Economics and Technology

Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Mathematics

Supervisor : Prof. Oktay DUMAN

Degree Awarded and Date : M.Sc.  August 2014

Nisa KÜÇÜK

EFFECTS OF SUMMABILITY PROCESS ON KOROVKIN THEORY

ABSTRACT

In this thesis, our aim is to get an approximation to derivatives of functions by class of linear operators on the weighted spaces in the sense of summability process. We also show that these results generalize approximation theorems introduced by Efendiev [9]. At the end of our study we give a sequence of positive linear operators which is arithmetic mean convergent but not ordinary convergent to functions and its derivatives by using graphical illustrations.

This thesis consists of ve chapter. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter we give some basic theorems and denitions such as statistically convergence, A-statistically convergence and summability theory. In the third chapter we mention about A-statistical approximation to functions and its derivatives by linear operators on the weighted spaces. In chapter four where our original results are given, we get a weighted approximation to function and its derivatives by using summability method. Finally, in the last chapter we give some special cases of the results obtained in the previous section, and we display a specic sequence of linear operators and investigate their approximation properties via graphical illustrations.

Keywords: Weighted Approximation, Weighted Spaces, Summability Process, Almost Convergence, Arithmetic Mean Convergence.

TE“EKKÜR

Bu tezin ortaya çkmasnda benden hiçbir deste§ini esirgemeyen ve çal³malarm boyunca her zaman yol gösterip yardmc olan çok de§erli dan³man hocam Prof. Dr. Oktay DUMAN'a göstermi³ oldu§u özveri ve fedakarlklarndan dolay en içten sayg ve minnetlerimi sunar sonsuz te³ekkür ederim.

Tez çal³malarm boyunca kar³la³m³ oldu§um her türlü zorlukta yardmc olan ve desteklerini esirgemeyen TOBB ETÜ Matematik Bölümü asistan arkada³larma ve yüksek lisans e§itimim boyunca engin tecrübelerinden faydaland§m TOBB ETÜ Matematik Bölümü ö§retim üyelerine sonsuz te³ekkür ederim.

Hayatm boyunca yanmda olup her türlü fedakarlkta bulunan ve beni bugünlere getiren ba³ta annem ve babam olmak üzere bütün aileme ve destekleriyle her daim yanmda olan smail ASLAN'a en içten te³ekkürlerimi sunarm.

Yüksek lisans a³amasnda vermi³ oldu§u maddi destekten dolay TÜBTAK'a te³ekkürlerimi sunarm.

ÇNDEKLER

ÖZET iv ABSTRACT v TE“EKKÜR vi ÇNDEKLER vii SMGE LSTES ix 1 GR“ 1 2 TEMEL KAVRAMLAR 2 2.1 statistiksel Yaknsaklk . . . 2 2.2 A-statistiksel Yaknsaklk . . . 4 2.3 A-Toplanabilme Metodu . . . 5

3 LNEER OPERATÖRLER YARDIMIYLA FONKSYON VE

TÜREVLERNE STATSTKSEL A‡IRLIKLI YAKLA“IM 10

3.2 statistiksel Yakla³m Teoremleri . . . 11

4 TOPLAM SÜRECNN KOROVKN TEORS ÜZERNDEK

ETKLER 14

4.1 A§rlkl Uzaylarda Foksiyonlara Toplanabilme Metoduyla Yakla³m 14 4.2 A§rlkl Uzaylarda Foksiyonlarn Türevlerine Toplanabilme

Meto-duyla Yakla³m . . . 21

5 SONUÇLAR VE UYGULAMALAR 26

5.1 Fonksiyon ve Türevlerine A§rlkl Yakla³m Sonuçlar . . . 26 5.2 Uygulamalar . . . 28

KAYNAKLAR 33

SMGE LSTES

Bu çal³mada kullanlm³ olan simgeler açklamalar ile birlikte a³a§da verilmek-tedir.

Simgeler Açklama

|A| A kümesinin eleman says δ (K) K kümesinin yo§unlu§u δA(K) K kümesinin A−yo§unlu§u st − lim

n→∞xn (xn) dizisinin istatistiksel limiti stA− lim

n→∞xn (xn) dizisinin A−istatistiksel limiti

C[a, b] [a,b] kapal aral§ndaki sürekli fonksiyonlar uzay C(r)_{[a, b] [a,b] kapal aral§ndaki r. mertebeden türevi var ve}

sürekli olan fonksiyonlar uzay

kgk_ρ g fonksiyonunun ρ(x) a§rlk fonksiyonuna göre a§rlk normu

C(r)_{(R) r.} mertebeden türevleri var ve sürekli olan R üzerinde tanml fonksiyonlarn uzay

Cρ(r)(R) mf > 0 olmak üzere f(r)(x) 

≤ m_fρ(x)ko³ulunu sa§layan C(r)_{(R) uzayna ait fonksiyonlarn uzay}

˜ Cρ(r)(R) lim x→±∞ f(r)_(x) ρ(x) = kf ko³ulunu sa§layan C (r) ρ (R) uzayna ait fonksiyonlarn uzay ˆ Cρ(r)(R) lim x→±∞ f(r)_(x) ρ(x) = 0 ko³ulunu sa§layan ˜C (r) ρ (R) uzayna ait fonksiyonlarn uzay

Bρ(R) mg > 0 olmak üzere |g(x)| ≤ mgρ(x)ko³ulunu sa§layan fonksiyonlarn uzay

1. GR“

A-istatistiksel yaknsaklk kavram ilk olarak 1981 ylnda Freedman ve Sember [11] tarafndan tanmlanm³ ve birçok matematikçi tarafndan farkl çal³malarda kullanlm³tr. 1984 ylnda Efendiev [9] a§rlkl uzaylarda lineer operatörler snf yardmyla fonksiyon ve türevlerine yakla³m³tr. Bu yakla³m reel eksenin kompakt alt kümelerinde sürekli ve reel de§erli fonksiyonlar uzay üzerinde pozitif lineer operatörler kullanlarak yaplan klasik Korovkin teorisini geli³tirmi³tir. 2009 ylnda Anastassiou ve Duman [3] Efendiev'in yapm³ oldu§u bu çal³may geni³leterek klasik yaknsaklk için verilen durumu A-istatistiksel yaknsaklk için ispatlam³tr. Biz ise tezimizde Efendiev'in elde etmi³ oldu§u sonuçlar, 1973 ylnda Bell [7] tarafndan verilen toplanabilme metodu yardmyla inceleyece§iz. Bu çal³mann daha önceden klasik yaknsaklk ile elde edilen sonuçlar içerdi§i ancak A-istatistiksel yaknsaklk kullanlarak elde edilen sonuçlardan tamamen farkl oldu§u görülecektir. Toplanabilme metodu, klasik yaknsaklk ile elde edemedi§imiz yakla³mlar yapabilmemize yardmc olmaktadr. Örne§in, verilen bir fonksiyon ve türevlerine aritmetik ortalama yaknsayan (Cesáro anlamnda) fakat klasik anlamda yaknsamayan lineer operatörler in³a etmek mümkündür. Tezin son ksmnda böyle bir örnek üzerinde durulacaktr.

2. TEMEL KAVRAMLAR

2.1 statistiksel Yaknsaklk

Bu bölümde bilinen klasik yaknsaklk tanmdan daha genel olan baz yaknsaklk tanmlarna yer verilecektir.

Tanm 2.1.1. N do§al saylar kümesi olmak üzere K ⊆ N verilsin ve

Kn = {k ≤ n : k ∈ K} ³eklinde bir küme tanmlansn. Ayrca Kn kümesinin eleman says da |Kn| ile gösterilsin. Verilen bir K ⊆ N için

lim n→∞ 1 n|{k ≤ n : k ∈ K}| = limn→∞ 1 n|Kn|

limiti mevcut ise, bu limit de§erine "K kümesinin yo§unlu§u" denir ve δ(K) ile gösterilir [20].

Örnek 2.1.1. Yukardaki tanma göre

• δ ({2k − 1 : k ∈ N}) = 1

2; yani tek saylar kümesi 1

2 yo§unlukludur. Benzer olarak çift saylar kümesinin de 1

2 yo§unlu§a sahip oldu§u görülür. • δ (N) = 1; yani N do§al saylar kümesi 1 yo§unlukludur.

• Asal saylar kümesi 0 yo§unlu§a sahiptir.

• Do§al saylarn tüm sonlu elemanl alt kümeleri 0 yo§unlukludur. • Tam kareler, tam küpler, vb. kümeler 0 yo§unlu§a sahiptir.

• Bir küme 1 yo§unluklu ise onu kapsayan her küme de 1 yo§unlukludur. Tanm 2.1.2. (xk) reel yada kompleks terimli bir dizi olmak üzere, verilen her ε > 0 için

δ {k : |xk− L| ≥ ε} = 0

sa§lanyorsa, bu (xk) dizisi L saysna "istatistiksel yaknsaktr" denir ve st − lim

k→∞xk = L ³eklinde gösterilir [10].

Bir (xk) dizisi L saysna yaknsak ise herhangi bir ε > 0 kom³ulu§unda dizinin sonsuz sayda eleman bulunurken kom³ulu§un d³nda yalnz sonlu sayda eleman bulunmaldr. Ancak istatistiksel yaknsak olan bir dizide kom³ulu§un d³nda da indis kümesinin yo§unlu§u sfr olmak ³artyla sonsuz sayda eleman bulunabilir. O halde tanmdan da anla³laca§ üzere istatistiksel yaknsak olan bir dizi klasik anlamda yaknsak olmak zorunda de§ildir. Ancak bir dizi klasik anlamda yaknsyorsa istatistiksel yaknsaktr. A³a§da istatistiksel yaknsak olan bir dizinin klasik anlamda yaknsak olmad§ durumun bir örne§i verilecektir. Örnek 2.1.2. xk = ( _k k+1 ; k = m 2 0 ; k 6= m2 , m ∈ N dizisi yaknsak de§ildir; ancak 0 a istatistiksel yaknsaktr.

statistiksel yaknsak diziler için bir di§er önemli özellik ise a³a§daki örnekten de anla³laca§ üzere yaknsak olan bir dizi snrl olmak zorundayken istatisiksel yaknsak bir dizi snrl olmak zorunda de§ildir.

Örnek 2.1.3.

xk = (

ek _{; k = m}2

0 ; k 6= m2 , m ∈ N

dizisi 0 a istatistiksel yaknsaktr; fakat yaknsak de§ildir, çünkü dizi üstten snrszdr.

2.2 A-statistiksel Yaknsaklk

A-istatistiksel yaknsaklk tanm verilmeden önce ihtiyaç duyulan baz tanmlara de§inilecektir.

Tanm 2.2.1. k, n = 1, 2, 3, ... için A = (ank) sonsuz matrisi verilsin. lim

n→∞xn = L iken limn→∞(Ax)n = L sa§lanyorsa, A matrisine "regüler matris" denir; burada (Ax)n= ∞ P k=1 ankxk dizisine "A−dönü³üm dizisi" ad verilir [11].

Bir A = (ank) matrisinin regüler olmas, Silverman-Toeplitz ko³ullar olarak bilinen a³a§daki teorem ile karakterize edilmektedir.

Teorem 2.2.1. Bir A = (ank)matrisinin regüler olmas için gerek ve yeter ko³ul

1. sup n ∞ P k=1 |ank| < ∞, 2. ∀k ∈ N için ak := lim n→∞ank = 0, 3. lim n→∞ ∞ P k=1 ank = 1 ko³ullarnn sa§lanmasdr [13, 18].

Buradan anla³laca§ üzere C1 = (cnk) = ( ₁ n ; 1 ≤ k ≤ n 0 ; d.d , Cesàro matrisi C1 = (cnk) =          1 0 0 0 0 · · · 1 2 1 2 0 0 0 1 3 1 3 1 3 0 0 1 4 1 4 1 4 1 4 0 ... ...          regüler matrise bir örnektir.

Tanm 2.2.2. A = (ank)negatif olmayan regüler bir matris olsun. K ⊆ N kümesi için lim n→∞ P kK ank

limiti mevcut ise, bu limit de§erine K kümesinin "A-yo§unlu§u" denir ve δA(K) ile gösterilir [11].

A-yo§unluk tanmndan faydalanarak A-istatistiksel yaknsaklk tanm ³u ³ekilde verilebilir.

Tanm 2.2.3. A = (ank) negatif olmayan regüler bir matris olmak üzere, her ε > 0 için lim n→∞ X k:|xk−L|≥ε ank = 0

sa§lanyorsa, bu durumda (xk)dizisi L saysna "A-istatistiksel yaknsaktr" denir ve

stA− lim

k→∞xk = L ile gösterilir [11].

Kolaylkla görebiliriz ki A−istatistiksel yaknsaklk tanmnda A matrisi yerine C1, Cesàro matrisi seçilirse A−istatistiksel yaknsaklk, istatistiksel yaknsakl§a indirgenir. Ayn ³ekilde A = I birim matrisi alnd§nda A−istatistiksel yaknsaklk, al³lm³ anlamdaki yaknsakl§a dönü³ür. O halde A−istatistiksel yaknsaklk hem istatistiksel yaknsakl§n hem de klasik yaknsakl§n daha genel halidir.

2.3 A-Toplanabilme Metodu

Bu bölümde son olarak, A−istatistiksel yaknsaklk kavramndan farkl bir metod olan ve Bell [7] tarafndan 1973 ylnda verilen A−toplanabilme metodu ele alnacaktr. Daha sonra toplanabilme metodu, aritmetik ortalama yaknsaklk ve hemen hemen yaknsaklk kavramlar arasndaki ili³kiler incelenecektir. Öncelikle bu tanmlar hatrlatalm.

Tanm 2.3.1. Verilen bir (xn) dizisinin aritmetik ortalamas bir L saysna yaknsyorsa, yani, lim n→∞ 1 n n P k=1 xk = L

gerçekleniyor ise, (xn)dizisi L saysna "aritmetik ortalama yaknsaktr" (Cesáro yaknsaktr) denir [17].

Aritmetik ortalama yaknsak olan bir dizi klasik manada yaknsak olmak zorunda de§ildir. Ancak bir dizi klasik olarak yaknsyor ise yine bu dizinin aritmetik ortalamas da ayn de§ere yaknsar. A³a§daki örnekte de görebilece§imiz gibi aritmetik ortalama yaknsaklk al³lm³ yaknsaklktan daha genel bir kavramdr. Örnek 2.3.1. uk: [0, +∞) → R (k ∈ N)

uk(x) = (

1 + sin x, k tek,

1 − sin x, k çitf, (2.1)

fonksiyon dizisinin alt dizileri farkl iki fonskiyona yaknsad§ için (uk) dizisi raksaktr. Fakat dizinin aritmetik ortalamas için

lim n→∞ 1 n n X k=1 uk = 1 (x e göre düzgün)

limit ko³ulu gerçeklenir. Yani (uk) dizisi 1 e aritmetik ortalama yaknsaktr.

Yukardaki örnekte incelemi³ oldu§umuz dizi ilerleyen bölümlerde tekrar ele alnacaktr.

Tanm 2.3.2. ∀υ, n, k = 1, 2, 3, ..., için A = {Aυ_{} = {(a}υ

nk)}reel veya kompleks terimli sonsuz matrisler dizisi olsun. x := (xk) bir dizi olmak üzere

tυ_n:= ∞ X

k=1 aυ_nkxk

serisi ∀υ, n için yaknsaksa, buna x dizisinin "A-dönü³üm dizisi" denir. E§er n → ∞ için {tυ_n} dizisi L saysna (υ ye göre düzgün) yaknsyorsa (xk) dizisi L saysna "A-toplanabilirdir" denir ve

Ax → L veya limAx=L ³ekilinde gösterilir [7].

A³a§da verilmi³ olan yaknsaklk tanm ise A−toplanabilme metodunun özel bir halidir.

Tanm 2.3.3. Verilen bir (xn)dizisi için, tυn:= 1n n+υ−1 P k=υ xk ³eklinde tanmlayalm. E§er lim n→∞t υ n= lim n→∞ 1 n n+υ−1 P k=υ xk = L (υ ye göre düzgün)

olacak ³ekilde bir L says mevcut ise, (xn) dizisi L saysna "hemen hemen yaknsaktr" denir [17].

Yukardaki tanmlardan yola çkarak görebiliriz ki aritmetik ortalama yaknsaklk hemen hemen yaknsakl§n özel bir halidir. A³a§daki teorem ile hemen hemen yaknsak dizilere ait bir özellik ³u ³ekilde verilebilir.

Teorem 2.3.1. (xn) dizisi hemen hemen yaknsak ise sup

n∈N

|xn| < M

olacak ³ekilde bir M > 0 reel says vardr, yani hemen hemen yaknsak diziler snrldr [17].

Ancak bu özellik, a³a§da verilmi³ olan örnekten de anla³laca§ gibi aritmetik ortalama yaknsak diziler için geçerli de§ildir.

Örnek 2.3.2. xn= ( 3 √ n ; n = m3 0 ; n 6= m3

dizisi snrl olmad§ için hemen hemen yaknsak de§ildir; ancak ³imdi göstere-ce§iz ki bu dizi aritmetik ortalama yaknsaktr.

∀n ∈ N için m3 _{≤ n < (m + 1)}3 _{olacak ³ekilde bir m ∈ N vardr. O halde} 1 + 2 + · · · + m n ≤ 1 n n P k=1 xk ≤ 1 + 2 + · · · + (m + 1) n yazlabilir. Buradan m(m + 1) 2(m + 1)3 ≤ 1 n n X k=1 xk≤ (m + 1)(m + 2) 2m3

elde edilir. n → ∞ için limit alnrsa m → ∞ olaca§ndan yukardaki e³itsizlik lim n→∞ 1 n n P k=1 xk = 0

olmasn gerektirir. Yani (xn) dizisi 0 a aritmetik ortalama yaknsaktr.

Yukardaki örnek açk olarak göstermektedir ki aritmetik ortalama yaknsak diziler snrl olmak zorunda de§ildir.

Tanm 2.3.4. k, n, υ = 1, 2, 3, ... için Aυ _{= (a}υ

nk) matrisler dizisi verilsin. Verilen her (xn) dizisi için lim

n→∞xn = Liken lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkxk = L (υ ye göre düzgün)

sa§lanyorsa, Aυ _{matrisler dizisine "regüler matrisler dizisi" denir [7].}

A matrisler dizisinin regülerli§i, Silverman-Toeplitz ko³ullarna benzer bir karak-terizasyon ile a³a§daki gibi ifade edilebilir.

Teorem 2.3.2. A = {Aυ_{} matrisler dizisinin regüler olmas için gerek ve yeter} ³art a³a§daki üç ko³ul gerçeklenir:

1. Her k = 1, 2, ..., için lim n→∞a υ nk = 0 (υ ye göre düzgün), 2. lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nk = 1 (υ ye göre düzgün), 3. ∀n, υ = 1, 2, ..., için P∞ k=1 |aυ nk| < ∞ olsun ve n ≥ N ve υ = 1, 2, ..., için ∞ P k=1 |aυ

nk| < M olacak ³ekilde N ve M tamsaylar vardr [7].

Özetle, A−toplanabilme metodunda

• ∀υ = 1, 2, ... için {Aυ_{} = I birim matrisi alnrsa, klasik manada} yaknsakl§a dönü³ür.

• ∀υ = 1, 2, ... için {Aυ_{} = {C}

1} Cesàro matrisini seçersek, ortalama yaknsaklk elde edilir.

• A = F = {(aυ nk)} = ( ₁ n; υ ≤ k < n + υ 0; d.d F1 =          1 0 0 0 0 · · · 1 2 1 2 0 0 0 1 3 1 3 1 3 0 0 1 4 1 4 1 4 1 4 0 ... ...          , F2 =          0 1 0 0 0 · · · 0 1₂ 1₂ 0 0 0 1₃ 1₃ 1₃ 0 0 1₄ 1₄ 1₄ 1₄ ... ...         

matrislerini alrsak, Lorentz [17] tarafndan verilen hemen hemen yaknsaklk kavramna indirgenir. Sonuç olarak A−toplanabilme metodu klasik yaknsaklk, ortalama yaknsaklk ve hemen hemen yaknsakl§a göre daha genel bir yaknsak-lk kavramdr. Yani klasik yaknsakyaknsak-lk durumunu kullanarak elde edemedi§imiz baz sonuçlara A−toplanabilme metodu kullanarak ula³mak mümkündür. Bu yüzdendir ki toplanabilme metodu, yakla³mlar teorisinde önemli bir yere sahiptir. Ancak dikkat etmemiz gereken nokta a³a§daki örneklerde de inceleyece§imiz gibi A−yaknsaklk ve A−istatistiksel yaknsaklk kavramlar, birbirlerini içermeyen kavramlardr.

Örnek 2.3.3. {Aυ_{} = {C}

1} Cesàro matrisini alrsak (xn) = ((−1)n)

dizisinin 0 a aritmetik ortalama yaknsak olup istatistiksel yaknsak olmad§n görebiliriz. Bu dizi ayn zamanda klasik manada da yaknsak de§ildir.

Örnek 2.3.4. Ayn ³ekilde yine {Aυ_{} = {C}

1} Cesàro matrisini alrsak (xn) =

(

n; n = m2

1; n 6= m2 , m ∈ N,

dizisinin 1 e istatistiksel yaknsak olup aritmetik ortalama yaknsak olmad§n görebiliriz.

3. LNEER OPERATÖRLER

YARDIMIYLA FONKSYON VE

TÜREVLERNE STATSTKSEL

A‡IRLIKLI YAKLA“IM

3.1 A§rlkl Uzaylar Kavram

Bu bölümde 1984 ylnda Efendiev [9] tarafndan verilmi³ olan a§rlkl uzaylar tanmlar hatrlatlacak ve bu a§rlkl uzaylar üzerinde A−istatistiksel yakn-saklk metodu kullanlarak yaplan baz yakla³m teoremlerinden bahsedilecektir. Öncelikle ihtiyaç duyulan baz temel kavramlara yer verelim.

Tanm 3.1.1. r negatif olmayan bir tam say olmak üzere;

• C(r)

(R), r. mertebeden türevleri var ve sürekli olan R üzerinde tanml tüm fonksiyonlarn uzayn gösterir.

• M(r)_{(R), her x ∈ R için f}(r)_{(x) ≥ 0 iken L(f) ≥ 0 ko³ulunu sa§layan lineer} operatörlerin snfn gösterir.

Burada kolaylkla görebilece§imiz gibi e§er özel olarak r = 0 alnrsa, M(0)_{(R) ,} tüm pozitif lineer operatörlerin snfna kar³lk gelir.

Tanm 3.1.2. ρ : R → [1, +∞) olmak üzere, ρ fonksiyonu,

(a) ρ(0) = 1, (b) (0, +∞) aral§nda artan ve (−∞, 0) aral§nda azalan (c) lim

x→±∞ρ(x) = +∞ko³ullarn sa§lyorsa, ona a§rlk fonksiyonu ad verilir. Bu durumda, a³a§daki a§rlkl uzaylar göz önüne alaca§z:

• Cρ(r)(R) =f ∈ C(r)(R) :  f(r)_(x) ≤ m_fρ(x) , m_f > 0, x ∈ R , • ˜Cρ(r)(R) =  f ∈ Cρ(r)(R) : lim x→±∞ f(r)_(x) ρ(x) = kf  , • ˆCρ(r)(R) =  f ∈ ˜Cρ(r)(R) : lim x→±∞ f(r)(x) ρ(x) = 0  , • Bρ(R) = {g : R → R : |g(x)| ≤ mgρ(x), mg > 0, x ∈ R}.

Burada Bρ(R) uzay için a§rlkl normu, kgk_ρ:= sup

x∈R |g(x)|

ρ(x) ; g ∈ Bρ(R) ³eklinde tanmlanr [9].

Yukardaki tanmlarda r = 0 olmas durumunda C(0)

ρ (R), ˜Cρ(0)(R), ˆCρ(0)(R) uzaylar Cρ(R), ˜Cρ(R), ˆCρ(R) ile gösterilecektir.

3.2 statistiksel Yakla³m Teoremleri

lk olarak Tchebyshev sistemini hatrlatalm.

Tanm 3.2.1. [a, b] aral§ üzerinde tanml f0,f1, · · · , fn sürekli fonksiyonlar verilsin. E§er

P (x) = a0f0(x) + a1f1(x) + · · · + anfn(x)

polinomu, ai 6= 0 için (0 ≤ i ≤ n) en fazla n tane köke sahip ise {f0,f1, · · · , fn} fonksiyonlar sistemine "n. dereceden Tchebyshev sistemi" veya ksaca "T -sistem" denir [16].

Örnek 3.2.1. Klasik Korovkin teorisinde kullanlan e0 = 1, e1 = x, e2 = x2

test fonksiyonlar Tchebyshev sisteme bir örnektir. Benzer olarak, trigonometrik fonksiyonlar için bilinen 1, cosx, sinx fonksiyonlar da bir T −sistem örne§idir. Teorem 3.2.1. A = (ank) negatif olmayan regüler toplanabilme matrisi ve Lk : C [a, b] → C [a, b] pozitif lineer operatörler olsun. {f0, f1, f2}, [a, b] aral§nda tanml bir T -sistem olmak üzere e§er

stA− lim

k→∞kLk(fi) − fikC[a,b] = 0, i = 0, 1, 2, sa§lanyorsa, ∀f ∈ C [a, b] için

stA− lim

k→∞kLk(f ) − f kC[a,b]= 0 olur.

“imdi yukarda verilen bilgileri göz önüne alarak Anastassiou ve Duman [3] tarafndan a§rlkl uzaylar üzerinde A−istatistiksel yaknsaklk metodu kul-lanlarak ispatlanm³ olan yakla³m teoremleri ifade edilecektir.

Teorem 3.2.2. A = (ank) negatif olmayan regüler toplanabilme matrisi olsun ve M(r)_{(R) snfna ait L}

k: C (r)

ρ (R) → Bρ(R) lineer operatörleri verilsin. E§er 1. {f(r) 0 , f (r) 1 } ve {f (r) 0 , f (r) 1 , f (r)

2 } R'de tanml T -sistemler, 2. lim x→±∞ f_i(r)(x) 1 +   f (r) 2 (x)    = 0, i = 0, 1, 3. lim x→±∞ f₂(r)(x) ρ(x) = m (r) f2 6= 0, 4. stA− lim k→∞ Lk(fi) − f (r) i ρ = 0, i = 0, 1, 2, ko³ullar sa§lanyorsa, ∀f ∈ ˜C_ρ(r)_{(R) için st}A− lim k→∞ Lk(f ) − f(r) ρ= 0 olur [3].

Yani (Lk(f )) operatörler dizisi f fonksiyonuna ve türevlerine a§rlkl uzaylar üzerinde A−istatistiksel yaknsaktr. r = 0 durumunda fonksiyonun kendisine, r > 0 durumunda ise lineer operatörler dizisi yardmyla fonksiyonun türevlerine A−istatistiksel yakla³m elde edilir. “imdi bu yakla³m Cρ(r) uzayna ta³yan a³a§daki teorem incelenecektir.

Teorem 3.2.3. Yukardaki teoremde verilen (1), (2) ve (4) ko³ullar sa§lansn. Ayrca ρ1 : R −→ [1, +∞) fonksiyonu (0, +∞) aral§nda artan, (−∞, 0) aral§nda azalan ve ρ1(0) = 1, lim

x→±∞ρ1(x) = ∞ ko³ullarn sa§layan bir a§rlk fonksiyonu olmak üzere, e§er

lim x→±∞ ρ(x) ρ1(x) = 0 ve lim x→±∞ f₂(r)(x) ρ1(x) = m(r)_f2 > 0 sa§lanyorsa, ∀f ∈ C(r) ρ (R) için stA− lim k→∞    Lk(f ) − f(r)     ρ1 = 0 olur [3].

Yukarda verilmi³ olan Teorem 3.2.2 ve 3.2.3 de A matrisi yerine birim matris seçildi§inde Efendiev'in elde etmi³ oldu§u sonuçlara ula³lr [9].

4. TOPLAM SÜRECNN KOROVKN

TEORS ÜZERNDEK ETKLER

4.1 A§rlkl Uzaylarda Foksiyonlara Toplanabilme

Metoduyla Yakla³m

Bu bölümde toplanabilme metodunu kullanarak, uygun bir a§rlkl uzayda tanml lineer operatörler yardmyla, bu uzaylardan birinden seçilen f fonksiyo-nuna ve türevlerine ait bir yakla³m elde edilmeye çal³lacaktr. Öncelikle bu bölüm boyunca kullanaca§mz baz kavramlar verelim.

A = (aυ

nk) (k, n, υ ∈ N) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu ve {Lk} a§rlkl uzaylarda tanml lineer operatör dizisi olsun. Uygun bir a§rlkl uzaydan seçilen f fonksiyonu için,

lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(f ) − f ρ = 0 (υ ye göre düzgün),

sa§lanyorsa, {Lk}dizisi f ye a§rlkl norma göre " (düzgün) A−toplanabilirdir" denir.

Bilindi§i üzere klasik Korovkin teoremindeki ei = xi (i = 0, 1, 2) test fonksi-yonlar [a, b] aral§ üzerinde {f0, f1, f2} T-sistemi ile de§i³tirilebilir [16]. Ayrca, Swetits tarafndan, [a, b] aral§ üzerindeki klasik Korovkin teoremi, toplanabilme metodu yardmyla geli³tirilmi³tir [23]. Swetits'in bu sonucunu takip ederek a³a§daki teoreme ula³mak zor de§ildir.

Teorem 4.1.1. A = (aυ

nk) (n, k, υ ∈ N) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu ve Lk: C[a, b] → C[a, b] pozitif lineer operatörler dizisi olsun. {f0, f1,f2}, [a, b] aral§ üzerinde T -sistem olmak üzere, e§er

lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(fi) − fi C[a,b] = 0, (i = 0, 1, 2, ) (υ ye göre düzgün)

sa§lanyorsa, ∀f ∈ C[a, b] için

lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(f ) − f C[a,b] = 0 (υ ye göre düzgün)

olur. Yani {Lk(f )} operatörler dizisi f ye (düzgün) A−toplanabilirdir.

“imdi toplanabilme metodu kullanlarak, lineer operatörler snf yardmyla fonksiyon ve türevlerine a§rlkl yakla³m elde edece§iz. Öncelikle r = 0 durumu incelenecektir.

Teorem 4.1.2. A = (aυ

nk) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu olsun ve M(R) snfna ait Lk : Cρ(R) → Bρ(R), lineer operatörleri verilsin (bir ba³ka ifadeyle, Lk'lar pozitif lineer operatörler olsun). A³a§da verilen

1. {f0,f1} ve {f0,f1,f2} R de tanml T −sistemler, 2. lim x→±∞ fi(x) 1 + |f2(x)| = 0, i = 0, 1, 3. lim x→±∞ f2(x) ρ(x) = mf2 6= 0, 4. lim n→∞ ∞ P k=1 aυ nkLk(fi) − fi ρ = 0, i = 0, 1, 2, (υ ye göre düzgün)

ko³ullar sa§lanyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(R) için

lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(f ) − f ρ = 0 (υ ye göre düzgün) olur. Yani {Lk(f )} dizisi f ye a§rlkl norma göre A−toplanabilirdir.

spat. f ∈ ˜Cρ(R) olmak üzere, Efendiev'in çal³masndaki Teorem 1'den [9] (veya [3]'deki Teorem 2.2'ye baknz) R üzerinde tanml

g(y) = mf2f (y) − kff2(y)

³eklinde ve kf, mf2 katsaylar a§rlkl uzaylardaki gibi olacak ³ekilde bir g

fonksiyonu tanmlansn. ˜Cρ(R) uzaynn tanmndan, f ∈ Cρ(R) olmak üzere lim

y→±∞ f (y)

ρ(y) = kf olur. Ayrca hipotez (3) ü kullanarak lim

y→±∞ g(y)

ρ(y) = limy→±∞  mf2 f (y) ρ(y) − kf f2(y) ρ(y)  = 0

sonucuna ula³lr. Buradan kolaylkla g ∈ ˆCρ(R) oldu§u söyleyenebilir. Öncelikle lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g ρ = 0

oldu§unu ispatlamaya çal³alm. {f0, f1}fonksiyonlar sistemi reel saylar üzerinde tanml T -sistemdir; dolaysyla [9]'daki Lemma 2'den görebiliriz ki, verilen bir a ∈ R için fi(a) 6= 0, i = 0, 1 olmak üzere; φa(a) = 0 ve y < a için φa(y) > 0 ko³ullarn sa§layan öyle bir φafonksiyonu vardr ki, |γ0(a)| =

   f1(a) f2(a)    ve|γ1(a)| = 1 oldu§unda bu fonksiyon,

φa(y) = γ0(a)f0(y) + γ1(a)f1(y) ³eklinde tanmlanr. Bu φa fonksiyonu

F (y) = f1(a) f0(a) f0(y) − f1(y) olmak üzere φa(y) = (

F (y), if F (y) > 0 for y < a −F (y), if F (y) < 0 for y < a

³eklinde de yazlabilir. {f0, f1} bir T -sistem oldu§una göre y = a fonksiyonu-muzun tek kökü vardr. Ayrca hipotez (2) ve (3) ten

lim y→±∞

fi(y)

ρ(y) = limy→±∞

fi(y) 1 + |f2|  1 ρ(y) + |f2| ρ(y)  = 0, i = 0, 1, (4.1) oldu§u görülür. Srasyla g ∈ ˆCρ(R), (4.1) ve hipotez (3) ten faydalanarak,  > 0 için öyle bir u0 > 0 katsays bulabiliriz ki

|fi(y)| < ρ(y), i = 0, 1, (4.3) ρ(y) < s0f2(y) (s0 > 0 sabiti için) (4.4) ko³ullar |y| > u0 için sa§lanr. (4.2)-(4.4)'ü kullanarak, her |y| > u0 için

|g(y)| < s0f2(y) (4.5) yazlabilir. Di§er taraftan, |y| ≤ u0 için a > u0 ve fi(y) 6= 0, i = 0, 1, olmak üzere M := sup |y|≤u0 |g(y)| ve ma:= min |y|≤u0 φa(y) sabitlerini kullanarak |g(y)| ≤ M ma φa(y) (4.6)

bulunur. (4.5) ve (4.6) e³itsizliklerini birlikte kullanarak ∀y ∈ R için |g(y)| ≤ M

ma

φa(y) + sof2(y) (4.7) e³itsizli§i elde edilir. Lk operatörünün monotonluk ve lineerlik özelli§inden yararlanarak ve ayrca (4.4) ve |γ1(a)| = 1 bilgilerini göz önüne ald§mzda a³a§daki sonuca ula³lr.

     ∞ X k=1 aυ_nkLk(g; x)      ≤ ∞ X k=1 aυ_nkLk(|g(y)| ; x) ≤ ∞ X k=1 aυ_nk M ma Lk(φa(y); x) + s0Lk(f2(y); x)  = ∞ X k=1 aυ_nk  M ma

Lk((γ0(a)f0(y) + γ1(a)f1(y)); x) + s0Lk(f2(y); x)

o bulunur. Buradan

     ∞ X k=1 aυ_nkLk(g; x)      ≤ ∞ X k=1 aυ_nk M ma γ0(a)Lk(f0(y); x) + M ma γ1(a)Lk(f1(y); x) + s0Lk(f2(y); x) o = M ma γ0(a) ∞ X k=1 aυ_nkLk(f0(y); x) + M ma γ1(a) ∞ X k=1 aυ_nkLk(f1(y); x) + s0 ∞ X k=1 aυ_nkLk(f2(y); x) = M ma γ0(a) ( _∞ X k=1 aυ_nkLk(f0(y); x) + f0(x) − f0(x) ) + M ma γ1(a) ( _∞ X k=1 aυ_nkLk(f1(y); x) + f1(x) − f1(x) ) + s0 ( _∞ X k=1 aυ_nkLk(f2(y); x) + f2(x) − f2(x) )

elde edilir. Böylece

     ∞ X k=1 aυ_nkLk(g; x)      ≤ M ma |γ0(a)|      ∞ X k=1 aυ_nkLk(f0(y); x) − f0(x)      + M ma      ∞ X k=1 aυ_nkLk(f1(y); x) − f1(x)      + s0      ∞ X k=1 aυ_nkLk(f2(y); x) − f2(x)      + M ma |γ0(a)f0(x) + γ1(a)f1(x)| + s0|f2(x)| sonucuna ula³lr.

Burada |x| > u0 iken supremum alnd§nda, sup |x|>u0     ∞ P k=1 aυ_nkLk(g(y); x)     ρ(x) ≤ M ma        |γ0(a)| sup |x|>u0     ∞ P k=1 aυ_nkLk(f0(y); x) − f0(x)     ρ(x) + sup |x|>u0     ∞ P k=1 aυ nkLk(f1(y); x) − f1(x)     ρ(x)        + s0 sup |x|>u0     ∞ P k=1 aυ nkLk(f2(y); x) − f2(x)     ρ(x) + M ma ( |γ0(a)| sup |x|>u0 |f0(x)| ρ(x) + sup|x|>u0 |f1(x)| ρ(x) ) + s0 sup |x|>u0 |f2(x)| ρ(x)

elde edilir. (4.1) ve hipotez (3)'ü kullanarak, her  > 0 için

A() := M ma ( |γ0(a)| sup |x|>u0 |f0(x)| ρ(x) + sup|x|>u0 |f1(x)| ρ(x) ) + s0 sup |x|>u0 |f2(x)| ρ(x) ve B() := max M |γ0(a)| ma , M ma , s0 

³eklinde tanmlanan A() ve B() de§erlerinin sonlu oldu§u görülür. Buradan

sup |x|>u0 |Lk(g(y); x)| ρ(x) ≤ A() + B() 2 P i=0 sup |x|>u0     ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi(y); x) − fi(x)     ρ(x) ; yani sup |x|>u0 |Lk(g(y); x)| ρ(x) ≤ A() + B() 2 P i=0 ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − fi ρ (4.8) e³itsizli§i elde edilir.

Norm tanmndan ve üçgen e³itsizli§inden ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g ρ ≤ sup |x|≤u0     ∞ P k=1 aυ_nkLk(g(y); x) − g(x)     ρ(x) + sup|x|>u0     ∞ P k=1 aυ_nkLk(g(y); x)     ρ(x) + sup |x|>u0 |g(x)| ρ(x)

bulunur. (4.2) ve (4.8)'i kullanarak ve B1 = sup x∈[−u0,u0]

1

ρ(x) olarak alnd§nda, her  > 0 ve n, υ ∈ N için ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g ρ ≤  + A() + B() 2 P i=0 ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − fi ρ +B1 ∞ P k=1 aυ nkLk(g) − g C[−u0,u0] (4.9)

e³itsizli§i elde edilir. Di§er taraftan,

sup x∈R     ∞ P k=1 aυ nkLk(fi) − fi     ρ(x) ≥ 1 ρ(x)sup_x∈R     ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − fi     ≥ 1 ρ(x)x∈[−usup0,u0]     ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − fi     e³itsizli§ini kullanarak n → ∞ için limit alrsak hipotez (4) ten

(i = 0, 1, 2, ) lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − fi C[−u0,u0] = 0 (υ ye göre düzgün) (4.10)

oldu§u kolaylkla görülebilir. {f0, f1, f2} T-sistem olmasndan dolay Teorem 4.1.1 ve (4.10)'dan, lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g C[−u0,u0] = 0, (υ ye göre düzgün),

sonucuna ula³lr. (4.9)'daki e³itsizlikte n → ∞ için limit alnd§nda n ∈ N için

lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g ρ = 0 (υ ye göre düzgün) (4.11) elde edilir.

spatmzn son a³amasnda daha önceden tanmlanm³ olan g(y) fonksiyonu kullanlarak f (y) = 1 mf2 g(y) + kf mf2 f2(y) e³itli§ine ula³lr. Buradan her n, υ ∈ N için,

∞ P k=1 aυ nkLk(f ) − f ρ = ∞ P k=1 aυ nk  Lk  1 m_f2g + kf m_f2f2  − 1 m_f2g + kf m_f2f2  ρ ≤ 1 m_f2 ∞ P k=1 aυ_nkLk(g) − g ρ + kf m_f2 ∞ P k=1 aυ_nkLk(f2) − f2 ρ (4.12) elde edilir. Son olarak (4.12)'de n → ∞ için limit ald§mzda (4.11) ve hipotez (4) ten lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(f ) − f ρ = 0 (υ ye göre düzgün)

bulunur, yani {Lk(f )} operatörler dizisi f ye a§rlkl norma göre (düzgün) A−toplanabilirdir ve r = 0 için ispat tamamlanm³ olur.

Teorem 4.1.2'de dikkat edersek mf2 = 0 alnrsa, ˜Cρ(R) uzay yerine ˆCρ(R)

uzayndan seçilen fonksiyona bir yakla³m elde edilir.

4.2 A§rlkl Uzaylarda Foksiyonlarn Türevlerine

Toplanabilme Metoduyla Yakla³m

“imdi r = 1, 2, ..., için f ∈ C(r)

ρ (R) fonksiyonunun türevlerine yakla³maya çal³aca§z.

Teorem 4.2.1. A = (aυ

nk) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu, Lk : Cρ(r)(R) → Bρ(R), M(r)(R) snfna ait lineer operatörler ve f0, f1, f2 ∈ C

(r) ρ (R) olsun. 1. {f(r) 0 , f (r) 1 } ve {f (r) 0 , f (r) 1 , f (r) 2 } R de tanml T −sistemler,

2. lim x→±∞ f_i(r)(x) 1 +   f (r) 2 (x)    = 0, (i = 0, 1), 3. lim x→±∞ f₂(r)(x) ρ(x) = mf2 6= 0, 4. lim n→∞ ∞ P k=1 aυ_nkLk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) (υ ye göre düzgün),

ko³ullar sa§lanyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için,

lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(f ) − f(r) ρ = 0 (υ ye göre düzgün)

olur. Yani {Lk(f )} operatörler dizisi f(r) ye (düzgün) A−toplanabilirdir denir.

spat. [9]'daki Teorem 1'in ispatnda oldu§u gibi (veya [3]'e baknz), D−r_{, r.} dereceden ters türev operatörü olmak üzere,

L∗_k := Lk◦ D−r

³eklinde bir operatör tanmlayalm. Lk, M(r)(R) snfna ait oldu§una göre, L∗_k : Cρ(R) → Bρ(R)

operatörleri, pozitif lineer operatörler snfna ait olur. Çünkü, f ∈ C(r) ρ için L∗_k(f(r)) = Lk(D−r(f(r)) e³itli§ine bakarsak, f(r) ≥ 0 oldu§unda Lk(f ) ≥ 0, yani, L∗k(f (r)_{) ≥ 0} gerçeklenir. ψi := f (r)

i (i = 0, 1, 2) olarak tanmlam³ oldu§umuz fonksiyonu göz önüne alrsak, {Lk(fi)}operatörler dizisinin fi(r) ye (düzgün) A−toplanabilir olmasndan dolay, Bρ(R) uzayndaki a§rlkl norm üzerinde, {L∗k(ψi)} operatör-ler dizisinin de, ψi ye A-toplanabilir oldu§unu söyleyebiliriz. Bu durumda bir

önceki teoremdeki tüm ko³ullar L∗

k operatörleri için gerçeklenmi³ olur. O halde ∀ψ ∈ ˜Cρ(R) için lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkL∗_k(ψ) − ψ ρ = 0 (υ ye göre düzgün) yani ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(f ) − f(r) ρ = 0 (υ ye göre düzgün) elde edilir. Böylece r > 0 durumu için ispat tamamlanm³ olur.

Önceden de belirtmi³ oldu§umuz üzere A-istatistiksel yaknsaklk ve A−toplanabilme metodlar birbirlerini içermeyen yaknsaklk metodlardr. Bu yüzden yukarda elde etmi³ oldu§umuz sonuçlar [3]' teki sonuçlardan tamamen farkldr. Fakat a³a§da inceleyece§imiz sonuç yine de ilginç bir durum ortaya koymaktadr. Sonuç 4.2.1. υ = 1, 2, · · · , için A =(Aυ_{) = (a}

nk) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu ve Lk : C (r) ρ (R) → Bρ(R) düzgün snrl operatörler dizisi olsun. f(r) 0 , f (r) 1 , f (r)

2 Teorem 4.2.1'deki ko³ullar sa§lasn. E§er

i = 0, 1, 2 için stA− lim k Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (4.13) sa§lanyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için lim n→∞ ∞ X k=1 ankLk(f ) − f(r) ρ = 0 (υ ye göre düzgün) olur.

spat. E§er i = 0, 1, 2 için Ki() =  k ∈ N : Lk(fi) − f (r) i ρ ≥  

³eklinde bir Ki() kümesi tanmlanrsa, (4.13) ko³ulundan ∀ > 0 için lim

n→∞ X k∈Ki()

oldu§u açktr. {Lk} operatörler dizisinin düzgün snrll§n kullanarak ∀n ∈ N için ∞ P k=1 ank Lk(fi− f (r) i ρ ≤ P k∈Ki() ank Lk(fi− f (r) i ρ + P k∈N\Ki() ank Lk(fi− f (r) i ρ ≤ (M Di+ Ei) P k∈Ki() ank+  ∞ P k=1 ank

e³itsizli§i elde edilir. Burada M := kLkk_{Cρ(R)→Bρ(R)}= sup

kLk(f )kρ kf k_ρ = sup kf k_ρ=1 kLk(f )k_ρ, Di := kfik_ρ ve Ei := f (r) i ρ (i = 0, 1, 2) ³eklinde tanmldr. A matrisinin regüler olmas özelli§ini kullanarak

lim n→∞ ∞ X k=1 ank Lk(fi) − f (r) i _ρ= 0 bulunur. Ayrca Ci := f (r) i ρ olmak üzere ∞ P k=1 ankLk(fi) − f (r) i ρ ≤ ∞ P k=1 ankLk(fi) − ∞ P k=1 ankf (r) i ρ + ∞ P k=1 ankf (r) i − f (r) i ρ ≤ ∞ P k=1 ank Lk(fi) − f (r) i ρ + Ci     ∞ P k=1 ank− 1     e³itsizli§inin her iki tarafnda n → ∞ için limit ald§mzda

lim n→∞ ∞ X k=1 ankLk(fi) − f (r) i ρ = 0, (i = 0, 1, 2)

sonucuna ula³lr. Yani {Lk(fi)} dizisi i = 0, 1, 2 için fi ye a§rlkl norma göre (düzgün) A−toplanabilirdir. Böylece Teorem 4.2.1'den ispat tamamlanr.

Teorem 4.2.1'de ˜Cρ(r) uzayndan seçilen fonksiyon ve türevlerine ait bir yakla³m elde etmi³tik. C(r)

ρ (R) uzaynda bir yakla³m elde edebilmek için yeni bir a§rlk fonksiyonu tanmlamamz gerekmektedir. A³a§daki teorem C(r)

ρ (R) uzay üzerinde bir yakla³m vermektedir.

Teorem 4.2.2. A = (aυ

nk) (k, n, υ ∈ N) negatif olmayan regüler toplanabilme metodu ve Lk : C

(r)

ρ (R) → Bρ1(R), M

dizisi olsun. f(r) 0 , f

(r) 1 , f

(r)

2 , Teorem 4.2.1'deki (1), (2), (4) ko³ullarn sa§lasn. ρ1 : R → [1, ∞) a§rlk fonksiyonu olmak üzere e§er

lim x→±∞ ρ(x) ρ1(x) = 0 (4.14) ve lim x→±∞ f₂(r) ρ1(x) = m(r)_f 2 6= 0, (4.15) ko³ullar gerçekleniyorsa, ∀f ∈ C(r) ρ (R) için lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(f ) − f(r) ρ1 = 0 (υ ye göre düzgün) olur. spat. f ∈ C(r)

ρ (R) olsun. Bu durumda her x ∈ R için  f(r)_(x)  ρ(x) ≤ mf elde edilir. Di§er taraftan lim x→±∞  f(r)_(x)  ρ1(x) ≤ lim x→±∞  f(r)_(x)  ρ(x) ρ(x) ρ1(x) yazabiliriz. Dolaysyla yukarda verilen e³itsizliklerden

lim x→±∞  f(r)_(x)  ρ1(x) ≤ mf lim x→±∞ ρ(x) ρ1(x) oldu§unu görürüz. (4.14) ko³ulunu kullanarak

lim x→±∞  f(r)(x) ρ1(x) = 0

sonucuna ula³lr. Önceden verilmi³ olan a§rlkl uzay tanmlar göz önünde bulundurulursa f ∈ ˆCρ(r)1 (R) ⊂ ˜C

(r)

ρ1 (R) oldu§u görülür.

Ayrca (4.14) ifadesini kullanarak Teorem 4.2.1'deki (4) ko³ulu ρ1 a§rlkl fonksiyonu için lim n→∞ ∞ X k=1 aυ_nkLk(fi) − f (r) i ρ1 = 0 (i = 0, 1, 2) (υ ye göre düzgün)

sa§lanm³ olur. (4.15) hipotezi ile birlikte ρ1 fonksiyonu için bütün ko³ullar gerçeklendi§ine göre ispatmz Teorem 4.2.1'in do§rudan bir sonucudur.

5. SONUÇLAR VE UYGULAMALAR

Bu bölümde öncelikle Bölüm 4 te elde edilmi³ olan yakla³m teoremlerinin baz sonuçlar verilecektir. Daha sonra ise yapm³ oldu§umuz çal³malar örnek ve grakler üzerinde incelenecektir.

5.1 Fonksiyon ve Türevlerine A§rlkl Yakla³m

Sonuçlar

Teorem 4.2.1 ve Teorem 4.2.2'de her υ ∈ N için A = (aυ

nk) = {I} birim matrisi olarak seçildi§inde, srasyla Efendiev tarafndan ispatlanan iki sonuca ula³lr. Sonuç 5.1.1. Lk : C

(r)

ρ (R) → Bρ(R), M(r)(R) snfna ait lineer operatörler ve f0, f1, f2 ∈ C

(r)

ρ (R) olsun. Teorem 4.2.1'deki (1), (2) ve (3) ko³ullarnn gerçeklendi§ini kabul edelim. E§er

lim k→∞ Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) oluyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için lim k→∞ Lk(f ) − f(r) = 0 elde edilir [9]. Sonuç 5.1.2. Lk : Cρ(r)(R) → Bρ1(R), M (r)

(R) snfna ait operatörler dizisi olsun. f(r)

0 , f (r) 1 , f

(r)

1 Teorem 4.2.1'de (1), (2) ko³ullaryla lim k→∞ Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2)

ko³ulunu sa§lasn. ρ1 : R → [1, ∞) a§rlk fonksiyonu olmak üzere, e§er (4.14) ve (4.15) sa§lanyor ise ∀f ∈ C(r) ρ (R) için lim k→∞ Lk(f ) − f(r) ρ1 = 0 olur [9].

Teorem 4.2.1 ve Teorem 4.2.2'de A = F = (Fυ₎ matrisi olarak seçildi§inde, srasyla a³a§daki sonuçlar elde edilir.

Sonuç 5.1.3. Lk : C (r)

ρ (R) → Bρ(R), M(r)(R) snfna ait lineer operatörler ve f0, f1, f2 ∈ C

(r)

ρ (R) olsun. Teorem 4.2.1'deki (1), (2) ve (3) ko³ullarnn gerçeklendi§ini kabul edelim. E§er

lim n→∞ 1 n n+υ−1 X k=v Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) oluyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için lim n→∞ 1 n n+υ−1 X k=v Lk(f ) − f(r) ρ = 0

elde edilir; yani {Lk(f )} dizisi f(r) ye ρ normuna göre hemen hemen yaknsaktr. Sonuç 5.1.4. Lk : Cρ(r)(R) → Bρ1(R), M

(r)

(R) snfna ait operatörler dizisi olsun. f(r)

0 , f (r) 1 , f

(r)

1 Teorem 4.2.1'de (1), (2) ko³ullaryla lim n→∞ 1 n n+υ−1 X k=v Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) ko³ulunu sa§lasn.

ρ1 : R → [1, ∞) a§rlk fonksiyonu olmak üzere, e§er (4.14) ve (4.15) sa§lanyor ise, her f ∈ C(r) ρ (R) için lim n→∞ 1 n n+υ−1 X k=v Lk(f ) − f(r) ρ1 = 0 olur.

Teorem 4.2.1 ve Teorem 4.2.2'de her υ ∈ N için A = (Aυ_{) = (C}

1), Cesàro matrisi, olarak seçildi§inde srasyla a³a§daki sonuçlar elde edilir.

Sonuç 5.1.5. Lk : C (r)

ρ (R) → Bρ(R), M(r)(R) snfna ait lineer operatörler ve f0, f1, f2 ∈ C

(r)

ρ (R) olsun. Teorem 4.2.1'deki (1), (2) ve (3) ko³ullarnn gerçeklendi§ini kabul edelim. E§er

lim n→∞ 1 n n X k=1 Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) oluyorsa, ∀f ∈ ˜Cρ(r)(R) için lim n→∞ 1 n n X k=1 Lk(f ) − f(r) ρ = 0

elde edilir; yani {Lk(f )}operatörler dizisinin aritmetik ortalamas a§rlkl norma göre f(r) ye yaknsar.

Sonuç 5.1.6. Lk : C (r)

ρ (R) → Bρ1(R), M

(r)_{(R) snfna ait operatörler dizisi} olsun. f(r)

0 , f (r) 1 , f

(r)

1 Teorem 4.2.1'de (1), (2) ko³ullaryla lim n→∞ 1 n n X k=1 Lk(fi) − f (r) i ρ = 0 (i = 0, 1, 2) ko³ulunu sa§lasn.

ρ1 : R → [1, ∞) a§rlk fonksiyonu olmak üzere, e§er (4.14) ve (4.15) sa§lanyor ise her f ∈ C(r) ρ (R) için lim n→∞ 1 n n X k=1 Lk(f ) − f(r) ρ1 = 0 olur.

5.2 Uygulamalar

A³a§daki örnekten de görülebilece§i gibi, fonksiyon ve türevlerine Cesàro anlamnda (aritmetik ortalama) yaknsak olup klasik anlamda yaknsak olmayan

lineer operatör dizisi in³a etmek mümkündür.

Öncelikle Örnek 2.3.1'de (2.1) e³itli§i ile tanmlanan (uk) fonksiyon dizisini göz önüne alalm. A§rlk fonksiyonu ρ(x) = 1 + x2_{, test fonksiyonlar ise}

fi(x) =

xi+1ρ(x) (i + 1) (1 + x2₎ =

xi+1

(i + 1) (i = 0, 1, 2)

olarak seçilsin. Bu durumda Cρ[0, +∞) uzaynda tanml a³a§da verilen pozitif lineer operatörler Lk(f ; x) = uk(x)e−kx ∞ X j=0 f j k  kj j! jx j−1_{− kx}j
_{, (5.1)}

r = 1 durumu için, Teorem 4.2.1'deki tüm ko³ullar sa§lar. Burada dikkat etmeliyiz ki daha önce elde etti§imiz tüm sonuçlar, R yerine [0, +∞) üzerinde tanmlanan a§rlkl uzaylarda da geçerlidir. Sk, Szász-Mirakjan operatorünün

Sk(f ; x) = e−kx ∞ X j=0 f j k  kj_xj j!

³eklinde tanmland§ bilinmektedir [24]. Sk(f ; x) operatörünün x e göre türevini ise S0

k(f ; x) olarak gösterilsin. Bu durumda Lk(f ; x)opeatörler dizisini her k ∈ N için

Lk(f ; x) = uk(x)Sk0(f ; x) (5.2) ³eklinde ifade edilir. E§er A = {C1} = {(cnk)} (k, n ∈ N) , Cesàro matrisi alnrsa, (2.1)'den lim n→∞ 1 n n X k=1 uk(x) = 1 (x'e göre düzgün), x ∈ [0, b] (b > 0), (5.3)

olur. Ayrca her f ∈ C(1)

ρ [0, +∞)için lim k→∞S 0 k(f ; x) = f 0 (x) (x'e göre düzgün), x ∈ [0, b] (5.4) oldu§u bilinmektedir. (5.4) e³itli§inden

lim n→∞ 1 n n X k=1 |S0 k(f ) − f 0_{(x)| = 0 (x'e göre düzgün) (5.5)}

bulunur. Di§er taraftan (5.2) yardmyla Lk(f ; x) − f0(x) = (uk(x) − 1) (Sk0(f ; x) − f 0 (x)) + f0(x) ((uk(x) − 1)) + S_k0(f ; x) − f0(x) yazlabilir. Buradan 1 n n X k=1 Lk(f ; x) − f0(x) = 1 n n X k=1 (uk(x) − 1) (Sk0(f ; x) − f 0 (x)) + f0(x) 1 n n X k=1 uk(x) − 1 ! + 1 n n X k=1 (S_k0(f ; x) − f0(x)) elde edilir. |uk(x) − 1| ≤ 1olmasndan dolay her k ∈ N ve x ≥ 0 için,

     1 n n X k=1 Lk(f ; x) − f0(x)      ≤ 2 n n X k=1 |S_k0(f ; x) − f0(x)| + |f0(x)|      1 n n X k=1 uk(x) − 1      (5.6) e³itsizli§i elde edilir. (5.6) e³itsizli§inde her iki taraftan n → ∞ için limit alnrsa, (5.3) ve (5.5) uyarnca lim n→∞      1 n n X k=1 Lk(f ; x) − f0(x)      = 0 elde edilir. Yani

lim

n→∞Tn(f ; x) = f 0

(x) (x e göre düzgün) x ∈ [0, b] (b > 0) (5.7) sonucuna ula³lr. Burada

Tn(f ; x) :=

L1(f ; x) + L2(f ; x) + ... + Ln(f ; x)

n (5.8)

operatörü, Lk(f ; x) operatörünün aritmetik ortalamasdr. Dolaysyla Lk(f ; x) operatörleri ile (5.7)'de elde etmi³ oldu§umuz aritmetik ortalama yakla³m, Teorem 4.2.1'i [0, +∞) aral§nn kompakt alt aralklarnda do§rular.

Fakat (5.1)'de tanmlanan Lk(f )operatörleriyle f0(x)fonksiyonuna yakla³m elde etmemiz mümkün de§ildir. Çünkü (uk(x)) fonksiyonlar dizisi [0, +∞)\{kπ : k = 0, 1, ...} aral§nda yaknsak de§ildir.

Bunun yan sra negatif olmayan regüler bir A matrisi için (uk(x)) dizisi A-istatistiksel yaknsak da de§ildir. Dolaysyla, Lk(f ) operatörleriyle f(x)

fonksiyonuna ve türevlerine istatistiksel olarak bir yakla³m da elde etmek mümkün de§ildir.

f (x) = 2x + cos x + x sin x fonksiyonunu ele alalm. f0(x) = 2 + x cos x olmak üzere “ekil 5.1'den görebiliriz ki [0, 5] aral§nda L2k+1(f ; x) operatörler dizisi (1 + sin x)f0(x) fonksiyonuna yaknsar.

“ekil 5.1: (L2k+1(f ; x))operatör dizisi [0, 5] aral§nda yeterince büyük k de§erleri için (1 + sin (x))f0_{(x) fonksiyonuna yakla³maktadr. Burada f(x) = 2x + cos x +} x sin x ³eklinde tanmldr.

“ekil 5.2: (L2k(f ; x)) operatör dizisi [0, 5] aral§nda yeterince büyük k de§erleri için (1 − sin (x))f0_{(x) fonksiyonuna yaknsamaktadr.}

(1−sin x)f0(x)e yakla³t§n görürüz. Yani Lk(f )operatörler dizisi f0(x)türevine [0, 5] aral§nda yaknsayamaz.

Fakat “ekil 5.3 bize gösteriyor ki [0, 5] aral§nda, (Lk(f )) operatörler dizisinin aritmetik ortalamas olan (Tn(f )) dizisi, f0(x)fonksiyonuna yaknsamaktadr.

“ekil 5.3: Lk(f ; x)'nn aritmetik ortalamas olarak (5.8)'de tanmlad§mz (Tn(f ; x)) dizisi, yeterince büyük k de§erleri için [0, 5] aral§nda f0(x) fonksiyonuna yakla³maktadr.

Bu örnek bize klasik olarak yaknsamayan hatta ayn zamanda ististiksel yaknsak olmayan operatörler dizisinin A−toplanabilme metoduyla fonksiyon ve türevle-rine yaknsad§n göstermektedir. Böylece yakla³mlar teorisinde A−toplanabilme metodu kullanmann ne denli önemli oldu§u görülmü³tür.

KAYNAKLAR

[1] Aguilera, F., Cárdenas-Morales, D., Garrancho, P., Optimal simultaneous approximation via A-summability, Abstr. Appl. Anal. Art. ID 824058, 5 pp, 2013.

[2] Altomare, F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and Its Applications, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994.

[3] Anastassiou, G. A., Duman, O., Statistical weighted approximation to derivatives of functions by linear operators, J. Comput. Anal. Appl. 11 2030, 2009.

[4] Anastassiou, G. A., Duman, O., Towards Intelligent Modeling: Statistical Approximation Theory, Intelligent Systems Reference Library, vol. 14, Springer-Verlag, Berlin, 2011.

[5] Atlihan, Ö. G., Orhan, C., Matrix summability and positive linear operators, Positivity 11 387398, 2007.

[6] Atlihan, Ö. G., Orhan, C., Summation process of positive linear operators, Comput. Math. Appl. 56 11881195, 2008.

[7] Bell, H. T., Order summability and almost convergence, Proc. Amer. Math. Soc. 38 548552, 1973.

[8] Duman, O., Orhan, C., An abstract version of the Korovkin approximation theorem, Publ. Math. Debrecen 69 3346, 2006.

[9] Èfendiev, R. O., Conditions for convergence of linear operators to derivatives, Akad. Nauk Azerbadzhan, SSR Dokl. 40 36, 1984.

[10] Fast, H., Sur la convergence statistique. Colloq. Math, 2; 241-244, 1951. [11] Freedman, A. R., Sember, J. J., Densities and summability, Pacic J. Math.

95 293305, 1981.

[12] Garrancho, P., D. Cárdenas-Morales and F. Aguilera, On asymptotic formulae via summability. Math. Comput. Simulation 81 21742180, 2011. [13] Hardy, G.H., Divergent Series, Oxford Univ. Press, London, 1949.

[14] Jurkat, W. B., Peyerimho, A., Fourier eectiveness and order summability, J. Approx. Theory 4 231244, 1971.

[15] Jurkat, W. B., Peyerimho, A., Inclusion theorems and order summability,J. Approx. Theory 4 245262, 1971.

[16] Korovkin, P. P., Linear Operators and Approximation theory, Hindustan Publishing Corp., Delhi, 1960.

[17] Lorentz, G. G., A contribution to the theory of divergent sequences, Acta Math. 80 167190, 1948.

[18] Maddox, I. J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1970.

[19] Mohapatra, R. N., Quantitative results on almost convergence of a sequence of positive linear operators, J. Approx. Theory 20 239250, 1977.

[20] Niven, I., Zuckerman, H.S., An Introduction to the Theory of Numbers. John Wiley&Sons,4thed. New York, 1980.

[21] Radu, C., A-summability and approximation of continuous periodic functions, Stud. Univ. Babe³-Bolyai Math. 52 155161, 2007.

[22] Sakao§lu, ., Orhan, C., Cihan Strong summation process in Lp spaces. Nonlinear Anal. 86 8994, 2013.

[23] Swetits, J. J., On summability and positive linear operators, J. Approx. Theory 25 186188, 1979.

[24] Szász, O., Generalization of S. Bernstein's polynomials to the innite interval, J. Research Nat. Bur. Standards 45 239245, 1950.

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Soyad, Ad : KÜÇÜK, Nisa

Uyru§u : T.C.

Do§um tarihi ve yeri : 14.08.1989 Eski³ehir Medeni hali : Bekar

Telefon : 0546 584 19 89

e-mail : nkucuk@etu.edu.tr

E§itim

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi

Y. Lisans TOBB ETÜ 2014

Lisans zmir Ekonomi Üniversitesi 2012

³ Deneyimi

Yl Yer Görev

2012-2014 TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Burslu Y. L. Ö§rencisi

Yabanc Dil ngilizce (yi)

Yaynlar

• N. Küçük and O. Duman, Summability methods in weighted approxima-tion to derivatives of funcapproxima-tions, (submitted for publicaapproxima-tion).

Uluslararas Konferans Bildirileri

• N. Küçük and O. Duman, Summability methods in weighted approxima-tion to derivatives of funcapproxima-tions, Mathematics Days in Soa MDS 2014, July 7-10, 2014, Soa, Bulgaria.