TÜREV KAVRAMI
TÜREV ALMA KURALLARI
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER DİFERANSİYEL KAVRAMI
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI ROLLE VE ORTALAMA DEĞER TEOREMLERİ L’’HOSPİTAL KURALI
TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli olmak üzere
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
= olur. a x a f x f a x ) ( ) ( lim
)
(a
dx
df
0
)
(
a
x
a
x
0
h
a
x
a
f
x
f
a x
)
(
)
(
lim
h
a
f
h
a
f
h)
(
)
(
lim
0
ÖRNEK:
f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.
2
)
2
(
)
(
lim
)
2
(
2
x
f
x
f
f
x4
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
)
2
(
2 2 2
x
x
x
x
x
f
x xÇÖZÜM=
f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidirSOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM:
1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.
2. Limitinin bir reel sayı değeri
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
A
a
R
A
,
a
x
a
f
x
f
a x
(
)
(
)
lim
_a
x
a
f
x
f
a x
(
)
(
)
lim
f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)
= f’(a+) = f’(a) dır.
f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
ÖRNEK:
f: R R , f(x)= a)f’(2-)=?b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.
a ) = = = 4 b) = =
ise
x
x
ise
x
x
2
,
2
2
,
2
4
2<
2
)
2
(
)
(
lim
2
x
f
x
f
x2
4
lim
2 2
x
x
xlim
x2(
x
2
)
2
)
2
(
)
(
lim
2
x
f
x
f
x2
8
4
lim
2
x
x
xlim
4
4
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem
: olmak üzere; fonksiyonu a noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.1
. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.2
.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun3
.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bunoktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.
A
a
R
Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
2
2
2
)
(
2 2
x
x
x
f
2
2
2
)
(
2 2
x
x
x
f
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM:
a,b olmak üzerefonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere
fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
f
:
(
a
,
b
)
R
R
A
R
A
TÜREV ALMA KURALLARI
1)
f(x)= c f’(x) = 02)
f(x) = xn f’(x) = n . xn-13)
(c . f (x) )’ = c . f’(x)4)
5)
6)
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
).
g
(
x
)
f
(
x
).
g
(
x
)
g
(
x
).
f
(
x
)
2)
(
)
(
).
(
)
(
).
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
teğet
kesen
Y=f(x)
F(a+h) F(a) a a+h
a
h
a
a
f
h
a
f
)
(
)
(
)
(
h
a
f
h
a
f
(
)
(
)
AC
BC
mAB=tan = AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından
a
h
a
a
f
h
a
f
)
(
)
(
)
(
0lim
h mAT =f
' a
(
)
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
.
f(a)
y
x
a
n
t
Y=f(x)
A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
1
m
.
m
t n
)
a
(
'
f
1
m
1
m
t n
Anoktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur:
)
a
(
'
f
1
)
a
(
f
y
. (x-a)
Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin denklemini bulalım. Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4
normalin eğimi
: mn =
teğet denklemi
: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi :
y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
4
1
)
3
(
'
1
1
f
m
tTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u') f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')
f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ
g(x), g(x)>0
y=|g(x)|= 0 , g(x)=0
-g(x) , g(x)<0
g'(x) , g(x)>0
y'= araştırılır , g(x)=0
-g'(x) , g(x)<0
{
{
ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir? ÇÖZÜM: -3 +3 + | - | + x2-9 | 9-x2 | x2 -9 türevi 2x | -2x | 2x x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.
Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;
sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır. Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur. Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmazdı.
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= bulunur.
II.YÖNTEM: y'= förmülü ile soınuca gidilir. ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
ÇÖZÜM:
y
x
y
x
dx
dy
1
2
2
2
)
,
(
'
)
,
(
'
y
x
F
y
x
F
dx
dy
y x
)
,
(
'
)
,
(
'
y
x
F
y
x
F
dx
dy
y x
1
3
3
1
x
y
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TEOREM: x R ve n N+ olmak üzere y=
fonksiyonunun türevi
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa y=g(t)
bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
x
n 1 1 11
'
x
nn
y
)
(
'
)
(
'
.
t
h
t
g
dx
dt
dt
dy
dx
dy
ÖRNEK:
x=t-2 parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=? y=t2 -t +3ÇÖZÜM
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
}
1
2
1
1
2
'
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
y
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
KURAL
:
f’(x) 0 ise ÖRNEK: f(x)=x3-1 , (f-1)’(-9)=? ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2
))
(
(
'
1
)
(
'
1
1y
f
f
x
f
12
1
3
1
)
2
(
'
1
2
x
f
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1.(arcsinu)'=
2.(arccosu)'=
3.(arctanu)'=
4.(arccotu)'=
21
'
u
u
2
1
'
u
u
2
1
'
u
u
21
'
u
u
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1.f(u)=logau , f’(u) logae
2.f(u)=ınu , f’(u)
u
u'
u
u'
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1.f(x)=a
u, f’(x)=a
u. u’ . lna
2.f(x)=e
u, f’(x)=e
u. u’
LOGARİTMİK TÜREV ALMA
y=x
xıny=ınx
xıny= x . Inx
y’= (lnx+1).y
y’= (lnx+1).x
xx
x
x
y
y
.
1
ln
'
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
y=x -x+4
y'=2x-1 (1.Mertebeden türev) y''=2 (2.Mertebeden türev) y'''=0 (3.Mertebeden türev)
n n n n n n
dx
f
d
dx
y
d
x
f
y
( )
( )(
)
Fonksiyonunun n. Mertebeden türeviDİFERANSİYEL KAVRAMI
TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in
diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli dy= f’(x).dx
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
a b a b a b
azalan artan sabit f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0 f(x) , (a,b) aralığında artandır. f’(x)<0 f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0 f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en büyük değerdir.
(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük değerdir. ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim 1 lim 0 0 ) 1 ( 1 1 1 . . lim 1 1 x g x f x g x f ınx ınx x x ınx x x ınx x a x a x x x
a c b
a,c mutlak min
b, mutlak max
ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x 1=2 x2=4
x
-
2 4
f’(x) + - +
f(x) f(2) f(4)
artan azalan artan
EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
TANIM:
Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaretdeğiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel ext değerleri k.n.ların içindedir.
X 0 1
f’(x) - - +
f(x)
Yerel min
TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS KONKAV (DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY) f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks
konkav
Max (f’)
min (f’)
d.n
ÖRNEK:
f(x)=3x4-4x3-1 fonksiyonunun DN larını inceleyelim.ÇÖZÜM:
f’(x)=12x3-12x2 f’(x)=0 için x1=0 ,x2=1 ext adayları f’’(x)=36x2-24x f’’(x)=0 için x1= 0 x2=2/3NOT:
0 DN larından biri olduğu için ext noktası olamaz. Ext noktası olarak sadece 1 vardır.f’’(1) > 0 olduğu için 1 apsisli nokta min ext noktasıdır.x 0 1
f’’(x) + - +
MAX MİN PROBLEMLERİ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de yerine konulur. İstenilen değer bulunur.
Örnek: 3X +6 MAX ALAN? 6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x A(x)=18x+36-3x2-6x x=2
ORTALAMA DEĞER TEOREMİ
f:[a,b] R fonk [a,b] aralığında sürekli, (a,b) aralığında türevli olsun. Bu durumda en az bir X0 (a,b) için f ‘ (X
0)= dır.a
b
a
f
b
f
(
)
)
(
TANIM:
f:[a,b] R fonksiyonu [a,b aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevlenebilir olsun. Eğer f(a)=f(b) ise X0 (a,b) için f ‘(X0)=0 dır.L’ HOSPİTAL KURALI
0. Veya - belirsizlikleri veya a çevrilir.
Örnek :
)
('
)
('
lim
)
(
)
(
lim
0
0
.
0
)
(
).
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
veya
x
g
x
f
x a x a a x
0
0
4
1
2
lim
x2x
4
1
2
lim
x2x
0. BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
(
).
(
)
0
.
lim
x af
x
g
x
0
0
Örnek :2
5
/
1
2
/
5
sin
lim
)
2
5
sin(
.
lim
x
x
x
x
x x
- BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
0
0
0
0
)
1
(
1
.
lim
1
1
lim
1 1
ınx
x
x
ınx
x
ınx
x
x
x x Örnek :2
1
/
1
/
1
/
1
lim
0
0
1
1
lim
0
0
)
1
(
1
1
1
.
.
lim
1 1 1 2
x
x
x
x
ınx
ınx
x
x
ınx
x
x
ınx
x
x x xÖrnek:
x
x
y
x
y
x
x x xln
.
ln
0
lim
0 0
x
x
y
y
x x x1
ln
lim
ln
lim
.
0
ln
lim
0 0 0
lim
0
/
1
/
1
lim
ln
lim
0 2 0 0
x
x
x
y
x x x
ln
lim
lim
1
lim
0 0 0 0
x x x xy
y
e
x
0
, 1
,
BELİRSİZLİKLERİ
Her iki tarafin e tabanlı logaritması alınır. 0. belirsizliğine dönüşmüş olur.sonra her iki tarafın limiti alınır.
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun
grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat
düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz
çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın
koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle
eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini
bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde
çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği
noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn
karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,
çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da
eğriye asimptot olmasıdır.
Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu olduğunu
gösterelim.
Çözüm:
Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinde en az biri + ya da - ise , x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
2 4 3 ) ( x x x f 0 2 2 4 3 lim 2 x x x
H
P
y=f(x)
x
y
a
Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
b
x
f
x(
)
lim
lim
xf
(
x
)
b
y=f(x)
b
x
y
P
H
Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu gösterelim.
Çözüm: veya olduğundan,
y=3 doğrusu yatay asimptottur. 1 2 3 x x y 3 1 2 3 lim x x x
3
1
2
3
lim
x
x
xEğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya
ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.
( )
0 limx f x g x
( )
0 limx f x g x )
(x
g
y
) (x f y
)
(x
g
y
) (x f y
) ( ) ( ) ( x Q x P x f
y
biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
fonksiyonudur.)
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
biçiminde yazılabilir. Bu durumda,
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur. 2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise;
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.
Olacağından, y=a + bx+c fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
asimptot denklemi olarak alınır.
asimptot denklemi olarak alınır.
) (x Q C
0 ) ( lim ) ( lim x Q C n mx x f x x
) ( ) ( 2 x Q x K c bx ax x f
0 ) ( ) ( lim lim 2 x Q x K c bx ax x f x x x2Örnek
:
1 1 2 3 2 x x x xf
fonksiyonun eğik
asimptotunu bulalım.
1 6 5 3 x x x folarak yazılır.
O halde; eğik asimptot, y= 3x-5 doğrusudur.
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
1. f(x)=x
3-12x ‘i inceleyelim.
2. Tanm kümesi: R 3. 4.x=0, y=0 y=0, x1= x2= - 5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n3
2
lim
xf
(
x
)
3
2
2
3
x
-
-
-2 0 2
f’(x) + + - - + + +
f’’(x) - - - + + + +
f(x)
3
2
2
3
Pol. Fonk.
Larda
asimptot
yoktur.per
iyodik
değildir.
) 2 ( ) 0 3 4 2 4 2 ' 2 2 a b x a vey x x x y
3
3
2
0
-2
-1
1
RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.
1. f(x)=
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için
YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0) 2 1 x x
x -1 0 2
f’(x) - - - -
f(x)
10 -1/2
-1
-1/2
2
X 1 2 3
Y’ - + - +
Y
0 0TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
1.y=sinx+3 2.T . R. = R
3.periyodu(T)=2 olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim. 4. Asimptot yok.
5.f’(x)=cosx =0 için (x 1= , y1=4 ) (x2= ,y2=2)
6.f(0)=3 , f( 2 )=3
7. F’’(x)=-sinx=0 için DN ları (0,3) , ( ,3)
2
2
3
X 0 /2
f’(x) + + - - + +
f’’(x)
f(x) 3 4 3 2 3
DN yer DN yerel DN
max min
3
/2
2
4
3
1
2
İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
f(x)= a<0, asimptot yok
a>0 , asimptot var ve eğik
1.y=
2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)
3x2-4x +3 0 T=R-(1,3)
+ - + 3.(0, ) , (1,0) . (3, 0)
4, x=2 tanım kümesinin elemanı olmadığı için bu noktada ext yoktur.