• Sonuç bulunamadı

TÜREV 04

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "TÜREV 04"

Copied!
59
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)
(2)

TÜREV KAVRAMI

TÜREV ALMA KURALLARI

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ

ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER DİFERANSİYEL KAVRAMI

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER

İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI ROLLE VE ORTALAMA DEĞER TEOREMLERİ L’’HOSPİTAL KURALI

(3)

TÜREV KAVRAMI

TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a  A da sürekli olmak üzere

limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun

x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.

h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.

= olur. a x a f x f a x    ) ( ) ( lim

)

(a

dx

df

0

)

(

a

x

a

x

0

 h

a

x

a

f

x

f

a x

)

(

)

(

lim

h

a

f

h

a

f

h

)

(

)

(

lim

0

(4)

ÖRNEK:

f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.

2

)

2

(

)

(

lim

)

2

(

2

x

f

x

f

f

x

4

2

)

2

)(

2

(

lim

2

4

lim

)

2

(

2 2 2

x

x

x

x

x

f

x x

ÇÖZÜM=

f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir

(5)

SOLDAN SAĞDAN TÜREV

TANIM:

1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa

bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.

2. Limitinin bir reel sayı değeri

varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.

A

a

R

A

 ,

a

x

a

f

x

f

a x

(

)

(

)

lim

_

a

x

a

f

x

f

a x

 

(

)

(

)

lim

(6)

f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)

= f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.

ÖRNEK:

f: R R , f(x)= a)f’(2-)=?

b)f’(2+)=?

ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.

a ) = = = 4 b) = =

ise

x

x

ise

x

x

2

,

2

2

,

2

4

2

<

2

)

2

(

)

(

lim

2

 

x

f

x

f

x

2

4

lim

2 2

 

x

x

x

lim

x2

(

x

2

)

2

)

2

(

)

(

lim

2

 

x

f

x

f

x

2

8

4

lim

2

 

x

x

x

lim

4

4

(7)

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ

Teorem

: olmak üzere; fonksiyonu a noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.

1

. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.

2

.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun

3

.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu

noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.

A

a

R

(8)

Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?

Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.

x=-1 ve x=2 noktalarında

süreksiz dolayısıyla türevsizdir.

2

2

2

)

(

2 2

x

x

x

f

2

2

2

)

(

2 2

x

x

x

f

(9)

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME

TANIM:

a,b olmak üzere

fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere

fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.

f

:

(

a

,

b

)

R

R

A

R

A

(10)

TÜREV ALMA KURALLARI

1)

f(x)= c f’(x) = 0

2)

f(x) = xn f’(x) = n . xn-1

3)

(c . f (x) )’ = c . f’(x)

4)

5)

6)

f

(

x

)

g

(

x

)

f

(

x

)

g

(

x

)

f

(

x

).

g

(

x

)

f

(

x

).

g

(

x

)

g

(

x

).

f

(

x

)

2

)

(

)

(

).

(

)

(

).

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

(11)

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

teğet

kesen

Y=f(x)

 F(a+h) F(a) a a+h

(12)

a

h

a

a

f

h

a

f

)

(

)

(

)

(

h

a

f

h

a

f

(

)

(

)

AC

BC

mAB=tan = 

AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından

a

h

a

a

f

h

a

f

)

(

)

(

)

(

0

lim

h mAT =

f

' a

(

)

O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.

(13)

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

.

f(a)

y

x

a

n

t

Y=f(x)

(14)

A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu noktadaki türevi eğimi vereceğinden

y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.

1

m

.

m

t n

)

a

(

'

f

1

m

1

m

t n

Anoktasındaki

normal denklemi ise

şöyle olur:

)

a

(

'

f

1

)

a

(

f

y

. (x-a)

(15)

Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki

teğetinin ve normalinin denklemini bulalım. Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4

normalin eğimi

: mn =

teğet denklemi

: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6

normal denklemi :

y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4

4

1

)

3

(

'

1

1

f

m

t

(16)
(17)
(18)

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u') f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')

f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)

(19)

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ

g(x), g(x)>0

y=|g(x)|= 0 , g(x)=0

-g(x) , g(x)<0

g'(x) , g(x)>0

y'= araştırılır , g(x)=0

-g'(x) , g(x)<0

{

{

(20)

ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir? ÇÖZÜM: -3 +3 + | - | + x2-9 | 9-x2 | x2 -9 türevi 2x | -2x | 2x x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.

Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.

(21)

TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ

f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;

sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır. Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.

ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.

ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur. Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmazdı.

(22)

İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ

f: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.

ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu değerleri bulun.

ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu için, içinin kökleri bulunur.

(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.

(23)

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.

1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?

2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= bulunur.

II.YÖNTEM: y'= förmülü ile soınuca gidilir. ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?

ÇÖZÜM:

y

x

y

x

dx

dy

1

2

2

2

)

,

(

'

)

,

(

'

y

x

F

y

x

F

dx

dy

y x

)

,

(

'

)

,

(

'

y

x

F

y

x

F

dx

dy

y x

1

3

3

1

x

y

(24)

RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TEOREM: x R ve n N+ olmak üzere y=

fonksiyonunun türevi

PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa y=g(t)

bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.

x

n 1 1 1

1

'

x

n

n

y

)

(

'

)

(

'

.

t

h

t

g

dx

dt

dt

dy

dx

dy

(25)

ÖRNEK:

x=t-2 parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=? y=t2 -t +3

ÇÖZÜM

x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.

}

1

2

1

1

2

'

t

t

dt

dx

dt

dy

dx

dy

y

(26)

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ

KURAL

:

f’(x) 0 ise ÖRNEK: f(x)=x3-1 , (f-1)’(-9)=? ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2

))

(

(

'

1

)

(

'

1

1

y

f

f

x

f

12

1

3

1

)

2

(

'

1

2

x

f

(27)

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

1.(arcsinu)'=

2.(arccosu)'=

3.(arctanu)'=

4.(arccotu)'=

2

1

'

u

u

2

1

'

u

u

2

1

'

u

u

2

1

'

u

u

(28)

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ

1.f(u)=logau , f’(u) logae

2.f(u)=ınu , f’(u)

u

u'

u

u'

(29)

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ

1.f(x)=a

u

, f’(x)=a

u

. u’ . lna

2.f(x)=e

u

, f’(x)=e

u

. u’

(30)

LOGARİTMİK TÜREV ALMA

y=x

x

ıny=ınx

x

ıny= x . Inx

y’= (lnx+1).y

y’= (lnx+1).x

x

x

x

x

y

y

.

1

ln

'

(31)

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER

y=x -x+4

y'=2x-1 (1.Mertebeden türev) y''=2 (2.Mertebeden türev) y'''=0 (3.Mertebeden türev)

n n n n n n

dx

f

d

dx

y

d

x

f

y

( )

( )

(

)

Fonksiyonunun n. Mertebeden türevi

(32)

DİFERANSİYEL KAVRAMI

TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in

diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli dy= f’(x).dx

(33)

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

a b a b a b

azalan artan sabit f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise

f’(x)>0 f(x) , (a,b) aralığında artandır. f’(x)<0 f(x) , (a,b) aralığında azalandır.

f’(x)=0 f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur. 

 

(34)

EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER

Mutlak Extremum Noktası ve Değeri

TANIM(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en büyük değerdir.

(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük değerdir. ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim 1 lim 0 0 ) 1 ( 1 1 1 . . lim 1 1 x g x f x g x f ınx ınx x x ınx x x ınx x a x a x x x             

a c b

a,c mutlak min

b, mutlak max

(35)

ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x 1=2 x2=4

x

-

2 4

f’(x) + - +

f(x) f(2) f(4)

artan azalan artan

(36)

EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ

TANIM:

Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret

değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel ext değerleri k.n.ların içindedir.

X 0 1

f’(x) - - +

f(x)

Yerel min

(37)

TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI

KONVEKS KONKAV (DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY) f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için

Konveks

konkav

(38)

Max (f’)

min (f’)

d.n

ÖRNEK:

f(x)=3x4-4x3-1 fonksiyonunun DN larını inceleyelim.

ÇÖZÜM:

f’(x)=12x3-12x2 f’(x)=0 için x1=0 ,x2=1 ext adayları f’’(x)=36x2-24x f’’(x)=0 için x1= 0 x2=2/3

NOT:

0 DN larından biri olduğu için ext noktası olamaz. Ext noktası olarak sadece 1 vardır.f’’(1) > 0 olduğu için 1 apsisli nokta min ext noktasıdır.

x 0 1

f’’(x) + - +

(39)

MAX MİN PROBLEMLERİ

Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de yerine konulur. İstenilen değer bulunur.

Örnek: 3X +6 MAX ALAN? 6-X

ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x A(x)=18x+36-3x2-6x x=2

(40)

ORTALAMA DEĞER TEOREMİ

f:[a,b] R fonk [a,b] aralığında sürekli, (a,b) aralığında türevli olsun. Bu durumda en az bir X0 (a,b) için f ‘ (X

0)= dır.

a

b

a

f

b

f

(

)

)

(

 

TANIM:

f:[a,b] R fonksiyonu [a,b aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevlenebilir olsun. Eğer f(a)=f(b) ise X0 (a,b) için f ‘(X0)=0 dır.

(41)

L’ HOSPİTAL KURALI

0. Veya - belirsizlikleri veya a çevrilir.

Örnek :

)

('

)

('

lim

)

(

)

(

lim

0

0

.

0

)

(

).

(

lim

x

g

x

f

x

g

x

f

veya

x

g

x

f

x a x a a x

 

0

0

4

1

2

lim

x2

x

4

1

2

lim

x2

x

(42)

0. BELİRSİZLİĞİ

veya a çevrilir.

(

).

(

)

0

.

lim

x a

f

x

g

x

0

0

Örnek :

2

5

/

1

2

/

5

sin

lim

)

2

5

sin(

.

lim

x

x

x

x

x x

- BELİRSİZLİĞİ

veya a çevrilir.

0

0

0

0

)

1

(

1

.

lim

1

1

lim

1 1





 

ınx

x

x

ınx

x

ınx

x

x

x x Örnek :

2

1

/

1

/

1

/

1

lim

0

0

1

1

lim

0

0

)

1

(

1

1

1

.

.

lim

1 1 1 2

  

x

x

x

x

ınx

ınx

x

x

ınx

x

x

ınx

x

x x x

(43)

Örnek:

 

x

x

y

x

y

x

x x x

ln

.

ln

0

lim

0 0

 

 





x

x

y

y

x x x

1

ln

lim

ln

lim

.

0

ln

lim

0 0 0

 

lim

 

0

/

1

/

1

lim

ln

lim

0 2 0 0

x

x

x

y

x x x

 

ln

lim

 

lim

 

1

lim

0 0 0 0

x x x x

y

y

e

x

0

, 1

,

BELİRSİZLİKLERİ

Her iki tarafin e tabanlı logaritması alınır. 0.  belirsizliğine dönüşmüş olur.sonra her iki tarafın limiti alınır.

(44)

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun

grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat

düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz

çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın

koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle

eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini

bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde

çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği

noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn

karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,

çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da

eğriye asimptot olmasıdır.

(45)

Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu olduğunu

gösterelim.

Çözüm:

Düşey Asimptot

Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinde en az biri + ya da - ise , x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.

2 4 3 ) (    x x x f     0 2 2 4 3 lim 2 x x x

H

P

y=f(x)

x

y

a

(46)

Yatay Asimptot

Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya ise

y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.

b

x

f

x

(

)

lim

lim

x

f

(

x

)

b

y=f(x)

b

x

y

P

H

(47)

Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu gösterelim.

Çözüm: veya olduğundan,

y=3 doğrusu yatay asimptottur. 1 2 3    x x y 3 1 2 3 lim       x x x

3

1

2

3

lim

 

x

x

x

(48)

Eğik ve Eğri Asimptot

Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya

ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.

 

( )

0 limx f xg x

 

( )

0 limx f xg x

)

(x

g

y

) (x f y

)

(x

g

y

) (x f y

(49)

) ( ) ( ) ( x Q x P x f

y

  biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom

fonksiyonudur.)

1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+

biçiminde yazılabilir. Bu durumda,

olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur. 2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise;

der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.

Olacağından, y=a + bx+c fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.

O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm

O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm

asimptot denklemi olarak alınır.

asimptot denklemi olarak alınır.

) (x Q C

0 ) ( lim ) ( lim     x Q C n mx x f x x

 

) ( ) ( 2 x Q x K c bx ax x f    

 

0 ) ( ) ( lim lim 2     x Q x K c bx ax x f x x x2

(50)

Örnek

:

 

1 1 2 3 2     x x x x

f

fonksiyonun eğik

asimptotunu bulalım.

 

1 6 5 3     x x x f

olarak yazılır.

O halde; eğik asimptot, y= 3x-5 doğrusudur.

(51)

POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

1. f(x)=x

3

-12x ‘i inceleyelim.

2. Tanm kümesi: R 3. 4.x=0, y=0 y=0, x1= x2= - 5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n

3

2

lim

x

f

(

x

)



3

2

2

3

x

-

-

-2 0 2

f’(x) + + - - + + +

f’’(x) - - - + + + +

f(x)

3

2

2

3

Pol. Fonk.

Larda

asimptot

yoktur.per

iyodik

değildir.

(52)

          ) 2 ( ) 0 3 4 2 4 2 ' 2 2 a b x a vey x x x y

3

3

2

0

-2

-1

1

(53)

RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.

1. f(x)=

2. T . K. =R- (-2)

3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2

4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için

YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda ise YA=0 olur.

5.(0,-1/2) , (-1,0) 2 1   x x

(54)

x -1 0 2

f’(x) - - - -

f(x)

1

0 -1/2

-1

-1/2

2

(55)

X 1 2 3

Y’ - + - +

Y

0 0

(56)

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

1.y=sinx+3 2.T . R. = R

3.periyodu(T)=2 olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim. 4. Asimptot yok.

5.f’(x)=cosx =0 için (x 1= , y1=4 ) (x2= ,y2=2)

6.f(0)=3 , f( 2 )=3

7. F’’(x)=-sinx=0 için DN ları (0,3) , ( ,3)

  2

2

3

 

(57)

X 0 /2

f’(x) + + - - + +

f’’(x)

f(x) 3 4 3 2 3

DN yer DN yerel DN

max min

 

3

/2

2

(58)

4

3

1

2

(59)

İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

f(x)= a<0, asimptot yok

a>0 , asimptot var ve eğik

1.y=

2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)

3x2-4x +3 0 T=R-(1,3)

+ - + 3.(0, ) , (1,0) . (3, 0)

4, x=2 tanım kümesinin elemanı olmadığı için bu noktada ext yoktur.

c

bx

ax

2

)

2

(

)

2

(

2 1

a

b

x

a

vey

a

b

x

a

y

3 4 2  x x

1 3

3

0

3

4

2

4

2

'

2

x

x

x

y

Referanslar

Benzer Belgeler

(˙Ipucu: ¨ Ozge inte- graller ile ilgili teorem(ler) kullanarak veya integral testi ile ¸c¨ oz¨ ulebilir) 6.. D¨ onel cisimlerin

olarak tan¬mlanan fonksiyon x 0 noktas¬nda sürekli olur..

If f is differentiable at a, then f is continuous at a.. The proof is in

Bu bölümde, klasik analizde farkl¬ olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yakla¸ s¬mlar ifade edilecektir.. elde edilir.Bu ifade p-katl¬integrali

Takip eden türev kurallarının hepsi türevin limit tanımı

Verilen f(x) fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları söylemeye çalışınız. Fonksiyonun -4, -2, 1 ve 5 apsisli noktalarda limitleri varsa bulunuz. Bulduğunuz

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir.. Ancak bu, o noktada türevin olması için