1 KÜMELER
Küme: Belirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz.
En iyi sanatçı ( - )
En güzel şarkı ( - )
Sınıftaki en güzel kız ( - )
Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + )
Uçan insanlar ( + )
Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
∅ ya da { } şeklinde gösterilir.
3 ile 4 arasındaki doğal sayılar ( ∅ )
Uçan inekler ( ∅ )
Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelerdir. 𝑨 = 𝑩 şeklinde gösterilir.
𝑨 = {𝟑, 𝟒, 𝟓} ve
𝑩 = {𝟐 𝐢𝐥𝐞 𝟔 𝐚𝐫𝐚𝐬ı𝐧𝐝𝐚𝐤𝐢 𝐝𝐨ğ𝐚𝐥 𝐬𝐚𝐲ı𝐥𝐚𝐫}
𝑨 = 𝑩 dir.
Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelerdir.
𝑨 ≡ 𝑩 şeklinde ifade edilir.
𝑨={𝒂,𝒃,𝒄,𝒅}
𝑩={𝒙,𝒚,𝒛,𝒕} } 𝑠(𝐴) = 4 𝑣𝑒 𝑠(𝐵) = 4 𝑨 ≡ 𝑩
Kümelerin Gösteriliş Yöntemi:
Liste Yöntemi: Verilen kümenin elemanları küme için tek tek yazılarak elde edilir.
𝑨 = {𝐕𝐀𝐓𝐀𝐍} kelimesinin harflerini liste yöntemi ile gösterirsek.
𝑨 = {𝐕, 𝐀, 𝐓, 𝐍}
NOT: Aynı elemanlar bir kümenin içine birden fazla yazılamaz.
Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.
𝑨 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} liste yöntemi ile gösterilen kümeyi ortak özellik yöntemi ile gösterirsek
𝑨 = {𝒙 |𝒙 ç𝐢𝐟𝐭 𝐛𝐢𝐫 𝐫𝐚𝐤𝐚𝐦}
Venn Şeması Yöntemi: Kümenin elemanları şekil çizilerek şeklin içine tek tek yazılır.
𝑨 = {𝐇𝐚𝐟𝐭𝐚𝐧ı𝐧 𝐩 𝐢𝐥𝐞 𝐛𝐚ş𝐥𝐚𝐲𝐚𝐧 𝐠ü𝐧𝐥𝐞𝐫𝐢} kümesini liste yöntemi ve Venn şeması yöntemi ile gösteriniz.
𝑨 = {𝐏𝐚𝐳𝐚𝐫𝐭𝐞𝐬𝐢, 𝐏𝐞𝐫ş𝐞𝐦𝐛𝐞, 𝐏𝐚𝐳𝐚𝐫}
A .Pazartesi .Perşembe .Pazar
Alt Küme: A kümesinin her bir elemanı, B kümesinin de bir elemanı oluyorsa A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
B A
𝑨 ⊂ 𝑩 şeklinde yazılır ve iki farklı şekilde ifade edilir.
A alt küme B dir.
B kapsar A dır.
Alt Kümenin Özellikleri:
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
𝑨 ⊂ 𝑩 ve 𝑩 ⊂ 𝑨 ise 𝑨 = 𝑩 dir.
𝑨 ⊂ 𝑩 ve 𝑩 ⊂ 𝑪 ise 𝑨 ⊂ 𝑪 dir.
𝒔(𝑨) = 𝒏 olmak üzere A kümesinin alt küme sayısı 𝟐𝒏 dir.
𝒏 elemanlı bir kümenin r elemanlı küme sayısı n nin r li kombinasyonu
2
𝒄(𝒏, 𝒓) = (𝒏𝒓) = (𝒏−𝒓)!.𝒓!𝒏! dir.
ya da (𝒏𝒓) =
𝒓 𝒌𝒆𝒛
↔ 𝒏(𝒏−𝟏).(𝒏−𝟐)…
𝒓! dir.
(𝟓𝟑) = 𝟓.𝟒.𝟑
𝟑! =𝟔𝟎
𝟔 = 𝟏𝟎 (𝟒𝟐) = 𝟒.𝟑
𝟐! =𝟏𝟐
𝟐 = 𝟔
Öz Alt Küme Sayısı: Bir kümenin kendisi dışındaki alt küme sayısıdır.
𝒔(𝑨) = 𝒏 olmak üzere
A nın öz alt küme sayısı: 𝟐𝒏− 𝟏 dir
Kümelerde İşlemler Kümelerin Birleşimi:
𝑨⋃𝑩 = { 𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚𝒂 𝒅𝒂 𝒙 ∈ 𝑩}
𝑨⋃𝑩
𝒔(𝑨⋃𝑩) = 𝒔(𝑨) + 𝒔(𝑩) − 𝒔(𝑨 ∩ 𝑩)
Kümelerin Kesişimi:
𝑨 ∩ 𝑩 = { 𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒗𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}
𝑨 ∩ 𝑩
Fark Kümeleri:
A B
𝑨 − 𝑩 𝑩 − 𝑨 𝑨\𝑩 𝑩\𝑨
Tümleyen:
A
Taralı bölge 𝑨′ veya 𝑨̅ şeklinde gösterilir.
𝑨′= 𝑨 nın dışındaki her yerdir.
Evrensel Küme:
E Evrensel Küme
A B
𝒔(𝑨) + 𝒔(𝑨′) = 𝑬 𝒔(𝑩) + 𝒔(𝑩′) = 𝑬
Soru 1:
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} kümesinin alt kümeleri nelerdir?
Çözüm:
Alt küme sayısı: 2𝑛= 23= 8 tanedir.
{ }, { 𝑎 }, { 𝑏 }, { 𝑐 }, { 𝑎, 𝑏 }, { 𝑎, 𝑐 }, { 𝑏, 𝑐 }, { 𝑎, 𝑏, 𝑐 }
3 Soru 2: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, {𝑎}, {𝑏, 𝑐}, 𝑑} kümesi için hangileri
doğrudur?
1- {𝑎} ∈ 𝐴 2- 𝑎 ∈ 𝐴 3- {𝑎} ⊂ 𝐴 4- {𝑏, 𝑐} ⊂ 𝐴 5- {{𝑏, 𝑐}} ⊂ 𝐴 6- {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐴 7- 𝑠(𝐴) = 5 8- 𝑑 ∈ 𝐴
9- {𝑏, {𝑏, 𝑐}} ⊂ 𝐴 10- {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐴 11- {𝑏, 𝑑} ⊂ 𝐴 Çözüm:
𝐷, 𝐷, 𝐷, 𝑌, 𝐷, 𝐷, 𝐷, 𝐷, 𝐷, 𝑌, 𝐷
Soru 3: 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt küme sayısı nedir?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 Çözüm:
𝐷
Soru 4: 7 elemanlı bir kümenin en fazla 4 elemanlı alt küme sayısı nedir?
A) 92 B) 94 C) 95 D) 97 E) 99 Çözüm:
𝐸
Soru 5:
𝐴 = {1,2,3, 𝑥, 𝑦, 𝑧} kümesinin alt kümelerinin kaç tensinde
a) 1 eleman olarak bulunur ? Çözüm:
32
b) 3 eleman olarak bulunur ? Çözüm:
32
c) 1 eleman olarak bulunmaz ? Çözüm:
32
d) 1 bulunur, 2 bulunmaz ? Çözüm:
16
e) 2 ve 3 eleman olarak bulunur ? Çözüm:
16
f) 2 veya 3 eleman olarak bulunur ? Çözüm:
48
Soru 6: 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tensinde
a) 1 eleman olarak bulunmaz ? Çözüm:
5
b) 1 eleman olarak bulunur ? Çözüm:
10
c) 1 bulunur 3 bulunmaz ? Çözüm:
4
d) 1 ve 3 bulunur ? Çözüm:
6
4 e) 1 veya 3 eleman olarak bulunur ?
Çözüm:
14
Soru 7: 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az 3 asal sayı bulunur?
A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42 Çözüm:
𝐷
Soru 8: Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?
A) 𝐴 = {𝑥 ∶ 2𝑥 − 3 = 1 , 𝑥 ∈ 𝑅}
B) 𝐵 = {∅}
C) 𝐶 = {𝑥 ∶ −2 < 𝑥 < −1 , 𝑥 ∈ 𝑅+} D) 𝐷 = {𝑥 ∶ 𝑥 < 2 , 𝑥 ∈ 𝑁}
E) 𝐸 = {1,2,3, … } Çözüm:
𝐶
Soru 9: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} alt kümelerinin kaç tanesinde
a) a bulunmaz?
𝟐𝟐 = 𝟒 b) a bulunur?
𝟐𝟐 = 𝟒
NOT: A bulunur = A bulunmaz
Soru 10: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde
a) a vardır b yoktur?
Çözüm:
8
b) a veya b vardır?
Çözüm:
24
Soru 11: A ve B aynı evrensel kümenin iki alt kümesidir.
Buna göre (A′UB)′∪ (A − B′) ifadesinin eşiti nedir?
A) A B) B C) 𝐴 ∩ 𝐵 D) 𝐴 ∪ 𝐵 E) 𝐴 − 𝐵 Çözüm:
𝐴
Soru 12: (A′ ∪ B′) ∩ (A − B)′ ifadesinin eşiti nedir?
A) A B) B C) 𝐴′ D) 𝐵′ E) 𝐴 − 𝐵 Çözüm:
𝐶
5 Soru 13: [(A ∩ B)′ ∩ B)]′ ∪ (A − B) ifadesinin eşiti
nedir?
A) (𝐴 − 𝐵)′ B) (𝐴 ∪ B)′ C) 𝐴′ D) 𝐵′ E) (𝐵 − 𝐴)′
Çözüm:
𝐸
Soru 14:
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑒}
𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} olduğuna göre (𝐴 ∩ 𝐵) ⊑ 𝐾 ⊑ (𝐴 ∪ B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 Çözüm:
𝐷
Soru 15: 𝑠(𝐴) = 8 , 𝑠(𝐵 − 𝐴) = 3 olduğuna göre, 𝑨 ∪ 𝐁 kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Çözüm:
𝐶
Soru 16: 𝐸 evrensel küme olmak üzere 𝑠(𝐸) = 9 , 𝑠(𝐴 ∩ 𝐵) = 3 , 𝑠(𝐴 ∪ B) = 6 , 𝑠(𝐵) = 4 olduğuna göre, 𝒔(𝑨′) =?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm:
𝐷
Soru 17: 𝐴, 𝐵 iki küme ve 𝐴 ∪ B, A − B ve 𝐵 − 𝐴 kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512,32 ve 4 olduğuna göre 𝒔(𝑨 ∩ 𝑩) =?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm:
𝐵
Soru 18: 𝐴, 𝐵 iki küme 𝑠(𝐴) = 2. 𝑠(𝐵) , 𝑠(𝐴 − 𝐵) = 10 ve 𝐴 ∩ 𝐵 kümesinin alt kümeleri sayısı 16 olduğuna göre, 𝒔(𝑨 ∪ 𝐁) =?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Çözüm:
𝐸
Soru 19: 𝐴, 𝐵 iki küme 𝑠(𝐴 ∪ B) = 14, 𝑠(𝐴 − B) = 3 ve 𝑠(𝐵) = 2. 𝑠(𝐴 ∩ 𝐵) − 3 ise 𝒔(𝑩 − 𝑨) =?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm:
6
𝐵
NOT:
A=Matematiği Sevenler B=Geometriyi Sevenler
Matematiği sevenler:{𝒙, 𝒚}
Matematiği sevmeyenler:{𝒛, 𝒕}
Sadece Matematiği sevenler: {𝒙}
Yalnız bir ders sevenler: {𝒙, 𝒛}
Matematik ve Geomeriyi sevenler: {𝒚}
Matematik veya Geometriyi sevenler: {𝒙, 𝒚, 𝒛}
En az bir dersi sevenler: {𝒙, 𝒚, 𝒛}
En fazla bir dersi sevenler: {𝒙, 𝒛, 𝒕}
Soru 20: 34 kişilik bir grupta ingilizce bilmeyenlerin sayısı 12 dir. İngilizce veya Fransızcadan en çok birini bilenlerin sayısı 26, Fransızca bilmeyenlerin sayısı 21 olduğuna göre hiç birini bilmeyenlerin sayısı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm:
𝐸
Soru 21: Futbol, Voleybol ve Basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5 futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8 , futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir.
Futbol oyanayanlar 23, voleybol oynayanlar 21,
basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır?
A) 38 B) 41 C) 44 D) 47 E) 50 Çözüm:
𝐵
Soru 22: Bir otobüs kazasında 18 kişinin bacağı, 11 kişinin kolu kırılmış, 7 kişi başından yaralanmış, 3 kişinin hem başı yaralanmış hem kolu kırılmış, 4kişinin hem kolu hem bacağı kırılmış, 2 kişide kazayı hiç yara almadan atlatmıştır. Kaza sırasında otobüste kaç kişi vardır?
A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32 Çözüm:
𝐷
Soru 23: Sarışın veya kumral öğrencilerden oluşan 19 kişilik bir grupta mavi veya kahverengi gözlü öğrenciler vardır. Kumral öğrenciler 12, kahverengi gözlüler 8 ve mavi gözlü sarışınlar 4 kişidir. Kahverengi gözlü kumralların sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm:
𝐸
Soru 24: Facebook veya Twitterdan en çok ikisini kullananlardan oluşan bir toplulukta, Twitter kullanmayan 13 kişi , Facebook kullanmayan 9 kişi , Facebook kullanan 21 kişi olduğuna göre, bu toplulukta Twitter kullanan kaç kişi vardır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 Çözüm:
𝐶
7 Soru 25: A ve B birer kümedir.
𝑠(𝐴 ∩ 𝐵) = 5 , 𝑠[(𝐴 ∪ 𝐵)𝑥(𝐵 − 𝐴)] = 19 olduğuna göre, 𝒔(𝑨 − 𝑩) =?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Çözüm:
𝐴
Soru 26: (8, 2b+2) = (a + 3,16) olduğuna göre, 𝐚 + 𝐛 =?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm:
𝐸
Soru 27: A = {x | 10 ≤ 𝑥 ≤ 150 , 𝑥 = 3𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑁}
𝐵 = {x | 10 ≤ 𝑥 ≤ 150 , 𝑥 = 5𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑁}
olduğuna göre 𝒔(𝑨 ∩ 𝑩) =?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Çözüm:
𝐸
Soru 28: A ve B boş kümeden farklı kümelerdir.
4. 𝑠(𝐴) = 3. 𝑠(𝐵) = 5. 𝑠(𝐴 ∩ 𝐵) olduğuna göre , 𝒔(𝑨 ∪ 𝑩) en az kaçtır?
A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 Çözüm:
𝐴
Soru 29: 𝑨 = {1,2,3,4,5,6} kümesinin tüm alt kümeleri bir karta yazılarak torbaya atılıyor. 1 veya 2 nin eleman olarak bulunduğu bir kümenin yazılı olduğu kartı çekmeyi garantilemek için en az kaç kart çekmelidir?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Çözüm:
𝐸
Soru 30: Facebook veya İnstagram uygulamasından en az birinin kullanıldığı sınıfta, öğrencilerin %70 i facebook,
%36 sı instagram kullanmaktadır. Sadece facebook kullanan 32 kişi olduğuna göre, sadece instagram kullanan kaç kişi vardır?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Çözüm:
𝐶