Özdeş parça üreten esnek işlemli akış tipi sistemlerde çıktı miktarının en büyüklenmesi

SSTEMLERDE ÇIKTI MKTARININ EN BÜYÜKLENMES

FATMA “LER

YÜKSEK LSANS TEZ

ENDÜSTR MÜHENDSL‡

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2013

Prof. Dr. Ne ip CAMU“CU

Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans dere esinin tüm gereksinimlerinisa§lad§nonaylarm.

Prof. Dr. Tahir HANALO‡LU

AnabilimDal Ba³kan

FATMA “LER tarafndan hazrlanan ÖZDE“ PARÇA ÜRETEN ESNEK

“LEML AKI“TP SSTEMLERDE ÇIKTI MKTARININ EN

BÜYÜKLEN-MES adlbu tezin YüksekLisans tezi olarakuygun oldu§unu onaylarm.

Yrd. Doç. Dr. HakanGÜLTEKN

Tez Dan³man

Tez JüriÜyeleri

Ba³kan:Yrd. Doç. Dr. NiyaziOnurBAKIR

Üye : Yrd. Doç. Dr. Hakan GÜLTEKN

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde

edilerek sunuldu§unu, ayr a tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu

çal³madaorijinalolmayanher türlü kayna§a eksiksizatf yapld§nbildiririm.

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Endüstri Mühendisli§i

Tez Dan³man : Yrd. Doç. Dr. Hakan GÜLTEKN

Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A§ustos 2013

Fatma “LER

ÖZDE“ PARÇA ÜRETEN ESNEK “LEML AKI“ TP

SSTEMLERDE ÇIKTI MKTARININ EN BÜYÜKLENMES

ÖZET

Bu çal³ma kapsamnda iki problem ele alnm³tr. lk problem n adet özde³

parçann üretildi§i3-makinelivetekesnek i³lemlibirak³atölyesidir.Sistemdeki

bütün makineler kendi sabit i³leminin yan sra esnek i³lemi de yapabile ek

kapasitededir. Her parçann esnek i³lemi sade ebir makineyeatanmaldr. kin i

problemde iseyine özde³ parçalarn üretildi§i

m

-makineli,

(m − 1)

esnek i³lemin yer ald§ bir ak³ atölyesi ele alnm³tr. Bu problemde ise her ard³k iki

makine arasnda bir esnek i³lem bulunmaktadr. Her iki problemdeki amaç

da her parçann esnek i³leminin/i³lemlerinin hangi makinede i³lene e§ine karar

vererek üretim çkt miktarn enbüyüklemektir. Ön elikle problemlerin karma

tamsayl matematiksel modelleri geli³tirilmi³tir. An ak veri boyutu arttkça

optimal sonu a ula³mak güçle³ti§i için her iki problem için de ayr sezgisel

algoritmalargeli³tirilmi³tir.Di§ertaraftan,3-makineliproblemiçinkesinçözüme

matematiksel modelden çok daha ksa sürede ula³an dinamik programlama

algoritmas geli³tirilmi³tir. Geli³tirilen sezgisellerin performanslarn test etmek

için kapsaml deneysel çal³malar yaplm³tr. Matematiksel modelin sonuçlar,

GAMS 23.8.2arayüzü kullanlarak CPLEX 12çözü üsü yardmylaelde edilmi³,

sezgisel algoritma ise C++ ile kodlanm³tr. Elde edilen sonuçlar, çözüm süresi

ve optimalsonu a uzaklk de§erleridikkate alnarak analiz edilmi³tir.

AnahtarKelimeler: Ak³atölyesi,esneküretimsistemleri,çizelgeleme,sezgisel

Institute : Institute of Natural and Applied S ien es

S ien e Programme : Industrial Engineering

Supervisor : Asst. Prof. Hakan GÜLTEKN

Degree Awarded and Date : M.S .  AUGUST 2013

Fatma “LER

THROUGHPUT MAXIMIZATION IN FLOWSHOPS PRODUCING

IDENTICAL PARTS HAVING FLEXIBLE OPERATIONS

ABSTRACT

In thisstudy, twoproblems are onsidered.The rst oneis a3-ma hine owshop

produ ing

n

identi alparts withaexibleoperation.Allma hinesinthesystem, performs a xed operation on the parts and have the apability to produ e

an additional operation alled the exible operation. Flexible operation of ea h

part must be assigned only one ma hine. The se ond problem is an

m

-ma hine owshop with

(m − 1)

exible operations. There is a exible operation between ea hoftwo onse utivema hines.Inbothproblems,theobje tiveistodetermine

the assignment of the exible operations of all parts in order to maximize

the throughput rate. We formulated the problems as Mixed Integer Programs.

However as the problem size in reases, the required CPU time to solve the

modelsin reasesdrasti ally.Thereforewedevelopedheuristi algorithmsforboth

problems,wealsodevelopedadynami algorithmforthe rstproblemwhi h an

nd theoptimalsolutionmorequi kly than themathemati almodel.Totestthe

performan es of heuristi algorithms, omprehensive omputational studies are

made. We oded mathemati al models using GAMS interfa e with CPLEX 12

Solver and we oded the heuristi algorithms in C++ programming language.

The results are analyzed, with respe t to required CPU times and the per ent

gaps with the optimal solution.

Keywords: Flowshops, exible manufa turing systems, s heduling, heuristi s,

Bu çal³may tamamlamamda yardmlarn, özverisini ve eme§ini asla

esirge-meyen, hatalarm eksiklerimi her daim anlay³la kar³layarak tolere eden, her

konudabilgivete rübesineba³vurabildi§imtezdan³manmYrd.DoçDr.Hakan

GÜLTEKN'e, tez jürisinde yer alarak tezimi okuyan ve de§erlendiren de§erli

ho alarm Yrd. Doç. Dr. Niyazi Onur BAKIR ve Doç. Dr. Erdem ACAR'a,

hayatm boyun a her zaman yanmda olduklarna emin oldu§um aileme, bu

süreçte deste§ini asla eksik etmeyen ni³anlm Rafet SEVER'e, en güzel en

içten dostlu§u ya³attklar, iyi kötü her anm payla³tklar için ba³ta Saliha

ALTUNTA“, Ayça ARIKAN, Seda SUCU ve Bu§ra ERSÜ olmak üzere bütün

asistan arkada³larma ve 110M489 numaral proje kapsamnda çal³malarm

1 Giri³ 1

2 Literatür 4

2.1 Ak³ Tipi Üretim SistemlerindeÇizelgeleme . . . 4

2.2 ÜretimdeEsneklik Kavram . . . 8

2.3 Ak³ Tipi Üretim SistemlerindeEsneklik . . . 10

2.4 Özet . . . 14

3 3 Makineli Tek Esnek ³lemli Ak³ Atölyesi 15 3.1 ProblemTanm ve MatematikselModel . . . 15

3.2 Temel Sonuçlar . . . 18

3.3 SezgiselÇözüm Yöntemi . . . 27

3.3.1 Algoritmaadmlar . . . 28

3.3.2 Deneysel çal³ma . . . 31

3.4 DinamikProgramlama Algoritmas . . . 40

4.2 SezgiselÇözüm Yöntemi . . . 58

4.3 Deneysel Çal³ma . . . 61

5 Sonuç ve De§erlendirme 67

Kaynaklar 70

3.1 3Makine Tek Esnek ³lemliAk³ Atölyesi. . . 16

3.2 Durum 1 çinAlt Snr Gantt“emas . . . 22

3.3

C

max

(1)

Gantt “emas . . . 23

3.4 Durum 2 çinAlt Snr Gantt“emas . . . 24

3.5

C

max

(2)

çinGantt“emas . . . 25

3.6 Durum 3 çinAlt Snr Gantt“emas . . . 26

3.7

C

max

(3)

çinGantt“emas . . . 26

3.8 Örnek 1 çinSezgisel Yöntemle Bulunan Çizelge . . . 31

3.9 Örnek 1 çinOptimalÇizelge . . . 31

3.10 DinamikProgramlama Notasyonu . . . 42

3.11 Son parçann (2,4) Durumunda TamamlanmaZaman Fark . . . 44

3.12 3.ParçannAtamasnnMakine1, 2 ve 3'te oldu§u durum . . . . 46

3.13 Örnek 2 çinOptimalÇizelge . . . 48

3.1 lkParça çinEsnek ³lemAtamas Alternatieri . . . 19

3.2 kin i ParçannEsnek ³leminin Atamas . . . 21

3.3 Deney Faktörleri . . . 32

3.4 Bütün Problemleri çeren Genel Tablo . . . 34

3.5 20Parça çinÖzet Tablo . . . 36

3.6 50Parça çinÖzet Tablo . . . 37

3.7 100 Parça çinÖzet Tablo . . . 39

3.8 Örnek 2 çin

(a

i

, b

i

)

'nin Alabile e§iDe§erler . . . 44

3.9 Parça 4 çin Elde Edilen TamamlanmaZaman Farklar . . . 45

3.10 Parça 3 çin Elde Edilen TamamlanmaZaman Farklar . . . 47

3.11 Örnek 2 çinSon Tablo . . . 47

4.1 Deney FaktörleriDizayn . . . 61

4.2 5Makine 20³ çin Özet Tablo . . . 62

4.3 5Makine 50Parça çinÖzet Tablo . . . 63

4.4 15Makine 20Parça çinÖzet Tablo . . . 64

Çizelgeleme birçok üretim ve hizmet sistemlerinde önemli rol oynayan bir karar

verme süre idir. Satn alma, üretim, ta³ma, bilgi i³leme ve haberle³me gibi

çok çe³itli alanlardakullanlr. Çizelgeleme fonksiyonu bir ³irkette matematiksel

veya sezgisel yöntemlerle i³lerin gerçekle³tirilmesinde snrl kaynaklarn tahsis

edilmesine imkan sa§lar. Kaynaklarn etkin tahsis edilmesi, ³irketin amaçlarna

en iyi ³ekilde ula³masnsa§lar[6℄.

Bir çok imalat ve montaj sistemlerinde parçalar farkl makineler üzerinde i³lem

görürler. Tüm i³lerin rotas ayn ise, yani tüm i³ler ayn makineleri ayn srada

takipediyorlar ise, bu ortam ak³ tipiolarakadlandrlr[36℄.

Günümüzde teknolojinin hzl de§i³imiyle, tüketi iye sunulan ürünler de çok

ksa zaman içinde de§i³ime u§ramaktadr. Ürünlerin piyasada bulunabildikleri

sürelerin bu kadar ksa olmas ise rekabeti daha belirgin bir hale getirmektedir.

Bu sebeple endüstriyel alanda de§i³ime en kolay adapte olabilen ve üretimini

etkinbir³ekildeplanlaypçizelgelemeproblemlerineksasüredeçözümüretebilen

rmabiradmöne geçme³ansnasahiptir.An aksektörlerinbude§i³iminhzna

yeti³ebilmek içinsürekli üretim sistemlerini yenilemek gibibir lüksü yoktur. Bu

sebeple mev ut sistemin daha etkin kullanlabilmesi ve farkl durumlara

uygu-lanabilirli§inin olmas gerekmektedir. Tam bu noktada esnek üretim sistemleri

kar³mzaçkmaktadr.Esnek Üretimsistemleribellibirürünyadamodellesabit

kalmayp farkl üretimalternatieri sunabile ek kabiliyete sahip sistemlerdir.

Bu çal³mada3 makinelive

m

-makineli olmaküzere iki problemelealnm³tr:

i³leme tabi tutulmaktadr. Her makinenin kendine özgü sabit i³lemlerinin

yan sra parçalarn ürün haline gelebilmesi için bir de esnek i³lemden

geçmesi gerekmektedir. Sistemdeki her üç makine de bu esnek i³lemi

yapabilmekabiliyetine sahiptir. Problemde her parça içinbu esnek i³lemin

hangi makinede yapla a§ kararnn verilmesi gerekmektedir. Problemdeki

amaç son parçann makine 3'teki tamamlanma zamannenküçüklemektir.

Problemde makineler aras ara stok alan snrsz kabul edilmektedir. Bu

nedenle çözüm yöntemlerinde bu bir kst olarak alnmam³tr.Snrsz ara

stok kapasitesi,

n

parçann üretildi§i bir sistemde

n − 1

adet ara stok alan bulunmas durumunda geçerlidir. Çünkü bu durumda makinelerin

ara stok alannda yer kalmayp parçann makine üzerinde kalarak o

makinenin çal³masn engellemesi (bloke olma) durumu hiçbir zaman

gerçekle³meye ektir.

Bu problemin çözümü için ön elikle karma tamsayl matematiksel model

kurulmu³tur. Parça says ya da makine says gibi problem verilerindeki

art³la matematiksel modelin sonuç verme süresinin oldukça artt§

göz-lemlenmi³tir.Gerçek hayatta birüretim sisteminde, her gün en azbirkere

kararverilmesigerekenbirproblemoldu§uiçinmatematikselmodelinsonuç

verdi§isürelerinkabuledilebilirzamanlarolmad§görülmü³tür.Bunedenle

problemin çözümü için sezgisel yöntem geli³tirilmi³ ve geli³tirilen

algorit-mann test edilmesi için deneysel çal³ma yaplm³tr. Sezgisel yöntemle

geli³tirilenalgoritmaile oldukça iyi sonuçlar elde edilmi³ olmasnara§men

sade e 3 makinenin bulundu§u bir sistem içinoptimal sonuçlarn dinamik

programlama ile bulunabile e§i öngörülerek bir dinamik programlama

algoritmasgeli³tirilmi³tir.An akproblemverilerinindinamikprogramlama

algoritmasnnçözümsüresinde deönemlibirkriterolarakkar³mzaçkt§

görülmü³tür. Bu nedenle dinamik programlama algoritmasnn çal³ma

süresini ksalta ak çe³itliteoremler ispatlanm³tr.

- Ele alnan bir di§er problem ise

m

-makineli sistemdir. Snrsz ara stok alan,

n

parçann üretilmesiveher makineninkendi sabit i³lemininoldu§u varsaym bu problem içinde geçerlidir. An ak bu sistemde ilk makineden

ba³lamak üzere her ard³k iki makine arasnda biresnek i³lem

i³lemlerinhangimakinelerdeyapla a§nakararvermektir.Herparçannher

esneki³lemiiçinkararverilereksonparçann

m

makinesindekitamamlanma zamanenküçüklenmeye çal³lmaktadr.

Bu problemin çözümü için de 3 makineli probleme benzer ³ekilde karma

tamsaylmatematikselmodelgeli³tirilmi³tir.Beklendi§iüzereçözümsüresi

küçük problemverilerinde dahi çokbüyük oldu§u durumlarlakar³la³ld§

için bu problem için de bir sezgisel yöntem geli³tirilmi³tir. Deneysel bir

çal³mayaplarak geli³tirilenyöntem test edilmi³tir.

Tez çal³mas 5 bölüm olarak in elenmi³tir. Bir sonraki bölümde literatür

ara³trmasna yer verilerek, ak³ tipi üretim sistemlerinde çizelgeleme, üretimde

esneklik kavramve ak³ tipiüretim sistemlerinde esneklik konularnda yaplm³

çal³malar taranm³tr. Bölüm 3 ve Bölüm 4'te ise srasyla 3 makineli ve

m

-makineli ak³ atölyesi problemleri ele alnm³tr. Her iki bölüm de kendi içinde

problemtanm,çözümyöntemlerivedeneyselçal³maolmaküzere altbölümlere

ayrlm³tr.Sonbölümdeise,çal³maylailgilisonuçlarveyorumlaraaynzamanda

gele ekçal³malardane gibiproblemlerinelealnabile e§ineyerverilerek çal³ma

Bugüne kadar çizelgelemekonusundayaplm³ çoksaydaçal³mavardr.Makine

çizelgeleme problemlerini; tek makine çizelgeleme problemleri, paralel makine

çizelgeleme problemleri, ak³ tipi çizelgeleme problemleri, atölye tipi çizelgeleme

problemleri gibi ba³lklara ayrmak mümkündür. Bu çal³mann da içeri§ini

olu³turan ak³ tipi çizelgeleme problemleri, ara³trma larn yo§un olarak

çal³-t§ optimizasyon problemlerinden biridir. An ak gün geçtikçe teknolojinin de

geli³imiyle klasik ak³ tipi çizelgeleme problemleri de birçok yeni alt ba³l§a

ayrlmaktadr.Bunlardanen önemlisiçokde§i³kenmü³teritalepleriniksasürede

ve dü³ük maliyetle kar³lamaysa§layanesnek üretim sistemleridir.

Ak³ atölyesi çizelgeleme literatürü 1950'li yllara dayanmaktadr. Üretimde

kullanlan sistemlerin de§i³imine paralel olarak literatürdeki çal³malar da

za-manla de§i³mi³tir. Bu çal³ma klasik ak³ tipi üretim sistemlerinden farkl

olarakesnekmakinelerinkullanld§birüretimsisteminielealmaktadr.Yaplan

çal³mann literatürdeki yerini daha iyi görebilmek ama yla bugüne kadar

yaplm³ çal³malar ak³ tipi üretim sistemleri, üretimde esneklik kavram, ak³

tipi üretim sistemlerinde esneklik ve montaj hatt dengeleme ba³lklar altnda

in elene ektir.

2.1 Ak³ Tipi Üretim Sistemlerinde Çizelgeleme

Ak³ tipi üretim sistemlerinin temelini her parçann bütün makinelerde ayn

sray izleyerek i³lenmesi olu³turur. Parçalarn özde³ olmas ya da olmamas,

i³lem sürelerinin de§i³kenlik göstermesi ya da sabit kalmas gibi çokça kriterin

ak³ tipi üretim sistemleri üzerine çok sayda çal³ma yaplm³tr. Bu konunun

temelini olu³turan çal³ma Johnson [26℄'n 1954 ylnda literatürde yerini alm³

olançal³masdr.kimakineninyerald§farkltipparçalarnüretildi§isistemde

Johnson optimalçözümeula³an biralgoritmageli³tirmi³tir. Bu algoritmai³lerin

hangisraylai³lene e§inibulmaktadr.Sisteminsonsuzarastokkapasitesioldu§u

varsaylmaktadr. Her i³in makinelerdeki i³lem zamanlar bellidir. Ba³langç

annda her i³in hazr oldu§u da varsaymlar içindedir. Algoritmann i³leyi³i ³u

³ekildedir:

•

Her parçann iki makinedekii³lem zamanlarn listele.

•

Bütün i³lem zamanlararasnda en küçük olan seç.

•

Belirlenenbu i³lemsüresi; ilk makineyeaitse bu i³lem süresine sahip i³i ilk sraya,ikin i makineyeaitse bu i³i son sraya yaz.

•

Belirlenen i³ilisteden çkar.

•

Bu i³lemi bütün parçalarsralanana kadar tekrarla.

Algoritma

O(nlog(n))

çal³masüresinesahiptir.Üçmakinefarkltipparça proble-mininiseNP-Zoroldu§uGareyveJohnson[16℄tarafndanispatedilmi³tir.An ak

3 makineli sistemin özel bir durumu olan ortadaki makinenin en büyük i³lem

süresinin di§er iki makineninen küçük i³lem süresinden küçük oldu§u durumda

yukardaki algoritma modiye edilerek optimal sonu u vermesi sa§lanmaktadr

[26℄.

Ak³ tipi üretim sistemlerinin geni³ çapl taramas Hejazi ve Saghaan [24℄

tarafndan yaplm³tr. Makalede yaylma zamannn enküçüklenmesine yönelik

çal³malarnnyansrageli³tirilentemelalgoritmalarave metasezgisellerede yer

vermi³lerdir. Ayr aayar zamanlarnn çe³itlerine göre problemlerin

snandrl-d§ak³tipisistemleriçinbirba³kataramamakalesideChengvd.[11℄tarafndan

elealnm³tr.Buçal³madamakalelerba§mlveba§mszayarzamanlarnagöre,

aileayarzamanveparçaayarzamanolmalarnagörefarkl altba³lklaraltnda

in elenmi³tir. Ayar zamanlarnn ele alnd§ birdi§er çal³ma ise Allahverdi vd.

m

makineninyerald§NP-zoroldu§ubilinensistemleriçingeli³tirilençoksayda algoritmavardr.Literatürdeönemliyeresahipba³l a4algoritmageli³tirildikleri

tarihleregöre ³öylesralanabilir.

•

Palmer Algoritmas(1965): Küçük i³lem süresine sahip i³in ön e i³len-mesi prensibine dayanan bu algoritma da her i³ için makine saysna ba§l

bir e§im indeksi hesaplanr. Bu indeksler büyükten küçü§e sralanarak bir

sralamaelde edilir [35℄.

•

CDS Algoritmas (1970):

m

makinenin oldu§u bir sistemi

m − 1

tane iki makineli sisteme dönü³türerek elde edilen problemlerin Johnson

algoritmasylaçözüldükten sonra en iyisininseçildi§ibir algoritmadr[10℄.

•

Gupta Algoritmas (1971): Bu algoritma da Palmer Algoritmas gibi çal³maktadr. E§im indeksini farkl bir formülle hesaplayarak daha iyi

sonu a ula³m³tr[22℄.

•

NEHAlgoritmas(1983):Nawazvd.[32℄tarafndangeli³tirilmi³tir.Daha sonradangeli³tirilenbirçokiyile³tirmealgoritmasnatemelolu³turmaktadr.

NEH algoritmasnnadmlar ³öyledir:

- Adm 1: Her bir i³inbütün makinelerdekii³lem zamanlarnn

topla-mnbul.

- Adm2:Enbüyüktoplami³lemzamannasahipilkikii³isralarn

de-§i³tirerek çizelgele ve küçük tamamlanma zamannveren sralamada

sabitle.

- Adm 3: Yeni eklene ek her i³ için çizelgede yerle³ebile e§i her

sray dene ve en küçük tamamlanmazamannverdi§i de§erdekiyere

yerle³tir.

- Adm 4:Bu i³lemi

n.

i³e kadar tekrarla.

Bu algoritma permütasyon ak³ tipi çizelgeleme problemleri için en etkili

çözümyöntemidir.Permütasyonak³tipiçizelgelemeproblemi,tüm

makine-lerdebiri³ini³lemsrasnnaynoldu§u,

m

makine

(j = 1, 2, ..., m)

üzerinde belli i³lem sürelerine sahip

n

i³in

(i = 1, 2, ..., n)

çizelgelenmesinden olu³an problemlerdir. Algoritmann performans test edilirken yaplan deneysel

çal³malar neti esinde

n = 5, ..., 500

ve

m = 5, ..., 25

oldu§u aralkta optimaleyakn sonuçlar verdi§i gözlemlenmi³tir[32℄.

Ak³tipiçizelgelemeproblemlerinde,Johnson[26℄'dansonrayaplançal³malarn

in elendi§ibirdi§ertaramamakalesiiseGuptaveStaord[21℄tarafndanele

aln-m³tr.Elealnanproblemlerinzamanlanaslde§i³imgösterdi§iniin elemi³lerdir.

Busüreçte, elealnanproblemlere,gerçekhayatta kar³la³lanzorluklarnentegre

edilmesiyle problemler farkl karakteristik özellikler kazanmaya ba³lam³lardr.

Ara stok kapasitesine ve i³lem özelliklerine göre ak³ tipi sistemleri snrsz ara

stok, blokeolma vebeklemesizsistemler ba³lklaraltndain elemekmümkündür.

Bu kavramlar srasyla ele ald§mzda ilki olan snrsz ara stok kavram bu

tez çal³masnda ele alnm³tr. Üretim esnasnda makineler arasndaki stok

alannnüretile ektoplamparçasaysnnbireksi§ikadarveyadaha fazlaolmas

durumudur. lerleyen bölümlerde bu kavramdan skça bahsedile ektir. Bir di§er

kavramblokeolmaise,birparçanni³lemibirmakinedetamamlandktansonrabir

sonrakimakineyegeçe e§indee§erikin imakineninüzerindehalai³lenmekteolan

bir parça varsa ara stok bulunmad§ ya daara stokta yer olmad§ durumlarda

söz konusu parça ikin i makinedeki i³lem tamamlanana kadar ilk makinede

beklemelidir. Bu durumda ilk makine i³lem yapamad§ için bloke olmaktadr.

Beklemesiz sistemler ise ak³ tipi makine ortamnda, i³lerin birbirini takipeden

iki makine arasnda beklemeye e§ini ifade eder. Hall ve Sriskandarajah [23℄

tarafndan bloke olma kavramyla birlikte beklemesiz ortam kavramnn da yer

ald§ çal³malarözetleyen birtarama makalesi daha bulunmaktadr.

Gangadharan ve Rajendran [15℄, ak³ tipi sistemde, yaylma zaman ve toplam

ak³ zamannenküçüklemek içintavlamabenzetimialgoritmaskullanm³lardr.

Problemi 25 makine 40 i³e kadar çözüp, elde ettikleri sonuçlar Ho ve Chang

[25℄ ile Ogbu ve Smith [34℄'in sonuçlar ile kar³la³trarak geli³tirdikleri sezgisel

ile daha etkin sonuçlar bulduklarn göstermi³lerdir. Yeh [41℄ tarafndan ele

alnan çal³madaise iki makineli ak³ tipiçizelgeleme problemi için, toplam ak³

zamanveyaylmazamanamaçfonksiyonlarelealnm³tr.Geli³tirilendal-snr

algoritmasile 200 i³e kadar çözümler elde edilmi³ ve daha ön e geli³tirilenbaz

kolu ise montaj hatlardr. Montaj hatt problemleri de ak³ tipi problemlerinin

bir koludur [7℄. Montaj hatt, bir ürünün hattn ba³ndan sonuna kadar her

a³amada farkl bir katk sa§lanarak tamamlanmasn ifade etmektedir. Montaj

hattnn ortaya çk³ 1900'lü yllardaHenry Ford ile olmu³tur. lkmontaj hatt

örne§i T tipi montaj hattdr [8℄. Günümüze kadar montaj hatlarnn kullanm

oldukça yaygnla³m³ ve do§an ihtiyaçlara evap verebilmek için çe³itlenmi³tir.

Ba³langçta tek model üreten ve sabit tempolu i³lem yapan bu hatlar zamanla

özelle³mi³ paralel istasyonlu hatlara, ara stok barndran hz de§i³ebilen U tipi

hatlara dönü³mü³tür. An akbu dönü³üm kolaylklarylabirlikte i³ yükünün hat

boyuda§lmasproblemiolanmontaj hattdengelemekavramndado§urmu³tur

[7℄.

Montaj hatt dengeleme problemlerinde hattaki bo³ zaman miktar

enküçüklen-meye çal³lr. Hat dengelemede çevrim süresi ve istasyon says kavramlar ele

alnr. ki farkl amaç olabilir. lki üretim hznn enbüyüklenmesidir ki bunun

için ele alna ak olan çevrim süresinin küçültülmeye çal³lmasdr. Bunun için

istasyon saysnn sabit oldu§u varsaylr. Di§er amaç ise istasyon maliyetlerini

en aza indirmektir. Bunun içinise çevrim zaman verilmi³ken istasyon says en

aza indirilmeyeçal³lr.Hattn tipineve ürünegöre bu performansölçütlerinden

birindenyararlanlarakhat dengeleme yaplabilir.

2.2 Üretimde Esneklik Kavram

Esneklik kavramnn üretimdeki yerini daha iyi anlayabilmek için bu bölümde

esneklik tanmna,çe³itlerine,esnekli§in katklarna yer verilmektedir.

Son yllarda esneklik kavramn ele alan oldukça fazla çal³ma yaplm³tr.

Çal³malarnçe³itlili§iesnekli§intekbirtanmlasnrlandrlamaya a§nda

gös-termi³tir.Genel olarakesnekliktanmfarkldurumlaraadapteolabilmeyetene§i

olaraktanmlanabilmektedir.Üretimde esneklik ise, üretimkaynaklarnnkaliteli

ve farklürünler üretmek için³ekillendirilmesidir[39℄.

esneklik tanmnaveçe³itlerine a§rlkvermi³tir.Bu konudaele alnanen önemli

çal³malardan birisi Sethi ve Sethi [39℄ tarafndan yaynlanan bir makaledir.

Esneklik konusunda önemli yeri olan bu makalede esneklik 11 alt ba³l§a

ayrlm³tr. Bunlar, makine, malzeme ta³ma, ürün, program, market, süreç,

operasyon, rota, ha im, üretimvebüyüme esnekli§idir.Bu tanmlarbirbirinden

net olarak ayrmak mümkün de§ildir. ç içe geçmi³ ve birbirini tamamlayan

niteliktedirler.Buçal³madaelealnanproblemdekiesneklikhemmakineesnekli§i

hem de operasyon esnekli§i tanmna uygundur. Bu iki tanm daha detayl

in elene ektir.

Makine Esnekli§i: Bir makinenin bir operasyondan di§erine çok dü³ük

maliyetle ve ksa sürede geçebilmesidir. Bu ³ekilde farkl tipteki i³lemleri

yapabilmekabiliyeti olarakaçklanabilir. Makine esnekli§ininkar³la³ld§

sistemler nümerik kontrol (NC) ve bilgisayarl nümerik kontrol (CNC)

olarakörneklendirilebilmektedir.

OperasyonEsnekli§i:Parçannbazoperasyonlarnnalternatiffarkl

yol-larladayaplarakparçannüretilebile e§ianlamnagelmektedir.Operasyon

esnekli§iaynzamandadi§eresneklik kavramlarnadakatksa§lamaktadr.

Bu esneklik çe³idi ise daha çok bilgisayarl üretim sistemlerinde

kar³la³l-maktadr.

Ayr aoperasyonesnekli§ininparçalarnçizelgelenmesinikolayla³trd§

bilinmek-tedir [9℄.

Günümüzekadaresnekli§insnandrlmas,hangitipüretimsistemlerininhangi

esnek üretim sistemi snf içinde de§erlendirile e§i, esnekli§in sisteme ne tür

katk sa§laya a§n gösteren bir çok çal³ma yaplm³tr. Browne vd. [9℄ esnek

üretimsistemleriniesneki³lemhü resi,esneki³lemsistemi,esnektransferhattve

çoklutransfer hattolmaküzere4 ba³lkaltndatoplam³lardr.Bununlabirlikte

esnekli§in katklarn in eleyen çal³malardan birisi de Askin ve Chen [4℄'in i³

sralamasnnbilindi§i2makinelibirsistemielealdklarçal³madr.³lerinfarkl

istasyonlardai³lenebilmesiçapraze§itimlii³çilerlesa§lanmaktadr.Buesnekli§in

olarakarastokmiktarazaltlarakçktmiktarnnartrlabildi§igözlemlenmi³tir.

M Clain vd. [30℄ esnek i³lemlerin stok alan bulunmamas durumunda bile

verimlili§iarttrd§ngöstermi³tir.kimakineliak³tipisistemielealanbirba³ka

çal³ma Sayn ve Karabat [38℄ tarafndan yaplm³tr. ki makineli sistemde

ya-ylmazamanvetoplamtamamlanmazamanprobleminiçözmü³lerdir.Problemi

28i³e kadar çözenbirdal-snralgoritmasn, KleinveHannan [29℄'n geli³tirdi§i

çok amaçltamsayl do§rusalprogramlamamodelinin özelliklerinden

faydalana-rak geli³tirmi³lerdir. Kimemia ve Gershwin [28℄ maksimum ak³ sa§layabilmek

için esnek üretim sistemlerinde parça rotalarnneniyilenmesi problemiüzerinde

durmu³lardr.

Esnek olmayan üretim sistemlerinde kar³la³lan problemlerle birlikte sistemlere

ne tür esneklikler kazandrlabile e§i de yine ara³trma konusu olmu³tur. Bu

ko-nuylailgiliolarakJordanveGraves[27℄ birçal³mayapm³tr.Esnekli§in

sistem-lerde uygulanamama nedenlerini ise ³öyle özetlemi³lerdir. lk olarak, esnekli§in

uygulanmas için katlanla ak maliyet ölçülebilirken esnekli§in sa§laya a§ katk

ölçülememekte ve bu dai³letme sahiplerine gereksiz birmaliyete katlanmakgibi

görünmektedir.kin isebepisebenzer³ekildeesnekli§intümsistemeuygulanmas

gerekti§iyle ilgili yanl³ bir algdr. Bu da yine yüksek bir maliyet getire e§i

gerekçesiyle esnek sistemlerin uygulanmamasna sebep olan bir di§er etmen

olarakbu çal³madabelirtilmi³tir.Buprobleminfarkndaolarakyaplanbirdi§er

çal³ma ise Nomden ve van der Zee [33℄'ye aittir. Bu çal³malarnortak noktas

rmalarn dü³ündü§ü gibi büyük yatrm maliyetleri gerektirmeden sistemlerin

esnekle³tirilebile e§i ve elde edile ek çktnn büyük katk sa§laya a§dr.

2.3 Ak³ Tipi Üretim Sistemlerinde Esneklik

Ak³ tipiüretim sistemlerinde esneklik konusu literatürde yeniyeni elealnmaya

ba³lam³ bir konudur. Esnekli§in bu sistemlere adapte olmas operasyon ya da

makineesnekli§isözkonusuoldu§unda,biri³leminbirdenfazlamakinetarafndan

bir çizelge ile daha ksa sürede daha fazla çkt elde edilmesini sa§laya aktr.

Esnekli§in yer ald§ ak³ tipi sistemlerle ilgili çal³malar son yllarda hz

kazanm³tr. Bu bölümde özellikle bu çal³malardanbahsedile ektir.

Vairaktarakis ve Lee [40℄'nin çal³masnda ele alnan sistem iki makinenin yer

ald§sistemdir.Sistemde ikioperasyonyeralmaktadr.lkoperasyonilkmakine

ikin i operasyon ikin i makinede i³lenebilmektedir. Ayr a her iki operasyon

da her iki makine tarafndan yaplabilmektedir. Sistemi sradan bir ak³ tipi

sistemden ayran faktör, her iki operasyonun da ayn makinede yaplmas

durumunda parçann di§er makineye hiç u§ramyor olu³udur. Problemde amaç

yaylmazamannen küçüklemektir.Bunun içini³lerin hangisrayla i³lene e§ine

ve i³lemlerin makinelerde nasl yapla a§na karar verilmesi gerekmektedir.

Optimalçözümeula³makama yladinamikprogramlamayöntemigeli³tirilmi³tir.

Kaynakesnekli§ininelealnd§DanielsveMazzola[13℄'nnçal³masnda

n

adeti³

m

makineninbulundu§u birsistemin elenmi³tir.Çal³mada kaynakesnekli§inin çapraz e§itimli i³çilerle ya da esnek makinelerle sa§lanabile e§i belirtilmi³tir.

Çapraz e§itimli i³çilerin birbiri yerine i³lem yapabilmeleri bu çal³mada kaynak

esnekli§ikavramnakar³lkgelmektedir.³lerinsralamasnbelirlemekvekaynak

atamasn yapmak problemdeki amaçtr. Çözüme ula³abilmek için sezgisel ve

optimal çözüm algoritmalargeli³tirilmi³tir.Makine says, i³lem says ve parça

saysde§i³tirilerekdeneyselbirçal³mayaplm³tr.Kaynakesnekli§ininproblem

çözüm performansna etki etti§i ve sezgisel yöntemle büyük boyutlu problemler

içinetkin çözümler elde edilebile e§isonu una varlm³tr.

Daniels vd. [14℄'nn ele ald§ bir di§er çal³ma yine

n

i³ ve

m

makinenin bulun-du§u birsistemdei³çi esnekli§ineodaklanlarak in elenmi³tir.Ak³ tipisistemde

çapraz e§itimli i³çilerin katksn ölçmeyi hedeemi³lerdir. Dal-snr algoritmas

geli³tirerek optimal sonu a ula³m³lar an ak problem boyutu büyüdükçe çözüm

süresiartt§içinsezgiselbiryöntemgeli³tirmi³lerdir.Deneyselçal³masonu unda

çapraz e§itime yapla ak daha küçük maliyetlerle sistemde büyük katklarn

sa§lanabildi§igörülmü³tür.

Esnek ak³tipibirsisteminbulundu§ubirproblemBabayanveHe[5℄tarafndan

zamann enküçüklemektir. Ajan-temelli bir yakla³mile çözümler elde edilmeye

çal³lm³tr.

Anuar ve Buk hin [3℄, ak³ tipi üretim sistemine esneklik eklendi§inde çevrim

zamannn nasl etkilene e§ini in elemi³lerdir. Hatlar arasnda ortak yaplabilen

esnek i³lemlerin bulunmas hatlarn dengelenebilmesini sa§lamaktadr. Esnek

i³lemlerbiristasyonunsoni³lemiveyabirsonrakiistasyonunilki³lemiolmaktadr.

Problemde esnek i³lem saysna ve atamalarna karar verilmesi gerekmektedir.

Ksa sürede çözüm veren algoritmalar geli³tirilmi³tir.Makine says ve ara stok

alannn farkl saysal de§erleri için deneysel bir çal³ma yaplm³tr. Esnek i³ler

içinönerilenyakla³mklasik ak³tipisistemlere göre dahaksa çevrim zamanlar

elde edilmi³tir.

Operasyon esnekli§ini Aktürk vd. [1℄ özde³ parçalarn üretildi§i iki makine

robotik hü re çizelgeleme probleminde ele alm³tr. Sistemdeki makineler tüm

i³lemleri yapabilme kabiliyetine sahiptir.Çal³mann ama  operasyon atamasna

ve optimal robot döngüsüne karar vererek minimum çevrim zamann elde

etmektir. Yine benzer bir çal³ma Gültekin vd. [17℄ tarafndan ele alnm³tr.

Bu çal³mada kesi i uç haznesi kst göz önünde bulundurulmu³tur. Bu kstla

birlikte baz i³lemler sade e ilk, baz i³lemler ise sade e ikin i makinede i³lem

görebilmektedir. Kalan di§er i³lemler, her iki makinede i³lem görebilmektedir.

Probleminçözümüherikimakinededeyaplabileni³lemlerinatanmasylailgilidir.

Çal³mada her döngü için optimal parametre aralklar belirlenmi³ ve duyarllk

analizi yaplm³tr.

Gültekin vd. [18℄ 2 ve 3 makineli ak³ atölyesinde özde³ parçalarn üretildi§ibir

problemielealm³lardr.Malzemeta³mannrobotlartarafndangerçekle³tirildi§i

bu sistemde, çevrim zaman ve toplam üretim maliyeti performans ölçütleri

dikkate alnm³tr.Robot hareket sras ve i³lem zamanlarnakarar vermi³lerdir.

Gultekin [19℄ tarafndan ele alnan bir ba³ka çal³ma esnek i³lemli iki makineli

ak³ tipi üretim sisteminde çkt optimizasyonudur. Sistemde üretilen parçalar

özde³tir. Ürün haline gelebilmesi için parçalarn üç i³lemdengeçmesi

gerekmek-tedir. ³lemlerden biri ilk makinede, di§eri ikin i makinede i³lenebilmektedir.

Esnek i³lem ise her iki makinede de yaplabilmektedir. Sistemde makineler

sunulmu³tur. Çal³mada ayr a esnekli§in yararlar gösterilmi³tir. Çok küçük

esneklik seviyesinde dahi, daha dü³ük tamamlanma zamann elde edildi§i

sonu una varlm³tr.

Tez çal³masyla yakndan ilgili olan bir çal³ma Gupta vd. [20℄ tarafndan

ele alnm³tr. 2 makinenin bulundu§u sistemde

n

adet farkl tip parça 3 farkl i³lemden geçerek üretilmektedir. lk i³lem ilk makinede, üçün ü i³lem

ikin i makinede i³lenmekte, esnek olan ikin i i³lem ise iki makine tarafndan

da yaplabilmektedir. Tamamlanma zamannn enküçüklenmeye çal³ld§

prob-lemdeesneki³leminhangimakinedeyapla a§nakararverilmeyeçal³lmaktadr.

BununlabirlikteprobleminNP-zoroldu§udaispatedilmi³tir.Polinomzamanliki

sezgiselalgoritmageli³tirilmi³veenkötüdurumperformanslarbelirlenmi³tir.lk

algoritmaesnek i³lemlerinatamalarnrastgeleyapmaktadr. kin ialgoritmaise

4farkl çizelgeolu³turmakta ve bunlardan en iyisiniseçmektedir.Ayr aoptimal

çözüme belli bir uzaklkta çözüm bulma garantisi olan bir yakla³m algoritmas

geli³tirmi³lerdir.

Problemde yer alan esneklik tanm tez çal³masyla uyumludur. Esnek makine

tanm ve operasyonun atama karar tamamen benzerlik göstermektedir. Tez

çal³masnn problemden fark ele alnan makine saysnn 3 olmas ve özde³

parçalarn üretiminin yaplyor olmasdr.An ak bu problemde 3 makine olmas

problemi biraz daha zor kla akken özde³ parça üretiliyor olmas ise

kolayla³t-ra aktr. Esnek i³lemli, 2 makine farkl tip parça üreten sistemlerin zayf

NP-zor oldu§u Gupta vd. [20℄ tarafndan ispat edilmi³tir. 3 makine farkl tip parça

üreten ak³ tipi sistem için de NP-zor oldu§u da Garey ve Johnson vd. [16℄

tarafndan gösterilmi³tir. Bu çal³mada ele alnan problem ise 3 makineli bir

sisteminelealnmasan aközde³parçaüretiliyorolmassebebiyleNP-zorsnfna

girip girmedi§ibilinmemektedir.

Tez çal³masna temel olu³turan bir di§er çal³ma ise Crama ve Gultekin [12℄

tarafndan ele alnm³tr. Özde³ parçalarn üretildi§i 2 makineli bir ak³ tipi

sistemin elenmi³tir.Sabiti³lemolarakadlandrlanilki³lemsade eilkmakinede,

ikin i i³lem ise sade e ikin i makinede yaplabilmektedir. Esnek i³lem her

iki makine tarafndan da i³lenebilmektedir. Problemdeki amaç çkt miktarn

Parça saysnn sonlu veya sonsuz olmas, ara stok miktarnn sfr, sonlu veya

sonsuz olmas durumlar ayr ayr ele alnm³tr. Her alt problem için optimal

çözümü veren yöntemler polinom zamanl yöntemler geli³tirilmi³tir. ki parça

ileriye bakarak esnek i³lem atamasna karar veren bir algoritma geli³tirilmi³ ve

bu problem içinoptimalçözüme ula³t§ispatlanm³tr.

2.4 Özet

Bu bölümde, ak³ tipi üretim sistemlerine ve esneklik konusunun üretimde ele

aln³³ekline,esnekliktiplerinede§inilmi³vetezçal³masndaelealnanproblemle

benzerlik gösteren ve problemi anlamak açsndan katks oldu§u dü³ünülen

literatürdeki di§er çal³malarayer verilmi³tir.

Gerçek hayatproblemlerininde elealnmasveesnekli§ingitgideönem

kazanma-syla bu konular üzerine yaplan çal³malar da hzla artm³tr. Problem tipleri

gün geçtikçe farklla³arak çal³malara daha spesik problemler konu olmaya

ba³lam³tr. Bu bölümde bu çal³malarn bir ksmna yer verilmi³, ele alnan

problemlerden ve çözüm yöntemlerinden bahsedilmi³tir. Tez çal³masnda ele

alnan problemin konusu Crama ve Gültekin [12℄ ile Gupta vd. [20℄ tarafndan

elealnan problemlerleoldukçabenzerdir. 2makinelibir sistemdesrasyla farkl

tipparçalarn veayntipparçalarnüretiminiin elemi³lerdir.Buçal³madaise3

makineli birsistem ve ayn tipparçalarele alnm³tr.Ön eki çal³malardikkate

alnarak çözümyöntemleri geli³tirilmeyeçal³lm³tr.

Bu çal³mannklasik birak³tipisistemiolmamasvegünümüzdeönem kazanan

esneklik konusunu barndrmas çal³may daha önemli klmaktadr. htiyaçlarn

vezevklerinçokfarkllkgösterebildi§iürünleriçinesnek sistemlerinkullanlmas

³art hale gelmi³tir. Bu nedenle bu çal³mann literatürde yer alan bir bo³lu§u

Atölyesi

Bu bölümde, 3 makineli tek esnek i³lemli ak³ atölyesi çizelgeleme problemine

ve geli³tirilen çözüm yöntemlerine yer verilmektedir. Ayrntl olarak problemin

özelliklerine de§inilerek kurulan karma tamsayl model anlatlmakta, ardndan

çözüm yöntemleri geli³tirilirken faydalanlan önteorem ve teoremler problem

sonuçlar alt ba³l§nda sunulmaktadr. Çözüm yöntemi olarak ön elikle bir

sezgisel algoritma geli³tirilmi³, sonrasnda ise dinamik programlama tabanl bir

kesin çözüm yöntemi önerilmi³tir.

3.1 Problem Tanm ve Matematiksel Model

Bu bölümde3 makineli bir ak³ atölyesiele alnm³tr.Probleminklasik bir ak³

tipisisteminden fark sistemdeesnek i³lem bulunmasdr.Özde³

n

adet parçann üretildi§i sistemde her parça üzerinde dört farkl i³lem yaplarak ürün haline

gelmektedir. Bu dört i³lemdenüç tanesisabit i³lemdirve srasyla her biri farkl

bir makinedeyaplmaktadr.Bunlara ek olarakbir de tüm makinelertarafndan

yaplabilen bir esnek i³lem vardr ve bu i³lemin hangi makinede yapla a§na

karar verilmeye çal³lmaktadr. Yaylma zaman,

n

. parçann 3. makinedeki tamamlanmazamandr.Ak³tipisistemingere§iolarakparçalarsrasylamakine

1, makine 2ve makine 3'te ayn sraylai³lenmektedir.

Problemde i³ kesmeye izin verilmemektedir. Yani bir i³ bir makine üzerindeki

i³lemi tamamlanmadan o makineden ayrlamaz. Ayr a her esnek i³lem atand§

varsaymlaesneki³lem hangimakineyeatanrsaatansnayni³lem süresine sahip

ola aktr.

Esnek i³lem her parça için sade e bir makinede yaplmaldr. Esnek i³lemin

hangi makinede yapla a§ karar her parça için birbirinden ba§msz olarak

verilmektedir. “ekil3.1'de sistemini³leyi³i gösterilmi³tir.

M1

M2

M3

f1

f2

f3

s

“ekil 3.1: 3 MakineTek Esnek ³lemliAk³ Atölyesi

Sistemde makineler arasnda belli bir stok alan bulunabilir. Ara stok alannn

üretile ek parça saysnn bir eksi§inden (

n − 1

) daha fazla olmas durumunda snrsz ara stok alan varm³ gibi dü³ünülebilir. Çünkü bir parçann makine

üzerinde i³lemde oldu§u dü³ünüldü§ünde geriye kalan

n − 1

parça için bekle-yebile ekleri bir ara stok alan mev uttur. Ara stok alannn sistemde bulunan

parça saysnn bir eksi§inden daha az olmas durumunda ise bu ko³ul çözüm

yönteminin uygulanmas a³amasnda problem kstlarna dahil edilmelidir. Ara

stok alannnsfr oldu§udurumda da ayns geçerlidir.

Ak³ tipi bir sistemde ara stok alannn snrsz olmad§ durumlarda makineler

bloke olabilmektedir. Ara stokalannn dolu olmas durumunda bir parçann bir

makine üzerindeki i³lemi tamamlann a bir sonraki makinede halen i³lenmekte

olan bir ba³ka parça varsa, i³lemi tamamlanan parça makine üzerinde beklemek

zorunda kala aktr. Bu durumda makine yeni bir parçann i³lemine

ba³layama-ya a§ için bloke olur. An ak ara stok alan snrsz isemakinelerin bloke olmas

gibibirdurumlakar³la³lmaz.Buçal³madadaliteratürdekiçoksaydaçal³mada

oldu§u gibisnrsz ara stok alan varsaym yaplm³tr.Bu nedenle makinelerin

bloke olmas durumu ilekar³la³lmamaktadr.

Çal³mann bu bölümündeki amaç her parça için esnek i³lemin hangi makinede

amaç fonksiyonu çkt miktarn enbüyüklemekle e³de§erdir. Sistemde özde³

parçalarnüretiliyorolmasnedeniyleamaçfonksiyonu olarakyaylmazamannn

enküçüklenmesi daha uygun bulunmu³tur.

Kesin çözüm yöntemi olarak geli³tirilen matematiksel modelde a³a§daki

para-metrelerkullanla aktr.

f

i

: Makine

i

'dekisabit i³lem süresi

(i = 1, 2, 3)

s

: Esnek i³lem süresi

Modelde yer alan karar de§i³kenleri ise³u ³ekildedir:

T

_i

j

:

i

parçasnn

j

makinesinde i³leme ba³lamazaman.

C

max

:

n

.parçann üçün ü makinedeki tamamlanmazaman.

x

j

_i

=

(

1;

i

i³inin esnek i³lemi

j

makinesineatanm³ise

0;

de§ilse

Ele alnanproblemin karma tamsayl modeli³u³ekilde olu³turulmu³tur.

min

C

max

(3.1) Öyleki

C

max

≥ T

n

3

+ f

3

+ s.x

3

n

(3.2)

T

i

j

≥ T

j

i−1

+ f

j

+ s.x

j

_i−1

∀i 6= 1, ∀j

(3.3)

T

_i

j

≥ T

_i

j−1

+ f

j−1

+ s.x

j−1

∀i, ∀j 6= 1

(3.4)

x

1

i

+ x

2

i

+ x

3

i

= 1

∀i

(3.5)

T

₁

1

≥ 0

(3.6)

x

j

_i

∈ {0, 1}

∀i, ∀j

(3.7)

Modelde 3.1 numaral denklem amaç fonksiyonunu belirtmektedir. Problemdeki

olmas gerekti§ini belirtmektedir. Son parçann makine 3'teki tamamlanma

zaman o makinedeki i³leme ba³lama zamanna makinenin sabit i³lem süresi

f

3

de§erinin ve esnek i³lem atamas yine makine 3'te ise

s

de§erinin eklenmesiyle bulunmaktadr. 3.3 numaral kst

i

parçasnn

j

makinesinde i³leme ba³layabil-mesi için

i − 1

parçasnn ayn makinede sabit i³leminin ve o makineye atanm³ ise esnek i³leminin tamamlanm³ olmas gerekti§ini belirtmektedir. Bir sonraki

kst olan 3.4kstisebenzerdurumu makineleriçinsa§lamaktadr.

i

parçasnn

j

makinesinde i³leme ba³layabilmesi için

i

parçasnn bir ön eki makinede sabit i³leminin ve esnek i³lem atamas o makinede ise esnek i³leminin tamamlanm³

olmas gerekmektedir. 3.5 numaral kst klasik bir atama kstdr. Her parça

için esnek i³lemin sade e bir makineye atanmasn sa§lamaktadr. 3.6 kst ise

çizelgeninba³lamazamannbelirtir.3.7ise

x

j

i

kararde§i³keninin0veya1de§erini alabile e§ini belirtmektedir.

Geli³tirilen matematiksel model, Intel R

Core TM

2 Quad CPU Q9400 2,66

Ghz, 4 GB Ram, 64 bit bir bilgisayarda, GAMS 23.8.2 arayüzü ve CPLEX 12.2

çözü üsü kullanlarak çözdürülmü³tür. Problem bu model ile test edilirken veri

boyutu büyüdükçe özellikle parça says artrld§nda, çözüm zamannn da çok

artt§gözlemlenmi³tir.Bazproblemleriçin24saatiçindedahisonuçalnamayan

durumlarla bile kar³la³lm³tr. Gerçek hayat problemlerinde, özellikle tek tip

parçann üretildi§i sistemlerde üretile ek parça says genelde çok fazladr. Bu

nedenle geli³tirilen matematiksel modelin gerçek hayat problemlerinde etkin

bir kullanmnn olmaya a§ açktr. Bu problem için sonu a çok daha ksa

sürede ula³may amaçlayan çözüm yöntemleri geli³tirilmi³tir. Bu bölümün geri

kalanndaön egeli³tirilensezgiselçözümyöntemindeneldeedilensonuçlardanve

algoritmann performansndan bahsedile ektir. Sonrasnda ise kesin çözüme çok

daha ksasürede ula³makiçingeli³tirilendinamik programlamaalgoritmasndan

bahsedile ektir.

3.2 Temel Sonuçlar

Bu bölümde sezgisel çözüm yöntemi ve dinamik programlama algoritmalarnn

i³lem atamalarnn bilindi§i baz özel durumlara da yine bu ba³lk altnda

de§i-nilmektedir. A³a§daki önteorem sralamadakiilk i³in esnek i³lemininatamasn

belirlemektedir.

Önteorem 3.1 lk i³in esnek i³leminin makine 3'te oldu§u optimal bir çizelge

vardr.

spat: lk i³in esnek i³leminin her bir makineye atand§nda bu parça için

her üç makinede olu³a ak tamamlanma zaman de§erleri ele alna aktr. Bu

de§erlereTablo3.1'deyerverilmi³tir.Butabloda

C

j

i

i

parçasnn

j

makinesindeki tamamlanmazamann belirtmektedir.

Tablo 3.1: lk Parça çin Esnek ³lem Atamas Alternatieri

x

1

1

= 1

x

2

1

= 1

x

3

1

= 1

C

1

1

f

1

+ s

f

1

f

1

C

1

2

f

1

+ f

2

+ s

f

1

+ f

2

+ s

f

1

+ f

2

C

3

1

f

1

+ f

2

+ f

3

+ s

f

1

+ f

2

+ f

3

+ s

f

1

+ f

2

+ f

3

+ s

Bu durumda makinelerde olu³an tamamlanma zaman de§erlerine dikkat

edildi-§inde makine 3'te olu³an tamamlanma zamande§erinin atamaya ba§l

kalmak-szn ayn oldu§u görülmektedir. Makine 1 ve makine 2'de olu³an tamamlanma

zamande§erleriiseen küçükde§eriniesneki³lematamasnnmakine3'teoldu§u

durumda almaktadr.Çizelgenin geri kalannn ilk i³in atamasüzerine herhangi

biretkisiyoktur.Sonuçolarak,herüçmakinededeendü³üktamamlanmazaman

de§erleri esnek i³lemin üçün ü makineye atand§ alternatifte elde edilmektedir.

2

Muth [31℄ tarafndan 1979 ylnda ispat edilen ve Pinedo [36℄'da yer alan ters

problem özelli§i ele alnan 3 makineli bu sistem için de geçerlidir. Bu problem

içinters problem³u³ekilde ifadeedilebilmektedir.

Orjinal problem parametrelerinin

f

1

,

f

2

,

f

3

,

s

ve

n

oldu§u durumda ters problem ³u ³ekilde tanmlanm³tr:üretile ek parça says olan

n

ayn kalmakta,

makinelerini³lem süreleri ise

f

ˆ

1

_{= f}

1

,

f

ˆ

2

_{= f}

2

ve

f

ˆ

3

_{= f}

3

olarakde§i³mektedir.

Esnek i³lem süresi her makinede e³it oldu§u için ters problemde de

s = s

ˆ

ayn kalmaktadr.

Önteorem 3.2 Orijinal problemin ve ters problemin optimal yaylma zaman

de§erleri ayndr.

Önteorem 3.1 ve ters problem özelli§inin verildi§i Önteorem 3.2'nin do§al bir

sonu u Önteorem 3.3'tür.

Önteorem 3.3 Son i³in esnek i³leminin makine 1'de oldu§u optimal bir çizelge

vardr.

Tersdönebilirliközelli§iileaslproblemiçinilki³inesneki³lematamasnnmakine

3'e yapld§ optimal bir çizelge oldu§unu bilmek, ayn zamanda son i³in esnek

i³lem atamasnn makine 1'e yapld§ optimal bir çizelge oldu§unu da bilmek

anlamnagelmektedir. Önteorem3.4'teoptimalçizelgelerleilgilibirba³kasonu u

ispatlamaktadr.

Önteorem 3.4

f

1

_{= f}

2

_{= f}

3

durumundaikin iparçannesneki³lemininmakine

1'e atanmad§ optimal bir çizelge vardr.

spat: Bu önteoreminispat için ikin i i³in esnek i³leminin makine 1'e atand§

durum ile makine 2'ye atand§ durumda her üç makinede de ortaya çka ak

tamamlanma zaman de§erlerini ele almak yeterli ola aktr. Önteorem 3.1'e

göre ilk i³in esnek i³leminin makine 3'e atand§ optimal bir çizelge oldu§u

bilinmektedir. Makine 2'ye yaplan atama sonu u üç makine için de elde edilen

tamamlanma zaman de§erleri makine 1'e yaplan atama sonu u elde edile ek

tamamlanma zaman de§erlerinden büyük de§ildir. Bu tamamlanma zaman

de§erlerine Tablo 3.2'de yerverilmektedir.

Tablo3.2'yegöre,ikin ii³inesneki³lemimakine2'yeatand§ndaherüçmakinede

x

1

2

= 1 x

2

2

= 1

C

1

2

2f+s 2f

C

2

2

3f+s 3f+s

C

3

2

4f+s 4f+s

olmaktadr.Budaikin ii³inesnek i³lemininilkmakineyeatanmad§optimalbir

çizelge oldu§unuispatlamaktadr.

2

Teorem3.1herüçmakinedekisabiti³lemzamanlarnnaynoldu§uözeldurumda

optimal esnek i³lem atamalarnvermektedir.

Teorem 3.1

f

1

_{= f}

2

_{= f}

3

ise, esnek i³lematamasnn;

x

3

j

=1 j=1,4,7,...,3k-2 k=1,...,n

x

2

j

=1 j=2,5,8,...,3k-1 k=1,...,n

x

1

j

=1 j=3,6,9,...,3k k=1,...,n

oldu§u optimal bir çizelge vardr.

spat: Buteoreminispat içinön elikleoptimalyaylmazamaniçinbiraltsnr

belirlene eksonradateoremdeverilenatamannbualtsnrae³itoldu§u

gösterile- ektir.Üçmakineninvetekbiresneki³leminbulundu§ubudurumiçinbiraltsnr

de§eri bulunmakistenirse, çizelgenin üç parça halindein elenmesi daha anla³lr

olmaktadr. Her bir parçann minimize edilmeye çal³lmastoplamda olabile ek

en küçük tamamlanma zaman de§erini vermektedir. Çizelgenin ba³nda ve

sonunda olu³an engellenemeyen bo³ zamanlar ve arada kalan ksm olmak üzere

çizelge üç bölüme ayrlabilir. Ba³langçta olu³an engellenemeyen bo³ zaman

üçün ü makinenin ilk parçay i³lemeye ba³lad§ ana kadarki bekleme süresidir

yaniilkparçann makine1vemakine2'dekii³lenmesürelerinintoplamnae³ittir.

Bu sürenin Önteorem3.1ve Önteorem3.4'ten

f + f = 2f

oldu§u bilinmektedir. Çizelgenin sonunda yer alan engellenemeyen bo³ zaman ise makine 1'in son

parçay i³lediktensonra ne kadar bo³ bekledi§idir.Bütün esnek i³lemlerinarada

kalan ksmda yani engellenemeyen bo³ zamanlarn hari indeki bölgede atand§

2f

³eklinde bulunmaktadr.

spat üç durum için in elemek daha açk ve anla³lr ola aktr. Her bir durum

için, altsnr de§erleri ve esnek i³lem atamalarnn ilk parçadan ba³lamak üzere

son parçaya kadar srasyla makine 3, makine 2 ve makine 1'e yaplarak yani

3 − 2 − 1

dizilimiyleelde edile en

C

max

de§erlerikar³la³trlmaktadr.

Durum 1: Parça says

3n

ise

Engellenemeyenbo³zamanlarherüçdurumunaltsnrde§erinihesaplamak

içinde aynkalmaktadr.De§i³en, çizelgeninarada kalanksmolmaktadr.

Bu alan “ekil 3.2'de görüldü§ü üzere makine 3'ün ilk parçann i³lemine

ba³lamasndan makine 1'in son parçann i³lemini tamamlamasna kadar

olan zaman dilimiolarak tanmlamakmümkündür.

f

f

f

f+s

...

…

…

_f

f

zaman

M

₁

M

2

M

₃

f+s

f

“ekil3.2: Durum 1 çin AltSnr Gantt “emas

Aradakalanksmda

3n−2

adetparçannherbirmakinedekiüçsabiti³lemi ve

3n

sayda parçann herhangi bir makinede esnek i³lemi yaplmaldr. “ekil 3.2'de görüldü§ü gibi her makine için engellenemeyen bo³ zamanlar

yani çizilen çizgilerin sa§ ve sol tarafnda kalan ksmlarda toplamda

2f

vardr.Elde edilmekistenenaltsnroldu§undanhiçbo³zamanolu³madan

bu çizelgenin tamamland§ varsaylr. Yapla ak i³lemlerüç makineye e³it

olarakda§tlp ve e³ zamanltamamland§ dü³ünüldü§ünde durum 1için

altsnr de§eria³a§daki gibielde edilebilir.

Bu de§erin elde edilmesinde

4f

de§eri engellenemeyen bo³ zamanlardan gelentoplamde§erdir.

f

de§erinin

3n − 2

ileçarplmasebebiiseher makine için

2f

de§eriçizgilerind³ndakald§ndan, aradakibölgedeçizelgelene ek olan toplam

3n − 2

parça kalm³ olmasndandr. Alt snr de§eri elde edilmek istendi§i için arada kalan bölgedeki toplam sabit ve esnek i³lem

zamanlarnntam 3'ebölünerekmakinelerindengelendi§ivarsaylmaktadr.

Böyle e bu durum için elde edilen Alt snr (1)de§eri

= (3n + 2)f + ns

olarakelde edilir.

Durum 1 için

3 − 2 − 1

esnek i³lem atama dizilimi ile elde edilen yaylma zamande§erini ise

C

max

(1)

olarakgösterelim. Parça says

3n

oldu§undan her makineyee³itsaydaesnek i³lematamasyapla aktr.Esnek i³lemlerin

atamas dikkate alnd§nda ilk parçann esnek i³leminin makine 3'te, son

parçann esnek i³lemininisemakine 1'de oldu§ugörülmektedir.“ekil3.3'te

bu atamannGantt “emasna yer verilmektedir.

f

f

f

f

f+s

zaman

M

1

M

₂

M

₃

f+s

f

f+s

f

f+s

f+s

f

f

f+s

f

...

...

...

...

...

...

“ekil 3.3:

C

max

(1)

Gantt “emas

Kuralagörehermakineye

n

adetesnek i³lematana a§ndan

C

max

(1)

de§eri ³öyle bulunmaktadr.

C

max

(1) = 2f + (3n − 2)f + ns + 2f = (3n + 2)f + ns

De§erhesaplanrkeneklenen2adet

2f

de§eri“ekil3.3'dedegörüldü§üüzere makine 1 ve makine 3'te olu³an engellenemeyen bo³ zamanlardr. Geriye

3n − 2

adet parçann sabit i³lemi ve

n

parçann esnek i³lemi toplamkalr. Engellenemeyen bo³ zamanlarile olu³an bu i³lem süreleritoplam

C

max

(1)

de§erinivermektedir.

durumda

3 − 2 − 1

esnek i³lem atamas dizilimiyle elde edilen çizelge optimaldir.

Durum 2: Parça says

3n − 1

ise

Parça says 3'ün tam kat olmad§ için esnek i³lem atamalar makinelere

e³it olarak da§tlamaya aktr. Bir makineye atanan toplam esnek i³lem

says di§er iki makinedekinden 1 eksik olmak zorundadr. Bu durumda

makinelere atana ak esnek i³lem saylar

n

,

n

ve

n − 1

adet ola aktr. Alt snrbulunmayaçal³ld§için

n

taneesneki³leminatand§makinedikkate alnr. Altsnr(2) de§eri a³a§dakigibihesaplanr.

Alt snr(2)

= 4f + s + [3(3n − 3)f + (3n − 3)s]/3 = 4f + s + (3n − 3)f +

(n − 1)s/3

Alt snr(2)

= 4f + s + (3n − 3)f + (n − 1)s = (3n + 1)f + ns

Altsnr(2)'nineldeedili³inidahaaçkgörebilmekiçin“ekil3.4in elenebilir.

Çizgilerinsa§ndavesolundakalan alanlarbu durumiçinolu³an

engellene-meyenbo³zamanlartemsiletmektedir.Parçasays3'üntamkatolmad§

içinbudurumdaesneki³lematamalarsonmakineyleba³laypikin imakine

ile bite ektir. Önteorem 3.3'te son i³in esnek i³lem atamasnn her zaman

ilk makinedeoldu§uoptimalbir çizelgeoldu§ugösterilmi³tir. Budurumda

son parçann esnek i³lemi makine 1'e atanm³gibi gösterile ektir.

f

f

f

f+s

...

…

…

f

zaman

M

1

M

₂

M

₃

f+s

f+s

“ekil3.4: Durum 2 çin AltSnr Gantt “emas

C

max

(2)

de§eri içinse

3 − 2 − 1

esnek i³lem atamas dizilimi ile elde edile ek de§er ³öyle belirlenmektedir. Parça says

3n − 1

oldu§una göre bu diziyeuygun atama yapld§ndason parçann esnek i³lemimakine 2'ye

f

f

f

f

f+s

zaman

M

₁

M

₂

M

₃

f+s

f

f

f+s

f

f

f+s

f+s

f

f

...

...

...

...

...

...

“ekil3.5:

C

max

(2)

çin Gantt“emas

atanmaktadr.Bu atamannnasl yapld§na“ekil3.5'teyerverilmektedir.

Buna göre

C

max

(2)

de§eri ³öyle bulunur:

n

parçann esnek i³lemi makine 3'e,

n

parçann esnek i³lemi makine 2'ye ve

n − 1

parçann esnek i³lemi ise makine 1'e atanr. Arada kalan bölgeninmakine 1'in tamamlanmasile

bitti§i bilindi§indenmakine 1'e atananesnek i³lem says

C

max

(2)

de§erini hesaplarken belirleyi i ola aktr.

C

max

(2) = 2f + (3n − 3)f + (n − 1)s + 2f + s = (3n + 1)f + ns

Alt snr(2)

= C

max

(2)

olarak bulundu§una göre parça says

3n − 1

oldu§udurumda

3 − 2 − 1

dizilimiyleyapla akatamaylaelde edilençizelge optimaldir.

Durum 3: Parça says

3n − 2

ise

Parça says 3'ün tam kat olmad§için Durum 2'dekinebenzerbir³ekilde

esnek i³lem atamas bütün makinelere e³it sayda da§tlamamaktadr.

3n − 2

adet parça oldu§una göre alt snr belirlenirken esnek i³lemler makinelere

n − 1

,

n − 1

ve

n

adet ola ak ³eklinde da§tlr. Tamamlanma zaman hesaplana a§ndan

n

adet esnek i³lemin atand§ makine dikkate alna aktr.Alt snr(3)³u ³ekilde hesaplanr.

Alt snr(3)

= 4f + s + [3(3n − 4)f + (3n − 3)s]/3

Alt snr(3)

= 4f + (3n − 2)f + ns = 3nf + ns

Alt snr (3)için, engellenemeyen bo³zamanlara ve çizelgenin arada kalan

f

f

f

f

f+s

...

…

…

f

zaman

M

1

M

₂

M

₃

_f+s

f+s

f

“ekil3.6: Durum 3 çin AltSnr Gantt “emas

3 − 2 − 1

dizilimyleyapla ak atamann

C

max

de§eribulunmakistendi§inde ise parça says

3n − 2

oldu§undan son parçann esnek i³lemi bu atama yönteminegöremakine3'teolmaktadr.Budurumdaatamannolu³tura a§

Gantt“emas “ekil3.7'de verildi§igibi ola aktr.

f

f

f

f

f+s

zaman

M

1

M

₂

M

₃

f

f

f+s

f

f+s

f+s

...

...

...

f+s

“ekil3.7:

C

max

(3)

çin Gantt“emas

Buna göre

C

max

(3)

de§eri ³öyle bulunur:

n

parçann esnek i³lemi makine 3'e,

n − 1

parçann esnek i³lemi makine 2'ye ve

n − 1

parçann esnek i³lemi ise makine 1'e atanmaktadr. Arada kalan bölgenin makine 1'in

tamamlanmasilebitti§ibilindi§indenmakine 1'eatananesneki³lem says

C

max

(3)

de§erinihesaplarken belirleyi i ola aktr.

C

max

(3) = 2f + (3n − 4)f + (n − 1)s + 2f + s = 3nf + ns

Alt snr(3)

= C

max

(3)

olarak bulundu§una göre parça says

3n − 2

oldu§udurumda

3 − 2 − 1

dizilimiyleyapla akatamaylaelde edilençizelge optimaldir.

sonuç vere e§i ispat edilmi³tir.

2

A³a§daki teoremde bir ba³ka özel durum içinoptimalçözüm ispatlana aktr.

Teorem 3.2 Herhangibir

k

ve

j

makinesiiçin

(k, j = 1, 2, 3, k 6= j)

,

f

k

_{+s ≤ f}

j

,

ise her parça için esnek i³lem atamalarnn

k

makinesine yapld§ bir optimal çizelge vardr.

spat: Bu durumun geçerli oldu§u i³lem sürelerine sahip bir problemde esnek

i³lemlerhep

k

makinesineatana aktr. Çünkü

k

makinesininsabiti³lem süresine

s

esneki³lemsüresieklenmi³halidahi

j

makinesininsabiti³lemsüresindenküçük yada e³ittir. Böyle birdurumda, sistemdeki üçün ü makine

l

makinesi olsun.

•

E§er

f

l

_{≤ f}

j

ise yaylma zamann belirleyen

j

makinesi ola aktr. Bu durumda optimalyaylma zaman

C

max

= f

k

_{+ f}

l

_{+ n(f}

j

₎

ola aktr.

•

E§er

f

j

_{≤ f}

l

ise yaylma zamann belirleyen

l

makinesi ola aktr. Bu durumda optimalyaylma zaman

C

max

= f

k

_{+ f}

j

_{+ n(f}

l

₎

ola aktr.

2

Bundansonrakibölümlerde,bu bölümdeönteoremveteoremlerleverilenoptimal

çözüm özellikleri dikkate alnarak geli³tirilen sezgisel yöntem ve dinamik

prog-ramlamaalgoritmasanlatlmaktadr.

3.3 Sezgisel Çözüm Yöntemi

Bu bölümde,3 makineli ak³ tipiproblemininçözümü içinilk olarakba³vurulan

yöntem olan sezgisel algoritma admlar, algoritmann test edilmesi için yaplan

özellikleridikkatealnmaktadr.Önteorem3.1ve3.3ilesezgiselyöntemde,hemilk

hem de son i³ için herhangi bir hesaplama yaplmasnagerek kalmakszn i³lerin

atamalar yaplmaktadr. Bu da çözüm süresini ksaltarak yöntemin etkinli§inin

artmasna yardm  olmaktadr. Teorem 3.1 ve 3.2'e dayanarak problem verileri

türetilmi³tir. Optimalsonu u zatenbilinen problemverileri dikkate alnmayarak

sonu u bilinmeyen problemverisetleri içinsezgisel yöntem test edilmi³tir.

Geli³tirilen bu algoritma Crama ve Gültekin [12℄ tarafndan iki makineli tek

esnek i³lemin yer ald§ problem için geli³tirilen iki parça ileri (2PA) kesin

çözüm algoritmasn temel almaktadr. Algoritmann mant§ benzer ³ekildedir.

An ak2makinelisistemlerielealanCramaveGültekin[12℄'inalgoritmasndaiki

parça sonras için ikin i makinede bo³ zaman olu³up olu³maya a§nn kontrolü

yaplrken bu çal³madaki algoritmada çizelgede hem bir parça sonras hem de

iki parça sonras kontrol edilmektedir. Bu algoritma 3 makineli bir sistem için

geli³tirildi§indenikifarklkar³la³trmayaplmaktadr.Ön emakine1vemakine

2 için olas tamamlanma zamanlar kar³la³trlp daha sonra ayn kar³la³trma

makine 2 ve makine 3 içinyaplmaktadr.

3.3.1 Algoritma admlar

Geli³tirilensezgisel algoritmannadmlara³a§daki gibiifade edilebilir.

Adm 1: Önteorem 3.1'e dayanarak ilkparçann esnek i³lemi makine 3'e atanr.

Adm2:kin iparçadan itibarensrasyla ³ukontrolleryaplarakatamayakarar

verilir.

- E§er bu parçann esnek i³leminin makine 1'e atanmas, makine 2'de bo³

zaman olu³masna sebep olmuyorsa, bir sonraki parça için kontrol edilir.

Sonraki parça içinde bo³zaman olu³muyorsa atamamakine 1'e yaplr.

- lk ³art sa§lanmyorsa, bu parçann esnek i³lemi makine 2'ye atanrsa

makine 3'te bo³ zamana sebep olup olmad§ kontrol edilir, bo³ zaman

olmuyorsabirsonrakiparçaiçinkontrolyaplr,yinebo³zamanolu³muyorsa

Adm 3:

n − 1

. parçayakadar adm 2tekrar edilir. Adm 4: Son parçann atamasilk makineye yaplr.

Geli³tirilen polinom zamanl algoritmann ayrntl olarakadmlarna Algoritma

1 olarakyerverilmi³tir.

Algoritma 1: Girdi:

f

1

_{, f}

2

_{, f}

3

_{, s, n}

Çkt:

C

j

i

, C

max

, x

j

i

1.lk i³inesnek i³leminiüçün ü makineyeata.

2.Her makine için ilki³in tamamlanmazamannhesapla.

3.

i = 2

'den

(n − 1)

' ekadar yap. 4. e§er

C

1

i

+ 2f

1

+ s ≤ C

i

2

+ f

2

ve

C

1

i

+ f

1

+ s ≤ C

i

2

ise 5.

i

. i³inesnek i³leminimakine 1'e ata.

6.

i

. i³inher üç makinedeki tamamlanmazamanlarnhesapla. 7. de§ilse 8. e§er

max((C

1

i

+ f

1

), C

i

2

) + 2f

2

+ s ≤ C

i

3

+ f

3

ve

max((C

1

i

+ f

1

), C

i

2

) + f

2

+ s ≤ C

i

3

ise 9.

i

.i³in esnek i³lemini makine2'ye ata.

10.

i

. i³inher üç makinedekitamamlanma zamanlarnhesapla. 11. de§ilse

12.

i

. i³inesnek i³lemini makine 3'e ata.

13.

i

. i³inher üç makinedekitamamlanma zamanlarnhesapla. 14. ise sonlandr.

15. ise sonlandr.

16.

n

. i³inesnek i³leminiilk makineye ata.

17.

n

. i³inher üç makinedeki tamamlanmazamanlarn hesapla. 18.

n

. i³inmakine 3'teki tamamlanmazamann

C

max

olarakbelirle. 19.döngü sonlandr.

Bir örnekle algoritmanni³leyi³inidaha iyi anlamak mümkündür.

Örnek 1:5parçann üretildi§ibirsistemde, sabit i³lemsürelerisrasyla 9,8,11

ve esnek i³lem süresi 7olsun.

Çözüm:

•

lk i³in esnek i³lemi son makineye atanr. Üç makine için de tamamlanma zamanlarhesaplanr.

C

1

1

= f

1

→ 9

C

2

1

= f

1

+ f

2

→ 9 + 8 = 17

C

3

1

= f

1

+ f

2

+ f

3

+ s → 9 + 8 + 11 + 7 = 35

Adm 1: kin i i³ için algoritmada belirlenen makine 1 ve makine 2

kar³la³trmas yaplr.

C

1

1

+2.f

1

+s ≤ C

1

2

+f

2

ve

C

1

1

+f

1

+s ≤ C

1

2

³artlarnnsa§lanpsa§lanmad§ kontroledilir.

32 6≤ 24

ve

25 6≤ 17

³artlardanbirininsa§lanmamasatamannyaplmamas için yeterlidir ki bu durumda her iki ³art da sa§lanmamaktadr. Atama

makine 1'e yaplmaz,bir sonraki admageçilir.

Adm 2: kin i i³ için algoritmada belirlenen makine 2 ve makine 3

kar³la³trmas yaplr.

max{C

1

1

+ f

1

, C

1

2

} + 2f

2

+ s ≤ C

1

3

+ f

3

ve

max{C

1

1

+ f

1

, C

1

2

} + f

2

+ s ≤ C

1

3

³artlarnnsa§lanpsa§lanmad§ kontrol edilir.

41 ≤ 46

ve

33 ≤ 35

Her iki ³artta sa§land§ için ikin i parçann esnek i³lem atamas makine 2'ye yaplr. kin i parçann tamamlanma zamanlar

hesaplanr.

C

1

2

= C

1

1

+ f

1

→ 9 + 9 = 18

max{C

1

2

, C

1

2

} + f

2

+ s → max{18, 17} + 8 + 7 = 33

max{C

2

2

, C

1

3

} + f

3

→ max{33, 35} + 11 = 46

Adm 3: Adm 2, üçün ü ve dördün ü parça için tekrar edilir, olu³an

tamamlanmazamanlarhesaplanr.

C

1

3

= 27

C

4

1

= 36

C

2

3

= 41

C

4

2

= 56

C

3

3

= 64

C

4

3

= 75

Adm 4: Son parçann esnek i³lem atamas makine 1'e yaplr. Yaylma